资源简介

(共27张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：16.3.1 平方差公式 - 整式乘法的特殊规律
背景图：以几何图形拼接动画为背景，左侧为边长为\(a\)的大正方形，右侧截取边长为\(b\)的小正方形，动态演示剩余部分面积的两种计算方法（整体面积相减与矩形面积计算），直观呈现平方差公式的几何意义
幻灯片 2：目录
复习回顾，引入问题
平方差公式的探究发现
平方差公式的推导与验证
平方差公式的结构特征分析
公式应用与步骤解析
易错点警示与纠正
课堂练习与互动提升
课堂总结与方法提炼
课后作业布置
幻灯片 3：复习回顾，引入问题
多项式乘法回顾：
提问学生 “多项式与多项式相乘的法则是什么？” 引导回答：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
快速计算练习：
\((x + 3)(x + 5)=\_\_\_\_\_\)
\((2a + b)(3a - 2b)=\_\_\_\_\_\)
完成后集体订正，强调逐项相乘和合并同类项的步骤。
特殊形式探究：
计算以下特殊多项式乘法：
\((x + 2)(x - 2)=\_\_\_\_\_\)
\((3a + b)(3a - b)=\_\_\_\_\_\)
引导学生观察算式和结果的特点，思考 “这类多项式相乘是否有简便的计算规律？” 引出本节课主题。
幻灯片 4：平方差公式的探究发现
计算观察：让学生完成以下计算并观察结果：
\((a + b)(a - b)=a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2\)；
\((m + n)(m - n)=m^2 - mn + mn - n^2 = m^2 - n^2\)；
\((2x + 3)(2x - 3)=4x^2 - 6x + 6x - 9 = 4x^2 - 9\)。
小组讨论：组织学生讨论 “这些算式的结构有什么共同特点？结果与原式中的项有什么关系？”
规律总结：学生分享发现后，教师归纳：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
幻灯片 5：平方差公式的推导与验证
代数推导：根据多项式乘法法则，\((a + b)(a - b)=a a + a (-b) + b a + b (-b)=a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2\)，推导得出平方差公式。
几何验证：展示边长为\(a\)的大正方形，从中剪下边长为\(b\)的小正方形（\(b < a\)），剩余部分面积为\(a^2 - b^2\)；将剩余部分拼接成一个长为\((a + b)\)、宽为\((a - b)\)的矩形，面积为\((a + b)(a - b)\)。两种方法计算的面积相等，验证公式\((a + b)(a - b)=a^2 - b^2\)成立。
公式表示：平方差公式：\((a + b)(a - b)=a^2 - b^2\)，其中\(a\)、\(b\)可以是数字、字母或多项式。
幻灯片 6：平方差公式的结构特征分析
结构特点：
左边：两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同（\(a\)），另一项互为相反数（\(b\)与\(-b\)）。
右边：相同项的平方减去相反项的平方，即\(a^2 - b^2\)。
关键词提炼：“同号项”（完全相同的项）、“异号项”（互为相反数的项），右边 =（同号项） -（异号项） 。
实例分析：以\((3x + 2y)(3x - 2y)\)为例，同号项为\(3x\)，异号项为\(2y\)和\(-2y\)，结果为\((3x)^2 - (2y)^2 = 9x^2 - 4y^2\)。
幻灯片 7：公式应用与步骤解析
例题 1（直接应用）：计算\((5 + x)(5 - x)\)
步骤解析：
确定同号项和异号项：同号项为\(5\)，异号项为\(x\)和\(-x\)；
应用公式：（同号项） -（异号项） = \(5^2 - x^2\)；
计算结果：\(25 - x^2\)。
例题 2（字母与多项式）：计算\((2a + 3b)(2a - 3b)\)
步骤解析：
确定同号项和异号项：同号项为\(2a\)，异号项为\(3b\)和\(-3b\)；
应用公式：\((2a)^2 - (3b)^2\)；
计算结果：\(4a^2 - 9b^2\)。
例题 3（符号调整）：计算\((-m + n)(-m - n)\)
步骤解析：
调整符号：可转化为\([(-m) + n][(-m) - n]\)；
确定同号项和异号项：同号项为\(-m\)，异号项为\(n\)和\(-n\)；
应用公式：\((-m)^2 - n^2\)；
计算结果：\(m^2 - n^2\)。
幻灯片 8：易错点警示与纠正
易错点一：混淆符号导致结果错误
错误示例：\((a - b)(a + b)=b^2 - a^2\)
正确解析：应为同号项平方减去异号项平方，正确结果为\(a^2 - b^2\)。
易错点二：未正确识别公式结构
错误示例：\((x + 2)(x + 2)=x^2 - 4\)
