资源简介

(共37张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：15.2.2 用坐标表示轴对称
副标题：探索坐标与对称的奥秘
背景图：展示平面直角坐标系，其中有一点及其关于 x 轴、y 轴对称的点，清晰标注坐标，直观体现坐标与轴对称的关系。
幻灯片 2：学习目标
掌握在平面直角坐标系中，点关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标变化规律。
能运用坐标变化规律，写出已知点关于坐标轴对称的点的坐标。
会根据坐标变化规律，在平面直角坐标系中画出一个图形关于坐标轴对称的图形，提升数形结合能力。
幻灯片 3：复习回顾
平面直角坐标系的相关概念：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，其中横轴为 x 轴，纵轴为 y 轴，坐标平面内的点用有序数对 (x,y) 表示。
轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；对应线段相等，对应角相等。
思考问题：在平面直角坐标系中，一个点关于 x 轴或 y 轴对称的点的坐标会发生怎样的变化？如何通过坐标变化体现轴对称关系？
幻灯片 4：探究点关于 x 轴对称的坐标变化规律
操作任务：在平面直角坐标系中，给出点 A (2,3)，画出它关于 x 轴的对称点 A'，并写出 A' 的坐标；再举例点 B (-1,2)、C (3,-4)，分别找出它们关于 x 轴的对称点 B'、C'，写出坐标。
坐标对比：
点 A (2,3) 关于 x 轴的对称点 A'(2,-3)
点 B (-1,2) 关于 x 轴的对称点 B'(-1,-2)
点 C (3,-4) 关于 x 轴的对称点 C'(3,4)
规律总结：点 (x,y) 关于 x 轴对称的点的坐标为 (x,-y)，即横坐标不变，纵坐标互为相反数。
幻灯片 5：探究点关于 y 轴对称的坐标变化规律
操作任务：在平面直角坐标系中，给出点 A (2,3)，画出它关于 y 轴的对称点 A''，并写出 A'' 的坐标；再举例点 B (-1,2)、C (3,-4)，分别找出它们关于 y 轴的对称点 B''、C''，写出坐标。
坐标对比：
点 A (2,3) 关于 y 轴的对称点 A''(-2,3)
点 B (-1,2) 关于 y 轴的对称点 B''(1,2)
点 C (3,-4) 关于 y 轴的对称点 C''(-3,-4)
规律总结：点 (x,y) 关于 y 轴对称的点的坐标为 (-x,y)，即纵坐标不变，横坐标互为相反数。
幻灯片 6：坐标变化规律的几何解释
关于 x 轴对称：x 轴是对称轴，根据轴对称性质，对称点的连线被 x 轴垂直平分。因此，两点的横坐标相同（在垂直于 x 轴的同一条直线上），纵坐标到 x 轴的距离相等且方向相反（互为相反数）。
关于 y 轴对称：y 轴是对称轴，同理，对称点的连线被 y 轴垂直平分，所以两点的纵坐标相同，横坐标到 y 轴的距离相等且方向相反（互为相反数）。
图形演示：在坐标系中画出点及其对称点，标注对称轴和对称点连线，通过几何图形直观解释坐标变化规律的合理性。
幻灯片 7：例题解析（一）—— 求对称点的坐标
例题 1：分别写出下列各点关于 x 轴和 y 轴对称的点的坐标：
(1) A(3, -4) (2) B(-2, 5) (3) C(0, -7)
解题思路：
关于 x 轴对称：应用规律 (x,y)→(x,-y)。
关于 y 轴对称：应用规律 (x,y)→(-x,y)。
解答过程：
(1) A (3, -4) 关于 x 轴对称的点为 (3,4)，关于 y 轴对称的点为 (-3,-4)。
(2) B (-2, 5) 关于 x 轴对称的点为 (-2,-5)，关于 y 轴对称的点为 (2,5)。
(3) C (0, -7) 关于 x 轴对称的点为 (0,7)，关于 y 轴对称的点为 (0,-7)（注：原点关于坐标轴对称的点仍是原点）。
幻灯片 8：例题解析（二）—— 根据对称点坐标求原点点坐标
例题 2：已知点 P (a, 3) 与点 Q (-2, b) 关于 x 轴对称，求 a、b 的值。
解题思路：
因为关于 x 轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，所以 a = -2，b = -3。
