资源简介

(共32张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：16.3.2.2 添括号 - 整式运算中的符号调节技巧
背景图：以算式变形动画为背景，展示多项式在添括号前后的变化，如\(a + b - c\)变形为\(a + (b - c)\)和\(a - ( - b + c)\)，动态标注括号前的符号与括号内各项符号的关系，直观呈现添括号的核心要点
幻灯片 2：目录
复习回顾，问题引入
添括号法则的探究发现
添括号法则的总结与解读
添括号法则的应用示例
易错点警示与纠正
课堂练习与互动提升
课堂总结与方法提炼
课后作业布置
幻灯片 3：复习回顾，问题引入
完全平方公式回顾：
提问学生 “完全平方公式的两种形式是什么？” 引导回答：\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)，\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)。
计算练习：\((x + 2y)^2=\_\_\_\_\_\)，\((3m - n)^2=\_\_\_\_\_\)，巩固公式应用。
问题情境：
提出问题 “如何计算\((a + b - c)^2\)？能否利用完全平方公式简便计算？”
引导学生思考：若将\(b - c\)看作一个整体，即把\(a + b - c\)变形为\(a + (b - c)\)，此时可将其视为\((m + n)^2\)的形式（其中\(m = a\)，\(n = b - c\)），进而应用完全平方公式。
引出主题：要实现这样的变形，需要掌握添括号的方法，本节课学习添括号法则。
幻灯片 4：添括号法则的探究发现
实例观察：让学生观察以下添括号前后的式子，对比括号内各项符号的变化：
① \(a + b + c = a + (b + c)\)；
② \(a - b - c = a - (b + c)\)；
③ \(a + b - c = a + (b - c)\)；
④ \(a - b + c = a - (b - c)\)。
小组讨论：组织学生讨论 “括号前分别是什么符号？添括号后，括号内各项的符号与原多项式中对应项的符号有什么关系？”
规律总结：学生分享发现后，教师归纳：添括号时，若括号前是 “\(+\)” 号，括号里的各项都不改变符号；若括号前是 “\(-\)” 号，括号里的各项都改变符号。
幻灯片 5：添括号法则的总结与解读
法则表述：
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；
如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
用字母表示为：\(a + b + c = a + (b + c)\)；\(a - b - c = a - (b + c)\)。
关键词解读：
“正号不变”：括号前为 “\(+\)” 时，括号内每一项的符号与原多项式中对应项的符号相同。
“负号全变”：括号前为 “\(-\)” 时，括号内每一项的符号与原多项式中对应项的符号相反（正变负，负变正）。
注意事项：添括号是改变多项式的形式，不改变多项式的值；添括号后，括号与括号前的符号是一个整体，不能遗漏符号。
幻灯片 6：添括号法则的应用示例
例题 1（括号前为正号）：把多项式\(x^2 + 2xy + y^2\)添括号，使它变成\((x + )^2\)的形式。
步骤解析：
分析目标形式：需要将后两项括起来，使括号前为正号；
应用法则：括号前为 “\(+\)”，各项符号不变，即\(x^2 + (2xy + y^2)\)；
验证结果：\((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\)，符合要求，所以括号内为\(y\)，即\((x + y)^2\)。
例题 2（括号前为负号）：把多项式\(a^2 - b^2 - 2bc - c^2\)添括号后应用平方差公式，变形为\(a^2 - ( )\)。
步骤解析：
分析目标：需将后三项括起来，括号前为负号；
应用法则：括号前为 “\(-\)”，各项符号改变，即\(-b^2 - 2bc - c^2 = -(b^2 + 2bc + c^2)\)；
结果呈现：\(a^2 - (b^2 + 2bc + c^2)\)，后续可应用平方差公式\(a^2 - (b + c)^2\)。
例题 3（综合应用）：计算\((x - y + z)^2\)，利用添括号转化为完全平方公式计算。
步骤解析：
添括号变形：将\(-y + z\)看作整体，变形为\(x + (-y + z)\)；
