资源简介

(共55张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：16.2.4 整式的除法 - 整式运算的逆向探索
背景图：以齿轮反向传动动画为背景，左侧齿轮标注整式乘法结果（如\(6x^3\)），右侧齿轮标注整式（如\(2x\)、\(3x^2\)），齿轮反向转动时动态演示除法运算过程，直观呈现乘法与除法的逆运算关系
幻灯片 2：目录
复习回顾，逆向引入
同底数幂除法法则探究
单项式除以单项式法则推导
多项式除以单项式法则推导
法则应用与步骤解析
易错点警示与纠正
课堂练习与互动提升
课堂总结与方法提炼
课后作业布置
幻灯片 3：复习回顾，逆向引入
整式乘法回顾：
提问学生 “单项式与单项式相乘的法则是什么？” 引导回答：系数相乘、同底数幂相乘、保留单独字母。
快速计算练习：
\(2x 3x^2=\_\_\_\_\_\)
\(-4a^2b 5ab^3=\_\_\_\_\_\)
完成后集体订正，强调乘法运算的关键步骤。
逆向思考引导：
提问 “已知两个数的积和其中一个因数，如何求另一个因数？” 学生回答：用除法，即积 ÷ 一个因数 = 另一个因数。
迁移提问 “如果已知整式乘法的积和其中一个整式，如何求另一个整式？” 引出本节课整式除法的学习内容，如已知\(6x^3 = 2x ()\)，求括号内的整式。
幻灯片 4：同底数幂除法法则探究
情境问题：一种细胞每小时分裂一次，由\(1\)个分裂成\(2^3\)个，经过\(2^1\)小时后，每个细胞分裂成的数量是原来的多少倍？
列式分析：根据倍数关系，列出算式：\(2^3 ·2^1\)。
探究计算方法：
方法一（乘方意义）：\(2^3 ·2^1=(2 2 2) ·2 = 4 = 2^2\)。
观察规律：底数不变，指数相减，即\(2^3 ·2^1 = 2^{3 - 1}=2^2\)。
实例拓展：计算\(a^5 ·a^2\)（\(a 0\)），根据乘方意义得\((a a a a a) ·(a a)=a a a = a^3 = a^{5 - 2}\)。
法则总结：同底数幂相除，底数不变，指数相减。用字母表示为：\(a^m ·a^n = a^{m - n}\)（\(a 0\)，\(m\)、\(n\)都是正整数，且\(m>n\)）。
幻灯片 5：单项式除以单项式法则推导
情境问题：一个长方形的面积是\(12a^3b^2c\)，长是\(4a^2b\)，这个长方形的宽是多少？
列式分析：根据长方形宽 = 面积 ÷ 长，列出算式：\(12a^3b^2c ·4a^2b\)。
探究计算方法：
分步计算：系数相除\(12 ·4 = 3\)；同底数幂相除\(a^3 ·a^2 = a\)，\(b^2 ·b = b\)；单独字母保留\(c\)。
合并结果：\(3abc\)。
实例拓展：计算\(-18x^4y^3 ·6x^2y\)，过程为\((-18 ·6) (x^4 ·x^2) (y^3 ·y)=-3x^2y^2\)。
法则总结：单项式除以单项式，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
幻灯片 6：多项式除以单项式法则推导
情境问题：一个平行四边形的面积是\((6a^2b + 4ab^2)\)，高是\(2ab\)，这个平行四边形的底是多少？
列式分析：根据平行四边形底 = 面积 ÷ 高，列出算式：\((6a^2b + 4ab^2) ·2ab\)。
探究计算方法：
类比乘法分配律逆向应用：\((6a^2b + 4ab^2) ·2ab = 6a^2b ·2ab + 4ab^2 ·2ab\)。
分步计算：\(6a^2b ·2ab = 3a\)，\(4ab^2 ·2ab = 2b\)。
合并结果：\(3a + 2b\)。
实例拓展：计算\((8x^3 - 12x^2 + 4x) ·4x\)，过程为\(8x^3 ·4x - 12x^2 ·4x + 4x ·4x = 2x^2 - 3x + 1\)。
