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(共28张PPT)
幻灯片 1：17.1.1 用提取公因式法分解简单的因式
引入：同学们，之前我们学习了整式的乘法，比如\(3x(x + 2)=3x^2 + 6x\)。那现在反过来，如果给你\(3x^2 + 6x\)，能不能写成几个整式乘积的形式呢？这就是我们今天要学习的因式分解，而提取公因式法是因式分解中最基础、最常用的方法之一。
幻灯片 2：公因式的概念
定义：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
举例说明：
对于多项式\(6ab + 9a\)，各项系数\(6\)和\(9\)的最大公因数是\(3\)，相同字母有\(a\)，且\(a\)的最低次幂是\(1\)次，所以公因式是\(3a\)。
再看多项式\(4x^3y - 8x^2y^2\)，系数\(4\)和\(8\)的最大公因数是\(4\)，相同字母有\(x\)和\(y\)，\(x\)的最低次幂是\(2\)次，\(y\)的最低次幂是\(1\)次，公因式就是\(4x^2y\)。
幻灯片 3：提取公因式法的概念
定义：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个整式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。
用式子表示：\(ma + mb + mc = m(a + b + c)\)，其中\(m\)就是公因式，提取公因式后，原多项式就分解成了\(m\)与\((a + b + c)\)的乘积。
幻灯片 4：提取公因式的步骤
步骤一：确定公因式
先确定系数：取各项系数的最大公因数。例如对于多项式\(12x^2y - 18xy^2\)，\(12\)和\(18\)的最大公因数是\(6\)。
再确定字母：取各项都含有的相同字母。这里都有\(x\)和\(y\)。
最后确定指数：相同字母的指数取次数最低的。\(x\)的最低次幂是\(1\)次，\(y\)的最低次幂也是\(1\)次，所以公因式是\(6xy\)。
步骤二：提取公因式
将公因式写在括号前面，用原多项式除以公因式所得的商作为括号里的另一个因式。对于\(12x^2y - 18xy^2\)，\((12x^2y - 18xy^2) ·6xy = 2x - 3y\)，所以\(12x^2y - 18xy^2 = 6xy(2x - 3y)\)。
幻灯片 5：简单示例练习（一）
例题 1：分解因式\(5x^2 + 10x\)
分析：系数\(5\)和\(10\)的最大公因数是\(5\)，都含有字母\(x\)，\(x\)的最低次幂是\(1\)次，公因式为\(5x\)。
解答：\(5x^2 + 10x = 5x(x + 2)\)
例题 2：分解因式\(-3a^3b^2 + 6a^2b\)
分析：系数\(-3\)和\(6\)的最大公因数是\(3\)，都有字母\(a\)和\(b\)，\(a\)的最低次幂是\(2\)次，\(b\)的最低次幂是\(1\)次，公因式为\(-3a^2b\)（注意首项系数为负时，公因式也取负）。
解答：\(-3a^3b^2 + 6a^2b = -3a^2b(ab - 2)\)
幻灯片 6：简单示例练习（二）
例题 3：分解因式\(2x(x - y) - 3y(x - y)\)
分析：这个多项式中，\((x - y)\)是相同的整体，相当于公因式，系数\(2\)和\(-3\)没有除\(1\)以外的公因数，所以公因式就是\((x - y)\)。
解答：\(2x(x - y) - 3y(x - y)=(x - y)(2x - 3y)\)
例题 4：分解因式\(4a^2b(3x - y) - 6ab^2(y - 3x)\)
分析：先将\((y - 3x)\)变形为\(-(3x - y)\)，那么多项式就变为\(4a^2b(3x - y) + 6ab^2(3x - y)\)。系数\(4\)和\(6\)的最大公因数是\(2\)，都有字母\(a\)和\(b\)，\(a\)的最低次幂是\(1\)次，\(b\)的最低次幂是\(1\)次，公因式为\(2ab(3x - y)\)。
解答：\(4a^2b(3x - y) - 6ab^2(y - 3x)=4a^2b(3x - y) + 6ab^2(3x - y)=2ab(3x - y)(2a + 3b)\)
幻灯片 7：易错点警示
易错点 1：漏项
错误示例：分解因式\(3x^3 + 6x^2 - 9x\)，写成\(3x(x^2 + 2x)\)。错误原因是提取公因式\(3x\)后，\(-9x ·3x=-3\)，漏写了这一项。
正确解答：\(3x^3 + 6x^2 - 9x = 3x(x^2 + 2x - 3)\)
规避方法：提取公因式后，用原多项式的每一项除以公因式，检查是否有遗漏。
易错点 2：公因式提取不彻底
错误示例：分解因式\(8a^3b^2 - 12ab^3c\)，写成\(4ab(2a^2b - 3b^2c)\)。错误原因是公因式没有提取到最大，系数还可以再提取\(4\)，字母部分还可以提取\(b\)。