解答过程：
∵点 P (a, 3) 与点 Q (-2, b) 关于 x 轴对称，
∴根据关于 x 轴对称的坐标规律：横坐标相等，纵坐标互为相反数，
可得 a = -2，b = -3。
幻灯片 9：用坐标表示图形的轴对称
核心方法：要画出一个图形关于 x 轴或 y 轴对称的图形，只需先求出原图形各顶点关于对称轴的对称点的坐标，然后在坐标系中描出这些对称点，最后按原图形的顺序连接各对称点即可。
步骤总结：
确定原图形顶点坐标：找出原图形在坐标系中的各个顶点的坐标。
求对称点坐标：根据对称轴类型（x 轴或 y 轴），应用坐标变化规律求出各顶点的对称点坐标。
描点连线：在坐标系中描出所有对称点，按原图形的顺序连接各点，得到对称图形。
幻灯片 10：例题解析（三）—— 画图形关于坐标轴对称的图形
例题 3：已知△ABC 在平面直角坐标系中的顶点坐标为 A (2, 3)、B (1, 1)、C (4, 2)，画出△ABC 关于 y 轴对称的△A'B'C'，并写出 A'、B'、C' 的坐标。
解题思路：
求各顶点关于 y 轴对称的对称点坐标：A'(-2, 3)、B'( -1, 1)、C'( -4, 2)。
在坐标系中描出 A'、B'、C' 三点，按顺序连接 A'B'、B'C'、C'A'。
作图过程：（结合坐标系图示，分步展示描点和连线过程）
验证方法：观察对称点的连线是否被 y 轴垂直平分，验证图形对称性是否正确。
幻灯片 11：坐标对称规律的拓展 —— 关于直线 y=x 对称（选学）
探究任务：在坐标系中找出点 A (2,3)、B (-1,4) 关于直线 y=x 对称的点 A'、B'，观察坐标变化。
规律总结：点 (x,y) 关于直线 y=x 对称的点的坐标为 (y,x)，即横、纵坐标互换。
应用示例：点 (5,-2) 关于直线 y=x 对称的点为 (-2,5)。
幻灯片 12：课堂练习
点 P (-3, 5) 关于 x 轴对称的点的坐标是______，关于 y 轴对称的点的坐标是______。
已知点 M (a, -5) 与点 N (-2, b) 关于 y 轴对称，则 a = ______，b = ______。
如图，在平面直角坐标系中，△DEF 的顶点坐标为 D (1, 2)、E (3, 1)、F (2, -1)，画出△DEF 关于 x 轴对称的△D'E'F'，并写出各顶点坐标。
幻灯片 13：用坐标表示轴对称的实际应用
问题情境：如图，在某城市的地图中，图书馆位于点 (2, 3) 处，市政府位于点 (-1, 2) 处，若以 y 轴为对称轴，图书馆的对称点是科技馆，市政府的对称点是博物馆，求科技馆和博物馆的位置坐标，并在坐标系中标出。
解题思路：应用关于 y 轴对称的坐标规律，分别求出图书馆和市政府关于 y 轴的对称点坐标，即为科技馆和博物馆的位置。
解答过程：图书馆 (2, 3) 关于 y 轴对称的科技馆坐标为 (-2, 3)；市政府 (-1, 2) 关于 y 轴对称的博物馆坐标为 (1, 2)。
幻灯片 14：课堂小结
知识总结：
点 (x,y) 关于 x 轴对称的点的坐标为 (x,-y)（横坐标不变，纵坐标相反）。
点 (x,y) 关于 y 轴对称的点的坐标为 (-x,y)（纵坐标不变，横坐标相反）。
画图形关于坐标轴对称的图形步骤：求顶点对称点坐标→描点→连线。
方法总结：解决坐标与轴对称问题时，要牢记坐标变化规律，通过规律快速确定对称点坐标，结合坐标系准确作图，体现数形结合思想。
能力提升：能运用坐标规律解决对称点坐标求解和图形对称作图问题，提高了用代数方法解决几何问题的能力。
幻灯片 15：课后作业
基础作业：课本第 XX 页习题 15.2 第 3、4、5 题，求对称点坐标并画出对称图形。
提升作业：已知点 A (3, 2)，点 B 在 x 轴上，且点 B 与点 A 关于 y 轴对称，求线段 AB 的长。
拓展作业：在平面直角坐标系中设计一个简单的轴对称图案，写出图案各顶点坐标及其关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标，并分析坐标变化特点。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
15.2.2用坐标表示轴对称
第十五章 轴对称
通过总结轴对称变换引起的点的坐标变化规律，培养观察、归纳的能力.