法则总结：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。用字母表示为：\((a + b + c) ·m = a ·m + b ·m + c ·m\)（\(m 0\)）。
幻灯片 7：法则应用与步骤解析
例题 1（单项式除以单项式）：计算\(28x^4y^2 ·7x^3y\)
步骤解析：
系数相除：\(28 ·7 = 4\)；
同底数幂相除：\(x^4 ·x^3 = x\)，\(y^2 ·y = y\)；
合并结果：\(4xy\)。
例题 2（多项式除以单项式）：计算\((15a^3 - 10a^2 + 5a) ·(-5a)\)
步骤解析：
分项相除：\(15a^3 ·(-5a) + (-10a^2) ·(-5a) + 5a ·(-5a)\)；
单项式除法：\(-3a^2 + 2a - 1\)；
结果呈现：\(-3a^2 + 2a - 1\)。
方法提炼：单项式除法按 “系数→同底数幂→单独字母” 分步运算；多项式除法先分项转化为单项式除法，再合并结果，注意符号处理。
幻灯片 8：易错点警示与纠正
易错点一：同底数幂除法指数运算错误
错误示例：\(a^6 ·a^2 = a^3\)
正确解析：指数应相减，\(6 - 2 = 4\)，正确结果为\(a^4\)。
易错点二：漏除多项式中的项
错误示例：\((4x^3 + 2x) ·2x = 2x^2\)
正确解析：需每一项都除以单项式，\(2x ·2x = 1\)，正确结果为\(2x^2 + 1\)。
易错点三：符号处理错误
错误示例：\((-6x^2y) ·(-2xy) = -3x\)
正确解析：负负得正，正确结果为\(3x\)。
温馨提示：计算时注意指数运算符号（减号），多项式除法确保每一项都参与运算，符号遵循 “同号得正，异号得负”。
幻灯片 9：课堂练习与互动提升
基础练习：
\(16x^3y ·4x^2=\_\_\_\_\_\)
\((9a^2b - 6ab^2) ·3ab=\_\_\_\_\_\)
提升练习：
3. 已知\(8a^3b^m ·28a^nb^2 = \frac{2}{7}b^2\)，求\(m\)、\(n\)的值。
4. 计算\((x^2y)^3 ·(x^2y) - x^2(xy^2 - 1)\)
互动环节：采用 “小组竞赛” 模式，各小组完成练习后派代表讲解，教师评分并点评典型错误。
幻灯片 10：课堂总结与方法提炼
知识梳理：
同底数幂除法：\(a^m ·a^n = a^{m - n}\)（\(a 0\)，\(m>n\)为正整数），底数不变，指数相减。
单项式除以单项式：系数、同底数幂分别相除，保留单独字母。
多项式除以单项式：分项除以单项式，再把商相加。
思想方法：
逆向思想：整式除法是整式乘法的逆运算，利用乘法与除法的互逆关系推导法则。
转化思想：将多项式除法转化为单项式除法，体现 “化整为零” 的解题思路。
学习建议：练习时注意区分乘法与除法的指数运算差异，通过对比练习强化法则应用，提高运算准确性。
幻灯片 11：课后作业布置
书面作业：
课本第 [X] 页练习题第 [X]、[X]、[X] 题。
计算\((2x^2y)^2 ·(4xy^2)\)；已知多项式\(A\)除以\(2x\)得\(3x^2 - 2x + 1\)，求多项式\(A\)。
拓展作业：探索生活中需要用到整式除法的场景（如平均分配问题、比例计算问题等），编一道应用题并解答，下节课分享。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
16.2.4整式的除法
第十六章 整式的乘法
1. 掌握同底数幂除法的运算法则并能正确计算.
2. 知道任何不等于0的数的0次幂都等于1.
3. 掌握单项式除以单项式及多项式除以单项式的
运算法则并能正确计算.
