资源简介

(共24张PPT)
幻灯片 1：17.1.2 用提公因式法分解稍复杂的因式
引入：上节课我们学习了用提取公因式法分解简单的因式，比如像\(5x^2 + 10x\)这样公因式为单项式的情况。但在实际问题中，我们会遇到更复杂的多项式，它们的公因式可能是多项式，或者需要经过变形才能找到公因式。这节课我们就来学习如何用提公因式法分解这些稍复杂的因式。
幻灯片 2：公因式为多项式的情况（一）
特征分析：当多项式的各项含有相同的多项式因式时，这个多项式就是公因式。例如多项式\(a(x - 2) + b(x - 2)\)中，\((x - 2)\)是各项都含有的多项式因式，所以公因式就是\((x - 2)\)。
例题 1：分解因式\(3(x - y) + a(x - y)\)
分析：各项都含有多项式因式\((x - y)\)，系数\(3\)和\(a\)没有除\(1\)以外的公因数，所以公因式是\((x - y)\)。
解答：\(3(x - y) + a(x - y)=(x - y)(3 + a)\)
例题 2：分解因式\(x(a + b) - y(a + b) + z(a + b)\)
分析：公因式为\((a + b)\)，提取后括号内为各项除以公因式的商。
解答：\(x(a + b) - y(a + b) + z(a + b)=(a + b)(x - y + z)\)
幻灯片 3：公因式为多项式的情况（二）
变形技巧：当多项式各项的多项式因式形式不同但实质相同时，需要先进行变形，使其成为相同的因式。例如\((x - y)\)与\((y - x)\)是互为相反数的关系，可将\((y - x)\)变形为\(-(x - y)\)。
例题 3：分解因式\(m(a - 3) - n(3 - a)\)
分析：先将\(3 - a\)变形为\(-(a - 3)\)，则原多项式变为\(m(a - 3) + n(a - 3)\)，公因式为\((a - 3)\)。
解答：\(m(a - 3) - n(3 - a)=m(a - 3) + n(a - 3)=(a - 3)(m + n)\)
例题 4：分解因式\(5(x - y)^2 + 10(y - x)^3\)
分析：\((y - x)^3 = -(x - y)^3\)，原多项式变形为\(5(x - y)^2 - 10(x - y)^3\)。公因式为\(5(x - y)^2\)，其中系数最大公因数是\(5\)，多项式因式取最低次幂\((x - y)^2\)。
解答：\(5(x - y)^2 + 10(y - x)^3=5(x - y)^2 - 10(x - y)^3=5(x - y)^2[1 - 2(x - y)]=5(x - y)^2(1 - 2x + 2y)\)
幻灯片 4：含负号的复杂多项式分解
处理原则：当多项式的首项系数为负时，通常先提取一个负的公因式，使括号内的首项系数为正，方便后续分解。提取负号后，括号内各项的符号都要改变。
例题 5：分解因式\(-2x^3 + 4x^2 + 2x\)
分析：首项系数为负，先提取\(-2x\)作为公因式。
解答：\(-2x^3 + 4x^2 + 2x=-2x(x^2 - 2x - 1)\)
例题 6：分解因式\(-a(b - a) - c(a - b)\)
分析：先将\(b - a\)变形为\(-(a - b)\)，原多项式变为\(-a[-(a - b)] - c(a - b)=a(a - b) - c(a - b)\)，公因式为\((a - b)\)。也可直接提取\(-(a - b)\)，过程如下。
解答：\(-a(b - a) - c(a - b)=a(a - b) - c(a - b)=(a - b)(a - c)\)
幻灯片 5：多步骤提取公因式
适用情况：有些多项式需要多次提取公因式才能分解彻底。第一次提取公因式后，括号内的多项式可能还含有公因式，需要继续提取。
例题 7：分解因式\(2a(x + y) - 3b(x + y) + (x + y)\)
分析：先提取公因式\((x + y)\)，得到\((x + y)(2a - 3b + 1)\)，括号内已没有公因式，分解彻底。
解答：\(2a(x + y) - 3b(x + y) + (x + y)=(x + y)(2a - 3b + 1)\)
例题 8：分解因式\(4x^2y - 8xy^2 + 12x^2y^2\)
分析：第一次提取公因式\(4xy\)，得到\(4xy(x - 2y + 3xy)\)，括号内各项没有公因式，分解完成。
解答：\(4x^2y - 8xy^2 + 12x^2y^2=4xy(x - 2y + 3xy)\)
例题 9：分解因式\(a(x - y) - b(y - x) - c(x - y)\)