应用完全平方公式：\([x + (-y + z)]^2 = x^2 + 2x(-y + z) + (-y + z)^2\)；
展开计算：\(x^2 - 2xy + 2xz + y^2 - 2yz + z^2\)。
幻灯片 7：易错点警示与纠正
易错点一：括号前为负号时部分项符号未改变
错误示例：\(a - b + c = a - (b + c)\)
正确解析：括号前为负号，\(+c\)应变为\(-c\)，正确结果为\(a - (b - c)\)。
易错点二：添括号后遗漏括号前的符号
错误示例：\(m + n - p = m + (n - p)\)（正确，但如下错误）\(m - n + p = m(n - p)\)
正确解析：添括号时需保留括号前的符号，正确结果为\(m - (n - p)\)。
易错点三：添括号改变多项式的值
错误示例：\(2x - 3y + 4z = 2x - (3y + 4z)\)
正确解析：括号内\(+4z\)应变为\(-4z\)，否则多项式值改变，正确结果为\(2x - (3y - 4z)\)。
温馨提示：添括号后可通过去括号检验是否与原多项式一致，确保变形正确。
幻灯片 8：课堂练习与互动提升
基础练习：
把\(a + b - c\)添括号：① 括号前为 “\(+\)” 号：\(a + (\_\_\_\_\_)\)；② 括号前为 “\(-\)” 号：\(a - (\_\_\_\_\_)\)。
填空：\(x^2 - y^2 + 2y - 1 = x^2 - (\_\_\_\_\_)\)。
提升练习：
3. 利用添括号计算\((a + b - c - d)(a - b + c - d)\)（提示：将\((a - d)\)和\((b - c)\)看作整体）。
4. 判断下列添括号是否正确，错误的请改正：\(3m - 2n + 1 = 3m - (2n + 1)\)。
互动环节：采用 “同桌互检” 模式，学生完成练习后互相检查，教师选取典型错误进行全班讲解。
幻灯片 9：课堂总结与方法提炼
知识梳理：
添括号法则：括号前是 “\(+\)”，括号内各项符号不变；括号前是 “\(-\)”，括号内各项符号全变。
核心作用：将多项式变形为符合公式结构的形式（如完全平方公式、平方差公式），简化计算。
检验方法：添括号后去括号，若结果与原多项式一致，则变形正确。
思想方法：
转化思想：通过添括号将复杂多项式转化为可应用公式的形式，体现 “化难为易” 的解题思路。
整体思想：将多项式中的某几项看作一个整体，拓展公式的应用范围。
学习建议：添括号时重点关注括号前的符号，养成 “添后检验” 的习惯，多结合公式应用练习，熟练掌握变形技巧。
幻灯片 10：课后作业布置
书面作业：
课本第 [X] 页练习题第 [X]、[X]、[X] 题。
利用添括号计算\((2x - y - 3z)^2\)；填空：\(a^2 - 4a + 4 - b^2 = (\_\_\_\_\_) - b^2 = (\_\_\_\_\_)(\_\_\_\_\_)\)（后两空应用平方差公式）。
拓展作业：结合本节课知识，思考如何通过添括号简化\((x + y + z)(x - y - z)\)的计算，写出详细步骤并与同学交流。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
16.3.2.2添括号
第十六章 整式的乘法
会正确地运用填括号法则.
观察、分析、掌握每一个乘法公式的结构特征及公式的含义.
去括号：
（1）x + (2y – 3) = __________；
（2）x – (2y – 3) = __________ ；
（3）(a + 1) – (b – c) = ____________.
x + 2y – 3
x – 2y + 3
a + 1 – b + c
去括号时，如果括号前面是正号，去掉括号后，括号里的各项不变符号；如果括号前面是负号，去掉括号后，括号里的各项都改变符号.
去括号：
a + (b + c) = __________；
a – (b + c) = __________.
a + b + c
a – b – c
反过来，就得到：
a + b + c = __________；
a – b – c = __________.
a + (b + c)
a – (b + c)
a + b + c = __________；
a – b – c = __________.
a + (b + c)
a – (b + c)
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
* 添括号正确与否，可用去括号法则进行检验.
按要求给多项式 –a3 + 2a2 – a + 1添括号.
