资源简介

(共42张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：15.1.2.2 线段的垂直平分线的有关作图
副标题：用尺规画出精准的垂直平分线
背景图：展示尺规作图工具（圆规、直尺）和一条线段及其垂直平分线的作图效果图，突出作图主题。
幻灯片 2：学习目标
掌握用尺规作线段垂直平分线的方法，能规范完成作图并保留作图痕迹。
理解线段垂直平分线作图的原理，能结合性质和判定定理说明作图依据。
能运用线段垂直平分线的作图解决简单的几何问题，提升作图技能和逻辑推理能力。
幻灯片 3：复习回顾
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
线段垂直平分线的判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
思考问题：如何利用圆规和直尺这两种工具，作出一条线段的垂直平分线？作图的依据是什么？
幻灯片 4：尺规作线段的垂直平分线
已知：线段 AB（如图所示）。
求作：线段 AB 的垂直平分线。
作图步骤：
分别以点 A、B 为圆心，大于\(\frac{1}{2}\)AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点 C、D。
过点 C、D 作直线 CD。
直线 CD 就是所求作的线段 AB 的垂直平分线。
动态演示：用动画分步展示作图过程，重点突出 “大于\(\frac{1}{2}\)AB 的长为半径” 的原因，以及两弧交点的确定方法。
幻灯片 5：作图依据分析
依据阐述：连接 AC、BC、AD、BD。
由作图步骤可知，AC = BC = AD = BD（同圆或等圆的半径相等）。
根据线段垂直平分线的判定定理，点 C 到 A、B 的距离相等，所以点 C 在线段 AB 的垂直平分线上；同理，点 D 也在线段 AB 的垂直平分线上。
因为两点确定一条直线，所以直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线。
图形标注：在图中标注出 AC、BC、AD、BD 的相等关系，用箭头指示推理过程，明确每一步的依据。
幻灯片 6：作图注意事项
半径选择：画弧时，半径必须大于\(\frac{1}{2}\)AB 的长，否则两弧可能没有交点或只有一个交点，无法确定垂直平分线。
交点位置：两弧的交点要分别在线段 AB 的两侧，这样作出的直线才能垂直平分线段 AB。
作图规范：作图过程中要使用没有刻度的直尺和圆规，保留清晰的作图痕迹（弧的痕迹、直线痕迹），不随意涂改。
错误示例：展示半径小于或等于\(\frac{1}{2}\)AB 时的作图结果，以及交点在同侧的错误图形，对比分析错误原因。
幻灯片 7：利用线段垂直平分线作图解决问题（一）—— 找到两点距离相等的点
例题 1：已知直线 l 和 l 外一点 A，求作一点 P，使点 P 在直线 l 上，且 PA = PB（其中点 B 是直线 l 上的一个定点）。
解题思路：
要使 PA = PB，根据线段垂直平分线的判定定理，点 P 应在线段 AB 的垂直平分线上。
又因为点 P 在直线 l 上，所以点 P 是线段 AB 的垂直平分线与直线 l 的交点。
作图步骤：
连接 AB。
作线段 AB 的垂直平分线 CD，交直线 l 于点 P。
点 P 即为所求。
依据说明：通过线段垂直平分线的作图方法确定 CD，再根据交点的定义确定点 P，结合判定定理说明 PA = PB。
幻灯片 8：利用线段垂直平分线作图解决问题（二）—— 构造等腰三角形
例题 2：已知线段 a、b，求作等腰三角形 ABC，使底边 BC = a，腰 AB = AC = b。
解题思路：
先确定底边 BC，使 BC = a。
要使 AB = AC = b，点 A 到 B、C 的距离相等，所以点 A 在线段 BC 的垂直平分线上。
以点 B 为圆心，b 为半径画弧，与 BC 的垂直平分线的交点即为点 A。
作图步骤：
作线段 BC = a。
作线段 BC 的垂直平分线 l。
以点 B 为圆心，b 为半径画弧，交直线 l 于点 A。
连接 AB、AC，△ABC 即为所求。
验证过程：通过测量或推理，验证 AB = AC = b，BC = a，确认作图正确。
幻灯片 9：利用线段垂直平分线作图解决问题（三）—— 过直线外一点作已知直线的垂线
例题 3：已知直线 l 和 l 外一点 P，求作过点 P 且垂直于直线 l 的直线。
解题思路：
过点 P 作直线 l 的垂线，即要找到一条直线，使它经过点 P 且是某条线段的垂直平分线，同时这条线段在直线 l 上。
