资源简介

(共26张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：15.1.2.1 线段的垂直平分线的性质和判定
副标题：深入探究线段垂直平分线的奥秘
背景图：展示一条线段及其垂直平分线的几何图形，标注出垂直关系和中点，直观呈现核心研究对象。
幻灯片 2：学习目标
理解线段垂直平分线的概念，能准确描述其定义。
探索并证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理，能运用这两个定理解决几何问题。
结合轴对称知识，体会线段垂直平分线与轴对称的内在联系，提升逻辑推理能力。
幻灯片 3：复习回顾
轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分；对称轴是对应点连线的垂直平分线。
线段垂直平分线的直观认识：在轴对称图形中，若图形关于某条直线对称，这条直线往往是某些线段的垂直平分线（如等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线）。
思考问题：线段的垂直平分线具有怎样的特殊性质？如何判断一条直线是线段的垂直平分线？
幻灯片 4：线段垂直平分线的概念
定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。
图形表示：如图，直线 l 经过线段 AB 的中点 O，且 l⊥AB，则直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，可表示为 l 垂直平分 AB。
关键词解析：“经过中点” 和 “垂直于线段” 是线段垂直平分线的两个必备条件，缺一不可。
辨析举例：展示只经过中点但不垂直于线段的直线，以及垂直于线段但不经过中点的直线，说明它们都不是线段的垂直平分线。
幻灯片 5：探究线段垂直平分线的性质
操作任务：如图，直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，在 l 上任取一点 P，连接 PA、PB，测量 PA 和 PB 的长度，你发现了什么？
实验现象：经过测量，PA = PB。
小组讨论：改变点 P 在直线 l 上的位置（如在线段 AB 上方、下方或与 AB 的交点处），重复测量 PA 和 PB 的长度，PA 与 PB 仍然相等吗？由此能得出什么结论？
初步结论：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
幻灯片 6：线段垂直平分线的性质定理
定理内容：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
几何语言表示：如图，∵直线 l 垂直平分 AB，点 P 在 l 上，∴PA = PB。
定理证明：
已知：直线 l 垂直平分 AB，垂足为 O，点 P 在 l 上。
求证：PA = PB。
证明：∵l 垂直平分 AB，∴AO = BO，∠POA = ∠POB = 90°。
在△POA 和△POB 中，
\(\begin{cases}
AO = BO \\
∠POA = ∠POB \\
PO = PO
\end{cases}\)
∴△POA≌△POB（SAS）。∴PA = PB。
图形强调：标注出线段垂直平分线、垂足、点 P 到两端点的距离，明确定理的条件和结论。
幻灯片 7：线段垂直平分线性质定理的应用（一）
例题 1：如图，在△ABC 中，AB = AC = 10cm，AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，交 AB 于点 E，△CBD 的周长为 18cm，求 BC 的长。
解题思路：
由 DE 是 AB 的垂直平分线，根据性质定理可得 AD = BD。
△CBD 的周长 = BC + CD + BD = BC + CD + AD = BC + AC。
已知 AC = 10cm，△CBD 的周长为 18cm，所以 BC + 10 = 18，解得 BC = 8cm。
解答过程：
∵DE 是 AB 的垂直平分线，∴AD = BD（线段垂直平分线的性质定理）。
∵△CBD 的周长 = BC + CD + BD，∴△CBD 的周长 = BC + CD + AD = BC + AC。
又∵AC = 10cm，△CBD 的周长为 18cm，∴BC + 10 = 18，∴BC = 8cm。
幻灯片 8：探究线段垂直平分线的判定
逆向思考：如果一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点是否在这条线段的垂直平分线上呢？
操作验证：已知线段 AB，点 P 满足 PA = PB，用圆规和直尺画出点 P 的位置，观察点 P 是否在 AB 的垂直平分线上。
推理证明：
已知：如图，PA = PB。
求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。
证明：过点 P 作 PO⊥AB 于点 O，则∠POA = ∠POB = 90°。
在 Rt△POA 和 Rt△POB 中，
\(\begin{cases}
PA = PB \\
PO = PO
\end{cases}\)
∴Rt△POA≌Rt△POB（HL）。∴AO = BO。
∴PO 是线段 AB 的垂直平分线，即点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。
