资源简介

(共28张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：15.3.2.1 等边三角形的性质和判定
副标题：探索特殊等腰三角形的奥秘
背景图：展示一个等边三角形，标注出三条边相等、三个角相等的特征，直观呈现等边三角形的特殊性。
幻灯片 2：学习目标
理解等边三角形的定义，明确等边三角形与等腰三角形的关系。
探索并掌握等边三角形的性质，能运用性质解决角度计算和线段证明问题。
推导并掌握等边三角形的判定定理，能根据条件判定一个三角形是否为等边三角形。
区分等边三角形的性质与判定，体会特殊与一般的数学思想。
幻灯片 3：复习回顾
等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
等腰三角形的性质：等边对等角；三线合一。
等腰三角形的判定：等角对等边。
思考问题：如果等腰三角形的三边都相等，这样的三角形是什么三角形？它具有哪些特殊的性质？又该如何判定呢？
幻灯片 4：等边三角形的定义
定义阐述：三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）。
与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，它是底边与腰相等的等腰三角形，因此等腰三角形的所有性质对等边三角形都适用。
图形示例：展示等边三角形 ABC，标注 AB = BC = AC，明确三条边相等的特征。
符号语言：在△ABC 中，若 AB = BC = AC，则△ABC 是等边三角形。
幻灯片 5：探究等边三角形的性质
操作任务：画出一个等边三角形 ABC，测量它的三个内角的度数，观察边与角的关系。
实验现象：测量发现∠A = ∠B = ∠C = 60°；三条边 AB = BC = AC。
推理验证：
因为 AB = AC，所以∠B = ∠C（等边对等角）；因为 AB = BC，所以∠A = ∠C（等边对等角），因此∠A = ∠B = ∠C。
又因为三角形内角和为 180°，所以∠A = ∠B = ∠C = 60°。
性质总结：
等边三角形的三条边都相等。
等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于 60°。
等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合（三线合一，且有三条）。
幻灯片 6：等边三角形的性质定理
性质 1：等边三角形的三条边相等。
几何语言：在△ABC 中，∵△ABC 是等边三角形，∴AB = BC = AC。
性质 2：等边三角形的三个内角都相等，且每个内角都等于 60°。
几何语言：在△ABC 中，∵△ABC 是等边三角形，∴∠A = ∠B = ∠C = 60°。
性质 3：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，每条对称轴都是一条边上的中线（或高或所对角的平分线）所在的直线。
图形展示：分别画出等边三角形三条对称轴，标注中线、高和角平分线的重合关系，直观呈现性质。
幻灯片 7：例题解析（一）—— 等边三角形性质的应用
例题 1：如图，在等边△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，已知 AB = 6cm，求∠BAD 的度数和 BD 的长度。
解题思路：
由等边三角形性质可知∠BAC = 60°，AB = BC = 6cm。
因为 AD 是 BC 边上的高，根据 “三线合一”，AD 平分∠BAC，且 BD = CD = 1/2 BC。
因此∠BAD = 1/2 ∠BAC = 30°，BD = 1/2 × 6 = 3cm。
解答过程：
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC = 60°，AB = BC = 6cm（等边三角形性质）。
∵AD 是 BC 边上的高，
∴AD 平分∠BAC，BD = CD = 1/2 BC（三线合一）。
∴∠BAD = 1/2 × 60° = 30°，
BD = 1/2 × 6 = 3cm。
幻灯片 8：探究等边三角形的判定
思考方向：
从边的角度：三条边都相等的三角形是等边三角形（定义）。
从角的角度：三个角都相等的三角形是否是等边三角形？
结合等腰三角形：有一个角是 60° 的等腰三角形是否是等边三角形？
推理验证 1：
已知：在△ABC 中，∠A = ∠B = ∠C。
求证：△ABC 是等边三角形。
