资源简介

(共32张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：16.1.2 幂的乘方与积的乘方 - 解锁指数运算新技能
背景图：以动态几何图形为背景，图形中嵌入幂的乘方与积的乘方算式，如\((2^3)^2\)、\((3 4)^2\)等，搭配渐变色彩特效，营造层层递进的知识探索氛围，激发学生对新知识的学习兴趣
幻灯片 2：目录
复习回顾，衔接新知
幂的乘方探究与法则推导
积的乘方探究与法则推导
法则应用与易错点解析
综合拓展练习
课堂互动与反馈
课堂总结
课后作业布置
幻灯片 3：复习回顾，衔接新知
旧知回顾：
提问学生 “同底数幂的乘法法则是什么？” 引导学生回答：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即\(a^m a^n = a^{m + n}\)（\(m\)、\(n\)都是正整数）。
快速计算练习：\(10^3 10^4=\_\_\_\_\_\)，\(x^2 x^5=\_\_\_\_\_\)，\((a + b)^3 (a + b)^2=\_\_\_\_\_\)，巩固同底数幂乘法法则的应用。
情境引入：提出问题 “一个正方体的棱长为\(a^2\)，它的体积是多少？” 引导学生列出算式\((a^2)^3\)；再提出 “一个长方体的长、宽、高分别为\(a\)、\(b\)、\(c\)，则它的体积为\(abc\)，若长、宽、高都扩大到原来的\(2\)倍，体积变为多少？” 列出算式\((2a) (2b) (2c)=8abc=(2)^3 abc\)，引出本节课幂的乘方与积的乘方的学习内容。
幻灯片 4：幂的乘方探究与法则推导
探究活动：让学生计算以下式子：
\((2^3)^2 = 2^3 2^3 = 2^{3 + 3}=2^{3 2}=2^6\)；
\((a^4)^3 = a^4 a^4 a^4 = a^{4 + 4 + 4}=a^{4 3}=a^{12}\)；
\((5^m)^n=\underbrace{5^m 5^m \cdots 5^m}_{n 5^m}=5^{\underbrace{m + m + \cdots + m}_{n m}}=5^{m n}\)。
引导学生观察计算结果，思考等式左右两边的底数、指数有什么关系。
小组讨论：组织学生小组讨论，交流发现。教师巡视指导，引导学生关注底数是否变化，指数如何运算。
法则推导：对于幂的乘方\((a^m)^n\)（\(m\)、\(n\)都是正整数），根据乘方的意义和同底数幂的乘法法则，\((a^m)^n=\underbrace{a^m a^m \cdots a^m}_{n a^m}=a^{\underbrace{m + m + \cdots + m}_{n m}}=a^{m n}\)。
法则总结：得出幂的乘方法则：\((a^m)^n = a^{mn}\)（\(m\)、\(n\)都是正整数），即幂的乘方，底数不变，指数相乘。
幻灯片 5：积的乘方探究与法则推导
探究活动：让学生计算以下式子：
\((2 3)^2=(2 3) (2 3)=(2 2) (3 3)=2^2 3^2=4 9 = 36\)；
\((ab)^3=(ab) (ab) (ab)=(a a a) (b b b)=a^3 b^3\)；
\((abc)^2=(abc) (abc)=(a a) (b b) (c c)=a^2 b^2 c^2\)。
引导学生观察计算结果，思考积的乘方与每个因式乘方的关系。
小组讨论：组织学生小组讨论，归纳积的乘方的运算规律。教师引导学生总结：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
法则推导：对于积的乘方\((ab)^n\)（\(n\)是正整数），根据乘方的意义和乘法交换律、结合律，\((ab)^n=\underbrace{(ab) (ab) \cdots (ab)}_{n ab}=\underbrace{(a a \cdots a)}_{n a} \underbrace{(b b \cdots b)}_{n b}=a^n b^n\)。
法则总结：得出积的乘方法则：\((ab)^n = a^n b^n\)（\(n\)是正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。该法则可以推广到三个或三个以上因式的积的乘方，如\((abc)^n = a^n b^n c^n\)（\(n\)是正整数）。
幻灯片 6：法则应用 - 幂的乘方基础应用
例题讲解：
计算：\((10^3)^5\)
分析：根据幂的乘方法则，底数\(10\)不变，指数\(3\)和\(5\)相乘，即\((10^3)^5 = 10^{3 5}=10^{15}\)。