1. 计算：
22×23 = ( )；
54×52 = ( ) ；
72×75 = ( ) ；
a3·a4 = ( ).
25
56
77
a7
2. 填空：
22×( ) = 25；
( ) ×52 = 56；
( ) ×75 = 77；
a3·( ) = a7.
23
54
72
a4
3. 试一试：
25÷22 = ( )；
56÷52 = ( )；
77÷75 = ( )；
a7÷a3 = ( ).
23
54
72
a4
你是怎样填的
除法是乘法的逆运算
25÷22 = ( )；
56÷52 = ( )；
77÷75 = ( )；
a7÷a3 = ( ).
23
54
72
a4
观察计算过程，你能发现什么规律？
5 – 2 = 3
6 – 2 = 4
规律：
①都是同底数幂的除法；
②底数不变，指数相减.
7 – 5 = 2
知识点一 同底数幂的除法
7 – 3 = 4
你能用上述方法计算 am ÷ an (a ≠ 0，m，n都是正整数，m > n)吗？
求一个式子，使它与 an 的积等于 am
因为 am – n · an = a(m – n) + n = am，
所以 am ÷ an = am – n.
am ÷ an = am–n
(a ≠ 0， m，n 为正整数，m＞n)
即同底数幂相除，底数不变，指数相减.
一般地，我们有
a为什么不能为0？
0不能作除数，底数为0无意义.
思考
练习
计算：
= y10 – 8
= (–x)3 – 1
= (a – b)4 – 2
= (a – b)4 ÷ (a – b)2
= y2
= (–x)2
= (a – b)2
= x2
= (a – b)4 – 2
= (a – b)2
找准底数
(1) y10 ÷ y8 ； (2) (–x)3 ÷ (–x)；
(3)(a – b)4 ÷ (a – b)2； (4)(a – b)4 ÷ (b – a)2.
当 a ≠ 0 时，am ÷ am = = .
am-m
a0
任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1.
a0 = 1
于是规定
根据除法的意义，相同的两个不为零的数相除，商为_____.
1
例4　计算：　
(1) x8 ÷ x2 ；
解：(1) x8 ÷ x2
= x8 – 2
(2) (ab)5 ÷ (ab)2
= (ab)5 – 2
= x6
(2) (ab)5 ÷ (ab)2.
= (ab)3
= a3b3
练习
填空：
a3 = a7 – (___) = a(___) ÷ a3.
a3 = a7 ÷ a(___)
4
= a7 – (___)
4
4
a3 = a(___) – 3
6
= (___) ÷ a3
a6
6
根据乘除法互逆关系，填空：
因为 (4a2x3)· (3ab2) = 12a3b2x3 ，
所以 (12a3b2x3) ÷ (3ab2) = (______)，
(12a3b2x3) ÷ (4a2x3) = (_______).
4a2x3
3ab2
商式 4a2x3 的系数 4 = 12÷3，
a 的指数 2 = 3 – 1，
b 的指数 0 = 2 – 2，而 b0 =1，
x 的指数 3 = 3 – 0 .
知识点二 单项式除以单项式
单项式除以单项式的运算法则：
一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
4
a2
x3
1
(12a3b2x3) ÷ (3ab2) =
例5　计算：　
(1) (28x4y2) ÷ (7x3y)；
解：(1) (28x4y2) ÷ (7x3y)
= (28÷7)x4–3y2–1
(2) (–5a5b3c) ÷ (15a4b).
= 4xy
(2) (–5a5b3c) ÷ (15a4b)
= [(–5)÷15]a5–4b3–1c
=
计算：(am + bm)÷m = ___________.
知识点三 多项式除以单项式
因为 (a + b)m = am + bm ，
所以 (am + bm)÷m = (______).
又 am÷ (___) + bm÷ (___) = a + b，
所以 (am + bm)÷m = (__________________)
a + b
m
m
am÷m + bm÷m
a + b
思路：
单项式÷单项式
转化
多项式÷单项式
多项式除以单项式的运算法则：
一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
例5　计算：　
(3) (12a3 – 6a2 + 3a) ÷ (3a).