正确解答：\(8a^3b^2 - 12ab^3c = 4ab^2(2a^2 - 3bc)\)
规避方法：严格按照确定公因式的步骤，先找系数最大公因数，再找相同字母及其最低次幂。
幻灯片 8：课堂小测验
题目 1：分解因式\(7x^3 - 14x^2\)
题目 2：分解因式\(-4m^2n + 6mn^2\)
题目 3：分解因式\(3a(a - b) + 2b(b - a)\)
题目 4：分解因式\(5x^2y(2x - y)^2 - 20xy^2(y - 2x)^2\)
幻灯片 9：总结
知识总结：提取公因式法是因式分解的基础方法，关键在于准确找出公因式，公因式由系数的最大公因数、相同字母及其最低次幂组成。提取公因式时，要将公因式写在括号前，原多项式除以公因式的商作为括号内的另一个因式。
方法建议：多做练习，熟练掌握确定公因式的步骤，在提取过程中仔细认真，避免漏项和公因式提取不彻底的错误。遇到多项式中各项符号不同时，可适当变形，使其符合提取公因式的形式。
幻灯片 10：课后作业
必做题：
课本第 [X] 页练习题第 1、2 题。
分解因式：\(9x^2y - 15xy^2\)；\(-6x^3y^2 + 12x^2y^3 - 3xy^4\)；\(5a(a - b)^2 - 10b(b - a)^2\)
选做题：
已知多项式\(ax^2 + bx\)的公因式是\(6x\)，求\(a\)、\(b\)的值。
若\(m^2 - n^2 = 6\)，\(m + n = 3\)，利用提取公因式法求\(m - n\)的值。
拓展题：
观察下列式子：\(1 2 3 4 + 1 = 25 = 5^2\)；\(2 3 4 5 + 1 = 121 = 11^2\)；\(3 4 5 6 + 1 = 361 = 19^2\)。请用含\(n\)的式子表示第\(n\)个式子的规律，并利用提取公因式法等知识进行验证。
2024人教版数学八年级上册
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17.1.1用提取公因式法分解简单的因式
第十七章 因式分解
如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？
知识点 1
因式分解的概念
a
b
c
m
学生活动一 【一起探究】
a
b
c
m
方法一：m(a+b+c)
方法二：ma+mb+mc
m(a+b+c)=ma+mb+mc
整式乘法

1.运用整式乘法法则或公式填空：
(1) m(a+b+c)= ；
(2) (x+1)(x–1)= ；
(3) (a+b)2 = .
ma+mb+mc
x2 –1
a2 +2ab+b2
2.根据等式的性质填空：
(1) ma+mb+mc=( )( )
(2) x2 –1 =( )( )
(3) a2 +2ab+b2 =( )2
m a+b+c
x+1 x–1
a+b
都是多项式化为几个整式的积的形式
比一比，这些式子有什么共同点？
把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
x2–1 (x+1)(x–1)
因式分解
整式乘法
x2–1 = (x+1)(x–1)
等式的特征：左边是多项式，
右边是几个整式的乘积
整式乘法与因式分解有什么关系？
是互为相反的变形，即
想一想
例 下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　)
①x2–y2–1＝(x＋y)(x–y)–1；②x3＋x＝x(x2＋1)；
③(x–y)2＝x2–2xy＋y2；④x2–9y2＝(x＋3y)(x–3y)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
素养考点
因式分解变形的识别
方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．
在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 .不是因式分解的，请说明原因.
①
②
③
④
⑤
⑥
③
⑥
am+bm+c=m(a+b)+c
24x2y=3x ·8xy
x2–1=(x+1)(x–1)
(2x+1)2=4x2+4x+1
x2+x=x2(1+ )
2x+4y+6z=2(x+2y+3z)
最后不是积的运算
因式分解的对象是多项式
是整式乘法
每个因式必须是整式
2.下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？
（1）4a(a + 2b) = 4a2 + 8ab；
（2）a2 – 4 = (a + 2)(a – 2)；
（3）x2 – 3x + 2 = x(x – 3) + 2 .
【教材P125练习 第1题】
是整式的乘法
仍为多项式的和的形式，没有分解成两个因数的积
3. 分解因式：
（1）ax – ay； （2）a2 – 2a；
解：(1) ax – ay
= a(x – y)
(2) a2 – 2a
= a·a – a·2
= a(a – 2)
【教材P125练习 第2题】
（3）a2 + ab； （4）xy – y2 + yz.