计算：\((a^4)^2\)
分析：底数\(a\)不变，指数\(4\)和\(2\)相乘，\((a^4)^2 = a^{4 2}=a^8\)。
计算：\(-(x^2)^3\)
分析：先计算幂的乘方，底数\(x\)不变，指数\(2\)和\(3\)相乘，再加上负号，即\(-(x^2)^3=-x^{2 3}=-x^6\)。
幻灯片 7：法则应用 - 积的乘方基础应用
例题讲解：
计算：\((2a)^3\)
分析：根据积的乘方法则，把\(2\)和\(a\)分别乘方，再把所得的幂相乘，即\((2a)^3 = 2^3 a^3=8a^3\)。
计算：\((-3x)^2\)
分析：把\(-3\)和\(x\)分别乘方，\((-3)^2 = 9\)，\(x^2\)不变，所以\((-3x)^2=(-3)^2 x^2 = 9x^2\)。
计算：\((xy^2)^3\)
分析：把\(x\)、\(y^2\)分别乘方，\(x^3\)，\((y^2)^3 = y^{2 3}=y^6\)，所以\((xy^2)^3=x^3 y^6=x^3y^6\)。
幻灯片 8：法则应用 - 综合提升应用
例题讲解：
计算：\((a^2)^3 a^4\)
分析：先算幂的乘方，\((a^2)^3 = a^{2 3}=a^6\)，再算同底数幂乘法，\(a^6 a^4 = a^{6 + 4}=a^{10}\)。
计算：\((2ab^2)^3 (-3a^2b)\)
分析：先算积的乘方，\((2ab^2)^3=2^3 a^3 (b^2)^3 = 8a^3b^6\)，再算乘法，\(8a^3b^6 (-3a^2b)=8 (-3) a^{3 + 2} b^{6 + 1}=-24a^5b^7\)。
已知\(a^m = 2\)，\(a^n = 3\)，求\(a^{3m + 2n}\)的值
分析：逆用幂的乘方和同底数幂乘法法则，\(a^{3m + 2n}=a^{3m} a^{2n}=(a^m)^3 (a^n)^2=2^3 3^2 = 8 9 = 72\)。
幻灯片 9：易错点解析
易错点一：混淆幂的乘方与同底数幂乘法法则
错误示例：\((a^3)^2 = a^{3 + 2}=a^5\)
正确解析：幂的乘方应是指数相乘，正确结果为\((a^3)^2 = a^{3 2}=a^6\)。
易错点二：积的乘方漏乘某个因式
错误示例：\((2a)^3 = 2 a^3=2a^3\)
正确解析：积的乘方要把每个因式都乘方，正确结果为\((2a)^3 = 2^3 a^3=8a^3\)。
易错点三：符号处理错误
错误示例：\((-2x)^2=-4x^2\)
正确解析：负数的偶次幂是正数，正确结果为\((-2x)^2=(-2)^2 x^2 = 4x^2\)。
幻灯片 10：综合拓展练习
练习题目：
计算\((x^3)^4 x^2\)
计算\((-2x^2y)^3\)
计算\((a^2b)^2 (ab^2)^3\)
已知\(x^{2n}=3\)，求\((x^{3n})^2\)的值
互动环节：采用小组竞赛的形式，各小组推选代表回答问题，答对一题得一分，最后得分最高的小组获得小奖励。教师对各题进行详细讲解，强调解题思路和方法。
幻灯片 11：课堂总结
知识梳理：
幂的乘方法则：\((a^m)^n = a^{mn}\)（\(m\)、\(n\)都是正整数），底数不变，指数相乘。
积的乘方法则：\((ab)^n = a^n b^n\)（\(n\)是正整数），把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可推广到多个因式的积的乘方。
法则的逆用：\(a^{mn}=(a^m)^n=(a^n)^m\)；\(a^n b^n=(ab)^n\)，在求值问题中常常用到。
方法总结：学习幂的运算时，要注意区分不同法则的适用条件，仔细观察底数和指数的特点，严格按照法则进行计算，同时要学会灵活运用法则解决问题。
幻灯片 12：课后作业布置
书面作业：
课本第 [X] 页练习题第 [X]、[X]、[X] 题。
计算\((3a^2b)^2 (-2ab^3)^3\)；已知\(2^m = 5\)，\(2^n = 7\)，求\(2^{2m + n}\)的值。
拓展作业：举例说明幂的乘方与积的乘方在实际生活中的应用，如建筑中体积计算、科学计数法表示大数等，撰写一篇简短的数学小短文。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
16.1.2 幂的乘方与积的乘方
第十六章 整式的乘法
1. 知道幂的乘方的法则；
2. 认识积的乘方的推导过程；
3. 能熟练地运用幂的乘方与积的乘方的法则进行化简和计算.
同底数幂相乘，底数______，指数______.