结论得出：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
幻灯片 9：线段垂直平分线的判定定理
定理内容：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
几何语言表示：如图，∵PA = PB，∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。
定理意义：该定理为判断一个点是否在某条线段的垂直平分线上提供了依据，是性质定理的逆定理。
条件分析：定理的条件是 “点到线段两个端点的距离相等”，结论是 “点在这条线段的垂直平分线上”。
幻灯片 10：线段垂直平分线判定定理的应用（一）
例题 2：如图，AB = AC，DB = DC，求证：AD 是线段 BC 的垂直平分线。
解题思路：
要证明 AD 是 BC 的垂直平分线，需证明 AD 经过 BC 的中点且 AD⊥BC，或证明 AD 上的点到 B、C 的距离相等。
由 AB = AC，根据判定定理可知点 A 在线段 BC 的垂直平分线上。
由 DB = DC，同理可知点 D 在线段 BC 的垂直平分线上。
两点确定一条直线，因此 AD 是线段 BC 的垂直平分线。
证明过程：
∵AB = AC，∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定定理）。
∵DB = DC，∴点 D 在线段 BC 的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定定理）。
∵两点确定一条直线，∴AD 是线段 BC 的垂直平分线。
幻灯片 11：性质定理与判定定理的区别与联系
区别：
性质定理：已知点在线段的垂直平分线上，得出该点到线段两端点的距离相等（由位置到数量）。
判定定理：已知点到线段两端点的距离相等，得出该点在线段的垂直平分线上（由数量到位置）。
联系：
两者互为逆定理，共同揭示了线段垂直平分线与点到线段两端点距离之间的关系。
都建立在轴对称的知识基础上，线段垂直平分线本身就是轴对称图形的对称轴的一种体现。
应用场景：性质定理常用于证明线段相等，判定定理常用于证明点在直线上或直线是线段的垂直平分线。
幻灯片 12：线段垂直平分线的性质与判定综合应用
例题 3：如图，在△ABC 中，∠B = ∠C，点 D、E 分别在 BC、AC 上，且 BD = CE，AD = AE，求证：AB 的垂直平分线经过点 D。
解题思路：
要证明 AB 的垂直平分线经过点 D，需证明 DA = DB。
由∠B = ∠C 可得 AB = AC（等角对等边）。
因为 AC = AE + EC，AB = AD + DB，且 AD = AE，BD = CE，所以 AB = AD + BD = AE + CE = AC，符合已知条件。
通过证明△ABD≌△ACE（或其他全等三角形），进一步确认 AD = AE，BD = CE，最终得出 DA = DB（过程略）。
证明过程：（根据上述思路逐步书写，此处省略详细步骤）
幻灯片 13：课堂练习
如图，直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，点 C 在 l 上，且 AC = 5cm，则 BC = ______cm。
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 是 BC 边上的中线，求证：AD 是 BC 的垂直平分线。
如图，点 P 是∠AOB 内的一点，PA = PB，且 PA⊥OA，PB⊥OB，求证：OP 是 AB 的垂直平分线。
幻灯片 14：课堂小结
知识总结：
线段垂直平分线的概念：经过线段中点且垂直于线段的直线。
性质定理：线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。
判定定理：与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
两个定理互为逆定理，应用场景不同但联系紧密。
方法总结：在解决与线段垂直平分线相关的问题时，要明确条件与结论，选择合适的定理（性质或判定），结合全等三角形、等腰三角形等知识综合推理。
思想提炼：体会逆向思维在数学定理探究中的应用（从性质到判定），感受几何知识的逻辑性和严谨性，以及轴对称思想在其中的贯穿作用。
幻灯片 15：课后作业
基础作业：课本第 XX 页习题 15.1 第 4、5 题。
提升作业：如图，在△ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，若△ABC 与△EBC 的周长分别为 30cm 和 18cm，求 AC 的长。
拓展作业：利用线段垂直平分线的性质和判定，设计一个作图方案：过直线外一点作已知直线的垂线（尺规作图），并说明作图依据。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
15.1.2.1线段的垂直平分线的性质和判定
第十五章 轴对称
了解原命题及其逆命题的概念，会识别两个互逆的命题；了解互逆定理.
探索并证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，感受证明的必要性，体会逻辑推理的数学方法.
能灵活运用线段的垂直平分线的性质及判定解题.