在直线 l 上任意取两点 A、B，使 PA = PB（根据线段垂直平分线的判定，点 P 在线段 AB 的垂直平分线上），则线段 AB 的垂直平分线就是所求的垂线。
作图步骤：
在直线 l 上取两点 A、B。
分别以点 A、B 为圆心，大于\(\frac{1}{2}\)AB 的长为半径画弧，两弧交于点 P 和点 Q。
过点 P、Q 作直线 PQ，直线 PQ 即为所求的垂线。
依据说明：PQ 是线段 AB 的垂直平分线，所以 PQ⊥AB，即 PQ⊥直线 l，且 PQ 经过点 P，满足作图要求。
幻灯片 10：课堂练习
已知线段 MN = 5cm，用尺规作线段 MN 的垂直平分线，并在垂直平分线上任取一点 P，测量 PA 和 PB 的长度，验证 PA = PB。
已知△ABC，求作一点 O，使点 O 到△ABC 三个顶点的距离相等（提示：该点是三角形三边垂直平分线的交点）。
已知∠AOB，求作射线 OC，使 OC 平分∠AOB（要求：利用线段垂直平分线的作图方法完成，不直接用角平分线的作图步骤）。
幻灯片 11：作图与性质、判定的综合应用
综合例题：如图，在△ABC 中，AB = AC，∠A = 36°，利用尺规作图作出 AB 的垂直平分线，交 AC 于点 D，连接 BD，求证：BD = BC。
解题思路：
作 AB 的垂直平分线 DE，交 AB 于 E，交 AC 于 D，根据性质定理得 AD = BD，所以∠ABD = ∠A = 36°。
由 AB = AC，∠A = 36°，得∠ABC = ∠C = 72°，所以∠DBC = ∠ABC - ∠ABD = 36°。
在△BDC 中，∠BDC = 180° - ∠DBC - ∠C = 72° = ∠C，所以 BD = BC。
作图与证明结合：先完成作图，再结合性质定理和三角形内角和等知识进行证明，体现作图的实用性。
幻灯片 12：课堂小结
知识总结：
掌握了用尺规作线段垂直平分线的步骤：分别以两端点为圆心画弧取交点，过交点作直线。
明确了作图依据：线段垂直平分线的判定定理和两点确定一条直线。
能运用线段垂直平分线的作图解决找点、构造特殊三角形、作垂线等问题。
方法总结：在解决作图问题时，要先分析题目要求，将问题转化为线段垂直平分线的相关问题，再运用作图方法完成，最后结合性质和判定验证正确性。
技能提升：规范作图的习惯，注意保留痕迹和半径选择，提高作图的准确性和规范性。
幻灯片 13：课后作业
基础作业：用尺规作出课本第 XX 页图 15.1-8 中线段的垂直平分线，保留作图痕迹，并写出作图步骤。
提升作业：已知线段 a、b、c，求作△ABC，使 AB = a，AC = b，BC 边上的中线 AD = c（利用线段垂直平分线的作图方法辅助完成）。
拓展作业：设计一个利用线段垂直平分线作图解决实际问题的方案，例如确定一个到三个村庄距离相等的仓库位置，并画出示意图说明作图过程。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
15.1.2.2线段的垂直平分线的有关作图
第十五章 轴对称
进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语言,理解作图的依据.
能作出轴对称图形或者成轴对称的两个图形的对称轴,体会转化的数学思想.
能用尺规作出线段的垂直平分线.
能过直线外一点作这条直线的垂线.
如何通过尺规作图作一个角的平分线？
A
B
O
如何利用直尺和圆规作线段的垂直平分线？
思考
探究新知
1. 作线段的垂直平分线
1. 如果点 M，N 都在线段 AB 的垂直平分线上，那么我们能画出线段 AB 的垂直平分线吗？为什么？
A
B
M
N
可以. 如图，过点 M，N 画一条直线，这条直线就是线段 AB 的垂直平分线.
理由：因为点 M，N 都在线段
AB 的垂直平分线上，而两点确定一条直线，所以直线 MN 就是线段 AB 的垂直平分线．
1. 作线段的垂直平分线
2. 如何用直尺和圆规找出像 M，N 这样的点？说说你的想法.
A
B
M
N
用圆规画出到 A，B 两点距离相等的点即可.
3. 用直尺和圆规作出线段 AB 的垂直平分线.
1. 作线段的垂直平分线
A
B
(1) 分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C，D 两点；
(2) 作直线 CD.
CD 就是线段 AB 的垂直平分线.
C
D
也可以用这种方法确定线段的中点
中点
2. 作对称轴
学习了线段的垂直平分线的作法，就可以作对称轴了.