不变
相加
可推广：
am·an = _______ (m、n都是正整数)
am·an·····ap =_________(m、n都是正整数)
am+n
可逆用：
am+n+···+p
am+n =_________(m、n都是正整数)
am·an
根据乘方的意义及同底数幂的运算性质填空，观察计算结果，你能发现什么规律？
(1) (32)3 = 32×32×32 = 3( )；
(2) (a2)3 =____________= a( )；
(3) (am)3 =_________= a( ).
6
a2×a2×a2
6
探 究
am·am·am
3m
2×3 = 6
2×3 = 6
3·m = 3m
幂的乘方
底数_____，指数_____
不变
相乘
知识点1 幂的乘方
(am)n
你能将上面发现的规律推导出来吗？
一般地，对于任意底数 a 与任意正整数 m，n，
底数不变指数相乘
= am·am·····am
( )个am
= am+m+···+m
( )个( )
= amn
n
n
m
因此，我们有：
即幂的乘方，底数______，指数______.
不变
相乘
(am)n = amn (m、n都是正整数)
[(am)n ]p
= [amn]p
= amnp
即多重乘方可以重复运用上述法则：
[(am)n ]p= amnp (m、n、p都是正整数)
例2　计算：　
(3) (am)2 ；
(1) (103)5；
(2) (a4)4；
(4) – (x4)3 .
解：(1) (103)5
= 103×5
= 1015
(2) (a4)4
(3) (am)2
(4) – (x4)3
= a4×4
= a16
= am×2
= – x4×3
= – x12
= a2m
思考
– (x4)3 、– (x3)4 、(–x4)3 、(–x3)4 的结果一样吗？
– (x4)3 = _________________；
– (x3)4 = _________________；
(–x4)3 = _____________________________；
(–x3)4 = _________________________________.
思考
– x4×3
= – x12
– x3×4
= – x12
(–x4)(–x4)(–x4)
= – x4·x4·x4
= – x12
(–x3)(–x3)(–x3)(–x3)
= x3·x3·x3·x3
= x12
括号外有“-”不影响结果
括号内有“-”时：
(–am)n =
amn，n为偶数
–amn ，n为奇数
练习
计算：
① (-104)2； ② a(a2)2；
③ [(-2)4]3； ④ (-a2)3·(-a3)2.
= 108
= a·a4
= 212
= -a6·a6
先判断符号，后计算
= a5
= -a12
内容 公式 区别 联系
幂的乘方
同底数幂的乘法 幂的乘方和同底数幂的乘法的区别与联系：
(am)n = amn (m、n都是正整数)
底数不变，
指数相乘
底数不变，
指数相加
幂的乘方可以转化为同底数幂相乘；
当指数相同的两个同底数幂相乘时，可以转化为幂的乘方
am·an = am+n (m、n都是正整数)
知识点2 积的乘方
下面两题有什么特点？
(1) (ab)2 ； (2) (ab)3.
观察
底数都是积的形式
我们该如何计算积的乘方？
积的乘方
填空，下面的运算过程用到哪些运算律？运算结果有什么规律？
(1) (ab)2 = ___________ = ___________ = a( )b( ) ；
(2) (ab)3 =____________= ____________= a( )b( ) .
探 究
(ab)·(ab)
(a·a)·(b·b)
2
2
(ab)·(ab) ·(ab)
(a·a·a)·(b·b·b)
3
3
乘方的意义
乘法交换律、结合律
乘方的意义
(ab)n =？
(ab)n
你能将上面发现的规律推导出来吗？
一般地，对于任意底数 a，b与任意正整数 n，
= (ab)·(ab)····· (ab)
( )个ab
= (a·a·····a)·(b·b·····b)
( )个( )
= anbn
n
n
a
( )个( )
n
b
因此，我们有：
即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
(ab)n = anbn (n是正整数)
(abc)n
= (ab)ncn
= anbncn
三个或三个以上的积的乘方，也具有这一性质.
例3　计算：
= (–2)4 ·(x3)·y4
= x2 ·(y2)2
= (–5)3 ·b3
= 23·a3
（1）(2a)3；
（2）(–5b)3；
（3）(xy2)2；
（4）(–2x3y)4.
解：（1）(2a)3
（2）(–5b)3
（3）(xy2)2
（4）(–2x3y)4
= 16x12y4
= x2y4
= –125b3
= 8a3
记得带符号！
3. 下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
【教材P101练习 第1题】
（3）(–2a)2 = –4a2.
（1）(a5)2 = a7；
（2）(ab2)3 = ab6 ；
×
×
×
a10
a3b6
4a2
4. 计算：
（1） (103)3； （2） (x3)2；
【教材P101练习 第2题】
= 109
= x6
= –x5m
= a6 · a5
（3） -(xm)5； （4）(a2)3 · a5.
