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(共23张PPT)
幻灯片 1：17.2.2 利用完全平方公式分解因式
引入：上节课我们学习了用平方差公式分解因式，它是平方差公式乘法形式的逆用。那我们学过的完全平方公式能不能逆用呢？回忆完全平方公式的乘法形式：\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)，\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)。反过来，形如\(a^2 + 2ab + b^2\)或\(a^2 - 2ab + b^2\)的多项式，能不能分解成整式乘积的形式呢？这就是本节课要学习的利用完全平方公式分解因式。
幻灯片 2：完全平方公式的逆用
公式推导：根据乘法公式\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)和\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)，反过来可得：
\(a^2 + 2ab + b^2=(a + b)^2\)
\(a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2\)
这就是用完全平方公式分解因式的形式，即两个数的平方和加上（或减去）这两个数积的 2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
公式特征：
左边是一个三项式，其中两项是平方的形式（\(a^2\)和\(b^2\)），且符号相同；第三项是这两个数积的 2 倍（\( ±2ab\)），符号可正可负。
右边是一个二项式的平方，即\((a ± b)^2\)。
示例说明：对于\(x^2 + 6x + 9\)，\(x^2\)是\(x\)的平方，\(9\)是\(3\)的平方，\(6x = 2 x 3\)，符合完全平方公式左边形式，可分解为\((x + 3)^2\)。
幻灯片 3：直接应用完全平方公式分解
例题 1：分解因式\(x^2 + 10x + 25\)
分析：\(x^2 = x^2\)，\(25 = 5^2\)，中间项\(10x = 2 x 5\)，符合\(a^2 + 2ab + b^2\)的形式，其中\(a = x\)，\(b = 5\)。
解答：\(x^2 + 10x + 25 = x^2 + 2 x 5 + 5^2=(x + 5)^2\)
例题 2：分解因式\(4a^2 - 12ab + 9b^2\)
分析：\(4a^2=(2a)^2\)，\(9b^2=(3b)^2\)，中间项\(-12ab=-2 2a 3b\)，符合\(a^2 - 2ab + b^2\)的形式，其中\(a = 2a\)，\(b = 3b\)。
解答：\(4a^2 - 12ab + 9b^2=(2a)^2 - 2 2a 3b + (3b)^2=(2a - 3b)^2\)
方法总结：先确定多项式的两项平方项，判断符号是否相同，再检查中间项是否为这两项底数乘积的 2 倍，最后代入对应公式分解。
幻灯片 4：含多项式的完全平方分解
例题 3：分解因式\((x + y)^2 + 6(x + y) + 9\)
分析：把\((x + y)\)看作一个整体，\((x + y)^2\)是平方项，\(9 = 3^2\)，中间项\(6(x + y)=2 (x + y) 3\)，符合完全平方公式。
解答：\((x + y)^2 + 6(x + y) + 9=(x + y)^2 + 2 (x + y) 3 + 3^2=(x + y + 3)^2\)
例题 4：分解因式\(a^2 - 4a(b + c) + 4(b + c)^2\)
分析：将\(a\)和\(2(b + c)\)看作两个数，\(a^2\)是平方项，\(4(b + c)^2=[2(b + c)]^2\)，中间项\(-4a(b + c)=-2 a 2(b + c)\)，符合完全平方公式。
解答：\(a^2 - 4a(b + c) + 4(b + c)^2=a^2 - 2 a 2(b + c)+[2(b + c)]^2=[a - 2(b + c)]^2=(a - 2b - 2c)^2\)
技巧提示：当平方项是多项式时，将其视为一个整体作为公式中的 “\(a\)” 或 “\(b\)”，按照公式特征检查中间项是否匹配。
幻灯片 5：先提公因式再用完全平方公式
适用情况：当多项式各项含有公因式时，需先提取公因式，再检查剩余部分是否符合完全平方公式的特征，继续分解。
例题 5：分解因式\(3x^2 + 6xy + 3y^2\)
分析：先提取公因式\(3\)，得到\(3(x^2 + 2xy + y^2)\)，括号内的\(x^2 + 2xy + y^2\)符合完全平方公式，可分解为\((x + y)^2\)。
解答：\(3x^2 + 6xy + 3y^2=3(x^2 + 2xy + y^2)=3(x + y)^2\)
例题 6：分解因式\(-2a^3 + 12a^2 - 18a\)
分析：先提取公因式\(-2a\)，得到\(-2a(a^2 - 6a + 9)\)，括号内\(a^2 - 6a + 9=a^2 - 2 a 3 + 3^2=(a - 3)^2\)。
