资源简介

(共30张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：16.2.3 多项式与多项式相乘 - 整式乘法的综合运用
背景图：以网格拼图为背景，左侧拼图块标注多项式\((a + b)\)，右侧拼图块标注多项式\((c + d)\)，拼图拼接后形成完整矩形，网格中动态显示乘法分配律的分步应用过程，直观呈现多项式相乘的几何意义
幻灯片 2：目录
复习回顾，衔接新知
情境问题引发思考
多项式与多项式相乘法则推导
法则应用与步骤解析
易错点警示与纠正
课堂练习与互动提升
课堂总结与方法提炼
课后作业布置
幻灯片 3：复习回顾，衔接新知
单项式与多项式乘法回顾：
提问学生 “单项式与多项式相乘的法则是什么？” 引导回答：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
快速计算练习：
\(2x(3x + 5)=\_\_\_\_\_\)
\(-3a(a^2 - 2b)=\_\_\_\_\_\)
完成后集体订正，强调分配律的核心作用。
思维迁移引导：
提问 “如果两个因式都是多项式，比如\((x + 2)(x + 3)\)，该如何计算呢？能否转化为已学知识解决？”
引导学生思考：可将其中一个多项式看作一个整体，转化为单项式与多项式相乘的形式。
幻灯片 4：情境问题引发思考
实际问题：学校计划修建一块长方形花园，长为\((a + b)\)米，宽为\((c + d)\)米，这块花园的面积是多少平方米？
列式分析：根据长方形面积公式，列出算式：\((a + b)(c + d)\)。
探究计算方法：
方法一（几何分割）：将长方形分割为四个小矩形，面积分别为\(ac\)、\(ad\)、\(bc\)、\(bd\)，总面积为\(ac + ad + bc + bd\)。
方法二（代数转化）：把\((a + b)\)看作单项式，运用分配律：\((a + b)(c + d)=(a + b)c + (a + b)d = ac + bc + ad + bd\)。
结论对比：两种方法结果一致，均为\(ac + ad + bc + bd\)，验证了计算方法的合理性。
幻灯片 5：多项式与多项式相乘法则推导
实例拓展：计算以下多项式乘法：
\((x + 3)(x + 5)=x(x + 5) + 3(x + 5)=x^2 + 5x + 3x + 15=x^2 + 8x + 15\)
\((2a - b)(3a + 2b)=2a(3a + 2b) - b(3a + 2b)=6a^2 + 4ab - 3ab - 2b^2=6a^2 + ab - 2b^2\)
观察归纳：引导学生总结多项式相乘的步骤：
整体转化：将其中一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项；
单项式乘法：转化为单项式与多项式相乘，再进行单项式乘法；
合并同类项：把所得的积相加，并合并同类项。
法则总结：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。用字母表示为：\((a + b)(m + n)=am + an + bm + bn\)。
幻灯片 6：法则应用与步骤解析
例题 1：计算\((x - 2)(x + 4)\)
步骤解析：
逐项相乘：\(x x + x 4 + (-2) x + (-2) 4\)；
单项式乘法：\(x^2 + 4x - 2x - 8\)；
合并同类项：\(x^2 + 2x - 8\)。
例题 2：计算\((2m + 3n)(3m - 2n)\)
步骤解析：
逐项相乘：\(2m 3m + 2m (-2n) + 3n 3m + 3n (-2n)\)；
单项式乘法：\(6m^2 - 4mn + 9mn - 6n^2\)；
合并同类项：\(6m^2 + 5mn - 6n^2\)。
方法提炼：计算时按 “第一个多项式每一项 × 第二个多项式每一项→计算单项积→合并同类项” 的顺序，注意符号和指数运算的准确性。
幻灯片 7：易错点警示与纠正
易错点一：漏乘项
错误示例：\((x + 2)(x + 3)=x^2 + 3x + 2\)
正确解析：需逐项完整相乘，\(x 3 + 2 x + 2 3 = 3x + 2x + 6\)，正确结果为\(x^2 + 5x + 6\)。
易错点二：符号错误
错误示例：\((a - 1)(b - 2)=ab - 2a - b - 2\)
正确解析：负项相乘得正，\((-1) (-2)=2\)，正确结果为\(ab - 2a - b + 2\)。
易错点三：同类项合并错误
错误示例：\((2x + y)(x - y)=2x^2 - 2xy + xy + y^2=2x^2 - xy + y^2\)