= a11
5. 计算：
（1） (ab)4； （2）(–3×102)3；
【教材P101练习 第3题】
= a4b4
= (–3)3×(102)3
= –9×106
= (2ab2)4
= 16a4b8
（3） （4）(2ab2)3·2ab2.
6. （1）若2x+y=3，则4x·2y= .
（2）已知3m·9m·27m·81m = 330，求 m 的值.
8
解：原式 = 3m·32m·33m·34m = 310m，
即 310m = 330，
∴ m = 3.
4x = (22)x
7. 计算：0.1252015×82016.
解：原式 = 0.1252015×82015×8
= (0.125×8)2015×8
= 12015×8
= 8
1. 计算：
（1）b3·b； （2）a5·a2；
（3）(–x)·(–x)2·(–x)3； （4）xm·x2m–1.
= b3+1
= a5+2
= (–x)1+2+3
= xm+2m-1
= a7
【教材P101习题16.1 第1题】
= b4
= (–x)6
= x6
= x3m-1
2. 计算：
（1） (102)8； （2） (xm)2；
= 102×8
= xm·2
= (–a)3×5
= –x2·m
（3） [(–a)3]5； （4）–(x2)m.
【教材P101习题16.1 第2题】
= 1016
= x2m
= (–a)15
= –a15
= –x2m
3. 计算：
（1） (2ab)3； （2） (–3x)4；
= 23·a3·b3
= (–3)4·x4
= xm·2·yn·2
= (–2)4×(103)4
（3） (xmyn)2； （4）(–2×103)4.
= 16×1012
【教材P101习题16.1 第3题】
= 8a3·b3
= 81x4
= x2my2n
= 1.6×1013
4. 计算：
（1） x·x3+x2·x2； （2） (–3pq)3；
= x4+x4
= (–3)3 · p3 · q3
= –(–2)4 ·(a2)4 ·b4
= a8 + a8 + 4a8
（3） –(–2a2b)4； （4）a3·a4·a + (a2)4 + (–2a4)2.
= 6a8
【教材P101习题16.1 第4题】
= 2x4
= –27p3q3
= –16a8b4
5. 计算：
（1）(x2)3·x2 – (x4)2；
= x6·x2 – x8
综合运用
【教材P101习题16.1 第5题】
（2）7x2·x5·(–x)5 + 5(x4)3.
= x8 – x8
= 0
= –7x12 + 5x12
= –2x12
6. 计算：
（1）[(–2a2b3)3]2；
【教材P101习题16.1 第6题】
（2）(–2xy2)6 + (–3x2y4)3 .
= (–8a6b9)2
= 64a12b18
= 64x6y12 – 27x6y12
= 37x6y12
7. 信息存储设备常用 B，KB，MB，GB，TB 等作为存储量的单位，其中 1 KB = 210 B(字节)，1 MB = 210 KB，1 GB = 210 MB，1 TB = 210 GB. 例如，我们常说某计算机的硬盘容量是 2 TB，某移动硬盘的容量是 512 GB，某文件的大小是 156 KB 等. 对于一个存储量为 64 GB 的闪存盘，其容量有多少字节？
解：64GB = 64×210×210×210 (B) = 236 (B) .
答：对于一个存储量为 64 GB 的闪存盘，其容量有 236 B.
【教材P102习题16.1 第7题】
8. （1）已知 2m = a，32n = b，求 23m+10n；
（2）已知 x + 2y – 7 = 0(x，y是正整数)，
求 2x·4y 的值.
解：（1） 23m+10n = 23m ·210n
【教材P102习题16.1 第8题】
= (2m)3·(25n)2
= (2m)3·(32n)2
= a3b2.
（2）因为 x + 2y – 7 = 0，所以x + 2y = 7.
所以 2x·4y = 2x·22y = 2x+2y = 27 = 128.
9. 若 am = an(a>0，a≠1)，则 m = n.
请利用上面的结论解决下面的问题：
（1）如果 2×8x×16x = 222，求 x 的值；
（2）如果 (9x)2 = 38，求 x 的值.
【教材P102习题16.1 第9题】
解：（1）因为 2×8x×16x = 2×(23)x×(24)x
= 2×23x×24x = 21+7x = 222，
所以 1 + 7x = 22，所以 x = 3.
（2）因为 (9x)2 =[(32)x]2 = (32x)2 = 34x = 38 ，
所以 4x = 8，所以 x = 2.
幂的乘方
法则
公式
积的乘方
积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
法则
公式
(ab)n = anbn (n是正整数)
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
(am)n = amn (m、n都是正整数)
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
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