分析：先将\(y - x\)变形为\(-(x - y)\)，原多项式变为\(a(x - y) + b(x - y) - c(x - y)\)，提取公因式\((x - y)\)，得到\((x - y)(a + b - c)\)。
解答：\(a(x - y) - b(y - x) - c(x - y)=a(x - y) + b(x - y) - c(x - y)=(x - y)(a + b - c)\)
幻灯片 6：易错点深化警示
易错点 1：多项式因式变形错误
错误示例：分解因式\(3(x - 2) - x(2 - x)\)，写成\(3(x - 2) - x(x - 2)=(x - 2)(3 - x)\)。错误原因是\(2 - x=-(x - 2)\)，变形时符号处理错误，应为\(-x(2 - x)=x(x - 2)\)。
正确解答：\(3(x - 2) - x(2 - x)=3(x - 2) + x(x - 2)=(x - 2)(3 + x)\)
规避方法：变形互为相反数的多项式因式时，注意符号变化，可多写一步变形过程。
易错点 2：提取公因式后括号内仍有公因式未提取
错误示例：分解因式\(6a(a + b) - 4b(a + b)\)，写成\(2(a + b)(3a - 2b)\)（此例正确，换错误示例）分解因式\(12x^2(x - y) - 8x(x - y)\)，写成\(4x(x - y)(3x)\)。错误原因是括号内\(3x - 2\)才是正确结果，漏写常数项。
正确解答：\(12x^2(x - y) - 8x(x - y)=4x(x - y)(3x - 2)\)
规避方法：提取公因式后，检查括号内各项是否还有公因式，确保分解彻底。
幻灯片 7：课堂例题解析
例题 10：分解因式\((a + b)(a - b) - a - b\)
分析：可将后两项\(-a - b\)变形为\(-(a + b)\)，原多项式变为\((a + b)(a - b) - (a + b)\)，公因式为\((a + b)\)。
解答：\((a + b)(a - b) - a - b=(a + b)(a - b) - (a + b)=(a + b)(a - b - 1)\)
例题 11：分解因式\(x(x - 1) + 3x - 3\)
分析：将\(3x - 3\)提取公因式\(3\)得\(3(x - 1)\)，原多项式变为\(x(x - 1) + 3(x - 1)\)，公因式为\((x - 1)\)。
解答：\(x(x - 1) + 3x - 3=x(x - 1) + 3(x - 1)=(x - 1)(x + 3)\)
幻灯片 8：课堂巩固练习
题目 1：分解因式\(p(a^2 + b^2) + q(a^2 + b^2)\)
题目 2：分解因式\(a(x - 3)^2 + b(3 - x)^2\)
题目 3：分解因式\(-m^2n - mn^2 + mn\)
题目 4：分解因式\(x(x + y)(x - y) - x(x + y)^2\)
题目 5：分解因式\(3(a - b)^3 + 6(b - a)^2\)
幻灯片 9：方法总结与提炼
核心步骤：
观察多项式结构，判断是否需要变形（如互为相反数的多项式因式转化）。
确定公因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式，注意系数、字母及多项式因式的最低次幂。
提取公因式，若首项系数为负，可先提取负号，使括号内首项系数为正。
检查分解结果，确保括号内的多项式没有公因式，分解彻底。
关键技巧：
遇到互为相反数的多项式因式时，利用\((y - x)^n = (-1)^n(x - y)^n\)进行变形（\(n\)为正整数）。
多步骤提取公因式时，一步提取后及时检查括号内的式子是否还能继续提取。
幻灯片 10：课后作业
必做题：
课本第 [X] 页练习题第 3、4 题。
分解因式：\(2(x - y)^2 - (y - x)^3\)；\(-5x^2 + 10x - 15x^3\)；\(m(a - b) + n(b - a) - p(a - b)\)
选做题：
已知\(x + y = 5\)，求\(2x + 2y - 3\)的值（利用提取公因式法简化计算）。
分解因式\((x^2 + 3x + 2)(x^2 + 3x) + 1\)（提示：先将\(x^2 + 3x\)看作整体提取公因式，再进一步分解）。
拓展题：
若多项式\(2x^3 - x^2 + m\)有一个因式是\(2x + 1\)，求\(m\)的值（提示：设\(2x^3 - x^2 + m=(2x + 1)(ax^2 + bx + c)\)，展开对比系数求解）。
2024人教版数学八年级上册
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17.1.2用提公因式法分解稍复杂的因式
第十七章 因式分解
能准确地找出各项的多项式公因式进行因式分解；
能运用整体思想进行因式分解.