(3) a2 + ab
= a·a + a·b
= a(a + b)
(4) xy – y2 + yz
= y·x – y·y + y·z
= y(x – y + z)
4. 利用分解因式计算：
（1）1.992 + 1.99×0.01；
【教材P125练习 第3题】
解：(1) 1.992 + 1.99×0.01
= 1.99×1.99 + 1.99×0.01
= 1.99×(1.99 + 0.01)
= 1.99×2
= 3.98
（2）49×20.22 + 52×20.22 – 20.22；
（3）5×34 + 4×34 + 9×32.
(2) 49×20.22 + 52×20.22 – 20.22
= 20.22×(49 + 52 – 1)
= 20.22×100
= 2022
(3) 5×34 + 4×34 + 9×32
= 5×34 + 4×34 + 32×32
= 5×34 + 4×34 + 34
= 34×(5 + 4 + 1)
= 81×10
= 810
1.下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？
（1）6ax – 3ax2 = 3ax(2 – x)；
（2）a2 – b2 + 1 = (a + b)(a – b) + 1；
（3）x(x – y) – y(x – y) = (x – y)2；
（4）a2b – 3ab2 + ab = ab(a – 3b + 1).
等号右边不是积的形式
【教材P126习题17.1 第1题】
2. 分解因式：
【教材P127习题17.1 第2题】
（1）x + xy； （2）–2x + 3x2；
（3）a2b + 5ab – b；（4）2mn – n2 + 8n.
解：(1) 原式 = x(1 + y)
(2) 原式 = x(3x – 2)
(3) 原式 = b(a2 + 5a – 1)
(4) 原式 = n(2m – n + 8)
综合运用
3. 利用因式分解计算：
（1）9992 + 999；
（2）17×0.11 + 37×0.11 – 46×0.11 .
解：(1) 原式 = 999×(999 + 1)
= 999000
= 999×1000
(2) 原式 = 0.11×(17 + 37 – 46)
= 0.11×8
【教材P127习题17.1 第3题】
= 0.88
4. 分解因式：
【教材P127习题17.1 第4题】
（1）2mn2 + mn； （2）6xy2 – 8x2y3；
（3）6a2b + 9ab2 – 15ab；（4）3m2n – 3mn + 6n；
解：(1) 原式 = mn(2n + 1)
(2) 原式 = 2xy2(3 – 4xy)
(3) 原式 = 3ab(2a + 3b – 5)
(4) 原式 = 3n(m2 – m + 2)
（5）4x2y3 + 8x3y2 + 12x4y；（6）2m(x – y) – 3n(x – y)；
（7）2a(a – b)2 – (a – b)3； （8）x2(3y – 6) + x(6 – 3y).
(5) 原式 = 4x2y(y2 + 2xy + 3x2)
(6) 原式 = (x – y)(2m – 3n)
(7) 原式 = (a – b)2[2a – (a – b)]
= (a – b)2(a + b)
(8) 原式 = x2(3y – 6) – x(3y – 6)
= 3x(y – 2)·x – 3x(y – 2)·1
= 3x(y – 2)(x – 1)
5. 先分解因式，再求值：
（1）(a – 2)2 – 6(2 – a)，其中 a = – 2；
当 a = – 2 时，
(a – 2)(a + 4) = (– 2 – 2)×(– 2 + 4)
= (– 4)×2
= – 8
【教材P127习题17.1 第5题】
解：（1）原式 = (a – 2)2 + 6(a – 2)
= (a – 2)(a – 2 + 6)
= (a – 2)(a + 4)
5. 先分解因式，再求值：
（2）4x(y + 4) – x(y + 4)2，其中 x = 2，y = 5 .
当 x = 2，y = 5 时，
–xy(y + 4) = – 2×5×(5 + 4)
= – 90
【教材P127习题17.1 第5题】
解：（2）原式 = x(y + 4)·4 – x(y + 4)·(y + 4)
= x(y + 4)(4 – y – 4)
= –xy(y + 4)
知识点1 因式分解的概念
1.下列从左到右的变形是因式分解的是( )
B
A. B.
C. D.
2.对于， ，从左
到右的变形，表述正确的是( )
C
A.都是因式分解 B.都是乘法运算
C.①是因式分解，②是乘法运算 D.①是乘法运算，②是因式分解
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3.若多项式可以分解为，则 ___.
4
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知识点2 公因式的概念
4.（1）多项式 的公因式是___；
（2）多项式 的公因式是___；
（3）多项式 的公因式是___.
3
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知识点3 用提公因式法分解因式
5.下列各式中，能用提公因式法分解因式的是( )
B
A. B. C. D.
返回
用提公因式法分解因式的步骤：
第一步，确定公因式；
第二步，确定各项的余项（某一项和公因式相同时余项是 1）；
第三步，提取公因式（把多项式化为两个因式的乘积）.
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
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