（1）使最高次项的系数变为正数，且把每一项都放在括号里；
（2）把奇次项放在前面是“–”号的括号里，其余的项放在前面是“+”号的括号里。
解：原式 = – (a3 – 2a2 + a – 1)
（1）
系数为负，括号前为“–”号，括号内各项都变号
（2）
奇次项括号前为“–”号，括号内各项都变号
其余的项括号前为“+”号，括号内各项都不变号
解：原式 = – (a3 + a) + (2a2 + 1)
–a3 + 2a2 – a + 1
–a3 + 2a2 – a + 1
试一试
公式中的 a 和 b 是一个字母，可以是一个多项式吗？如果 a 或 b 是一个多项式，如何运算？
a 和 b 可以代替一个多项式，计算时可以看作一个整体先按照乘法公式进行计算，然后再根据相应的法则，进行运算.
完全平方公式：
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
平方差公式：
(a + b)(a – b) = a2 – b2
例5　运用乘法公式计算：　
(2) (a + b + c)2 .
可利用________公式
平方差
(1) (x + 2y – 3)(x – 2y + 3)；
解：(1) (x + 2y – 3)(x – 2y + 3)
= [x + (2y – 3)][x – (2y – 3)]
= x2 – (2y – 3)2
= x2 – (4y2 – 12y + 9)
= x2 – 4y2 + 12y – 9
有些整式
相乘需要先适当变形，然后再用公式
例5　运用乘法公式计算：　
可利用________公式
完全平方
(1) (x + 2y – 3)(x – 2y + 3)；
解：(2) (a + b + c)2
= [(a + b) + c]2
= (a + b)2 + 2(a + b)c + c2
= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(2) (a + b + c)2 .
【教材P117练习 第1题】
4. 在等号右边的括号里填上适当的项.
（1）a + b – c = a + ( )；
（2）a – b + c = a – ( )；
（3）a + b – c = a – ( )；
（4）a + b + c = a – ( ) .
b – c
b – c
–b + c
–b – c
5. 运用乘法公式计算：
（1）(x + y – 1)(x – y – 1)；
解：(1) (x + y – 1)(x – y – 1)
= (x – 1 + y)(x – 1 – y)
【教材P117练习 第2题】
= [(x – 1) + y][(x – 1) – y]
= (x – 1)2 – y2
= x2 – 2x – y2 + 1
解：(2) (2x + y + z)(2x – y – z)
= [2x + (y + z)][2x – (y + z)]
= 4x2 – (y + z)2
= 4x2 – (y2 + 2yz + z2)
= 4x2 – y2 – 2yz – z2
5. 运用乘法公式计算：
（2）(2x + y + z)(2x – y – z) .
【教材P117练习 第2题】
解：(1) (a + 2b – 1)2
= [(a + 2b) – 1]2
= (a + 2b)2 – 2(a + 2b) + 12
= a2 + 4ab + 4b2 – 2a – 4b + 1
6. 运用乘法公式计算：
（1）(a + 2b – 1)2 ；
【教材P117练习 第3题】
或将括号添在第一项后计算： 原式 = [a + (2b – 1)]2
解：(1) (2x – y + 1)2
= [(2x – y) + 1]2
= (2x – y)2 + 2(2x – y) + 12
= 4x2 – 4xy + y2 + 4x – 2y + 1
6. 运用乘法公式计算：
（2）(2x – y + 1)2 .
【教材P117练习 第3题】
或将括号添在第一项后计算： 原式 = [2x – (y – 1)]2
1. 运用平方差公式计算：
（1） ；（2）(y2 + 1)(y2 – 1)；
(2) 原式 = (y2)2 – 12
= y4 – 1
【教材P117习题16.3 第1题】
解：(1) 原式
（3）(2a – 3b)(3b + 2a)；
(3) 原式 = (2a)2 – (3b)2
= 4a2 – 9b2
（4）(–2b – 5)(2b – 5)；（5）100.5×99.5；（6）998×1002.
(4) 原式 = (–5)2 – (2b)2
= 25 – 4b2
(5) 原式 = (100 + 0.5)(100 – 0.5)
= 1002 – 0.52
= 10000 – 0.25
= 9999.75
(6) 原式 = (1000 + 2)(1000 – 2)
= 10002 – 22
= 1000000 – 4
= 999996
2. 运用完全平方公式计算：
（1）(2a + 5b)2；（2）(4x – 3y)2；（3）(–2m – 1)2；
【教材P117习题16.3 第2题】
解：(1) 原式 = (2a)2 + 2·2a·5b + (5b)2
= 4a2 + 20ab + 25b2
(2) 原式 = (4x)2 – 2·4x·3y + (3y)2
= 16x2 – 24xy + 9y2
(3) 原式 = (2m + 1)2
= (2m)2 + 2·2m·1 + 12
= 4m2 + 4m + 1
（4） ；（5）632；（6）852 .