解： (12a3 – 6a2 + 3a) ÷ (3a)
= (12a3) ÷ (3a) – (6a2) ÷ (3a) + (3a) ÷ (3a)
= 4a2 – 2a + 1
2. 计算：
（1）x7÷x5； （2）m8÷m8；
（3）(–a)10 ÷(–a)7； （4）(xy)5÷(xy)3.
【教材P109练习 第1题】
解：(1) x7 ÷ x5
= x7 – 5
(2) m8 ÷ m8
= m0
= x2
= 1
(3) (–a)10 ÷ (–a)7
= (–a)10 – 7
= (–a)3
= –a3
(4) (xy)5 ÷ (xy)3
= (xy)5 – 3
= (xy)2
= x2y2
3. 计算：
（1）(10ab3)÷(–5ab) ； （2）(–8a2b3)÷(6ab2)；
【教材P109练习 第2题】
解：(1) (10ab3)÷(–5ab)
= [10÷(–5)]a1 – 1b3 – 1
= –2b2
(2) (–8a2b3)÷(6ab2)
= [(–8)÷6]a2–1b3–2
=
（3）(–21x2y4)÷(–3x2y3)；（4）(6×108)÷(3×105).
(3) (–21x2y4)÷(–3x2y3)
= [(–21)÷(–3)]x2–2y4–3
= 7y
(4) (6×108)÷(3×105)
= (6÷3)×108–5
= 2×103
4. 计算：
（1）(6ab + 5a)÷a；（2）(15x2y – 10xy2)÷(5xy).
【教材P109练习 第3题】
解：(1) (6ab + 5a)÷a
= (6ab)÷a + (5a)÷a
= 6b + 5
(2) (15x2y – 10xy2)÷(5xy)
= (15x2y)÷(5xy) – (10xy2)÷(5xy)
= 3x – 2y
1. 计算：
（1）3x·6x2y； （2）a2b (–3ab2)；
解：(1) 原式 = (3×6)(x·x2)·y
(2) 原式 = [1×(–3)](a2·a)(b·b2)
= –3a3b3
【教材P110习题16.2 第1题】
= 18x3y
（3）4x2y(–xy2)3；（4）(1.25×105)(2×103)3 .
(3) 原式 = 4x2y · (–1)3 · x3 · (y2)3
= [4×(–1)](x2·x3)(y·y6)
= 4x2y · (–1) · x3 · y6
= –4x5y7
(4) 原式 = (1.25×105)(8×109)
= (1.25×8) ×(105×109)
= 10×1014
= 1015
2. 计算：
（1）(4a – b2)(–2b)； （2） ；
解：(1) 原式 = (4a)·(–2b) + (–b2)·(–2b)
【教材P110习题16.2 第2题】
= –8ab + 2b3
(2) 原式 =
= 2x3 – x2
（3）5ab(2a – b + 0.2)； （4）
(3) 原式 = 5ab·2a + 5ab·(–b) + 5ab·0.2
= 10a2b – 5ab2 + ab
(4) 原式 =
= – 18a3 + 6a2 + 4a
3. 计算：
（1）(x – 6)(x – 3)； （2） ；
【教材P110习题16.2 第3题】
(2) 原式 =
解：(1) 原式 = x·x + x·(–3) + (–6)·x + (–6)×(–3)
= x2 – 3x – 6x + 18
= x2 – 9x + 18
=
=
（3）(3x + 2)(x + 2)；（4）(4y – 1)(5 – y) .
(3) 原式 = 3x·x + 3x·2 + 2·x + 2×2
= 3x2 + 6x + 2x + 4
= 3x2 + 8x + 4
(4) 原式 = 4y·5 + 4y·(–y) + (–1)×5 + (–1)·(–y)
= 20y – 4y2 – 5 + y
= – 4y2 + 21y – 5
（5）(x – 2)(x2 + 4)；（6）(x – 1)(x2 + x + 1) .