正确解析：两项均为同号，不满足平方差公式结构，应按完全平方公式计算，正确结果为\(x^2 + 4x + 4\)。
易错点三：系数未平方
错误示例：\((3x + y)(3x - y)=3x^2 - y^2\)
正确解析：同号项系数需平方，正确结果为\((3x)^2 - y^2 = 9x^2 - y^2\)。
温馨提示：应用公式前先判断是否符合 “两数和乘两数差” 的结构，计算时注意系数和符号的平方处理。
幻灯片 9：课堂练习与互动提升
基础练习：
\((a + 1)(a - 1)=\_\_\_\_\_\)
\((4x - 3y)(4x + 3y)=\_\_\_\_\_\)
提升练习：
3. 计算\(102 98\)（利用平方差公式简便计算）
4. 计算\((x - y)(x + y)(x^2 + y^2)\)
互动环节：采用 “抢答闯关” 模式，设置不同难度的题目，学生抢答并讲解思路，教师给予点评和鼓励。
幻灯片 10：课堂总结与方法提炼
知识梳理：
平方差公式：\((a + b)(a - b)=a^2 - b^2\)，即两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。
结构特征：左边是 “两数和 × 两数差”，右边是 “同号项平方 - 异号项平方”。
应用关键：准确识别同号项和异号项，正确进行平方运算。
思想方法：
特殊到一般思想：从具体实例中发现规律，归纳得出公式。
数形结合思想：通过几何图形面积验证公式的正确性，加深对公式的理解。
学习建议：多练习不同形式的题目，熟练掌握公式结构特征，学会灵活变形应用公式解决问题。
幻灯片 11：课后作业布置
书面作业：
课本第 [X] 页练习题第 [X]、[X]、[X] 题。
计算\((2m + 3)(2m - 3) - (m - 2)(m + 2)\)；利用平方差公式计算\(999 1001\)。
拓展作业：探索平方差公式在实际生活中的应用（如面积计算、简便运算等），举例说明并写出计算过程，下节课分享。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
16.3.1 平方差公式
第十六章 整式的乘法
掌握平方差公式的推导及应用.
了解平方差公式的几何意义，体会数形结合的思想方法.
从前有一个狡猾的地主，他把一块边长 x 米的正方形的土地租给老张种植。有一天，他对老张说：“我把这块地的一边减少 5 米，另一边增加 5 米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？” 老张答应了。
你认为老张吃亏了吗？
（1）(x + 1)(x – 1) = __________；
（2）(m + 2)(m – 2) = __________；
（3）(2m + 1)(2m – 1) = __________.
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
x2 – 1
m2 – 4
4m2 – 1
x2 – 1
m2 – 22
(2m)2 – 1
都是形如 a + b 的多项式与 a – b 的多项式相乘
运算结果都是这两个数的平方的差
猜想：
(a + b)(a – b) = a2 – b2
探 究
(a + b)(a – b)
+
=
a2
(–ab)
ab
(–b2)
+
+
证明一：利用多项式乘多项式的法则.
= a2 – b2
a
b
b
a
(a – b)
纸片剩余面积：
a2 – b2
拼成的长方形面积：
(a – b)(a + b)
(a – b)
(a – b)(a + b) = a2 – b2
证明二：利用几何图形.
(a – b)(a + b) = a2 – b2
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两数的平方差
平方差公式：
平方差公式是多项式乘法 (a+b)(p+q) 中 p = a，q = –b 的特殊情形.
注意用谁减谁
等号左边的两个二项式中的每一项有什么联系？
相同项为a
相反项为b，-b
结构特征：(相同项)2 – (相反项)2
(a – b)(a + b) = a2 – b2
观察
(a+b)(a b) a b a2 b2
(1+x)(1 x)
( 3+a)( 3 a)
(1+a)( 1+a)
(0.3x 1)(1+0.3x)
1
x
–3
a
12 – x2 = 1 – x2
(–3)2 – a2 =9 – a2
a
1
a2 – 12 = a2 – 1
0.3x
1
(0.3x)2 – 12 = 0.09x2 – 1
练习
填一填：
例1　运用平方差公式计算：　
(1) (3x + 2)(3x – 2)；
(2) (–x + 2y)(–x – 2y).
解：(1) (3x + 2)(3x – 2)
= (3x)2 – 22
= 9x2 – 4
(2) (–x + 2y)(–x – 2y)
= (–x)2 – (2y)2
= x2 – 4y2
分析：(1) a = ___，b = ____
(2) a = ___，b = ____
3x
2
–x
2y
如作为因式的二项式的首项是负号，可连符号一起作为一项，也可以把一个因式里的两项颠倒位置观察思考.
