资源简介

(共28张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：15.3.1.1 等腰三角形的性质
副标题：探索等腰三角形的独特魅力
背景图：展示一个简洁的等腰三角形，以明亮色彩突出其两腰相等的特征，底边水平放置，给人直观的视觉感受。
幻灯片 2：学习目标
理解等腰三角形的定义，能准确识别等腰三角形的各部分名称（腰、底边、顶角、底角）。
通过观察、折叠、测量等活动，探索并掌握等腰三角形的性质，包括 “等边对等角” 以及 “三线合一”。
能够运用等腰三角形的性质进行简单的推理、计算和证明，提升逻辑思维和几何应用能力。
幻灯片 3：复习回顾
三角形的分类：按角分类，三角形可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分类，有不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形包含等边三角形（特殊的等腰三角形，三边都相等）。
全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定方法有 SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）、HL（直角三角形斜边直角边）；全等三角形的对应边相等，对应角相等。
思考问题：等腰三角形作为特殊的三角形，除了具有一般三角形的性质外，还具有哪些独特的性质呢？如何通过数学方法去发现和证明这些性质？
幻灯片 4：等腰三角形的定义
定义阐述：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
图形示例：展示一个等腰三角形 ABC，其中 AB = AC，标注出腰 AB、AC，底边 BC，顶角∠A，底角∠B 和∠C。
符号语言：在△ABC 中，若 AB = AC，则△ABC 是等腰三角形。
幻灯片 5：探究等腰三角形的性质 —— 折叠实验
实验操作：将一张长方形纸片按如图方式对折，剪去阴影部分，再把它展开，得到一个等腰三角形 ABC。
观察思考：把剪出的等腰三角形 ABC 沿折痕对折，找出其中重合的线段和角。
重合元素列举：
重合的线段：AB = AC，BD = CD。
重合的角：∠B = ∠C，∠BAD = ∠CAD，∠ADB = ∠ADC = 90°。
猜想性质：通过实验观察，猜想等腰三角形可能具有的性质，如等腰三角形的两个底角相等，等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
幻灯片 6：等腰三角形的性质 1—— 等边对等角
性质内容：等腰三角形的两个底角相等（简写成 “等边对等角”）。
几何语言：在△ABC 中，因为 AB = AC，所以∠B = ∠C。
证明思路：
要证明∠B = ∠C，可通过构造全等三角形来实现。
作顶角∠BAC 的平分线 AD，在△ABD 和△ACD 中，AB = AC（已知），∠BAD = ∠CAD（辅助线作法），AD = AD（公共边），根据 SAS（边角边）可证△ABD≌△ACD，从而得出∠B = ∠C。
证明过程：
已知：△ABC 中，AB = AC。
求证：∠B = ∠C。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
在△ABD 和△ACD 中，
∵AB = AC（已知），
∠BAD = ∠CAD（角平分线定义），
AD = AD（公共边），
∴△ABD≌△ACD（SAS）。
∴∠B = ∠C（全等三角形对应角相等）。
幻灯片 7：等腰三角形的性质 2—— 三线合一
性质内容：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成 “三线合一”）。
几何语言：
在△ABC 中，AB = AC，AD 平分∠BAC，则 AD⊥BC，BD = CD。
在△ABC 中，AB = AC，BD = CD，则 AD⊥BC，∠BAD = ∠CAD。
在△ABC 中，AB = AC，AD⊥BC，则 BD = CD，∠BAD = ∠CAD。
证明思路：以 “等腰三角形顶角平分线也是底边上的中线和高” 为例，由△ABD≌△ACD（前面已证），可得 BD = CD（全等三角形对应边相等），∠ADB = ∠ADC（全等三角形对应角相等），又因为∠ADB + ∠ADC = 180°，所以∠ADB = ∠ADC = 90°，即 AD⊥BC，从而证明了等腰三角形顶角平分线也是底边上的中线和高。同理可证其他两种情况。
图形展示：分别展示等腰三角形中顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合的情况，用不同颜色线条突出三线，直观呈现性质。
幻灯片 8：例题解析（一）—— 利用 “等边对等角” 求角度
例题 1：在等腰△ABC 中，AB = AC，∠A = 50°，求∠B 和∠C 的度数。
解题思路：因为 AB = AC，根据 “等边对等角” 可知∠B = ∠C。又因为三角形内角和为 180°，即∠A + ∠B + ∠C = 180°，将∠A = 50° 代入，可求出∠B 和∠C 的度数。
解答过程：
∵AB = AC，
∴∠B = ∠C（等边对等角）。
又∵∠A + ∠B + ∠C = 180°，∠A = 50°，
∴50° + 2∠B = 180°，
2∠B = 180° - 50° = 130°，
∠B = 65°，
∴∠C = ∠B = 65°。
幻灯片 9：例题解析（二）—— 利用 “三线合一” 进行计算
例题 2：如图，在等腰△ABC 中，AB = AC，AD 是 BC 边上的中线，且 BC = 8cm，AD = 6cm，求△ABC 的面积。
