资源简介

(共28张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：16.3.2.1 完全平方公式 - 整式乘法的又一特殊规律
背景图：以边长为\((a + b)\)的大正方形分割动画为背景，动态展示大正方形由边长为\(a\)的正方形、边长为\(b\)的正方形以及两个长为\(a\)宽为\(b\)的矩形组成，直观呈现完全平方公式的几何意义
幻灯片 2：目录
复习回顾，情境引入
完全平方公式的探究发现
完全平方公式的推导与验证
完全平方公式的结构特征分析
公式应用与步骤解析
易错点警示与纠正
课堂练习与互动提升
课堂总结与方法提炼
课后作业布置
幻灯片 3：复习回顾，情境引入
平方差公式回顾：
提问学生 “平方差公式是什么？它的结构特征是什么？” 引导回答：\((a + b)(a - b)=a^2 - b^2\)，左边是两数和乘两数差，右边是两数平方差。
快速计算练习：\((x - 3)(x + 3)=\_\_\_\_\_\)，巩固平方差公式应用。
特殊形式引入：
提出问题 “当两个多项式是相同的二项式相乘时，如\((a + b)(a + b)\)和\((a - b)(a - b)\)，结果有什么规律呢？”
计算以下多项式乘法：
\((x + 2)(x + 2)=\_\_\_\_\_\)
\((m - 3)(m - 3)=\_\_\_\_\_\)
引导学生观察算式和结果的特点，引出本节课完全平方公式的学习内容。
幻灯片 4：完全平方公式的探究发现
计算观察：让学生完成以下计算并观察结果：
\((a + b)^2=(a + b)(a + b)=a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2\)；
\((m - n)^2=(m - n)(m - n)=m^2 - mn - mn + n^2 = m^2 - 2mn + n^2\)；
\((2x + 3y)^2=(2x + 3y)(2x + 3y)=4x^2 + 6xy + 6xy + 9y^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2\)。
小组讨论：组织学生讨论 “这些算式的结构有什么共同特点？结果由哪几部分组成？每部分与原式中的项有什么关系？”
规律总结：学生分享发现后，教师归纳：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍。
幻灯片 5：完全平方公式的推导与验证
代数推导：
根据多项式乘法法则，\((a + b)^2=(a + b)(a + b)=a a + a b + b a + b b=a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2\)；
同理，\((a - b)^2=(a - b)(a - b)=a a + a (-b) + (-b) a + (-b) (-b)=a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2\)。
推导得出完全平方公式的两种形式。
几何验证：
对于\((a + b)^2\)：展示边长为\((a + b)\)的大正方形，其面积为\((a + b)^2\)；该正方形可分割为边长为\(a\)的正方形（面积\(a^2\)）、边长为\(b\)的正方形（面积\(b^2\)）和两个长\(a\)宽\(b\)的矩形（面积均为\(ab\)），总面积为\(a^2 + 2ab + b^2\)，验证\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)。
对于\((a - b)^2\)：通过图形割补法验证公式成立（可展示动态割补过程）。
公式表示：完全平方公式：\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)，\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)，其中\(a\)、\(b\)可以是数字、字母或多项式。
幻灯片 6：完全平方公式的结构特征分析
结构特点：
左边：两数和（或差）的平方，即\((a + b)^2\)或\((a - b)^2\)。
右边：三项式，第一项是第一个数的平方（\(a^2\)），第二项是这两个数积的 2 倍（\(+2ab\)或\(-2ab\)），第三项是第二个数的平方（\(b^2\)）。
口诀提炼：“首平方，尾平方，首尾两倍中间放，和加差减看前方”（“首” 指\(a\)，“尾” 指\(b\)，“前方” 指左边是和还是差）。
实例分析：以\((3x - 2y)^2\)为例，首项\(3x\)的平方为\(9x^2\)，尾项\(2y\)的平方为\(4y^2\)，首尾两倍为\(2 3x 2y = 12xy\)，因左边是差，所以中间项为减，结果为\(9x^2 - 12xy + 4y^2\)。
幻灯片 7：公式应用与步骤解析
例题 1（两数和的平方）：计算\((x + 5)^2\)
步骤解析：
确定首项和尾项：首项为\(x\)，尾项为\(5\)；
应用公式：首平方 + 2× 首 × 尾 + 尾平方 = \(x^2 + 2 x 5 + 5^2\)；
计算结果：\(x^2 + 10x + 25\)。
例题 2（两数差的平方）：计算\((2a - 3b)^2\)
步骤解析：
确定首项和尾项：首项为\(2a\)，尾项为\(3b\)；
应用公式：首平方 - 2× 首 × 尾 + 尾平方 = \((2a)^2 - 2 2a 3b + (3b)^2\)；
计算结果：\(4a^2 - 12ab + 9b^2\)。
例题 3（符号调整）：计算\((-m + n)^2\)
步骤解析：
调整符号：可转化为\((n - m)^2\)或\((m - n)^2\)（因平方结果与符号无关）；