掌握点或图形的轴对称变换引起的点的坐标的变化规律，能利用这种变化规律在平面直角坐标系中作出一个图形的轴对称图形.
如图是一幅老北京城的示意图，其中西直门和东直门关于中轴线对称. 如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为 x 轴和 y 轴建立平面直角坐标系. 根据如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？
探究新知
关于坐标轴对称的点的坐标规律
探 究
在平面直角坐标系中，画出下列已知点及其关于坐标轴的对称点，把它们的坐标填入表格中．
已知点 A(2, – 3) B(– 1, 2) C(– 6, – 5) E(4, 0)
关于 x 轴的对称点 A'(__,__) B'(__,__) C'(__,__) D'(__,__) E'(__,__)
关于 y 轴的对称点 A''(__,__) B''(__,__) C''(__,__) D''(__,__) E''(__,__)
已知点 关于 x 轴的对称点
A(2, –3) A'(__,__)
B(–1, 2) B'(__,__)
C(–6, –5) C'(__,__)
D'(__,__)
E(4, 0) E'(__,__)
x
y
1
1
O
A(2, –3)
B(–1,2)
C(–6, –5)
E(4,0)
A′(2,3)
B′(–1, –2)
C′(–6,5)
D( ,1)
D′( , –1)
E′(4,0)
先看关于 x 轴的对称点：
2
3
–1
–2
–6
5
4
0
–1
先看关于 x 轴的对称点：
关于 x 轴对称的两点，其横坐标有什么关系？纵坐标有什么关系？
关于 x 轴对称的每对对称点的横坐标相等，纵坐标互为相反数.
(x，y)
(x，–y)
关于 x 轴对称
x
y
1
1
O
A(2, –3)
B(–1,2)
C(–6, –5)
E(4,0)
A′(2,3)
B′(–1, –2)
C′(–6,5)
D( ,1)
D′( , –1)
E′(4,0)
已知点 关于 y 轴的对称点
A(2, –3) A'(__,__)
B(–1, 2) B'(__,__)
C(–6, –5) C'(__,__)
D'(__,__)
E(4, 0) E'(__,__)
x
y
1
1
O
A′(–2, –3)
B′(1, 2)
C′(6,–5)
D′(– , 1)
E′(–4,0)
再看关于 y 轴的对称点：
–2
–3
1
2
6
–5
–4
0
1
–
A(2, –3)
B(–1,2)
C(–6, –5)
E(4,0)
D( ,1)
再看关于 y 轴的对称点：
关于 y 轴对称的两点，其横坐标有什么关系？纵坐标有什么关系？
关于 y 轴对称的每对对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相等.
(x，y)
(–x，y)
关于 x 轴对称
x
y
1
1
O
A′(–2, –3)
B′(1, 2)
C′(6,–5)
D′(– , 1)
E′(–4,0)
A(2, –3)
B(–1,2)
C(–6, –5)
E(4,0)
D( ,1)
归 纳
点(x，y)关于 x 轴对称的点的坐标为(___，___)；
x –y
–x y
点(x，y)关于 y 轴对称的点的坐标为(___，___).
再找几个点，分别画出它们关于 x 轴和 y 轴的对称点，检验一下你发现的规律.
