资源简介

(共44张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：15.3.2.2 含 30° 角的直角三角形的性质
副标题：探索特殊直角三角形的边关系
背景图：展示一个含 30° 角的直角三角形，标注出 30° 角、60° 角和直角，突出其特殊角度特征。
幻灯片 2：学习目标
理解含 30° 角的直角三角形的特殊性，掌握其边之间的数量关系。
能通过实验操作和逻辑推理证明含 30° 角的直角三角形的性质。
能运用该性质解决线段长度计算、几何证明等问题，提升几何应用能力。
体会从等边三角形到含 30° 角直角三角形的转化思想，建立知识间的联系。
幻灯片 3：复习回顾
等边三角形的性质：三条边相等，三个角都是 60°，每条边上的中线、高和角平分线相互重合。
直角三角形的性质：两锐角互余（和为 90°），斜边大于直角边。
思考问题：在直角三角形中，如果有一个锐角是 30°，那么这个三角形的边之间会存在怎样特殊的数量关系？这种关系与等边三角形有联系吗？
幻灯片 4：探究含 30° 角的直角三角形的性质
实验操作：
用刻度尺画出一个等边三角形 ABC，使 AB = BC = AC = 6cm。
作出 BC 边上的高 AD，垂足为 D，得到直角三角形 ABD。
测量∠BAD、∠ABD 的度数以及 BD、AB 的长度。
实验现象：
测量发现∠BAD = 30°，∠ABD = 60°，∠ADB = 90°（即△ABD 是含 30° 角的直角三角形）。
BD = 3cm，AB = 6cm，即 BD = 1/2 AB。
初步结论：在含 30° 角的直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半。
幻灯片 5：性质的推理证明
已知：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°。
求证：BC = 1/2 AB。
证明思路：
延长 BC 至 D，使 CD = BC，连接 AD。
因为∠ACB = 90°，∠A = 30°，所以∠B = 60°。
在△ABC 和△ADC 中，AC = AC，∠ACB = ∠ACD = 90°，BC = CD，所以△ABC≌△ADC（SAS）。
因此 AB = AD，∠BAD = 2∠A = 60°，所以△ABD 是等边三角形，AB = BD。
又因为 BD = BC + CD = 2BC，所以 AB = 2BC，即 BC = 1/2 AB。
图形展示：分步画出辅助线和全等三角形，标注相等的边和角，清晰呈现证明过程。
幻灯片 6：含 30° 角的直角三角形的性质定理
定理内容：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
几何语言：在 Rt△ABC 中，∵∠C = 90°，∠A = 30°，∴BC = 1/2 AB（或 AB = 2BC）。
关键词解析：
前提条件：必须是直角三角形（含 90° 角）。
角度条件：有一个锐角是 30°。
结论：30° 角所对的直角边 = 斜边的一半（注意 “所对” 二字，避免混淆直角边）。
图形标注：在直角三角形中明确标注 30° 角、其所对的直角边和斜边，强化对应关系。
幻灯片 7：例题解析（一）—— 直接应用性质求边长
例题 1：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，斜边 AB = 10cm，求 BC 的长度。
解题思路：
已知该三角形是直角三角形，∠A = 30°，根据性质定理，30° 角所对的直角边 BC 等于斜边 AB 的一半。
因此 BC = 1/2 AB = 1/2 × 10 = 5cm。
解答过程：
∵在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，AB 为斜边，
∴BC = 1/2 AB（含 30° 角的直角三角形的性质）。
∵AB = 10cm，
∴BC = 1/2 × 10 = 5cm。
幻灯片 8：例题解析（二）—— 结合等边三角形应用性质
例题 2：如图，在等边△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，若 AB = 8cm，求 AD 的长度。
解题思路：
由等边三角形性质可知 AB = BC = 8cm，∠B = 60°，AD⊥BC，所以△ABD 是含 30° 角的直角三角形（∠BAD = 30°）。
在 Rt△ABD 中，∠BAD = 30°，其所对的直角边 BD = 1/2 AB = 4cm。
根据勾股定理，AD = √(AB - BD ) = √(8 - 4 ) = √48 = 4√3 cm。
解答过程：
∵△ABC 是等边三角形，AD 是高，