(5) 原式 = (60 + 3)2
= 602 + 2×60×3 + 32
(4) 原式
= 3600 + 360 + 9
= 3969
(6) 原式 = (80 + 5)2
= 802 + 2×80×5 + 52
= 6400 + 800 + 25
= 7225
3. 运用乘法公式计算：
（1）(3x – 5)2 – (2x + 7)2；
【教材P117习题16.3 第3题】
解：(1) 原式 = [(3x – 5) – (2x + 7)][(3x – 5) + (2x + 7)]
= (3x – 5 – 2x – 7)(3x – 5 + 2x + 7)
= (x – 12)(5x + 2)
= x·5x + x·2 + (–12)·5x + (–12)×2
= 5x2 + 2x – 60x – 24
= 5x2 – 58x – 24
（2）(x + y + 1)(x + y – 1)；
(2) 原式 = [(x + y) + 1][(x + y) – 1]
= (x + y)2 – 12
= x2 + 2xy + y2 – 1
（3）(2x – y – 3)2；
(3) 原式 = [2x – (y + 3)] 2
= (2x)2 – 2·2x·(y + 3) + (y + 3)2
= 4x2 – 4xy – 12x + (y2 + 6y + 32)
= 4x2 – 4xy + y2 – 12x + 6y + 9
（4）[(x + 2)(x – 2)]2 .
(4) 原式 = (x2 – 22)2
= (x2)2 – 2·x2·4 + 42
= x4 – 8x2 + 16
4. 先化简，再求值： (2x + 3y)2 – (2x + y)(2x – y)，
其中
【教材P117习题16.3 第4题】
解：原式 = (2x + 3y)2 – [(2x)2 – y2]
= (2x)2 +2·2x·3y + (3y)2 – (2x)2 + y2
= 12xy + 10y2
当 时，
原式
5. 一个正方形纸片的边长增加 3 cm，它的面积就增加 39 cm2，这个正方形纸片的边长是多少？
【教材P117习题16.3 第5题】
解：设这个正方形纸片的边长是 x cm.
根据题意，得
答：这个正方形纸片的边长是 5 cm.
(x + 3)2 = x2 + 39
解得 x = 5.
6. 如图，一块直径为 (a + b) cm 的圆形钢板，从中挖去直径分别为 a cm 与 b cm 的两个圆，求剩下的钢板的面积.
【教材P117习题16.3 第6题】
a
b
a
b
答：剩下的钢板的面积是 cm2.
7. 已知 a + b = 5，ab = 3，求 a2 + b2 的值.
解： a2 + b2
拓广探索
= a2 + b2 + 2ab – 2ab
= (a + b)2 – 2ab
= 52 – 2×3
【教材P118习题16.3 第7题】
= 25 – 6
= 19
8. 计算下列式子：
【教材P118习题16.3 第8题】
(x – 1)(x + 1)，(x – 1)(x2 + x + 1)，(x – 1)(x3 + x2 + x + 1)，··· .
你能发现什么规律？验证你发现的规律，并利用你发现的规律，计算
29 + 28 + 27 + ··· + 2 + 1 .
解： (x – 1)(x + 1) = x2 – 1
(x – 1)(x2 + x + 1)
= x3 + x2 + x – x2 – x – 1
= x3 – 1
(x – 1)(x3 + x2 + x + 1)
= x4 + x3 + x2 + x – x3– x2 – x – 1
= x4 – 1
规律： (x – 1)(xn + xn – 1 +···+ x + 1) = xn + 1 – 1.
(n 为正整数)
验证： (x – 1)(xn + xn – 1 +···+ x + 1)
= xn + 1 + xn +···+ x2 + x – xn – xn – 1 –···– x – 1
= xn + 1 – 1
所以 29 + 28 + 27 + ··· + 2 + 1
= (2 – 1)(29 + 28 + 27 + ··· + 2 + 1)
= 210 – 1
= 1024 – 1
= 1023
添括号法则：
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
添括号，看符号：正号在前直接抄，
负号在前变号抄，验证对错去括号.
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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