回顾导入
线段是轴对称图形吗？
请画一条线段 AB，你能找到线段的对称轴吗？
线段的对称轴和它有怎样的关系？
A
B
情境导入
中兴公园附近有两个小区，现在要在建一座商场，要求从商场到两个小区的距离差不多，请问该商场要建在哪里才能符合要求？
商场
如图，直线 l 垂直平分线段 AB，点 P1，P2，P3，…在 l 上，分别比较点 P1，P2，P3，… 与点 A 的距离和这些点与点 B 的距离，你有什么发现？
1.线段的垂直平分线的性质
探 究
A
B
l
P1
P2
P3
P1A = P1B，P2A = P2B，P3A = P3B······
如果把线段 AB 沿直线 l 对折，线段 P1A 与 P1B，P2A 与 P2B，P3A 与 P3B··· 都重合吗？它们都分别相等吗？
A
B
l
P1
P2
P3
都重合，都分别相等.
P1A = P1B，P2A = P2B，P3A = P3B······
猜想：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
已知：
一个点在一条线段的垂直平分线上.
求证：
验证
这个点到这条线段两个端点的距离相等.
A
B
l
P1
P2
P3
如图，直线 l ⊥ AB，垂足为 C，AC = BC，点 P 在 l 上. 求证：PA = PB.
A
B
l
P
C
证明：当点 P 与点 C 不重合时，
∵l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB .
又 AC = BC，PC = PC，
∴△PCA ≌△PCB (SAS).
∴ PA = PB.
当点 P 与点 C 重合时，显然成立
几何语言：
∵直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = BC，点 P 在 l 上，
∴PA = PB.
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
线段的垂直平分线的性质
A
B
l
P
C
教材P67练习 第1题
如图，AD⊥BC，BD = DC，点 C 在 AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB + BD 与 DE 有什么关系？
A
B
E
D
C
教材P67练习 第1题
解：AB = AC = CE，AB + BD = DE. 理由：
∵AD⊥BC，BD = DC，
∴AD 是 BC 的垂直平分线. ∴AB = AC.
又点 C 在 AE 的垂直平分线上，
∴AC = CE.
∴AB = AC = CE.
又 BD = DC，
∴AB + BD = CE + DC，即 AB + BD = DE.
A
B
E
D
C
2.线段垂直平分线的判定
思 考
把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？
已知：如图，在△ABP 中 PA = PB.
求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上.
猜想：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上
A
B
P
证明：过点 P 作线段 AB 的垂线 PC，垂足为 C．则∠PCA =∠PCB = 90°．
在 Rt△PCA 和 Rt△PCB 中，
∵PA = PB，PC = PC，
∴Rt△PCA≌Rt△PCB (HL)．
∴AC = BC．
又 PC⊥AB，
∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上．
A
B
P
C
A
B
P
C
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
【点击打开几何画板文件】
线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合.
几何语言：
∵ PA = PB，
∴点 P 在 AB 的垂直平分线上.
针对训练
2. 如图，AB = AC，MB = MC. 直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线吗？为什么？
教材P67练习 第2题
A
B
M
C
解：直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线.
理由：∵AB = AC，
∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上.
∵MB = MC，
∴点 M 也在线段 BC 的垂直平分线上，
∴直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线.
名称 角平分线 线段垂直平分线
图示
性质
判定
C
A
B
O
D
E
P
A
B
P
C
角平分线上的点到角两边的距离相等
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
3. 互逆命题与互逆定理
思 考
分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？
两个命题的题设、结论正好相反.
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.
线段的垂直平分线的性质与判定
“对顶角相等”与“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”
一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.
两个命题的题设、结论正好相反.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.
线段的垂直平分线的性质与判定
角的平分线的性质与判定
“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”
······
教材P67练习 第3题
3. 写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立.
(1) 两直线平行，同位角相等；
(2) 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
(3) 全等三角形的对应角相等 .
同位角相等，两直线平行.
如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等.
如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等.
成立
不成立
不成立
知识点1 线段的垂直平分线的性质
1.如图，已知是线段的垂直平分线，是 上的一点，若
，则 的长为______.
（第1题）
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（第2题）
2.［2024镇江中考］如图，的边 的垂
直平分线交于点，连接.若 ，
，则 ___.
3
3.［教材习题 变式］［2025广州越秀区期末］如图，
在中，线段的垂直平分线分别交，于点 ，
，连接，若，，则 的周长为
( )
C
A.19 B.20 C.21 D.22
返回
4.如图，在中，边的垂直平分线
分别交,于点，,边 的垂直平分线
分别交，于点，，已知 的
周长为，求 的长.
解：是的垂直平分线，是 的垂直平分线，
， .
的周长为 ，
，
，即 .
返回
线段的垂直平分线
性质
互逆命题、互逆定理
判定
课后作业
从课后习题中选取；
完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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