解答：\(-2a^3 + 12a^2 - 18a=-2a(a^2 - 6a + 9)=-2a(a - 3)^2\)
注意事项：提取公因式后，括号内的多项式各项符号可能发生变化，需重新检查是否符合完全平方公式的特征。
幻灯片 6：易错点警示
易错点 1：未正确识别完全平方公式的形式
错误示例：分解因式\(x^2 + 2x + 4\)，写成\((x + 2)^2\)。错误原因是中间项\(2x 2 x 2\)，且第三项\(4\)对应的平方项底数与中间项不匹配。
规避方法：严格按照 “两项平方项符号相同，中间项是两倍乘积” 的特征判断，缺一不可。
易错点 2：中间项符号错误
错误示例：分解因式\(m^2 - 4m + 4\)，写成\((m + 2)^2\)。错误原因是中间项为负，应分解为差的平方，而非和的平方。
正确解答：\(m^2 - 4m + 4=(m - 2)^2\)
规避方法：中间项符号为正时，分解为和的平方；符号为负时，分解为差的平方。
易错点 3：分解不彻底或提取公因式后漏项
错误示例：分解因式\(2x^2 + 4x + 2\)，写成\(2(x^2 + 2x + 1)\)。错误原因是括号内的\(x^2 + 2x + 1\)还可以分解为\((x + 1)^2\)，未分解彻底。
正确解答：\(2x^2 + 4x + 2=2(x^2 + 2x + 1)=2(x + 1)^2\)
规避方法：提取公因式后，务必检查括号内多项式是否还能继续分解。
幻灯片 7：课堂例题解析
例题 7：分解因式\(x^4 + 4x^2 + 4\)
分析：把\(x^2\)看作整体，\(x^4=(x^2)^2\)，\(4 = 2^2\)，中间项\(4x^2=2 x^2 2\)，符合完全平方公式。
解答：\(x^4 + 4x^2 + 4=(x^2)^2 + 2 x^2 2 + 2^2=(x^2 + 2)^2\)
例题 8：分解因式\((a^2 + b^2)^2 - 4a^2b^2\)
分析：先展开整理或直接看作平方差公式分解，得到\((a^2 + b^2 + 2ab)(a^2 + b^2 - 2ab)\)，再对每个括号应用完全平方公式。
解答：\((a^2 + b^2)^2 - 4a^2b^2=(a^2 + 2ab + b^2)(a^2 - 2ab + b^2)=(a + b)^2(a - b)^2\)
幻灯片 8：课堂巩固练习
题目 1：分解因式\(y^2 - 8y + 16\)
题目 2：分解因式\(9(m - n)^2 + 6(m - n) + 1\)
题目 3：分解因式\(-4x^3 + 16x^2 - 16x\)
题目 4：分解因式\(x^2y^2 + 10xy + 25\)
题目 5：分解因式\((x^2 + 1)^2 - 4x(x^2 + 1) + 4x^2\)
幻灯片 9：方法总结与提炼
核心步骤：
检查多项式是否为三项式，是否有两项是平方形式且符号相同。
若多项式各项有公因式，先提取公因式。
验证中间项是否为平方项底数乘积的 2 倍，确定符号（正或负）。
应用完全平方公式分解为\((a + b)^2\)或\((a - b)^2\)。
检查分解结果是否彻底，确保每个因式都不能再分解。
关键技巧：
准确确定 “\(a\)” 和 “\(b\)”：可以是单项式、多项式或整体代数式。
牢记公式特征口诀：“首平方，尾平方，首尾两倍中间放，和加差减看前方”。
分解顺序：先提公因式，再用完全平方公式，最后检查分解彻底性。
幻灯片 10：课后作业
必做题：
课本第 [X] 页练习题第 3、4 题。
分解因式：\(16a^2 + 24ab + 9b^2\)；\((x - 2y)^2 - 8(x - 2y) + 16\)；\(3m^2n + 12mn + 12n\)；\(-x^2 - 4y^2 + 4xy\)
选做题：
已知\(x^2 + y^2 - 6x + 4y + 13 = 0\)，求\(x\)、\(y\)的值（提示：用完全平方公式变形为平方和等于 0 的形式）。
利用因式分解计算：\(2023^2 - 4046 2022 + 2022^2\)。
拓展题：
证明：对于任意正整数\(n\)，\(n^2 + 2n + 1\)一定是完全平方数；\(n^2 + n\)一定能被 2 整除（用因式分解说明理由）。
2024人教版数学八年级上册
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17.2.2利用完全平方公式分解因式
第十七章 因式分解
掌握完全平方式的特点，能识别完全平方式.
能利用完全平方公式对多项式进行因式分解.
在括号里填上适当的式子，使等式成立：
(1) (a + b)2 = ________________；
(2) (a – b)2 = ________________；
(3) a2 + ______ + 1 = (a + 1)2；
(4) a2 – ______ + 1 = (a – 1)2 .
a2 + 2ab + b2
a2 – 2ab + b2
2a
2a
整式乘法
因式分解
思 考
这两个式子有什么特点？
a2 + 2ab + b2
a2 – 2ab + b2
首平方
尾平方
2倍乘积放中央
完全平方式
注意：①平方项符号相同；
②中间项是积的2倍.
