资源简介

(共24张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：等腰三角形的判定
副标题：探索等腰三角形的判定方法
背景图：展示一个三角形，其中两个角相等，突出等角对边相等的特征，直观引出判定主题。
幻灯片 2：学习目标
理解等腰三角形的判定定理的内容，能准确表述定理。
掌握等腰三角形的判定定理的证明方法，并能运用该定理解决几何问题。
区分等腰三角形的性质与判定，体会它们之间的联系与区别，培养逻辑推理能力。
幻灯片 3：复习回顾
等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
等腰三角形的性质：
性质 1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。
性质 2（三线合一）：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
思考问题：反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边有什么关系呢？这就是我们本节课要探究的等腰三角形的判定问题。
幻灯片 4：探究等腰三角形的判定
操作任务：在纸上画一个三角形 ABC，使∠B = ∠C，用刻度尺测量 AB 和 AC 的长度，你发现了什么？
实验现象：经过测量，AB = AC。
小组讨论：改变∠B 和∠C 的度数（保持∠B = ∠C），重复上述操作，AB 和 AC 的长度仍然相等吗？由此可以得出什么结论？
初步结论：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成 “等角对等边”）。
幻灯片 5：等腰三角形的判定定理
定理内容：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成 “等角对等边”）。
几何语言表示：如图，在△ABC 中，∵∠B = ∠C，∴AB = AC。
定理证明：
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
在△ABD 和△ACD 中，
\(\begin{cases}
∠B = ∠C \\
∠BAD = ∠CAD \\
AD = AD
\end{cases}\)
∴△ABD≌△ACD（AAS）。∴AB = AC（全等三角形的对应边相等）。
图形强调：标注出相等的角和所对的边，明确定理的条件和结论。
幻灯片 6：等腰三角形的判定定理的理解
条件分析：定理成立的条件是一个三角形中有两个角相等，结论是这两个角所对的边相等。
结论意义：“等角对等边” 为我们提供了一种判定三角形是否为等腰三角形的方法，只需证明三角形中有两个角相等即可。
与性质的区别：性质是 “等边对等角”（由边相等推出角相等），判定是 “等角对等边”（由角相等推出边相等），两者互为逆定理。
幻灯片 7：例题解析（一）—— 判定的直接应用
例题 1：如图，在△ABC 中，已知∠A = 36°，∠C = 72°，求证：AB = BC。
解题思路：
先计算∠B 的度数，根据三角形内角和定理，∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 36° - 72° = 72°。
由∠B = ∠C = 72°，根据等腰三角形的判定定理 “等角对等边”，可得 AB = BC。
证明过程：
∵在△ABC 中，∠A + ∠B + ∠C = 180°（三角形内角和定理），
∠A = 36°，∠C = 72°，
∴∠B = 180° - 36° - 72° = 72°。
∴∠B = ∠C。
∴AB = BC（等角对等边）。
幻灯片 8：例题解析（二）—— 判定的综合应用
例题 2：如图，AD 平分∠BAC，AD⊥BC，垂足为 D。求证：△ABC 是等腰三角形。
解题思路：
要证明△ABC 是等腰三角形，只需证明 AB = AC，即证明∠B = ∠C。
由 AD 平分∠BAC，可得∠BAD = ∠CAD。
由 AD⊥BC，可得∠ADB = ∠ADC = 90°。
在△ABD 和△ACD 中，∠BAD = ∠CAD，AD = AD，∠ADB = ∠ADC，根据 ASA 可证△ABD≌△ACD，从而得出∠B = ∠C，再由 “等角对等边” 得 AB = AC。
证明过程：
∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD = ∠CAD。
∵AD⊥BC，∴∠ADB = ∠ADC = 90°。
在△ABD 和△ACD 中，
\(\begin{cases}
∠BAD = ∠CAD \\
AD = AD \\
∠ADB = ∠ADC
\end{cases}\)
∴△ABD≌△ACD（ASA）。∴∠B = ∠C。
∴AB = AC（等角对等边）。∴△ABC 是等腰三角形。
幻灯片 9：例题解析（三）—— 含角平分线的等腰三角形判定