正确解析：\(y (-y)=-y^2\)，正确结果为\(2x^2 - xy - y^2\)。
温馨提示：可通过 “划线标记法” 确保每一项都相乘，完成后检查符号和同类项合并是否正确。
幻灯片 8：课堂练习与互动提升
基础练习：
\((x + 5)(x - 3)=\_\_\_\_\_\)
\((2a + b)(a - 2b)=\_\_\_\_\_\)
提升练习：
3. \((m - 2n)(m + 2n) - m(m - 3n)\)（先乘法后化简）
4. 已知长方形的长为\((x + 2)\)，宽为\((x - 1)\)，面积为\(10\)，求\(x\)的值。
互动环节：采用 “师生互问” 模式，学生提出解题疑问，教师引导分析；教师随机抽查学生讲解思路，强化步骤规范性。
幻灯片 9：课堂总结与方法提炼
知识梳理：
多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式每一项乘另一个多项式每一项，再把积相加。
核心思想：转化思想，将多项式乘法转化为单项式乘法，再转化为幂的运算。
运算技巧：
展开项数规律：若两个多项式分别有\(m\)项和\(n\)项，则展开后有\(m n\)项（未合并前）。
符号处理口诀：“同号得正，异号得负，单独符号随项走”。
学习建议：多进行不同类型多项式乘法练习，积累符号处理和同类项合并的经验，提高运算效率。
幻灯片 10：课后作业布置
书面作业：
课本第 [X] 页练习题第 [X]、[X]、[X] 题。
计算\((3x - 2)(2x + 1) - (x + 3)(x - 3)\)；已知\((x + a)(x + b)=x^2 + 5x + 6\)，求\(a + b\)和\(ab\)的值。
拓展作业：研究多项式乘法与图形面积的关系，用画图法解释\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)的几何意义，撰写简短说明。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
16.2.3多项式与多项式相乘
第十六章 整式的乘法
掌握多项式乘多项式的运算法则.
灵活地运用法则进行计算和化简.
计算：（1）m(m – 1) – 3m(m+1) – 2m(5m – 4)；
解：（1）原式 = m2 – m – 3m2 – 3m – 10m2 + 8m
（2）[xy(x2 – xy) – x2y(x – y)]·3xy2.
= – 12m2 + 4m
（2）原式 = [(x3y – x2y2) – (x3y – x2y2)]·3xy2
= 0·3xy2
= 0
　已知某街心花园有一块长方形绿地，长为 a m，宽为 p m. 则它的面积是多少？
a
p
ap
为了扩大街心花园的绿地面积，将这块长方形绿地加长了 b m，加宽了 q m.
你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？
b
q
方法一：看作一个长方形，计算它的面积.
扩大后的绿地面积为：
a
p
ap
b
q
p+q
a+b
(a+b)(p+q)
方法二：看作两个长方形，计算它们的面积和.
a
p
ap
b
q
a
p
ap
b
q
p+q
a+b
扩大后的绿地面积为：
a(p+q)+b(p+q)
扩大后的绿地面积为：
p(a+b)+q(a+b)
方法三：看作四个长方形，计算它们的面积和.
扩大后的绿地面积为：
a
p
ap
b
q
ap+bp+aq+bq
bp
bq
aq
不同的表示方法：
(a+b)(p+q)
a(p+q)+b(p+q)
p(a+b)+q(a+b)
ap+bp+aq+bq
它们都表示这块绿地扩大后的面积，因此有：
a
p
ap
b
q
(a+b)(p+q)
a(p+q)+b(p+q)
p(a+b)+q(a+b)
ap+bp+aq+bq
=
=
=
你能通过怎样的推理得到这个等式？
(a+b)(p+q)
+
+
=
=
(a + b)(p + q) = ap + bp + aq + bq
将多项式(p+q)看成一个整体
a(p+q)
b(p+q)
再利用单项式乘多项式的法则
ap
bp
aq
bq
+
+
(a + b)(p + q) 的结果可以看作由 a + b 的每一项乘 p + q 的每一项，再把所得的积相加而得到的.
(a + b)(p + q) = ap + bp + aq + bq
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
①注意符号：“每一项”包括其前面的符号；
②合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积.