应用公式（以\((n - m)^2\)为例）：\(n^2 - 2 n m + m^2\)；
计算结果：\(n^2 - 2mn + m^2\)（或\(m^2 - 2mn + n^2\)）。
幻灯片 8：易错点警示与纠正
易错点一：漏写中间项
错误示例：\((a + b)^2 = a^2 + b^2\)
正确解析：完全平方公式结果有三项，需加上首尾积的 2 倍，正确结果为\(a^2 + 2ab + b^2\)。
易错点二：中间项系数错误
错误示例：\((x - 2y)^2 = x^2 - 4xy + 4y^2\)（中间项系数错误）
正确解析：中间项系数应为 2× 首 × 尾，即\(2 x 2y = 4xy\)，因左边是差，所以为\(-4xy\)，正确结果为\(x^2 - 4xy + 4y^2\)（此例计算正确，可换错误示例如\((x - 2y)^2 = x^2 - 2xy + 4y^2\)）。
易错点三：系数未平方
错误示例：\((2m + 3)^2 = 2m^2 + 12m + 9\)
正确解析：首项系数需平方，\((2m)^2 = 4m^2\)，正确结果为\(4m^2 + 12m + 9\)。
温馨提示：应用公式时牢记 “三项结果”，中间项系数是 2 倍的首尾乘积，注意符号与系数的平方处理。
幻灯片 9：课堂练习与互动提升
基础练习：
\((a + 2)^2=\_\_\_\_\_\)
\((3x - 1)^2=\_\_\_\_\_\)
提升练习：
3. 计算\(101^2\)（利用完全平方公式简便计算）
4. 已知\(a + b = 5\)，\(ab = 3\)，求\(a^2 + b^2\)的值（提示：利用\(a^2 + b^2=(a + b)^2 - 2ab\)）
互动环节：采用 “小组 PK” 模式，各小组完成练习后派代表板书过程，教师评分并针对典型问题进行讲解。
幻灯片 10：课堂总结与方法提炼
知识梳理：
完全平方公式：\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)，\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)，即两数和（或差）的平方等于它们的平方和加上（或减去）它们积的 2 倍。
结构特征：左边是 “两数和（差）的平方”，右边是 “首平方 + 尾平方 ± 2× 首 × 尾”。
应用关键：准确确定首项和尾项，正确计算平方项和中间项。
思想方法：
特殊到一般思想：从具体乘法运算中归纳公式，体现数学规律的探索过程。
数形结合思想：通过几何图形面积验证公式，加深对公式结构的理解。
转化思想：将复杂的多项式乘法转化为公式应用，简化计算过程。
学习建议：多对比平方差公式与完全平方公式的区别，通过大量练习熟练掌握公式结构，学会灵活运用公式解决求值等问题。
幻灯片 11：课后作业布置
书面作业：
课本第 [X] 页练习题第 [X]、[X]、[X] 题。
计算\((2x + y)^2 - (3x - y)^2\)；已知\((m - n)^2 = 4\)，\(mn = 1\)，求\(m^2 + n^2\)的值。
拓展作业：结合生活实际（如正方形边长变化后的面积计算），编一道需要用完全平方公式解决的应用题，并写出解答过程，下节课分享。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
16.3.2.1完全平方公式
第十六章 整式的乘法
理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点.
能灵活运用完全平方公式计算.
相等
一块边长为 a 米的正方形农田，将其边长增加 b 米，形成四块农田，以种植不同的品种（如图）. 你能用几种方式表示农田的总面积？
a
b
b
a
直接求：总面积 =
间接求：总面积 =
ab
b2
a2
ab
(a + b)2
a2 + 2ab + b2
（1）(p + 1)2 = (p + 1)(p + 1) = __________；
（2）(m + 2)2 = (_____)(_____) = __________ ；
（3）(p – 1)2 = (_____)(_____) = __________ ；
（4）(m – 2)2 = (_____)(_____) = __________.
计算下列多项式的积.
p2 + 2p + 1
m + 2
探 究
m + 2
m2 + 4m + 4
p – 1
p – 1
p2 – 2p + 1
m – 2
m – 2
m2 – 4m + 4
（1）(p + 1)2 = p2 + 2p + 1；
（2）(m + 2)2 = m2 + 2m + 4；
（3）(p – 1)2 = p2 – 2p + 1；
（4）(m – 2)2 = p2 – 2p + 1.
p2 + 2·p·1 + 12
m2 + 2·m·2 + 22
p2 – 2·p·1 + 12
m2 – 2·m·2 + 22
你能发现什么规律？
探 究
都是形如 (a ± b)2 的多项式相乘
右边第一项、最后一项分别是左边第一项、第二项的平方，中间一项是左边两项乘积的2倍
猜想：
(a + b)2 =____________
(a – b)2 =____________
a2 + 2ab + b2
= (a + b)(a + b)
= a2 + ab + ab + b2
= a2 + 2ab + b2
a2 – 2ab + b2
= (a – b)(a – b)
= a2 – ab – ab + b2
= a2 – 2ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
完全平方公式：
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 是多项式乘法 (a+b)·(p+q) 中 p = a，q = b 的特殊情形.