解题思路：由等腰三角形 “三线合一” 性质可知 AD 也是 BC 边上的高，已知 BC 的长度和 AD 的长度，根据三角形面积公式 S = 1/2× 底 × 高，可求出△ABC 的面积。
解答过程：
∵AB = AC，AD 是 BC 边上的中线，
∴AD⊥BC（三线合一）。
已知 BC = 8cm，AD = 6cm，
根据三角形面积公式 S = 1/2×BC×AD，
可得 S△ABC = 1/2×8×6 = 24（cm ）。
幻灯片 10：例题解析（三）—— 等腰三角形性质的综合应用
例题 3：如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD，求△ABC 各角的度数。
解题思路：设∠A = x°，因为 AD = BD，根据 “等边对等角” 可得∠ABD = ∠A = x°，进而∠BDC = ∠A + ∠ABD = 2x°。又因为 BD = BC，所以∠C = ∠BDC = 2x°，再由 AB = AC，可知∠ABC = ∠C = 2x°。最后根据三角形内角和为 180° 列出方程求解。
解答过程：
设∠A = x°。
∵AD = BD，
∴∠ABD = ∠A = x°（等边对等角），
∴∠BDC = ∠A + ∠ABD = 2x°（三角形外角性质）。
∵BD = BC，
∴∠C = ∠BDC = 2x°（等边对等角）。
∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠C = 2x°（等边对等角）。
在△ABC 中，∠A + ∠ABC + ∠C = 180°，
即 x + 2x + 2x = 180，
5x = 180，
x = 36。
∴∠A = 36°，∠ABC = ∠C = 72°。
幻灯片 11：课堂练习
在等腰△ABC 中，AB = AC，若∠B = 70°，则∠A 的度数是（ ）
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
已知等腰三角形的底边长为 6cm，一腰上的中线把它的周长分成两部分，其差为 2cm，则腰长为（ ）
A. 4cm B. 8cm C. 4cm 或 8cm D. 以上都不对
如图，在△ABC 中，AB = AC，AD⊥BC 于点 D，若 AB = 6，CD = 4，则△ABC 的周长为______。
幻灯片 12：等腰三角形性质的实际应用
问题情境：如图，屋顶的顶角∠BAC = 100°，过屋顶 A 的立柱 AD⊥BC，屋檐 AB = AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD 的度数。
解题思路：因为 AB = AC，根据 “等边对等角” 可求∠B 和∠C 的度数，再由 AD⊥BC 及 “三线合一” 性质可求∠BAD 和∠CAD 的度数。
解答过程：
∵AB = AC，
∴∠B = ∠C（等边对等角）。
又∵∠BAC + ∠B + ∠C = 180°，∠BAC = 100°，
∴∠B = ∠C = (180° - 100°)÷2 = 40°。
∵AD⊥BC，AB = AC，
∴AD 平分∠BAC（三线合一），
∴∠BAD = ∠CAD = 100°÷2 = 50°。
幻灯片 13：课堂小结
知识总结：
等腰三角形的定义：有两边相等的三角形。
等腰三角形的性质 1：等边对等角，即等腰三角形两底角相等。
等腰三角形的性质 2：三线合一，等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
方法总结：在解决等腰三角形相关问题时，可通过作顶角平分线、底边上的中线或高来构造全等三角形，利用全等三角形性质和等腰三角形性质进行推理和计算。同时，注意利用三角形内角和定理来求解角度问题。
能力提升：通过对等腰三角形性质的探究和应用，提高了观察、猜想、验证的能力，以及逻辑推理和数学应用能力，体会了从特殊到一般的数学思想。
幻灯片 14：课后作业
基础作业：课本第 XX 页习题 15.3 第 1、2、3 题，运用等腰三角形性质进行角度计算和简单证明。
提升作业：如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D、E 在 BC 上，且 AD = AE，求证：BD = CE。
拓展作业：设计一个利用等腰三角形性质测量池塘两端距离的方案，画出示意图并说明原理。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
15.3.1.1等腰三角形的性质
第十五章 轴对称
经历观察、实验、猜想、论证的过程，体会等腰三角形性质的几何证明的逻辑严密性与科学性，提升推理能力.
运用等腰三角形的性质进行证明和计算.
探索并证明等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的两个底角相等；(2)等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合.
A
B
C
等腰三角形：
底角
底边
腰
顶角
下列三角形都是轴对称图形吗？
什么样的三角形是轴对称图形？
探究新知
等腰三角形的性质
探 究
如图，在纸上画一个等腰三角形，把它剪下来. 将这个等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开.
探 究
找出其中重合的线段和角.
重合的线段:
重合的角:
AB与AC
BD与CD
∠B与∠C
∠BAD与∠CAD
∠ADB与∠ADC
A
B
C
D
在等腰三角形 ABC 中，AD 是什么特殊的线段？
顶角的平分线
底边上的中线
底边上的高
你能发现等腰三角形的性质吗？
等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).
