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(共21张PPT)
幻灯片 1：17.2.1 利用平方差公式分解因式
引入：前面我们学习了用提公因式法分解因式，这是因式分解的基本方法。但对于一些特殊形式的多项式，还可以利用乘法公式来分解，使过程更简便。今天我们就来学习如何利用平方差公式分解因式。回忆一下，平方差公式的乘法形式是\((a + b)(a - b)=a^2 - b^2\)，那反过来，我们能不能把\(a^2 - b^2\)分解成整式乘积的形式呢？
幻灯片 2：平方差公式的逆用
公式推导：我们知道\((a + b)(a - b)=a^2 - b^2\)，反过来，就有\(a^2 - b^2=(a + b)(a - b)\)。这就是用平方差公式分解因式的形式，也就是说，两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
公式特征：
左边是一个二项式，且两项都是平方的形式，符号相反，即\( ^2 - ^2\)的形式。
右边是两个二项式的乘积，一个是这两个数的和，另一个是这两个数的差，即\(( + )( - )\)。
示例说明：对于\(x^2 - 9\)，可以看作\(x^2 - 3^2\)，符合平方差公式的左边形式，所以可以分解为\((x + 3)(x - 3)\)。
幻灯片 3：直接应用平方差公式分解
例题 1：分解因式\(4x^2 - 25\)
分析：\(4x^2=(2x)^2\)，\(25 = 5^2\)，所以该式可写成\((2x)^2 - 5^2\)，符合平方差公式的形式，其中\( = 2x\)，\( = 5\)。
解答：\(4x^2 - 25=(2x)^2 - 5^2=(2x + 5)(2x - 5)\)
例题 2：分解因式\(16a^2 - 9b^2\)
分析：\(16a^2=(4a)^2\)，\(9b^2=(3b)^2\)，即\((4a)^2 - (3b)^2\)，应用平方差公式分解。
解答：\(16a^2 - 9b^2=(4a)^2 - (3b)^2=(4a + 3b)(4a - 3b)\)
方法总结：先把多项式的两项分别转化为平方的形式，确定公式中的 “\(a\)” 和 “\(b\)”，再代入平方差公式进行分解。
幻灯片 4：含多项式的平方差分解
例题 3：分解因式\((x + 2)^2 - 9\)
分析：把\((x + 2)\)看作一个整体，\((x + 2)^2 - 9=(x + 2)^2 - 3^2\)，符合平方差公式，其中\( =x + 2\)，\( = 3\)。
解答：\((x + 2)^2 - 9=(x + 2 + 3)(x + 2 - 3)=(x + 5)(x - 1)\)
例题 4：分解因式\((a + b)^2 - (c - d)^2\)
分析：将\((a + b)\)和\((c - d)\)分别看作整体，该式为\((a + b)^2 - (c - d)^2\)，应用平方差公式分解。
解答：\((a + b)^2 - (c - d)^2=[(a + b)+(c - d)][(a + b)-(c - d)]=(a + b + c - d)(a + b - c + d)\)
技巧提示：当平方项是多项式时，把多项式看作一个整体，当作公式中的 “\(a\)” 或 “\(b\)”，再应用公式分解。
幻灯片 5：先提公因式再用平方差公式
适用情况：有些多项式虽然整体符合平方差的形式，但各项含有公因式，这时需要先提取公因式，再用平方差公式分解。
例题 5：分解因式\(3x^3 - 12x\)
分析：先观察到各项都含有公因式\(3x\)，提取公因式后得到\(3x(x^2 - 4)\)，而\(x^2 - 4=x^2 - 2^2\)，可以用平方差公式继续分解。
解答：\(3x^3 - 12x=3x(x^2 - 4)=3x(x^2 - 2^2)=3x(x + 2)(x - 2)\)
例题 6：分解因式\(2a^3b - 8ab^3\)
分析：先提取公因式\(2ab\)，得到\(2ab(a^2 - 4b^2)\)，\(a^2 - 4b^2=a^2-(2b)^2\)，再用平方差公式分解。
解答：\(2a^3b - 8ab^3=2ab(a^2 - 4b^2)=2ab(a + 2b)(a - 2b)\)
注意事项：分解因式要彻底，提取公因式后，若括号内的多项式还能继续分解，一定要分解到不能再分解为止。
幻灯片 6：易错点警示
易错点 1：未正确识别平方差公式的形式