针对训练
教材P75练习 第1题
1. 分别写出下列各点关于 x 轴和 y 轴对称的点的坐标：
(2，6)
关于 y 轴对称
(–1，–2)
(–1，3)
(4，–2)
(–1，0)
(–2，–6)
关于 x 轴对称
(1，2)
(1，–3)
(–4，2)
(1，0)
(–2，6)，(1， –2)，(1，3)，(–4，–2)，(1，0).
针对训练
教材P75练习 第2题
2.如图，△ABO 关于 x 轴对称，点 A 的坐标为 (1，–2)，写出点 B 的坐标.
x
y
1
1
O
2
3
2
3
–2
–1
–2
–1
–3
A(1，–2)
B
答：B (1，2)
（1，2）
2. 绘制关于坐标轴对称的图形
例2 如图，四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A (–5，1)，B (–2，1)，C (–2，5)，D (–5，4)， 画出与四边形 ABCD 关于 y 轴对称的图形.
x
y
O
2
3
2
3
–2
–1
–2
–1
–3
4
5
1
1
–4
–3
–5
–4
–5
4
5
A
B
C
D
教材P74例题
x
y
O
2
3
2
3
–2
–1
–2
–1
–3
4
5
1
1
–4
–3
–5
–4
–5
4
5
A
B
C
D
点(x，y)关于 y 轴对称的点的坐标为(– x，y)，因此四边形 ABCD 的顶点 A，B，C，D 关于 y 轴对称的点分别为：
A′( ， )， B′( ， )，
C′( ， )， D′( ， ).
A′(5，1)
B′(2，1)
D′(5，4)
C′(2，5)
5
1
2
1
2
5
5
4
教材P74例题
x
y
O
2
3
2
3
–2
–1
–2
–1
–3
4
5
1
1
–4
–3
–5
–4
–5
4
5
A
B
C
D
A′(5，1)
B′(2，1)
D′(5，4)
C′(2，5)
依次连接 A′B′，B′C′，C′D′ ，D′A′，就可得到与四边形 ABCD 关于 y 轴对称的四边形 A′B′C′D′ .
类似地，请你画出与四边形 ABCD 关于 x 轴对称的图形
教材P74例题
x
y
O
2
3
2
3
–2
–1
–2
–1
–3
4
5
1
1
–4
–3
–5
–4
–5
4
5
A
B
C
D
A′(5，1)
B′(2，1)
D′(5，4)
C′(2，5)
点(x，y)关于 y 轴对称的点的坐标为(– x，y)，因此四边形 ABCD 的顶点 A，B，C，D 关于 y 轴对称的点分别为：
A′′( ， )，B′'( ， )，
C′'( ， )，D′'( ， ).
–5
–1
–2
–1
–2
–5
–5
–4
A'′(–5,–1)
B'′(–2,–1)
D'′(–5,–4)
C'′(–2,–5)
教材P74例题
x
y
O
2
3
2
3
–2
–1
–2
–1
–3
4
5
1
1
–4
–3
–5
–4
–5
4
5
A
B
C
D
A′(5，1)
B′(2，1)
D′(5，4)
C′(2，5)
依次连接 A′′B′′，B′′C′′，C′′D′′，D′′A′′，就可得到与四边形 ABCD 关于 x 轴对称的四边形 A′′B′′C′′D′′ .
A'′(–5,–1)
B'′(–2,–1)
D'′(–5,–4)
C'′(–2,–5)
1
找：在平面直角坐标系中，找出已知图形中的一些特殊点，写出它们的坐标；
2
求：求出这些特殊点的对称点的坐标；
3
描：根据所求坐标，描出对称点；
归纳：在平面直角坐标系中画轴对称图形
4
连：连接这些对称点.
解：如图所示.
教材P75练习 第3题
3. 如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别画出与△ABC关于 x 轴和 y 轴对称的图形.
x
y
1
1
O
2
3
4
2
3
–1
–2
–3
–4
–1
–2
–3
C(–3,2)
A(–4,1)
B(–1,–1)
C′′(3,2)
A′′(4,1)
B′′(1, –1)
C′(–3, –2)
A′(–4, –1)
B′(–1,1)
1. 如图，将各图形补成关于直线 l 对称的图形.