任意找一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴.
1. 如果两个图形成轴对称，怎样作出对称轴？　　　
A
A'
l
2. 作对称轴
任意找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到此图形的对称轴.
2. 对于轴对称图形，怎样作出对称轴？　　　
试着作出这个五角星的其他对称轴.
A
A'
l
1
找：无论是作成轴对称的两个图形的对称轴，还是作轴对称图形的对称轴，其关键都是找出图形中的任意一对对称点；
2
连：连接这对对称点；
3
作：作所连线段的垂直平分线，该垂直平分线就是成轴对称的两个图形或轴对称图形的对称轴．
利用线段的垂直平分线的作法画对称轴：
针对训练
教材P69练习 第1题
1. 作出下列各图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？
（1）
（2）
（3）
（4）
针对训练
教材P69练习 第2题
2. 如图，与图形（1）成轴对称的是哪个图形？作出它们的对称轴.
2. 作对称轴
教材P68例题
例 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知：直线 AB 和 AB 外一点 C .
求作：AB 的垂线，使它经过点 C.
A
B
C
分析：假设所求作直线已经作出，
则它不仅过点 C 与直线 AB 垂直，而且是连接 AB 上与垂足距离相等的两点的线段的垂直平分线.
先确定这两点
在直线 AB 上且与点 C 的距离相等即可
教材P68例题
A
B
C
作法：如图.
(1)以点 C 为圆心，适当长为半径作弧，交直线 AB 于点 D 和点 E.
E
D
由(1)可知，点 C 在线段 DE 的垂直平分线上.
因而再作出与 D，E 距离相等的另一点 F，就能得到线段 DE 的垂直平分线．
教材P68例题
(2)分别以点 D 和点 E 为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，两弧相交于点 F.
(3)作直线 CF.
A
B
C
直线 CF 就是所求作的垂线.
E
D
F
针对训练
尺规作图：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线 .
教材P69练习 第3题
解：已知：直线 AB 和 AB 上一点 C(如图).
求作：AB 的垂线，使它经过点 C.
A
B
C
针对训练
教材P69练习 第3题
作法：如图.
(1)以点 C 为圆心，适当长为半径作弧，交直线 AB 于点 D 和点 E；
(2)分别以点 D 和点 E 为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，两弧相交于点 F；
(3)作直线 CF.
直线 CF 就是所求作的垂线.
A
B
C
E
D
F
1. 下面的图形是轴对称图形吗？如果是，画出它的对称轴 .
【教材P69习题15.1 第1题】
复习巩固
不是轴对称图形.
2. 图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称？如果把 4 个三角形看成一个整体，它是轴对称图形吗？共有几条对称轴？
【教材P69习题15.1 第2题】
解：有阴影的三角形与三角形 1、三角形 3 都成轴对称. 整个图形是轴对称图形，它共有 2 条对称轴.
3. 如图，△ABC 和△A′B′C′ 关于直线 l 对称，∠B = 90°，A′B′= 6. 求∠B′的度数和AB的长 .
【教材P70习题15.1 第3题】
解：∵△ABC和△A'B'C' 关于直线 l 对称，
∴△ABC≌△A'B'C'.
∴∠B' =∠B = 90°，
AB = A'B' = 6.
4. 如图，△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，AE = 3，△ABD 的周长为 13. 求△ABC 的周长 .
【教材P70习题15.1 第4题】
解：∵DE 是 AC 的垂直平分线，
∴DA = DC，AC = 2AE = 2×3 = 6.
∵△ABD 的周长为 13，
∴AB + BD + DA = 13.
∴AB + BC + AC = AB + BD + DC + AC
= AB + BD + DA + AC = 13 + 6 = 19，
∴△ABC的周长为19.
5. 如图，AB = AC，DB = DC，点 E 在 AD 上 . 求证 EB = EC.
【教材P70习题15.1 第5题】
证明：如图，连接 BC.
∵AB = AC，
∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上.
∵DB = DC，
∴点 D 也在线段 BC 的垂直平分线上.
∴直线 AD 是线段 BC 的垂直平分线.
又点 E 在 AD 上，∴EB = EC.
6. 下列各命题都成立，写出它们的逆命题 .
这些逆命题成立吗？
（1）同旁内角互补，两直线平行；
【教材P70习题15.1 第6题】
逆命题：两直线平行，同旁内角互补.
该逆命题成立.
（2）如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
逆命题：如果两个实数的平方相等，那么它们相等.
该逆命题不成立.
逆命题：如果两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等.
该逆命题成立.
（3）全等三角形的对应边相等 .