练习
下列多项式是不是完全平方式？
（1）a2 – 12a + 36
（2）x2 + 4x + 4y2
（3）4a2 + 2ab + b2
1
4
（4）a2 – ab + b2
（6）a2 + a + 0.25
是
不是
是
不是
不是
是
a2
62
2·a·6
x2
(2y)2
2·x·2
(2a)2
( b)2
1
2
2·2a· b
1
2
a2
b2
2·a· b
1
2
a2
0.52
2·a·0.5
（5）x2 – 6x – 9
完全平方公式：
即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
等号两边互换：
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
利用完全平方公式可以将形如完全平方式的多项式分解因式.
例3　分解因式：　
(1) x2 + 4x + 4；
(2) 16x2 – 24x + 9.
解：(1) x2 + 4x + 4
= x2 + 2·x·2 + 22
分析：
是完全平方式
(2) 16x2 – 24x + 9
= (4x)2 – 2·4x·3 + 32
= (4x – 3)2
a2
22
2·x·2
= (x + 2)2
是完全平方式
(4x)2
32
2·4x·3
例4　分解因式：　
(1) (a + b)2 – 12(a + b) + 36；
(2) – x2 + 4xy – 4y2.
解：(1) (a + b)2 – 12(a + b) + 36
= (a + b)2 – 2·(a + b)·6 + 62
是完全平方式
(2) – x2 + 4xy – 4y2
= – (x2 – 4xy + 4y2)
= – [x2 – 2·x·2y + (2y)2]
m2
62
2·m·6
= (a + b – 6)2
整体思想：设 a + b = m
先提负号：
是完全平方式
– (x2 – 4xy + 4y2)
= – (x – 2y)2
x2
2·x·2y
(2y)2
思考
运用完全平方公式分解因式应注意什么？
（1）先找平方项，再运用公式；
（2）平方项可以是单项式，也可以是多项式；
（3）若平方项前面是负号，先把负号提到括号前面，再考虑用完全平方公式.
归纳
有关完全平方公式的常见变形：
a2 + b2 的变形
ab 的变形
a2+b2 = (a+b)2–2ab
a2+b2 = (a–b)2+2ab
(a±b)2 的变形
a2+b2 = [(a+b)2+(a–b)2]
ab = [(a+b)2–(a2+b2)]
ab = [(a2+b2)–(a–b)2]
ab = [(a+b)2–(a–b)2]
(a+b)2 = (a–b)2+4ab
(a–b)2 = (a+b)2–4ab
可以看出，把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些具有特殊形式的多项式分解因式的公式.
运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法.
1. 下列多项式是不是完全平方式？为什么？
（1）a2 – 4a + 4
（2）1 + 4a2
是
只有两项，不是
不是
a2
22
2·a·2
a2
b2
2·a·0.5b
【教材P131练习 第1题】
最后一项为负，不是
（3）4b2 + 4b – 1
（4）a2 + ab + b2
2. 分解因式：
（1）a2 + 2a + 1； （2）x2 – 12x + 36；
（3）4x2 – 4x + 1； （4）4p2 + 12pq + 9q2；
【教材P131练习 第2题】
解：(1) a2 + 2a + 1
= a2 + 2·a·1 + 12
= (a + 1)2
(2) x2 – 12x + 36
= x2 – 2·x·6 + 62
= (x – 6)2
(3) 4x2 – 4x + 1
= (2x)2 – 2·2x·1 + 12
= (2x – 1)2
(4) 4p2 + 12pq + 9q2
= (2p)2 + 2·2p·3q + (3q)2
= (2p + 3q)2
2. 分解因式：
（5）(x + y)2 – 10(x + y) + 25；（6）– 2xy – x2 – y2.
(5) (x + y)2 – 10(x + y) + 25
= (x + y)2 – 2·(x + y)·5 + 52
= (x + y – 5)2
【教材P131练习 第2题】
(6) – 2xy – x2 – y2
= – (x2 + 2xy + y2)
= – (x + y)2
知识点1 完全平方式
1.下列式子是完全平方式的是( )
B
A. B. C. D.
返回
2.（1）若是完全平方式，则 ___;
（2）若是完全平方式，则 _____.
9
返回
知识点2 运用完全平方公式分解因式
3.多项式 分解因式的结果是( )
D
A. B.
C. D.
返回
4.［2025沧州期末］下列各式能用完全平方公式分解因式的是( )
D
A. B. C. D.
返回
5.把 分解因式，结果正确的是( )
C
A. B. C. D.
返回
6.分解因式：
（1） _________；
（2） __________.
返回
运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法.
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
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