(5) 原式 = x·x2 + x·4 + (–2)·x2 + (–2)×4
= x3 – 2x2 + 4x – 8
(6) 原式 = x·x2 + x·x + x·1 + (–1)·x2 + (– 1)·x + (– 1)×1
= x3 + x2 + x – x2 – x – 1
= x3 – 1
4. 计算：
（1）(a3)2÷(a2)3； （2）(ab2)3÷(–ab)2；
（3）(25a3b2) ÷(5ab)2；
【教材P110习题16.2 第4题】
解：(1) 原式 = a6÷a6
= a0
= 1
(2) 原式 = a3b6÷[(–1)2·a2·b2]
= a3 – 2 b6 – 2
= ab4
(3) 原式 = (25a3b2)÷(25a2b2)
= (25÷25)a3 – 2 b2 – 2
= a
（4）(14m2n)2÷(7m2)÷(7m)；
（5）(–5a3b5c + 35a2b3c2 – abc)÷(–abc)；
(4) 原式 = (196m4n2)÷(7m2)÷(7m)
= (196÷7÷7)·m4 – 2 – 1n2
(5) 原式 = (–5a3b5c)÷(–abc) + 35a2b3c2÷(–abc) + (–abc)÷(–abc)
= 4mn2
= 5a2b4 – 35ab2c + 1
（6）(–81xn+5 + 15xn+1 – 3xn–1)÷(–3xn–1) .
(6) 原式 = (–81xn+5)÷(–3xn–1) + (15xn+1)÷(–3xn–1) + (–3xn–1)÷(–3xn–1)
= 27x6 – 5x2 + 1
5. 计算：
（1） ；
【教材P110习题16.2 第5题】
解：(1) 原式 =
=
=
（2） ；
(2) 原式 =
=
（3）(x – 3)(x – 2) – 6(x2 + x – 1)；
(3) 原式 = x2 – 2x – 3x + 6 – 6x2 – 6x + 6
= – 5x2 – 11x + 12
（4）(–4ab3 + 8a2b2)÷(4ab) – (2a + b)(a – b) .
(4) 原式 = (–4ab3)÷(4ab) + (8a2b2)÷(4ab) – (2a2 – 2ab + ab – b2)
= –b2 + 2ab – 2a2 + ab + b2
= – 2a2 + 3ab
综合运用
6. 计算：
（1）[5a4·a2 – (3a3)2]÷(2a2)2；
【教材P110习题16.2 第6题】
解：(1) 原式 = (5a6 – 9a6)÷(4a4)
= (–4a6)÷(4a4)
= –a2
（2）[(ab + 1)(ab – 1) – 2a2b2 + 1]÷(–ab)2 .
(2) 原式 = (a2b2 – ab + ab – 1 – 2a2b2 + 1)÷(a2b2)
= (–a2b2)÷(a2b2)
= –1
7. 先化简，再求值：
（1）x(1 – x2) + x2(x – 1) + x(x + 1)，其中 x = 2；
【教材P111习题16.2 第7题】
解：(1) 原式 = x – x3 + x3 – x2 + x2 + x
= 2x
当 x = 2 时，原式 = 2×2 = 4.
解：(2) 原式 = a2 – 2ab – b2 – a2 – 2ab – b2
= – 2b2 – 4ab
（2）(a2b – 2ab2 – b3)÷b – (a + b)2，
其中 a = ，b = –1 .
当 a = ，b = –1 时，
原式 =
= –2 – (–2)
= 0
8. 已知 3x – 4y = 3 (x，y为正整数)，求 27x÷92y .
【教材P111习题16.2 第8题】
解： 27x÷92y
= (33)x÷(32)2y
= (33x)÷(34y)
= 33x – 4y
= 33
= 27
9. 计算图中阴影所示绿地的面积（长度单位：m）.