例题 3：如图，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线交于点 O，过点 O 作 DE∥BC，分别交 AB、AC 于点 D、E。求证：BD + EC = DE。
解题思路：
由 BO 平分∠ABC，可得∠ABO = ∠CBO。
因为 DE∥BC，所以∠CBO = ∠DOB（两直线平行，内错角相等）。
从而∠ABO = ∠DOB，根据 “等角对等边”，可得 BD = DO。
同理，由 CO 平分∠ACB，DE∥BC，可得∠ACO = ∠ECO = ∠EOC，所以 EC = EO。
因此 BD + EC = DO + EO = DE。
证明过程：
∵BO 平分∠ABC，∴∠ABO = ∠CBO。
∵DE∥BC，∴∠DOB = ∠CBO（两直线平行，内错角相等）。
∴∠ABO = ∠DOB。∴BD = DO（等角对等边）。
同理可得，EC = EO。
∵DE = DO + EO，∴BD + EC = DE。
幻灯片 10：等腰三角形的判定与性质的区别与联系
区别：
性质：已知等腰三角形（两边相等），得出两角相等（等边对等角）。
判定：已知三角形两角相等，得出两边相等（等角对等边），进而判定为等腰三角形。
联系：
两者都涉及等腰三角形的边和角的关系。
性质和判定互为逆定理，在解题中常结合使用。
应用场景：
性质常用于已知等腰三角形求角的度数或证明角相等。
判定常用于证明线段相等或判定一个三角形是等腰三角形。
幻灯片 11：课堂练习
如图，在△ABC 中，∠A = 80°，∠B = 50°，则△ABC 是______三角形（填 “等腰” 或 “不等边”），依据是______。
已知：如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC，且 BD = BC，∠A = 40°，求∠C 的度数。
如图，在△ABC 中，AB = AC，DE∥BC，求证：△ADE 是等腰三角形。
幻灯片 12：课堂小结
知识总结：
等腰三角形的判定定理：等角对等边（如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等）。
判定定理与性质定理互为逆定理，性质是由边推角，判定是由角推边。
方法总结：在证明线段相等时，若所证线段在同一个三角形中，可尝试证明它们所对的角相等，运用 “等角对等边” 得出结论；在判定等腰三角形时，只需证明三角形中有两个角相等。
思想提炼：通过探究等腰三角形的判定定理，体会逆向思维在数学中的应用，进一步理解性质与判定的辩证关系，培养严谨的逻辑推理能力。
幻灯片 13：课后作业
基础作业：课本第 XX 页习题 15.3 第 6、7、8 题，运用等腰三角形的判定定理进行证明和计算。
提升作业：如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB 于点 D，AE 平分∠BAC 交 CD 于点 F，交 BC 于点 E。求证：CF = CE。
拓展作业：在一个三角形中，如果一个角是另一个角的 2 倍，且有两条边相等，尝试探究这个三角形三个角的度数。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
15.3.1.2等腰三角形的判定
第十五章 轴对称
通过对等腰三角形的判定定理的证明,加强学生的推理能力,以及分析,解决问题的能力.
运用等腰三角形的判定定理进行证明和计算.
探索并掌握等腰三角形的判定定理.
画一个△ABC，其中∠B =∠C = 30°，请你量一量 AB 与 AC 的长度，它们之间有什么数量关系？
AB = AC
A
B
C
画一个△ABC，其中∠B =∠C，此时，AB 与 AC 的数量关系会改变吗？你能得出什么结论？
思 考
我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等. 反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
A
B
C
猜想：它们所对的边相等.
你能证明你的猜想吗？
探究新知
等腰三角形的判定
等腰三角形的判定
已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C.
求证：AB = AC.
分析：
∠B =∠C
AB = AC
全等
①作∠BAC的平分线
A
B
C
D
②作 BC边上的高
A
B
C
D
③作 BC边上的中线
A
B
C
D
A
B
C
A
B
C
证明：如图，作△ABC 的角平分线 AD.
在△ABD 和△ACD中，
∠1 =∠2，
∠B =∠C，
AD = AD，
∴△ABD ≌△ACD（AAS）．
∴AB = AC．
D
等腰三角形的判定
2
1
方法①
A
B
C
在△ABD 和△ACD中，
∠B =∠C，
∠ADB =∠ADC，
AD = AD，
∴△ABD ≌△ACD（AAS）．
∴AB = AC．
D
等腰三角形的判定
证明：如图，过点 A 作△ABC 的高 AD.