【教材P75习题15.2 第1题】
2. 在下列各图中的适当位置添加最少的小方格，使得到的图形关于虚线成轴对称 .
【教材P75习题15.2 第2题】
3. 如图，以正方形 ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系 . 点 A 的坐标为（1，1），写出点 B，C，D 的坐标.
【教材P76习题15.2 第3题】
解：点 B（–1，1），点 C（–1，–1），
点 D （1，–1）.
4. 如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特
点，分别画出△ABC 关于 x 轴和 y 轴对称的图形 .
【教材P76习题15.2 第4题】
解：作图如图所示，
△AB1C1 与△ABC 关于 y 轴对称，
△A2B2C2 与△ABC 关于 x 轴对称.
5. 根据下列点的坐标的变化，判断它们进行了怎样的变化 .
（1）(–1，3) → (–1，–3) ；
（2）(–5，–6) → (–5，–1) ；
（3）(3，4) → (–3，4) ；
（4）(–2，3) → (2，–3) .
【教材P76习题15.2 第5题】
综合运用
关于 x 轴对称.
答案不唯一
向上平移5个单位长度.
关于 y 轴对称.
先关于 x 轴对称，再关于 y 轴对称.
6.如图，小球起始时位于（3，0）处，沿所示的
方向击球，小球运动的轨迹如图所示，用坐标描述这个运动，找出小球运动的轨迹上几个关于直线 l 对称的点 . 如果小球起始时位于（1，0）处，仍按原来方向击球，请你画出这时小球运动的轨迹 .
【教材P76习题15.2 第6题】
解：用坐标描述这个运动为 (3，0) → (0， 3) → (1，4) → (5，0) → (8，3) → (7，4) → (3，0) ；
其中关于直线 l 对称的点有 (3，0) 与 (5，0)，(0，3) 与 (8，3)，(1，4) 与 (7，4) .
起始点位于 (1，0 )处时，小球运动的轨迹如图所示.
7. 如图，已知点 A，B，C，请你再找一个点 D，使 A，B，C，D 四点构成一个轴对称图形 . 这样的点 D 有几个？
【教材P76习题15.2 第7题】
解：如图，这样的格点 D 有 2 个.
D1
D2
8. 如图，分别作出△PQR 关于直线 m (直线 m 上各点的横坐标都为 1) 和直线 n (直线 n 上各点的纵坐标都为 –1)对称的图形. 它们的对称点的坐标之间分别有什么关系？
【教材P77习题15.2 第8题】
拓广探索
解：如图. 在平面直角坐标系中，△PQR 与△P1Q1R1 关于直线 m 对称，
△PQR 上的点(x，y)与△P1Q1R1 上的对应点(x1，y1)的关系为 x1 = –x + 2，y1 = y.
△PQR 与△P2Q2R2 关于直线 n 对称，
△PQR 上的点(x，y)与△P2Q2R2 上的对应点(x2，y2)的关系为 x2 = x，y2 = –y – 2.
知识点1 点关于坐标轴对称
1.［2025北京海淀区月考］点关于 轴对称的点的坐标为( )
A
A. B. C. D.
返回
2.［2025深圳龙岗区月考］在平面直角坐标系中，点关于 轴对
称的点 的坐标是( )
B
A. B. C. D.
返回
3.在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，点 的坐标是
，则点与点 满足( )
A
A.关于轴对称 B.关于轴对称 C. 轴 D.以上都不对
返回
4.在平面直角坐标系中，若点和点关于轴对称，则， 两
点之间的距离为( )
A
A.4 B.5 C.6 D.10
返回
5.［2025天津月考］在平面直角坐标系中，若点的坐标是 ，点
与点关于轴对称，则点 在( )
A
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
返回
点(x，y)关于 x 轴对称的点的坐标为(x， –y )；
点(x，y)关于 y 轴对称的点的坐标为(–x， y).
绘制轴对称图形
课后作业
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