【教材P111习题16.2 第9题】
1.5a
2.5a
a
2a
2a
2a
a
解： (1.5a + 2.5a)(a + 2a + 2a + 2a + a) – 2.5a·2a·2
= 4a·8a – 10a2
= 32a2 – 10a2
= 22a2 (m2)
答：图中阴影所示绿地的面积为 22a2 m2.
10. 如图，有一张长方形纸板，在它的四角各
切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为 a cm 的长方体形状的无盖纸盒. 如果纸盒的容积为 4a2b cm3，底面长方形的一边长为 b (b＜4a) cm，求原长方形纸板的长和宽 .
【教材P111习题16.2 第10题】
b
a
b
a
解：由题可知，底面长方形的另一边长为：
4a2b÷a÷b = 4a (cm)
原长方形纸板的两边长分别为：
(b+2a) cm，4a+2a = 6a (cm)
因为 b < 4a，所以 b+2a<6a.
故原长方形纸板的长为 6a cm，宽为 (b + 2a) cm.
11. 确定下列各式中 m 的值 (其中 p，q 为正整数)：
解：（1） (x + 4)(x + 9)
拓广探索
= x2 + 9x + 4x + 36
= x2 + 13x + 36
= x2 + mx + 36
【教材P111习题16.2 第11题】
（1）(x + 4)(x + 9) = x2 + mx + 36；
所以 m = 13.
（2） (x – 2)(x – 18)
= x2 – 18x – 2x + 36
= x2 – 20x + 36
= x2 + mx + 36
所以 m = –20.
（2）(x – 2)(x – 18) = x2 + mx + 36；
（3）(x + 3)(x + p) = x2 + mx + 36；
（4）(x – 6)(x – p) = x2 + mx + 36；
（3） (x + 3)(x + p)
= x2 + px + 3x + 3p
= x2 + (p + 3)x + 3p
= x2 + mx + 36
所以 3p = 36，
（4） (x – 6)(x – p)
= x2 – px – 6x + 6p
= x2 – (p + 6)x + 6p
= x2 + mx + 36
所以 6p = 36，
所以 p = 12，
所以 m = p + 3 = 15 .
所以 p = 6，
所以 m = –(p + 6) = –12.
（5）(x + p)(x + q) = x2 + mx + 36.
（5） 左边 = x2 + (p + q)x + pq
= x2 + mx + 36
所以 pq = 36.
因为 p，q 为正整数，
所以
p = 1，
q = 36
或
p = 2，
q = 18
或
p = 3，
q = 12
或
p = 4，
q = 9
或
p = 6，
q = 6
或
p = 9，
q = 4
或
p = 12，
q = 3
或
p = 18，
q = 2
或
p = 36，
q = 1.
所以有五种情况：
m1 = 1 + 36 = 37，
m2 = 2 + 18 = 20，
m3 = 3 + 12 = 15，
m4 = 4 + 9 = 13，
m5 = 6 + 6 = 12，
综上所述，m 的值为 12 或 13 或 15 或 20 或 37.
知识点1 同底数幂的除法运算
1.填空：__ ____.
-
2.计算：
（1）［2024天津中考］ ____；
（2） _____；
（3） _______；
（4） ____.
3. 的运算结果是( )
B
A. B. C. D.
4.下面括号内填入 后，等式成立的是( )
D
A.( ) B. ( )
C.( ) D. ( )
5.计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） ；
解：原式 .
（4） .
解：原式 .
知识点2 逆用同底数幂的除法法则
6.已知，，则____ ____ ____.
16
2
8
7.［教材复习题变式］［2025长沙月考］已知， ，
则 的值为( )
C
A.9 B. C.12 D.
知识点3 零指数幂
8. 的值为( )
B
A.0 B.1 C. D.
am ÷ an = am-n (a≠0，m，n 为正整数，m＞n)
a0 = 1 (a≠0)
系数与同底数幂分别相除作为商的因式
转化成单项式÷单项式
同底数幂的除法
0指数幂的性质
单项式除以单项式
多项式除以单项式
整式的除法
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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