A
B
C
D
在△ABC 中，∵AB = AC，
∴∠B =∠C.
几何语言：
等腰三角形的性质
等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”).
A
B
C
D
你能证明这些性质吗？
几何语言：在△ABC 中，AB = AC.
①若 BD = CD，则 AD 平分∠BAC 且 AD⊥BC；
②若 AD⊥BC，则 AD 平分∠BAC 且 BD = CD；
③若 AD 平分∠BAC ，则 AD⊥BC 且 BD = CD.
A
B
C
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC. 求证：∠B =∠C.
证明：作底边 BC 的中线 AD，
则 BD = CD. 在△ABD 和△ACD中，
AB = AC
BD = CD
AD = AD
∴△ABD ≌△ACD（SSS）．
∴∠B =∠C．
即“等边对等角”
D
A
B
C
继续证明“三线合一”：
证明：∵△ABD ≌△ACD ，
∴∠ADB =∠ADC = 90°，∠BAD =∠CAD，
∴AD⊥BC，AD 平分∠BAC.
∴AD 是底边 BC 的高，也是底边 BC 的中线，也是顶角∠A 的角平分线.
D
即“三线合一”
等腰三角形的性质
等腰三角形的性质
A
B
C
D
等腰三角形____轴对称图形.
是
等腰三角形的对称轴是______________.
底边上的中线
底边上的高
顶角的平分线
针对训练
教材P79练习 第1题
1. 如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数.
（1）
（2）
(180° – 30°)÷2 = 75°
(180° – 120°)÷2 = 30°
针对训练
教材P80练习 第2题
2. 如图，在△ABC 中，AB = AD = DC，∠BAD = 26°. 求∠B 和∠C 的度数.
针对训练
教材P80练习 第2题
解：在△ABD中，∵AB = AD，∠BAD = 26°，
∴∠B =∠ADB = ×(180° – 26°) = 77°.
在△ADC 中，
∵AD = DC，∴∠C =∠DAC.
又∠ADB =∠C +∠DAC = 2∠C，
∴∠C = ∠ADB = ×77° = 38.5°.
教材P79例题
例1 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，BD = BC = AD. 求△ABC 各角的度数.
A
B
C
D
解： ∵ AB = AC，BD = BC = AD，
∴∠ABC =∠C =∠BDC，
∠A =∠ABD (等边对等角)
设∠A = x，则
∠BDC =∠A +∠ABD = 2x，
教材P79例题
A
B
C
D
从而∠ABC =∠C =∠BDC = 2x，
于是在△ABC 中，有
∠A +∠ABC +∠C = x + 2x + 2x = 180°.
解得 x = 36°.
所以，在△ABC 中，∠A = 36°，
∠ABC =∠C = 72°
3. 求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
教材P80练习 第3题
已知：如图，在△ABC 中，AD 为 BC 上的中线，且 AD = BC.
求证：△ABC 是直角三角形.
A
B
C
D
教材P80练习 第3题
证明：∵AD 为 BC 上的中线，且 AD = BC，
∴AD = BD = CD.
∴∠B =∠BAD，∠C=∠DAC.
又∠BAC +∠B +∠C
=∠BAD +∠DAC +∠B +∠C
= 2(∠BAD +∠DAC)
= 2∠BAC = 180°，
∴∠BAC = 90°.∴ △ABC 是直角三角形.
A
B
C
D
4. 如图，在△ABC 中，AB = AC，AE 是 BC 边上的中线，BF 是角平分线，∠C = 70°.
求∠BAE 和∠1 的度数.
解：∵AB = AC，∠C = 70°，∴∠ABC =∠C = 70°．
∵AB = AC，AE 是 BC 边上的中线， ∴AE⊥BC，
即∠AEB = 90°. ∴∠BAE = 90° –∠ABE = 20°．
∵∠ABC = 70°，BF 是∠ABC 的平分线，
∴∠CBF = ∠ABC = 35°．
由三角形外角的性质可知，
∠1 = ∠AEB＋∠CBF = 90° + 35° = 125°．
知识点1 等边对等角
1.在中，， ，则 _____.
2.［2024湖南中考］若等腰三角形的一个底角的度数为 ，则它的顶
角的度数为_____ .
100
（第3题）
3.［2024济南中考］如图，已知， 是
等腰直角三角形， ，顶点， 分别
在，上，当 时，____ .
65
（第4题）
4.如图，在中， ，
，，则 的度
数为( )
B
A. B. C. D.
5.［教材习题变式］如图，在 中，
，的垂直平分线交于点 .若
，则 的度数是( )
A
A. B. C. D.
6.［教材P练习T 变式］［2025南京月考］如图，
在中，点在边上， .若
，求 的度数.
解：， ，
.
， .
是 的外角，
，
.
等腰三角形的性质：
等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).
等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 (简写成“三线合一”).
A
B
C
D
课后作业
从课后习题中选取；
完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