证明：∵∠A = ∠B，∴BC = AC（等角对等边）；∵∠B = ∠C，∴AB = AC（等角对等边），∴AB = BC = AC，即△ABC 是等边三角形。
推理验证 2：
已知：在△ABC 中，AB = AC，∠A = 60°。
求证：△ABC 是等边三角形。
证明：∵AB = AC，∴∠B = ∠C（等边对等角）。∵∠A + ∠B + ∠C = 180°，∠A = 60°，∴∠B = ∠C = 60°，∴∠A = ∠B = ∠C，∴AB = BC = AC（等角对等边），即△ABC 是等边三角形。（同理可证有一个底角是 60° 的等腰三角形是等边三角形）
幻灯片 9：等边三角形的判定定理
判定定理 1：三条边都相等的三角形是等边三角形（定义法）。
几何语言：在△ABC 中，∵AB = BC = AC，∴△ABC 是等边三角形。
判定定理 2：三个角都相等的三角形是等边三角形。
几何语言：在△ABC 中，∵∠A = ∠B = ∠C，∴△ABC 是等边三角形。
判定定理 3：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。
几何语言：在△ABC 中，∵AB = AC，∠A = 60°（或∠B = 60° 或∠C = 60°），∴△ABC 是等边三角形。
判定思路：根据条件选择合适的判定方法，边相等优先用定义或判定定理 3，角相等优先用判定定理 2 或判定定理 3。
幻灯片 10：例题解析（二）—— 等边三角形判定的应用
例题 2：如图，在△ABC 中，∠A = ∠B = ∠C，AB = 3cm，求△ABC 的周长。
解题思路：
由∠A = ∠B = ∠C，根据判定定理 2 可知△ABC 是等边三角形。
因此 AB = BC = AC = 3cm，周长为 AB + BC + AC = 3 + 3 + 3 = 9cm。
解答过程：
∵∠A = ∠B = ∠C，
∴△ABC 是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）。
∴AB = BC = AC。
∵AB = 3cm，
∴BC = AC = 3cm。
∴△ABC 的周长 = AB + BC + AC = 3 + 3 + 3 = 9cm。
幻灯片 11：例题解析（三）—— 等边三角形判定的综合应用
例题 3：如图，在等腰△ABC 中，AB = AC，∠B = 60°，求证：△ABC 是等边三角形，且中线 BD 将△ABC 分成两个全等的直角三角形。
解题思路：
由 AB = AC，∠B = 60°，根据判定定理 3 可证△ABC 是等边三角形，因此 AB = BC = AC，∠A = ∠B = ∠C = 60°。
因为 BD 是中线，所以 AD = CD = 1/2 AC，BD⊥AC（三线合一），进而证明△ABD≌△CBD。
证明过程：
∵AB = AC，∠B = 60°，
∴△ABC 是等边三角形（有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形）。
∴AB = BC = AC，∠A = ∠C = 60°。
∵BD 是中线，
∴AD = CD = 1/2 AC，BD⊥AC（三线合一），即∠ADB = ∠CDB = 90°。
在△ABD 和△CBD 中，
\(\begin{cases}
AB = BC \\
AD = CD \\
BD = BD
\end{cases}\)
∴△ABD≌△CBD（SSS）。
幻灯片 12：等边三角形与等腰三角形的区别与联系
区别：
边的关系：等腰三角形有两条边相等，等边三角形三条边都相等。
角的关系：等腰三角形两个底角相等，等边三角形三个角都相等且为 60°。
对称轴数量：等腰三角形有 1 条对称轴，等边三角形有 3 条对称轴。
联系：
等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质。
等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一）在等边三角形中都适用，且更为特殊（三线合一有三条）。
表格对比：
图形
边的特征
角的特征
对称轴数量
判定方法
等腰三角形
两边相等
两底角相等
1 条
等角对等边
等边三角形
三边相等
三角相等且为 60°
3 条
三边相等；三角相等；等腰三角形有一个角为 60°
幻灯片 13：课堂练习
等边三角形的每个内角都是______度，若边长为 5cm，则周长为______cm。
下列条件中，不能判定△ABC 是等边三角形的是（ ）