例3　计算：　
(1) (a + 3)(a – 2)；
(2) (3x + 1)(x + 2)；
解：(1) (a + 3)(a – 2)
= a·a + a·(–2) + 3·a +
3×(–2)
= a2 – 2a + 3a – 6
= a2 + a – 6
(2) (3x + 1)(x + 2)
= (3x)·x + (3x)·2 + 1·x +
1×2
= 3x2 + 6x + x + 2
= 3x2 + 7x + 2
(3) (x – 8y)(x – y)；
(4) (a + b) (a2 – ab + b2)；
(3) (x – 8y)(x – y)
= x2 – xy – 8xy + 8y2
= x2 – 9xy + 8y2
(4) (a + b) (a2 – ab + b2)
= a3 – a2b + ab2 + a2b –
ab2 + b3
= a3 + b3
例3　计算：　
3. 计算：
（1）(2x + 1)(x + 3)； （2）(m + 2n)(3n – m)；
【教材P107练习 第1题】
解： (2x + 1)(x + 3)
= 2x·x + 2x·3 + 1·x +
1×3
= 2x2 + 6x + x + 3
= 2x2 + 7x + 3
解： (m + 2n)(3n – m)
= m·3n + m·(–m) +
2n·3n + 2n·(–m)
= 3mn – m2 + 6n2 – 2mn
= – m2 + mn + 6n2
解： (a – 1)2
（3）(a – 1)2； （4）(a + 3b)(a – 3b)；
= (a – 1)(a – 1)
= a·a + a·(–1) + (–1)·a
+ (–1)×(–1)
= a2 – a – a + 1
= a2 – 2a + 1
解： (a + 3b)(a – 3b)
= a·a + a·(–3b) + 3b·a
+ 3b·(–3b)
= a2 –3ab + 3ab – 9b2
= a2 – 9b2
解： (2x2 – 1)(x – 4)
（5）(2x2 – 1)(x – 4)；
= 2x2·x + 2x2·(–4) + (–1)·x + (–1)×(–4)
= 2x3 – 8x2 – x + 4
解： (x2 + 2x + 3)(2x – 5)
= x2·2x + x2·(–5) + 2x·2x +2x·(–5) + 3·2x + 3×(–5)
= 2x3 – 5x2 + 4x2 – 10x + 6x – 15
= 2x3 – x2 – 4x – 15
（6）(x2 + 2x + 3)(2x – 5).
4. 计算：
（1）(x + 2)(x + 3)； （2）(x – 4)(x + 1)；
【教材P107练习 第2题】
解： (x + 2)(x + 3)
= x·x + x·3 + 2·x + 2×3
= x2 + 3x + 2x + 6
= x2 + 5x + 6
解： (x – 4)(x + 1)
= x·x + x·1+ (–4)·x +
(–4)×1
= x2 + x – 4x – 4
= x2 – 3x – 4
（3）(x + 4)(x – 2)；
【教材P107练习 第2题】
解： (x + 4)(x – 2)
= x·x + x·(–2) + 4·x +
4×(–2)
= x2 + –2x + 4x – 8
= x2 + 2x – 8
解： (x – 5)(x – 3)
= x·x + x·(–3) + (–5)·x +
(–5)×(–3)
= x2 – 3x – 5x + 15
= x2 – 8x + 15
4. 计算：
（4）(x – 5)(x – 3).
（1）(x + 2)(x + 3)；
= x2 + 5x + 6
= x2 – 3x – 4
（2）(x – 4)(x + 1)；
（3）(x + 4)(x – 2)；
= x2 + 2x – 8
= x2 – 8x + 15
（4）(x – 5)(x – 3)；
由上面计算的结果找规律，观察右图，填空：
(x + p)(x + q) = ( )2 + ( )x + ( ).
x2
x
x
p
q
qx
px
pq
x
p+q
pq
5. 求值： (x – y)(x2 + xy + y2) – (x + y)(x2 – y2) ，其中 x = ，y = 5.
【教材P107练习 第3题】
解： 原式 = x·x2 + x·xy + x·y2 + (–y)·x2 + (–y)·xy + (–y)·y2 – [x·x2 + x·(–y2) + y·x2 + y·(–y2)]
= x3 + x2y + xy2 –x2y – xy2 – y3 –x3 + xy2 –x2y + y3
= xy2 –x2y
当 x = ，y = 5 时，原式 =
知识点1 多项式与多项式相乘
1.填空：
（1） _________ __________
____.
（2） _______ ____
_______ __________________ .
1
2.［2025西安模拟］计算 的结果正确的是( )
C
A. B. C. D.
3.已知，则与 的值分别是( )
C
A.1， B.1，6 C.， D. ，6
4.下列多项式相乘的结果为 的是( )
D
A. B. C. D.
5. 如图，利用图形的面积可以说明下列多项式乘法运
算正确的是( )
D
A.
B.
C.
D.
6.［教材P练习T 变式］计算：
（1） ;
解：原式 .
（2） ；
解：原式
.
（3） ；
解：原式 .
（4） ；
解：原式 .
（5） ；
解：原式 .
（6） .
解：原式 .
多项式与多项式的乘法法则：
(a + b)(p + q) = ap + bp + aq + bq
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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