∴AB = BC = 8cm，∠ADB = 90°，∠BAD = 1/2 ∠BAC = 30°（三线合一）。
在 Rt△ABD 中，∠BAD = 30°，
∴BD = 1/2 AB = 1/2 × 8 = 4cm（含 30° 角的直角三角形的性质）。
由勾股定理得：AD = √(AB - BD ) = √(8 - 4 ) = √(64 - 16) = √48 = 4√3 cm。
幻灯片 9：例题解析（三）—— 性质的综合应用
例题 3：如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，若 CD = 2cm，求 AB 的长度。
解题思路：
在 Rt△ABC 中，∠A = 30°，所以∠ABC = 60°，BC = 1/2 AB。
因为 BD 平分∠ABC，所以∠CBD = 30°。
在 Rt△BCD 中，∠CBD = 30°，所以 CD = 1/2 BD（30° 角所对直角边等于斜边一半），因此 BD = 2CD = 4cm。
由勾股定理得 BC = √(BD - CD ) = √(4 - 2 ) = √12 = 2√3 cm，进而 AB = 2BC = 4√3 cm。
解答过程：（根据上述思路逐步书写，此处省略详细步骤）
幻灯片 10：性质的逆命题探究
逆命题内容：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30°。
推理验证：
已知：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 1/2 AB。
求证：∠A = 30°。
证明：延长 BC 至 D，使 CD = BC，连接 AD。（同性质证明辅助线）
可证△ABD 是等边三角形，∠BAD = 60°，又因为 AC⊥BD，所以 AC 平分∠BAD，因此∠A = 30°。
应用价值：该逆命题成立，可作为判定直角三角形中是否存在 30° 角的依据，拓展解题思路。
幻灯片 11：课堂练习
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 30°，AC = 3cm，则斜边 AB 的长为______cm。
如图，在 Rt△ABC 中，∠A = 30°，BC = 5cm，CD 是斜边 AB 上的高，求 CD 的长度。
已知：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 2AC，求证：∠B = 30°。
幻灯片 12：含 30° 角的直角三角形与等边三角形的联系
转化关系：将等边三角形沿着一条高剪开，可得到两个全等的含 30° 角的直角三角形；反之，两个全等的含 30° 角的直角三角形可拼成一个等边三角形。
性质迁移：含 30° 角的直角三角形的性质本质上是等边三角形性质的延伸，通过中线（高、角平分线）将等边三角形分割后，30° 角所对直角边与斜边的关系自然显现。
图形演示：用动画展示等边三角形分割为两个含 30° 角直角三角形的过程，以及两个直角三角形拼接为等边三角形的过程，直观呈现联系。
幻灯片 13：课堂小结
知识总结：
含 30° 角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半。
几何语言：Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30° BC = 1/2 AB。
逆命题：直角三角形中，若一直角边是斜边一半，则该边所对锐角为 30°（成立）。
方法总结：解决含 30° 角的直角三角形问题时，要明确 30° 角所对的直角边，灵活运用性质求边长；涉及等边三角形的高或中线时，可转化为含 30° 角的直角三角形求解。
思想提炼：通过等边三角形与含 30° 角直角三角形的转化，体会化归思想在几何中的应用，理解特殊图形性质之间的内在联系。
幻灯片 14：课后作业
基础作业：课本第 XX 页习题 15.3 第 12、13 题，运用含 30° 角直角三角形的性质进行计算和证明。
提升作业：如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，∠A = 30°，CD⊥AB 于 D，AB = 8cm，求 AD 的长度。
拓展作业：在含 30° 角的直角三角形中，斜边与较短直角边的差为 6cm，求较长直角边的长度。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
15.3.2.2含30°角的直角三角形的性质
第十五章 轴对称
合理应用含 30°角的直角三角形的性质，强化应用意识.
经历探究含 30°角的直角三角形性质的过程，提升推理能力.
掌握含 30°角的直角三角形的边角性质.
a. 量一量这个三角板的短直角边和斜边的长度.