错误示例：分解因式\(x^2 + 4\)，写成\((x + 2)(x - 2)\)。错误原因是\(x^2 + 4\)是平方和的形式，不符合平方差公式 “平方差” 的特征，不能用平方差公式分解。
规避方法：牢记平方差公式左边是两项平方且符号相反，平方和或符号相同的两项平方不能用该公式。
易错点 2：分解不彻底
错误示例：分解因式\(x^4 - 16\)，写成\((x^2 + 4)(x^2 - 4)\)。错误原因是\(x^2 - 4\)还可以用平方差公式继续分解为\((x + 2)(x - 2)\)。
正确解答：\(x^4 - 16=(x^2)^2 - 4^2=(x^2 + 4)(x^2 - 4)=(x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)\)
规避方法：分解完成后检查每一个因式是否还能继续分解，确保分解彻底。
易错点 3：系数未转化为平方形式
错误示例：分解因式\(2x^2 - 8\)，写成\(2(x^2 - 4)=2(x + 2)(x - 2)\)（此例正确，换错误示例）分解因式\(9x^2 - 1\)，写成\((9x + 1)(9x - 1)\)。错误原因是\(9x^2=(3x)^2\)，应将系数转化为平方形式。
正确解答：\(9x^2 - 1=(3x)^2 - 1^2=(3x + 1)(3x - 1)\)
规避方法：分解前先将各项系数化为平方的形式，明确公式中的 “\(a\)” 和 “\(b\)”。
幻灯片 7：课堂例题解析
例题 7：分解因式\(x^2 - (y - z)^2\)
分析：把\(x\)和\((y - z)\)看作两个数，该式为\(x^2 - (y - z)^2\)，符合平方差公式。
解答：\(x^2 - (y - z)^2=[x + (y - z)][x - (y - z)]=(x + y - z)(x - y + z)\)
例题 8：分解因式\((a^2 + b^2)^2 - a^2b^2\)
分析：该式可看作\((a^2 + b^2)^2 - (ab)^2\)，应用平方差公式分解为\([(a^2 + b^2)+ab][(a^2 + b^2)-ab]=(a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2)\)。
解答：\((a^2 + b^2)^2 - a^2b^2=(a^2 + b^2 + ab)(a^2 + b^2 - ab)\)
幻灯片 8：课堂巩固练习
题目 1：分解因式\(36m^2 - n^2\)
题目 2：分解因式\((x - 1)^2 - 4\)
题目 3：分解因式\(5x^2y - 5y\)
题目 4：分解因式\(x^4 - 81\)
题目 5：分解因式\((m + n)^2 - (m - n)^2\)
幻灯片 9：方法总结与提炼
核心步骤：
检查多项式是否符合平方差公式的特征：两项式，两项都是平方形式，符号相反。
若多项式各项有公因式，先提取公因式。
将多项式转化为\(a^2 - b^2\)的形式，确定 “\(a\)” 和 “\(b\)”（可以是单项式或多项式）。
应用平方差公式分解为\((a + b)(a - b)\)。
检查分解结果是否彻底，若有可继续分解的因式，重复分解步骤。
关键技巧：
把多项式中的整体看作 “\(a\)” 或 “\(b\)”，如多项式的平方、单项式的平方等。
分解因式的顺序通常是 “先提公因式，再用公式”。
幻灯片 10：课后作业
必做题：
课本第 [X] 页练习题第 1、2 题。
分解因式：\(1 - 25x^2\)；\((x + 3y)^2 - 4\)；\(4x^3 - x\)；\(a^2b^2 - 16\)
选做题：
利用因式分解计算：\(100^2 - 99^2 + 98^2 - 97^2 + \cdots + 2^2 - 1^2\)（提示：两两结合用平方差公式）。
已知\(x + y = 7\)，\(x - y = 3\)，求\(x^2 - y^2\)的值（用因式分解简化计算）。
拓展题：
若一个正方形的面积是\((x^2 + 6x + 9)cm^2\)，另一个正方形的面积是\((x^2 - 6x + 9)cm^2\)，求这两个正方形面积的差（用因式分解表示并计算当\(x = 5\)时的结果）。
2024人教版数学八年级上册
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17.2.1利用平方差公式分解因式
第十七章 因式分解
会利用平方差公式对多项式进行因式分解.
