资源简介

(共29张PPT)
幻灯片 1：17.2.3 综合运用各种方法分解因式
引入：前面我们学习了提公因式法、利用平方差公式分解因式和利用完全平方公式分解因式。在实际的因式分解问题中，很多多项式往往不能用单一方法分解，需要综合运用多种方法。这节课我们就来学习如何根据多项式的结构特征，灵活选择并综合运用各种方法进行因式分解，确保分解彻底。
幻灯片 2：因式分解的一般步骤
步骤一：优先提取公因式
无论多项式属于哪种形式，首先检查各项是否含有公因式，若有则先提取公因式。这是因式分解的基本前提，能简化后续分解过程。
示例：对于多项式\(2x^3 - 8x\)，先提取公因式\(2x\)，得到\(2x(x^2 - 4)\)。
步骤二：判断剩余部分的形式
提取公因式后，观察括号内的多项式形式：
若为二项式，检查是否符合平方差公式\(a^2 - b^2\)的特征，若符合则用平方差公式分解。
若为三项式，检查是否符合完全平方公式\(a^2 ± 2ab + b^2\)的特征，若符合则用完全平方公式分解。
示例：上例中\(x^2 - 4\)是二项式且符合平方差公式，继续分解为\((x + 2)(x - 2)\)。
步骤三：检查分解是否彻底
分解完成后，检查每个因式是否还能继续分解，若有则重复上述步骤，直到每个因式都不能再分解为止。
示例：\(2x^3 - 8x = 2x(x + 2)(x - 2)\)，各因式均不能再分解，分解彻底。
幻灯片 3：提公因式后用平方差公式
例题 1：分解因式\(3a^3b - 12ab^3\)
分析：
提取公因式：各项都含有公因式\(3ab\)，提取后得到\(3ab(a^2 - 4b^2)\)。
应用平方差公式：\(a^2 - 4b^2 = a^2 - (2b)^2\)，符合平方差公式，分解为\((a + 2b)(a - 2b)\)。
解答：\(3a^3b - 12ab^3 = 3ab(a^2 - 4b^2) = 3ab(a + 2b)(a - 2b)\)
例题 2：分解因式\(x^2(y^2 - 1) + 2x(y^2 - 1) + (y^2 - 1)\)
分析：
提取公因式：各项都含有公因式\((y^2 - 1)\)，提取后得到\((y^2 - 1)(x^2 + 2x + 1)\)。
分别分解因式：\(y^2 - 1=(y + 1)(y - 1)\)，\(x^2 + 2x + 1=(x + 1)^2\)。
解答：\(x^2(y^2 - 1) + 2x(y^2 - 1) + (y^2 - 1)=(y^2 - 1)(x^2 + 2x + 1)=(y + 1)(y - 1)(x + 1)^2\)
幻灯片 4：提公因式后用完全平方公式
例题 3：分解因式\(-2x^3y + 12x^2y - 18xy\)
分析：
提取公因式：各项都含有公因式\(-2xy\)，提取后得到\(-2xy(x^2 - 6x + 9)\)。
应用完全平方公式：\(x^2 - 6x + 9 = x^2 - 2 x 3 + 3^2\)，符合完全平方公式，分解为\((x - 3)^2\)。
解答：\(-2x^3y + 12x^2y - 18xy=-2xy(x^2 - 6x + 9)=-2xy(x - 3)^2\)
例题 4：分解因式\(4a^2b^2 - 4ab^3 + b^4\)
分析：
提取公因式：各项都含有公因式\(b^2\)，提取后得到\(b^2(4a^2 - 4ab + b^2)\)。
应用完全平方公式：\(4a^2 - 4ab + b^2=(2a)^2 - 2 2a b + b^2\)，分解为\((2a - b)^2\)。
解答：\(4a^2b^2 - 4ab^3 + b^4=b^2(4a^2 - 4ab + b^2)=b^2(2a - b)^2\)
幻灯片 5：多次运用公式分解
例题 5：分解因式\(x^4 - 81\)
分析：
应用平方差公式：\(x^4 - 81=(x^2)^2 - 9^2=(x^2 + 9)(x^2 - 9)\)。
继续分解：\(x^2 - 9 = x^2 - 3^2=(x + 3)(x - 3)\)，而\(x^2 + 9\)不能再分解。
解答：\(x^4 - 81=(x^2 + 9)(x^2 - 9)=(x^2 + 9)(x + 3)(x - 3)\)
例题 6：分解因式\((a^2 - 2ab + b^2) - c^2\)
分析：
先变形式：\(a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2\)，原多项式变为\((a - b)^2 - c^2\)。
应用平方差公式：分解为\([(a - b) + c][(a - b) - c]=(a - b + c)(a - b - c)\)。
解答：\((a^2 - 2ab + b^2) - c^2=(a - b)^2 - c^2=(a - b + c)(a - b - c)\)
幻灯片 6：先分组再提取公因式或用公式
例题 7：分解因式\(ax + ay + bx + by\)
分析：
分组：将多项式分为\((ax + ay)\)和\((bx + by)\)两组。