A. AB = BC = AC B. ∠A = ∠B = ∠C C. AB = AC，∠B = 60° D. AB = AC，∠A = 50°
如图，在等边△ABC 中，BD 平分∠ABC，交 AC 于点 D，求证：AD = CD，BD⊥AC。
幻灯片 14：课堂小结
知识总结：
等边三角形定义：三条边都相等的三角形。
等边三角形性质：三边相等；三角相等且为 60°；三线合一（三条）；有 3 条对称轴。
等边三角形判定：三边相等；三角相等；等腰三角形有一个角为 60°。
方法总结：运用等边三角形的性质可快速求角度和线段长度；判定时根据边或角的条件选择对应定理，注意与等腰三角形知识的结合。
思想提炼：体会等边三角形作为特殊等腰三角形的特殊性与一般性，通过探究性质和判定，培养从特殊到一般的推理能力和分类讨论思想。
幻灯片 15：课后作业
基础作业：课本第 XX 页习题 15.3 第 10、11 题，运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明。
提升作业：如图，在等边△ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 上，且 AD = AE，求证：△ADE 是等边三角形。
拓展作业：在等边△ABC 中，点 P 是 BC 边上一点，PD⊥AB 于 D，PE⊥AC 于 E，已知 AB = 2，求 PD + PE 的长度。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
15.3.2.1等边三角形的性质和判定
第十五章 轴对称
合理利用等边三角形的性质和判定方法解决问题，发展应用意识.
探索等边三角形的性质和判定方法，提高推理能力.
名称 图形 定义 性质 判定
等 腰 三 角 形 有两条边相等的三角形叫作等腰三角形 等腰三角形 两腰相等 两边相等的三角形
等边对等角 等角对等边
三线合一
轴对称图形
A
B
C
A
B
C
等腰三角形：
A
B
C
特殊的等腰三角形
等边三角形
三条边都相等
1. 等边三角形的性质
探 究
把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？
1. 从边的角度比较，等边三角形的三条边有什么数量关系？
A
B
C
等边三角形的三条边都相等
如图，∵△ABC 是等边三角形，
∴ AB = BC = AC .
几何语言：
2. 从角的角度比较，等边三角形的三个内角有什么数量关系？
A
B
C
AB = AC
AB = BC = AC
∠B =∠C
？
∵AB = BC，∴∠B =∠C (等边对等角).
同理∠A =∠C，∴∠A =∠B =∠C.
∵∠A +∠B +∠C = 180°， ∴∠A =∠B =∠C = 60°.
2. 从角的角度比较，等边三角形的三个内角有什么数量关系？
A
B
C
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于 60°.
如图，∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A =∠B =∠C = 60°.
几何语言：
3. 从“三线合一”的角度比较，等边三角形的“三线”有什么关系？
A
B
C
等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”.
等边三角形有三条对称轴.
对比：等腰三角形与等边三角形的性质
等腰三角形 等边三角形
图形
性质 两条边相等
两个底角相等
底边上的中线、高和顶角的平分线重合
1条对称轴
三个角都相等，且都等于60°
每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合
3条对称轴
三边都相等
针对训练
教材P82练习 第1题
1. 画出等边三角形的三条对称轴 . 你能发现什么？
A
B
C
对称轴分别是三条角平分线（中线或高）所在的直线，并且三条对称轴交于一点.
针对训练
2. 如图，P 是△ABC 内一点，若∠PBC = ∠PCB = 10°，△APC 是等边三角形. 求∠ABP 的度数.
解：∵ △APC 是等边三角形，
∴ ∠APC = 60°，AP = CP.
∵ ∠PBC =∠PCB = 10°，
∴ BP = CP .
∴ AP = BP.
针对训练
在△BPC 中，
∠BPC = 180° –∠PBC –∠PCB = 160°.
∴ ∠APB = 360° – ∠BPC – ∠APC = 140°.