计算：
解：（1）原式 = a2 – 52
（1）(5 + a)(–5 + a)；
= a2 – 25
（2）原式 = (–2x2)2 – y2
= 4x4 – y2
（2）(–2x2 – y)(–2x2 + y)；
（3）
（3）原式 =
(1) (x – 1)(x + 1)(x2 + 1)；
(2) (y + 2)(y – 2) – (y – 1)(y + 5) ；
解：(1) (x – 1)(x + 1)(x2 + 1)
= (x2 – 1)(x2 + 1)
= x4 – 1
(2) (y + 2)(y – 2) – (y – 1)(y + 5)
= y2 – 22 – (y2 + 4y – 5)
例2　计算：　
= y2 – 4 – y2 – 4y + 5
= – 4y + 1
能用平方差公式计算吗？
只有符合公式条件的乘法,才能运用公式简化运算,其余的运算仍按乘法法则进行.
(3) 102×98.
(3) 102×98
= (100 + 2)(100 – 2)
= 1002 － 22
= 10000－4
= 9996
通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.
拓展
平方差公式的变形举例：
变化形式 举例
①位置变化
②符号变化
③系数变化
④指数变化
⑤增项变化
⑥连用公式
(a + b)(–b + a) =
a2 – b2
b2 – a2
4a2 – b2
a4 – b4
(a + c)2 – b2
(–a – b)(a – b) =
(2a + b)(2a – b) =
(a2 + b2)(a2 – b2) =
(a + b + c)(a – b + c) =
a4 – b4
(a + b)(a – b)(a2 + b2) =
练习
计算：
解：(1)原式 = (a2 – 1)(a2 + 1)(a4 + 1)
(1) (a – 1)(a + 1)(a2 + 1)(a4 + 1)；
= (a4 – 1)(a4 + 1)
(2)201×199；
(2) 原式 = (200 + 1)(200 – 1)
= 2002 – 12
= 40000 – 1
= 39999
= a8 – 1
2.下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
（1）(x + 2)(x – 2) ＝ x2 – 2；
（2）(–a – 2)(a – 2) ＝a2 – 4；
（3）(x + 2y)(–x – 2y) = x2 – 4y2；
（4）(3a + 4b)(3a – 4b) = 9a2 – 4b2.
【教材P113练习 第1题】
原式 = x2 – 22 = x2 – 4
原式 = (–2)2 – a2 = 4 – a2
原式 = x·(–x) + x·(–2y) + 2y·(–x) + 2y·(–2y)
= –x2 – 2xy – 2xy – 4y2 = –x2 – 4xy – 4y2
原式 = (3a)2 – (4b)2 = 9a2 – 16b2
3. 计算：
（1）(a + 3b)(a – 3b)； （2）(3 + 2a)(–3 + 2a)；
解：(1) (a + 3b)(a – 3b)
= a2 – (3b)2
= a2 – 9b2
(2) (3 + 2a)(–3 + 2a)
= (2a)2 – 32
= 4a2 – 9
【教材P114练习 第2题】
（3）(xy + 1)(x2y2 + 1)(xy – 1)；
(3) (xy + 1)(x2y2 + 1)(xy – 1)
= (xy + 1)(xy – 1)(x2y2 + 1)
= [(xy)2 – 12](x2y2 + 1)
= (x2y2 – 1)(x2y2 + 1)
= (x2y2) 2 – 12
= x4y4 – 1
（4）(3x + 4)(3x – 4) – (2x + 3)(3x – 2)；
(4) (3x + 4)(3x – 4) – (2x + 3)(3x – 2)
= (3x)2 – 42 – (6x2 – 4x + 9x – 6)
= 9x2 – 16 – 6x2 – 5x + 6
= 3x2– 5x – 10
4. 运用平方差公式计算：
（1）51×49； （2） .
【教材P114练习 第3题】
解：(1) 51×49
= (50 + 1)(50 – 1)
= 502 – 12
= 2500 – 1
= 2499
知识点1 平方差公式的几何意义
1. 如图①，把一张
长方形纸片沿着线段 剪开，把剪
成的两张纸片拼成如图②所示的图
形.
（1）设图①中阴影部分的面积为
解：, .
，图②中阴影部分的面积为，请直接用含，的式子表示， ；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式.
解： .
知识点2 平方差公式
2.下列各式能用平方差公式的是( )
C
A. B.
C. D.
3.［2024上海中考］计算： ________.
4.［2025南通月考］如果，，那么
_______.
2 025
整式的乘法
平方差公式
特殊情形
(a – b)(a + b) = a2 – b2
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两数的平方差
平方差公式：
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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