方法②
等腰三角形的判定方法：
有两个角相等的三角形是等腰三角形 (简写成“等角对等边”).
在△ABC 中，∵∠B =∠C，
∴ AB = AC.
几何语言：
等腰三角形的判定
A
B
C
条件 结果
等腰三角形的性质
等腰三角形的判定
比较等腰三角形的性质和等腰三角形的判定
两边相等
两边所对的角相等
两角相等
两角所对的边相等
针对训练
教材P81练习 第1题
2. 如图，∠A = 36°，∠DBC = 36°，∠C = 72°. 分别计算∠1，∠2 的度数，并说明图中有哪些等腰三角形.
教材P81练习 第1题
解：∵∠ DBC = 36°， ∠C = 72°，
∴∠1 = 180° –∠DBC –∠C = 180° – 36° – 72° = 72°.
又∠1是△ABD 的一个外角，∴∠1 =∠A +∠2.
∴∠2 =∠1 –∠A = 72° – 36° = 36° .
又∠2 =∠A = 36°，∠1 =∠C = 72°，
∴AD = BD，BC = BD，∠ABC =∠C = 72° .
∴AB = AC. ∴图中共有三个等腰三角形，
即△ABD，△BDC，△ABC.
教材P80例题
例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
已知：如图， AD 是△ABC 的外角∠CAE 的平分线，AD // BC.
求证：AB = AC.
A
B
C
D
E
1
2
分析：可以设法找出∠B，∠C 与∠1，∠2 的关系.
∠B =∠C
教材P80例题
A
B
C
D
E
1
2
证明：∵AD // BC ，
∴∠1 =∠B，∠2 =∠C.
又 AD 平分∠CAE，
∴∠1 =∠2.
∴∠B =∠C.
∴ AB = AC.
教材P81例题
例3 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为 a，底边上高的长为 h（如图），求作这个等腰三角形.
分析：等腰三角形“三线合一”
a
h
底边所对的顶点在底边的垂直平分线上.
作出底边的垂直平分线，利用高的长度确定底边所对的顶点的位置.
教材P81例题
a
h
作法：
(1) 作线段 AB = a；
(2) 作线段 AB 的垂直平分线 MN，与 AB 相交于点 D；
(3) 在 MN上取一点 C，使 DC = h；
(4) 连接 AC，BC，则△ABC 就是所求作的等腰三角形.
A
B
教材P81例题
D
C
M
N
随堂演练
教材P81练习 第2题
3. 如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
教材P81练习 第2题
解：是等腰三角形. 理由：
如图，∵ 长方形 ABCD 沿对角线折叠，
∴ △BCD≌△BFD. ∴ ∠1 =∠2.
又四边形 ABCD 是长方形，
∴ AD // BC.
∴ ∠3 =∠2. ∴ ∠1 =∠3.
∴ BE = DE.
即重合部分△BDE 是一个等腰三角形.
A
B
C
D
F
E
1
2
3
4. 如图，AC 和 BD 相交于点 O，且 AB // CD，OA = OB. 求证 OC = OD.
教材P81练习 第3题
A
B
C
D
O
证明：∵ AB // CD，
∴ ∠B =∠D，∠A =∠C.
又 OA = OB，
∴ ∠A =∠B (等边对等角).
∴ ∠C =∠D.
∴ OC = OD (等角对等边).
知识点1 等角对等边
1. 将一平板保护套展开放置在水平桌面上，
其侧面示意图如图所示，若 ，
，则 的长为( )
B
A. B. C. D.
2.下列三角形中，不是等腰三角形的是( )
A
A. B. C. D.
（第3题）
3.［2025长沙月考］如图，已知平分 ，
，若，则 的长为( )
A
A.4 B.5 C.3 D.2
（第4题）
4.如图，在中，的垂直平分线交于点 ，
交于点，连接,，若 ，则
的长是( )
C
A.2 B.3 C.4 D.不能确定
（第5题）
5.［教材习题变式］如图， ，
，下列式子不一定正确的是( )
D
A. B.
C. D.
（第6题）
6.［2024重庆中考］如图，在 中，
， ，平分交于点 .
若，则 的长度为___.
2
等腰三角形
性质
判定
定义
“等角对等边”
A
B
C
D
谢谢观看！

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