说一说你发现了什么？
短直角边：6.9 cm
斜边：13.8 cm
短直角边的长是斜边长的一半
b. 将两个全等的含 30°角的直角三角尺摆在一起. 你能借助这个图形，找到 Rt△ABC 的直角边 BC 与斜边 AB 之间的数量关系吗？
C
A
B
D
猜测：
理由：①△ABD为等边三角形；
②△ADC与△ABC关于直线AC轴对称.
如图，在△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，测量∠A 所对的直角边 BC 与斜边 AB，你能得到什么结论？
探究新知
含 30° 角的直角三角形的性质
探 究
A
B
C
30°
再画几个满足条件的三角形，你得到的结论还成立吗？
仍然成立.
你能证明你的结论吗？
已知：如图，在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°，∠A = 30°. 求证：
分析：
2BC = AB
构造长为 2BC 的线段
构造长为 AB 的线段
A
B
C
30°
构造线段
A
B
C
30°
D
A
B
C
30°
D
证明：如图，延长 BC 到 D，使 CD = BC，连接 AD，则 AC 是 BD 的垂直平分线.
所以 AB = AD.
又因为∠B = 90° –∠BAC
= 90° – 30° = 60°，
所以△ABD 是等边三角形，
所以 BD = AB.
方法①
A
B
C
30°
D
又 BD = 2BC，所以 BC = AB.
∴∠B = 90° – 30° = 60°.
又 BD = BC，∴△BCD 是等边三角形.
∴BD = CD = BC，∠BCD = 60°.
∵∠ACB = 90°，∴∠ACD =∠ACB –∠BCD = 30°.
又∠A = 30°，∴∠A =∠ACD.
∴AD = CD = BC = BD.
证明：如图，在 AB 边上截取 BD = BC，连接 CD. 在 Rt△ABC 中，
∵∠ACB = 90°，∠A = 30°，
A
B
C
30°
D
方法②
含 30° 角的直角三角形的性质
所以 BC = AB.
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
在Rt△ABC 中，
∵∠C = 90°，∠A = 30°，
∴ BC = AB.
几何语言：
A
B
C
30°
针对训练
1. 在 Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = 2∠A，∠B 和∠A 各是多少度？边 AB 与 BC 之间有什么关系？
教材P84练习 第1题
解：∵ ∠C = 90°，∠B = 2∠A，∠A +∠B +∠C = 180°，
∴ ∠A + 2∠A + 90° = 180°.
∴ ∠A = 30°.
∴ ∠B = 2∠A = 60°.
∴ AB = 2BC.
针对训练
2. 在 Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = 2BC，∠B 和∠A 各是多少度？
教材P84练习 第2题
A
B
C
D
解：如图，延长 BC 至点 D，使 CD = BC，连接 AD，则 BD = 2BC.
∵ AB = 2BC，∴ AB = BD.
∵∠ACB = 90°，CD = BC，
∴ AC 是 BD 的垂直平分线.
∴ AD = AB = BD. ∴ △ABD 是等边三角形.
∴ ∠B = 60°. ∴ ∠CAB = 90° – ∠B = 30°.
教材P83例题
例5 图中是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC，DE 垂直于横梁 AC，AB = 7.4 m，∠A = 30°. 求立柱 BC，DE 的长.
教材P83例题
解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A = 30°，
∴BC = AB，DE = AD.
∴BC = ×7.4 =3.7(m) .
又 AD = AB，∴DE = AD = ×3.7 =1.85(m).
答：立柱 BC 的长是 3.7 m，DE 的长是 1.85 m.
1.（1）等腰三角形的一个角是 110°，它的另外两个角是多少度？
【教材P84习题15.3 第1题】
解：（1）∵等腰三角形的一个角是110°，内角和为180°， ∴这个角只能是顶角.
∴它的另外两个底角的度数为
(180° – 110°)÷2 = 35°.
（2）等腰三角形的一边长是 8，周长是 18，它的另外两边长是多少？
（2）分两种情况讨论：
①当长是8的边为底边时，两腰长均为(18 – 8)÷2 = 5，此时三边长为 5，5，8，符合三角形三边关系；
②当长是 8 的边为腰时，底边长为 18 – 8×2 = 2，此时三边长为8，8，2，符合三角形三边关系.
综上所述，它的另外两边长分别是 5，5 或 2，8.