你能一眼看出 992 – 1 是不是 100 的倍数吗？
你能想到我们学过的什么内容？
探究新知
计算：
（1）(x + 5)(x – 5) = ________；
（2）(3x + y)(3x – y) = _________；
（3）(3m + 2n)(3m – 2n) = ___________.
x2 – 25
9x2 – y2
9m2 – 4n2
分解因式：
（1）x2 – 25 = _______________；
（2）9x2 – y2 = _______________；
（3）9m2 – 4n2 = ___________________.
(x + 5)(x – 5)
(3x + y)(3x – y)
(3m + 2n)(3m – 2n)
你发现了什么？
多项式 a2 – b2 有什么特点？
思考
你能将它分解因式吗？
是两个数的平方差的形式.
整式乘法
因式分解
(a + b)(a – b) = a2 – b2
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
在下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的有 .
① a2 + b2
② 2a – b2
③ a2 – b2
④ –a2 – b2
⑤ –a2 + b2
×
×
×
√
√
③⑤
练习
例1　分解因式：　
(1) 4x2 – 9；
(2) a2 – 25b2 .
解：(1) 4x2 – 9
= (2x)2 – 32
分析：(1) a = ____，b = _____
(2) a = ____，b = _____
2x
a
(2) a2 – 25b2
= a2 – (5b)2
= (a + 5b)(a – 5b)
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
3
5b
= (2x + 3)(2x – 3)
练习
将下列各式因式分解：
（1）25 – 16x2；
（2）9a2 – b2.
解: (1) 25 – 16x2
= 52 – (4x)2
= (5 + 4x)(5 – 4x)
例2　分解因式：　
解：(1) x2 – y4
= (x)2 – (y2)2
分析：(1) a = ____，b = _____
(2) a = ____，b = _____
x
x + p
(2) (x + p)2 – (x + q)2
= [(x + p) + (x + q)][(x + p) – (x + q)]
= (2x + p + q)(p – q)
y2
x + q
= (x + y2)(x – y2)
整体思想
(1) x2 – y4；
(2) (x + p)2 – (x + q)2 .
利用平方差公式分解因式，应注意：
1. 公式右边是两个二项式的积，且这两个二项式有一项完全相同（即 a），另一项互为相反数（即 b 和 –b）.
2. 公式左边是这两项的平方差.
3. 公式中的字母既可表示单项式也可以表示多项式.
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
1. 下列多项式能否利用平方差公式分解因式？为什么？
（1） x2 + y2
（2） x2 – y2
（3） –x2 + y2
（4） –x2 – y2
×
√
×
√
y2 – x2
符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式分解因式，即能写成：a2 – b2的形式.
两数是平方
减号放中央
【教材P129练习 第1题】
2. 分解因式：
（1）36 – m2； （2）49n2 – 1；
解：(1) 36 – m2
= (36 + m)(36 – m)
(2) 49n2 – 1
= (7n + 1)(7n – 1)
【教材P129练习 第2题】
（3） ； （4）81a2 – 16b4 ；
(4) 81a2 – 16b4
= (9a)2 – (4b2)2
= (9a + 4b2)(9a – 4b2)
知识点 运用平方差公式分解因式
1.下列各式中能用平方差公式进行因式分解的是( )
C
A. B. C. D.
返回
2.多项式 分解因式的结果是( )
B
A. B.
C. D.
返回
3.已知，则 等于( )
B
A.16 B. C.4 D.
返回
4.已知，且，则 ____.
返回
5.分解因式：
（1） ;
解：原式 .
（2） ;
解：原式 .
（3） ;
解：原式 .
（4） ;
解：原式
.
（5） ;
解：原式 .
（6） .
解：原式 .
返回
利用平方差公式分解因式：
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
* 公式中的字母既可表示单项式也可以表示多项式
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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