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
首平方，尾平方，积的2倍放中央
说一说完全平方公式的特点：
积为二次三项式
积中两项为两数的平方和
另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同
公式中的字母 a、b 可以为数、单项式、多项式
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
观察
(a±b)2 a b a2 ± 2ab + b2
(1+x)2
( 3+a)2
(1+a)2
(0.3x 1)2
1
x
3
a
12 + 2x + x2
a2 – 2a·3 + 32
a
1
12 + 2a + a2
0.3x
1
(0.3x)2 – 2×(0.3x)×1 + 12
练习
填一填：
1 + 2x + x2
a2 – 6a + 9
1 + 2a + a2
0.09x2 – 0.6x + 1
思 考
你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗？
a
a
b
b
a
b
b
直接求：S =
间接求：S =
(a + b)2
a2 + 2ab + b2
a
S =
S =
(a – b)2
a2 – 2ab + b2
ab
b2
a2
ab
ab
b2
ab
例3　运用完全平方公式计算：　
(1) (4m + n)2；
(2)
解：(1) (4m + n)2
= (4m)2 + 2·(4m)·n + n2
= 16m2 + 8mn + n2
分析：(1) a = ___，b = ____
(2) a = ___，b = ____
4m
n
y
练习
计算：
解：（1）原式 = 72 + 2·7·a + a2
（1）(7 + a)2；
= a2 + 14a + 49
（2） ；
（2）原式 =
（3）原式 = (–3a)2 + 2·(–3a)·2 + 22
= 9a2 – 12a + 4
也可看作(2 – 3a)2
（3）(–3a + 2)2 .
（3）原式 = 22 – 2×3a×2 + 3a2
= 9a2 – 12a + 4
例4　运用完全平方公式计算：　
(1) 1022；
(2) 992 .
解：
(1) 1022
= (100 + 2)2
= 1002 + 2×100×2 + 22
= 10000 + 400 + 4
= 10404
(2) 992
= (100 – 1)2
= 1002 – 2×100×1 + 12
= 10000 – 200 + 1
= 9801
通过合理变形，
利用完全平方公式，可以简化运算.
思考
（1）(a + b)2 与 (– a – b)2 相等吗？
(–a – b)2 = [–(a + b)]2
= (a + b)2
(–a – b)2 = (–a)2 – 2·(–a)·b + b2
= a2 + 2ab + b2
= (a + b)2
或
（2）(a – b)2 与 (b – a)2 相等吗？
(a – b)2 = [–(b – a)]2
= (b – a)2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
= b2 – 2ab + a2
或
= (b – a)2
（3）(a – b)2 与 a2 – b2 相等吗？
(a – b)2 = (a – b)(a – b)
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
相等
相等
不相等
阅读与思考
杨辉三角
2.下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
（1）(a + b)2 ＝ a2 + b2；
（2）(a – b)2 ＝a2 – ab + b2.
【教材P115练习 第1题】
原式 = a2 + 2ab + b2
原式 = a2 – 2ab + b2
3. 运用完全平方公式计算：
（1）(x + 6)2； （2）(y – 5)2；（3）(–2x + 5)2；
（4）
解：(1) (x + 6)2
= x2 + 2·x·6 + 62
(2) (y – 5)2
= y2 – 2·y·5 + 52
【教材P116练习 第2题】
= x2 + 12x + 36
= y2 – 10y + 25
(3) (–2x + 5)2
= 52 – 2·2x·5 + (2x)2
= 4x2 – 20x + 25
= (5 – 2x)2
4. 运用完全平方公式计算：
（1）982； （2）70.52 .
【教材P116练习 第3题】
解：(1) 982
= (100 – 2)2
= 1002 – 2×100×2 + 22
= 10000 – 400 + 4
= 9604
(2) 70.52
= (70 + 0.5)2
= 702 + 2×70×0.5 + 0.52
= 4900 + 70 + 0.25
= 4970.25
知识点1 完全平方公式的几何意义
1.下图是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是
( )
A
A. B.
C. D.
知识点2 完全平方公式
2.计算 的结果是( )
D
A. B. C. D.
3.［2025杭州月考］下列各式中，可用完全平方公式计算的是( )
D
A. B.
C. D.
4.下列各式正确的是( )
B
A. B.
C. D.
5.［教材习题变式］［2025唐山月考］已知 ，
，则 ( )
A
A.25 B.19 C.9 D.6
6.一块方巾铺在正方形的茶几上，四周刚好都垂下 ，如果设方巾
的边长为，用关于 的式子表示茶几的面积为__________________
_____ .
完全平方公式：
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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