2. 如图，AD // BC，BD 平分∠ABC.
求证 AB = AD.
【教材P84习题15.3 第2题】
证明：∵AD // BC，
∴∠CBD = ∠ADB.
∵BD 平分∠ABC，
∴∠CBD =∠ABD.
∴∠ADB =∠ABD.
∴AB = AD(等角对等边).
3. 如图，五角星中有五个全等的等腰三角形，它们的顶角都是 36°. 求∠AMB的度数 .
【教材P84习题15.3 第3题】
解：如图. ∵五角星的五个角都是
顶角为 36°的等腰三角形，
∴∠A = 36°.
∴∠AMN = (180°– 36°)÷2 = 72°.
∴∠AMB = 180° –∠AMN = 180° – 72° = 108°.
4. 如图，在△ABC 中，点 D，E 在边 BC 上，AB = AC，AD = AE. 求证 BD = CE.
【教材P84习题15.3 第4题】
证明：∵AB = AC，∴∠B =∠C.
∵AD = AE，∴∠ADE =∠AED，
∴∠ADB =∠AEC.
∴△ABD≌△ACE（AAS）.
∴BD = CE.
5. 如图，∠A =∠B = 60°，CE // DA，CE 交AB 于点 E. 求证：△CEB 是等边三角形 .
【教材P84习题15.3 第5题】
证明：∵CE // DA，
∴∠CEB =∠A = 60°.
又∠B = 60°，
∴∠BCE =∠B =∠CEB = 60°.
∴△CEB 是等边三角形.
6. 如图，AB = AC，∠A = 40°，AB的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D. 求∠DBC 的度数 .
【教材P84习题15.3 第6题】
解：∵AB = AC，∠A = 40°，
∴∠ABC =∠ACB = (180° – 40°)÷2 = 70°.
∵MN 是 AB 的垂直平分线，
点 D 在 MN 上，
∴DA = DB.
∴∠ABD =∠A = 40°.
∴∠DBC =∠ABC –∠ABD = 70°– 40° = 30°.
7. 如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中 AB = AC，立柱 AD ⊥ BC，顶角∠BAC = 120°. AD 与 AB 有什么数量关系？
【教材P85习题15.3 第7题】
解：∵AB = AC，∠BAC = 120°，
∴∠B =∠C = (180°–∠BAC) = 30°.
∵AD⊥BC，∴∠ADB = 90°.
∴AD = AB.
8. 某中学的同学们设计了下面的方法检测教室的房梁是否水平：
【教材P85习题15.3 第8题】
综合运用
在等腰直角三角尺斜边的中点拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过三角尺的直角顶点，那么可以确定房梁是水平的. 他们的方法对吗？为什么？
解：他们的方法是对的. 理由：
∵等腰直角三角尺的斜边贴在房梁上，O 是 AB 的中点，线绳经过点 C，
∴OC 是等腰直角三角形 ABC 的中线，且OC⊥AB（房梁）.
又 OC 是铅垂线，它垂直于地面，
∴房梁平行于地面，即房梁是水平的.
∴他们的方法是对的.
9. 上午 8 时，一条船从海岛 A 出发，以 15 n mile/h 的速度向正北航行，10 时到达海岛 B 处 . 从 A，B 望灯塔 C，测得∠NAC = 42°，∠NBC = 84°. 求海岛 B 与灯塔 C 的距离 .
【教材P85习题15.3 第9题】
解：∵船从海岛 A 出发，2 h 后到达海岛 B，
∴ AB = (10 – 8)×15 = 30 (n mile).
∵∠NAC = 42°，∠NBC = 84°，
且∠NBC 是△ABC 的一个外角，
∴∠BCA =∠NBC –∠NAC = 84° – 42° = 42°.
∴∠NAC =∠BCA.
∴BC = AB = 30 n mile.
答：海岛 B 与灯塔 C 的距离是 30 n mile.
10. 如图， △ABC 是等边三角形，E 是边 AC 上的点，且∠1 =∠2，CD = BE. 判断△ADE 的形状，并说明理由.
【教材P85习题15.3 第10题】
解：△ ADE 是等边三角形. 理由如下：
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB = AC，∠BAE = 60°.