7. 下面的图形是轴对称图形吗？如果是，作出它的一条对称轴 .
【教材P70习题15.1 第7题】
综合运用
不是轴对称图形.
8. 如图，AD与BC相交于点O，OA = OC，∠A = ∠C，BE = DE. 求证：OE垂直平分BD.
【教材P70习题15.1 第8题】
证明：在△AOB 和△COD 中，
∠A =∠C，
OA = OC，
∠AOB = ∠COD，
∴△AOB≌△COD（ASA）.
∴OB = OD. ∴点 O 在线段 BD 的垂直平分线上.
∵BE = DE，∴点 E 也在线段 BD 的垂直平分线上.
∴OE 是线段 BD 的垂直平分线.
∴OE 垂直平分 BD.
9. 如图，分别以线段 a，c 为一直角边和斜边，作直角三角形 .
【教材P71习题15.1 第9题】
解：如图，△ABC就是所求作的直角三角形.
10. 如图，某地由于居民增多，要在公路 l 上增加一个公共汽车站，A，B 是路边两个新建小区，这个公共汽车站建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长？
在图上标出它的位置 .
【教材P71习题15.1 第10题】
解：如图，这个公共汽车站应建在 A，B 连线的垂直平分线与公路 l 的交点 C 处.
11. 如图，△ABC 与△A′B′C′关于直线 l 对称，对应线段 AB 和 A′B′所在的直线相交吗？另外两组对应线段所在的直线相交吗？如果相交，交点与对称轴 l 有什么关系？如果不相交，这组对应线段所在直线与对称轴 l 有什么关系？再找几个成轴对称的图形观察一下，你能发现什么规律？
【教材P71习题15.1 第11题】
解：对应线段 AB 和 A'B' 所在的直线相交，对应线段 BC 和 B'C' 所在的直线也相交，交点均在对称轴 l 上；
对应线段 AC 和 A'C' 所在的直线不相交，且这组对应线段所在直线与对称轴 l 平行.
规律：两个图形关于某条直线对称，它们的对应线段所在直线如果相交，那么交点一定在这条对称轴上；如果不相交，对应线段所在直线重合或与对称轴平行.
12. 如图，电信部门要在 S 区修建一座电视信号发射塔 . 按照设计要求，发射塔与两个城镇 A，B 的距离相等，到两条高速公路 m 和 n 的距离也相等 . 发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置 .
【教材P71习题15.1 第12题】
拓广探索
解：发射塔应修建在 AB 的垂直平分线与 m 和 n 所夹锐角的平分线的交点处. 如图，点 P 即为符合条件的发射塔修建处.
13. 如图，在△ABC 中，边 AB，BC 的垂直平分线相交于点 P.
【教材P71习题15.1 第13题】
（1）求证 PA = PB = PC.
（2）点 P 是否也在边 AC 的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？
证明：（1）证明：∵边 AB，BC 的垂直平分线交于点 P，∴点 P 在 AB 的垂直平分线上.
∴PA = PB.
同理，PB = PC.
∴PA = PB = PC.
（2）解：由（1）知 PA = PC，
∴点 P 也在边 AC 的垂直平分线上.
由此可得出结论：
三角形三边的垂直平分线交于一点.
知识点1 作线段的垂直平分线
1.如图，已知线段.利用直尺和圆规作 的垂直平分线，步骤如
下：①分别以点，为圆心，为半径作弧，两弧相交于点， ；②
作直线，直线就是线段的垂直平分线.则 的值可能是( )
D
A.1 B.2 C.3 D.4
返回
2.如图，下列每组的两个图形成轴对称，请画出它们的对称轴.
解：如图.
返回
知识点2 过直线外一点作已知直线的垂线
3.［2024河北中考改编］观察图中尺规作图的痕迹，可得 一定是
的( )
B
A.角平分线 B.高线
C.边的垂直平分线 D.中线
返回
4.如图，已知，求作 边上的高.（尺规作图，不写作法，保留
作图痕迹）
解：如图， 即为所求.
返回
（第5题）
5.如图，在中， ，以点 为圆
心，长为半径作弧，交于点，分别以， 为
圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点 ，作
射线交于点， ，则
( )
B
A. B. C. D.
返回
（第6题）
6.［2024眉山中考］如图，在 中，
，，分别以点，点 为圆心，
大于的长为半径作弧，两弧交于点， ，过
点，作直线交于点，连接，则 的
周长为( )
C
A.7 B.8 C.10 D.12
返回
作线段的 垂直平分线
作对称轴
过直线外一点作这条直线的垂线
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