在△APB 中，∵ AP = BP，
∴ ∠ABP =∠BAP
= (180° –∠APB) = 20°.
探 究
一个三角形满足什么条件才是等边三角形？
2. 等边三角形的判定
1. 从边的角度判断：
A
B
C
三条边都相等的三角形是等边三角形
如图，∵AB = BC = AC，
∴△ABC 是等边三角形.
几何语言：
2. 从角的角度判断：
A
B
C
三个角都相等的三角形是等边三角形
如图，∵∠A =∠B =∠C，
∴△ABC 是等边三角形.
几何语言：
你能证明它吗？
已知：如图，在△ABC 中，∠A =∠B =∠C. 求证：△ABC 是等边三角形.
A
B
C
证明：∵∠B =∠C ，
∴AB = AC (等角对等边).
同理 AB = BC ，
∴AB = BC = AC.
∴△ABC 是等边三角形.
3. 对于一个等腰三角形，如果有一个角是 60°，那么它是等边三角形吗？
A
B
C
60°
如图，当 AB = BC 时，∠B =∠C = 60°.
∴∠A = 180° –∠B –∠C = 60°.
∴∠A =∠B =∠C = 60°.
∴△ABC 是等边三角形.
当 AC = BC 时，∠A =∠B = (180° – 60°)÷2 = 60°.
∴∠A =∠B =∠C = 60°.
∴△ABC 是等边三角形.
3. 对于一个等腰三角形，如果有一个角是 60°，那么它是等边三角形吗？
A
B
C
60°
有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形.
如图，∵AB = AC，∠C(或∠A，∠B) = 60°，
∴△ABC 是等边三角形.
几何语言：
对比：等腰三角形与等边三角形的判定
等腰三角形 等边三角形
图形
判定 两条边相等的三角形
有两个角相等的三角形
三个角都相等的三角形
有一个角是 60°的等腰三角形
三边都相等的三角形
教材P82练习 第2题
如图，在等边三角形 ABC 中，AD 是 BC 上的高，∠BDE = ∠CDF = 60°，图中有哪些与 BD 相等的线段？证明你的结论.
解：BD = DC = DE = DF = AE = BE = AF = CF
A
B
C
E
F
D
证明：∵ △ABC 是等边三角形，AD 是 BC 上的高，
∴ ∠EAD =∠FAD = 30°，BD = DC.
教材P82练习 第2题
又∠BDE =∠CDF = 60°，
∴∠ADE =∠ADF = 30°，
∴∠EAD =∠ADE，∠FAD =∠ADF.
∴ AE = ED，AF = FD.
易知△BDE，△CDF 是等边三角形，
∴BD = ED = EB = CD = CF = FD.
∴图中共有7条与 BD 相等的线段，
即 DC，CF，FD，AF，AE，ED，EB.
A
B
C
E
F
D
教材P82例题
例4 如图，△ABC 是等边三角形， DE // BC，分别交 AB，AC 于点 D，E.
求证：△ADE 是等边三角形.
证明： ∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A =∠B =∠C .
∵DE // BC，
∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
∴∠A =∠ADE =∠AED. ∴△ADE 是等边三角形.
A
B
C
D
E
知识点1 等边三角形的性质
（第1题）
1.如图，是等边三角形，点在 边上，
，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
（第2题）
2.如图，在等边三角形中，于点 ，
，则 的长为( )
D
A.3 B.4 C.5 D.6
（第3题）
3.［2024泰安中考］如图，直线 ，等边三角形
的两个顶点，分别落在直线， 上，若
，则 的度数是( )
B
A. B. C. D.
4.如图，在等边三角形中，，是边的中线，点在
上，若 ，则 ___.
2
（第4题）
5.［2024宜宾中考］如图，点， 分别是等边三角形
的边，上的点，且，与 交
于点.求证： .
证明： 是等边三角形，
， .
又，， .
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
三个角都相等的三角形是等边三角形.
有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形.
A
B
C
课后作业
从课后习题中选取；
完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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