又∠1 =∠2，BE = CD，
∴△ABE≌△ACD（SAS）.
∴AE = AD，∠CAD =∠BAE = 60°.
∴△ADE 是等边三角形.
11. 如图，△ ABD，△AEC 都是等边三角形 . 求证 BE = DC.
【教材P85习题15.3 第11题】
证明：∵△ABD，△AEC 都是等边三角形，
∴AD = AB，AC = AE，∠DAB =∠CAE = 60°.
∴∠DAB +∠BAC =∠CAE +∠BAC，
即∠DAC =∠BAE.
在△DAC 和△BAE 中，
AD = AB，
∠DAC = ∠BAE，
AC = AE，
∴△DAC≌△BAE（SAS）.
∴BE = DC.
12. 如图，在△ABC 中，AB = AC，∠B = 30°，AD⊥AB，交 BC 于点 D. 若 AD = 2，求 BC 的长 .
【教材P86习题15.3 第12题】
解：∵AD⊥AB，∴∠BAD = 90°.
又∠B = 30°，
∴BD = 2AD = 2×2 = 4，∠ADB = 60°.
∵AB = AC，∴∠C =∠B = 30°.
∴∠DAC =∠ADB –∠C = 30°=∠C.
∴CD = AD = 2.
∴BC = BD + CD = 4 + 2 = 6.
13. 如图，P，Q 是△ABC 的边 BC 上的两点， 并且 BP = PQ = QC = AP = AQ. 求∠BAC 的度数.
【教材P86习题15.3 第13题】
解：∵PQ = AP = AQ，
∴△APQ 为等边三角形.
∴∠PAQ = ∠APQ =∠AQP = 60°.
又 BP = AP，∴∠B = ∠BAP.
∵∠B +∠BAP =∠APQ = 60°，
∴∠BAP = 30°.
同理可得，∠CAQ = 30°，
∴∠BAC =∠BAP +∠PAQ +∠CAQ
= 30° + 60° + 30° = 120°.
14. 等腰三角形两底角的平分线相等吗？两腰上的中线呢？两腰上的高呢？证明其中的一个结论. 你还能发现其他结论吗？
【教材P86习题15.3 第14题】
解：等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的中线相等，两腰上的高相等.
其他结论：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等；等腰三角形两底角的平分线与底边可形成一个等腰三角形（答案不唯一）.
下面证明第一个结论.
已知：如图，在△ABC中，AB = AC，BE，CD 分别平分∠ABC，∠ACB. 求证：CD=BE.
证明：∵AB = AC，∴∠DBC =∠ECB.
又 BE，CD 分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠1 = ∠ABC，∠2 = ∠ACB.
∴∠1 =∠2.
在△BDC 和△CEB 中，
∠DBC = ∠ECB，
BC = CB，
∠2 = ∠1，
∴△BDC≌△CEB（ASA）. ∴CD = BE.
15. 如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户 . 如果∠C = 90°，∠B = 30°，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请你试着分一分，并在图上画出来 .
【教材P86习题15.3 第15题】
解：如图，作∠CAB 的平分线，交 BC 于点 D，过点 D 作 DE⊥ AB，垂足为 E.
则△ABC 就分成了三个大小、形状都相同的三角形，即△AED，△ACD 和△BED.
D
E
知识点 含 角的直角三角形的性质
（第1题）
1.如图，在中， ， ，
，则 的长为( )
C
A.1 B.1.5 C.2 D.2.5
（第2题）
2. 如图是某商场一楼与二楼之间
的电梯示意图. ，的长是 ，
则乘电梯从点到点上升的高度 是( )
D
A. B. C. D.
（第3题）
3.［2025泰安泰山区期末］如图， 是等边三角
形，为的中点，，垂足为.若 ，
则 的边长为( )
A
A.12 B.10 C.8 D.6
（第4题）
4.［2025江门期末］如图，在 中，
， ，为 的垂直平分线，
，则 的长是___.
8
5.［教材习题变式］如图，在中， ，
，交于点.求证： .
证明：， ，
.
， ，
在中， .
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
B
C
30°
课后作业
从课后习题中选取；
完成练习册本课时的习题.
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