分解因式：
（1）6x3 – 18x2 = __________；
（2）–7a2 + 21a = __________.
6x2(x – 3)
– 7a(a – 3)
你是怎样做的？
①定系数；
②定字母；
③定指数；
6
x
2
1. 确定公因式：
2. 确定各项的余项；
3. 提取公因式.
–7
a
x
–3
a
–3
例2　把 8a3b2 + 12ab3c 分解因式.　
分析：先找公因式.
①定系数：
②定字母：
③定指数：
4
a
1
8与12的最大公因数是4
a3b2 与 ab3c 都含有字母 a 和 b
b
2
a的最低次数是1，b的最低次数是2
4ab2
8a3b2 + 12ab3c
如果提出公因式 4ab，另一个因式的两项是否还有公因式？
(8a3b2 + 12ab3c)÷(4ab)
= 2a2b+ 3b2c
还能提出公因式 b
解： 8a3b2 + 12ab3c
= 4ab2·2a2 + 4ab2·3bc
= 4ab2(2a2 + 3bc)
练习
把下列各式分解因式：
(1) 3a2b3c5 – 6ab2c；
(2) –8x2y2 – 4x2yz + 2xy.
解： (1) 3a2b3c5 – 6ab2c
= 3ab2c·abc4 – 3ab2c·2
= 3ab2c(abc4 – 2)
= (–2xy)·4xy + (–2xy)·2xz – (–2xy)·1
= (–2xy)(4xy + 2xz – 1)
注意：首项为负，一般先提出符号，后面各项都要变号
(2) –8x2y2 – 4x2yz + 2xy
例3　分解因式：　
(1) 2a(b + c) – 3(b + c)；
(2) 4(a – b)3 + 8(b – a)2 .
解：(1) 2a(b + c) – 3(b + c)
= (b + c)(2a – 3)
分析：(1) 公因式为_______
(2)公因式为______
(b + c)
4(a – b)2
公因式可以是一个单项式，也可以是多项式
(2) 4(a – b)3 + 8(b – a)2
= 4(a – b)2·(a – b) + 4(a – b)2·2
= 4(a – b)2(a – b + 2)
(b – a)2 = (a – b)2
判断下列各式因式分解是否正确？如果错误，请改正.
(1) –a3 + a2b2 – a2b
解：原式 = –a2(a + b2 – b)；
(2) 36a3 + 24a2b
解：原式 = 6a2(6a + 4b)；
(3) a(a – b) + a(a – b)(a + b)
解：原式 = a(a – b)(a + b)；
原式 = –a2(a – b2 + b)
注意：首项有负常提负，提负要变号
原式 = 12a2(3a + 2b)
注意：公因式要提尽
原式 = a(a – b)(1 + a + b)
注意：某项提完莫漏1
归纳
因式分解常用到的恒等变形：
（1）b – a = __________；
（2）(a – b)2 = __________；
– (a – b)
(b – a)2
（3）(a – b)3 = __________.
– (b – a)3
1. 分解因式：
【教材P126练习 第1题】
（1）8m2n + 2mn； （2）4a2b + 10ab – ab2；
（3）p(a2 + b2) – q(a2 + b2)；
（4）2a(y – z)3 – 4b(z – y)3.
解：(1) 原式 = 2mn·4m + 2mn·1
(2) 原式 = ab·4a + ab·10 – ab·b
= ab(4a + 10 – b)
= 2mn(4m + 1)
(3) 原式 = (p – q)(a2 + b2)
(4) 原式 = 2a(y – z)3 + 4b(y – z)3
= (2a + 4b)(y – z)3
2. 先分解因式，再求值：4a2(x + 7) – 3(x + 7)，
其中 a = – 5，x = 3 .
【教材P126练习 第2题】
解：原式 = (4a2 – 3)(x + 7)
当 a = – 5，x = 3 时，
(4a2 – 3)(x + 7) = [4×(–5)2]×(3 + 7)
= 4×25×10
= 1000
1.下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？
（1）6ax – 3ax2 = 3ax(2 – x)；
（2）a2 – b2 + 1 = (a + b)(a – b) + 1；
（3）x(x – y) – y(x – y) = (x – y)2；
（4）a2b – 3ab2 + ab = ab(a – 3b + 1).
等号右边不是积的形式
【教材P126习题17.1 第1题】
2. 分解因式：
【教材P127习题17.1 第2题】
（1）x + xy； （2）–2x + 3x2；
（3）a2b + 5ab – b；（4）2mn – n2 + 8n.
解：(1) 原式 = x(1 + y)
(2) 原式 = x(3x – 2)
(3) 原式 = b(a2 + 5a – 1)
(4) 原式 = n(2m – n + 8)
综合运用
3. 利用因式分解计算：
（1）9992 + 999；
（2）17×0.11 + 37×0.11 – 46×0.11 .
解：(1) 原式 = 999×(999 + 1)
= 999000
= 999×1000
(2) 原式 = 0.11×(17 + 37 – 46)
= 0.11×8
【教材P127习题17.1 第3题】
= 0.88
4. 分解因式：
【教材P127习题17.1 第4题】
（1）2mn2 + mn； （2）6xy2 – 8x2y3；
（3）6a2b + 9ab2 – 15ab；（4）3m2n – 3mn + 6n；
解：(1) 原式 = mn(2n + 1)
(2) 原式 = 2xy2(3 – 4xy)
(3) 原式 = 3ab(2a + 3b – 5)
(4) 原式 = 3n(m2 – m + 2)
（5）4x2y3 + 8x3y2 + 12x4y；（6）2m(x – y) – 3n(x – y)；
（7）2a(a – b)2 – (a – b)3； （8）x2(3y – 6) + x(6 – 3y).
(5) 原式 = 4x2y(y2 + 2xy + 3x2)
(6) 原式 = (x – y)(2m – 3n)
(7) 原式 = (a – b)2[2a – (a – b)]
= (a – b)2(a + b)
(8) 原式 = x2(3y – 6) – x(3y – 6)
= 3x(y – 2)·x – 3x(y – 2)·1
= 3x(y – 2)(x – 1)
5. 先分解因式，再求值：
（1）(a – 2)2 – 6(2 – a)，其中 a = – 2；
当 a = – 2 时，
(a – 2)(a + 4) = (– 2 – 2)×(– 2 + 4)
= (– 4)×2
= – 8
【教材P127习题17.1 第5题】
解：（1）原式 = (a – 2)2 + 6(a – 2)
= (a – 2)(a – 2 + 6)
= (a – 2)(a + 4)
5. 先分解因式，再求值：
（2）4x(y + 4) – x(y + 4)2，其中 x = 2，y = 5 .
当 x = 2，y = 5 时，
–xy(y + 4) = – 2×5×(5 + 4)
= – 90
【教材P127习题17.1 第5题】
解：（2）原式 = x(y + 4)·4 – x(y + 4)·(y + 4)
= x(y + 4)(4 – y – 4)
= –xy(y + 4)
拓广探索
6. 已知 ab = 2，a – 4b = – 5，求 a2b – 4ab2 + ab 的值.
解： a2b – 4ab2 + ab
= ab(a – 4b + 1)
= 2×(– 5 + 1)
= 2×(– 4)
= – 8
【教材P127习题17.1 第6题】
7. 设 n 为奇数，求证：n2 除以 8 的余数为 1.
证明：因为 n 为奇数，所以可设 n = 2a + 1.
所以 n2 = (2a + 1)2 = 4a2 + 4a + 1
= 4a(a + 1) + 1
因为 a 与 a + 1 一定是一奇一偶，
所以 4a(a + 1) 是 8 的倍数.
所以 4a(a + 1) + 1 除以 8 的余数为 1.
所以 n2 除以 8 的余数为 1.
【教材P127习题17.1 第7题】
8. 已知一个三角形的三边长分别为 a，b，c，且 ab – ac = b2 – bc，证明这个三角形是等腰三角形.
【教材P127习题17.1 第8题】
证明：因为 ab – ac = b2 – bc，
所以 a(b – c) = b(b – c).
所以 a = b 或 b – c = 0.
所以 a = b 或 b = c.
所以这个三角形是等腰三角形.
用提公因式法分解因式的注意事项：
1. 公因式可以是单项式的形式，也可以是多项式的形式；
2. 当多项式第一项的系数为负数时，一般提出负号，且各项都变号；
3. 公因式的提取要彻底，分解因式的最后结果中，每个因式中不能有同类项和公因式.
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
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