各组提取公因式：分别提取公因式\(a\)和\(b\)，得到\(a(x + y) + b(x + y)\)。
提取公因式：两组都含有公因式\((x + y)\)，提取后得到\((x + y)(a + b)\)。
解答：\(ax + ay + bx + by=(ax + ay) + (bx + by)=a(x + y) + b(x + y)=(x + y)(a + b)\)
例题 8：分解因式\(x^2 - y^2 + x + y\)
分析：
分组：将\(x^2 - y^2\)作为一组，\(x + y\)作为另一组，即\((x^2 - y^2) + (x + y)\)。
第一组分解：\(x^2 - y^2=(x + y)(x - y)\)，原多项式变为\((x + y)(x - y) + (x + y)\)。
提取公因式：提取\((x + y)\)，得到\((x + y)(x - y + 1)\)。
解答：\(x^2 - y^2 + x + y=(x^2 - y^2) + (x + y)=(x + y)(x - y) + (x + y)=(x + y)(x - y + 1)\)
幻灯片 7：易错点警示
易错点 1：未优先提取公因式
错误示例：分解因式\(4x^2 - 12xy + 9y^2\)，直接写成\((2x - 3y)^2\)（此例正确，换错误示例）分解因式\(2x^2 - 8\)，写成\((\sqrt{2}x + 2\sqrt{2})(\sqrt{2}x - 2\sqrt{2})\)。错误原因是未先提取公因式\(2\)，导致分解过程复杂且不规范。
正确解答：\(2x^2 - 8=2(x^2 - 4)=2(x + 2)(x - 2)\)
规避方法：牢记 “先提公因式” 的原则，无论后续用何种公式，第一步都先检查公因式。
易错点 2：分解不彻底
错误示例：分解因式\(x^3 - 4x\)，写成\(x(x^2 - 4)\)。错误原因是\(x^2 - 4\)还可以用平方差公式继续分解。
正确解答：\(x^3 - 4x=x(x^2 - 4)=x(x + 2)(x - 2)\)
规避方法：分解完成后，对每个因式逐一检查，看是否还能继续分解，尤其是二次多项式。
易错点 3：分组不当导致无法分解
错误示例：分解因式\(x^2 + xy + ax + ay\)，错误分组为\((x^2 + xy + ax) + ay\)，导致无法提取公因式。
正确分组：\((x^2 + xy) + (ax + ay)=x(x + y) + a(x + y)=(x + y)(x + a)\)
规避方法：分组时要确保每组之间有公因式可提，或分组后能应用公式分解。
幻灯片 8：课堂例题解析
例题 9：分解因式\(a^4 - 2a^2b^2 + b^4\)
分析：
应用完全平方公式：\(a^4 - 2a^2b^2 + b^4=(a^2 - b^2)^2\)。
继续应用平方差公式：\(a^2 - b^2=(a + b)(a - b)\)，所以结果为\([(a + b)(a - b)]^2=(a + b)^2(a - b)^2\)。
解答：\(a^4 - 2a^2b^2 + b^4=(a^2 - b^2)^2=(a + b)^2(a - b)^2\)
例题 10：分解因式\(x^2 - 2xy + y^2 - 9z^2\)
分析：
分组：将前三项分为一组，\(x^2 - 2xy + y^2=(x - y)^2\)，原多项式变为\((x - y)^2 - (3z)^2\)。
应用平方差公式：分解为\((x - y + 3z)(x - y - 3z)\)。
解答：\(x^2 - 2xy + y^2 - 9z^2=(x - y)^2 - (3z)^2=(x - y + 3z)(x - y - 3z)\)
幻灯片 9：课堂巩固练习
题目 1：分解因式\(8a^3 - 2a\)
题目 2：分解因式\(x^2y^2 - 4xy + 4\)
题目 3：分解因式\(a^2 - b^2 + a - b\)
题目 4：分解因式\((x^2 + 1)^2 - 4x^2\)
题目 5：分解因式\(m^2 - n^2 + 2m + 2n\)
幻灯片 10：方法总结与提炼
综合分解策略：
一提：首先提取公因式，这是因式分解的首要步骤，为后续分解奠定基础。
二套：提取公因式后，根据多项式项数和形式套用公式：二项式套平方差公式，三项式套完全平方公式。
三分组：对于四项及以上的多项式，合理分组后再提取公因式或套用公式。
四检查：分解完成后检查是否彻底，确保每个因式都不能再分解。
关键技巧：
熟悉各种方法的适用条件，根据多项式特征灵活选择方法组合。
对于复杂多项式，可先尝试变形（如添括号、分组），使其符合已学方法的应用条件。
多做练习，积累不同类型多项式的分解经验，提高解题熟练度。
幻灯片 11：课后作业
必做题：
课本第 [X] 页练习题第 5、6 题。
分解因式：\(3x^3 - 12x^2 + 12x\)；\(x^2 - 4y^2 + x + 2y\)；\(a^2 - 2ab + b^2 - c^2\)；\(x^4 - 16\)
选做题：
分解因式\((x^2 - 2x)^2 - 2(x^2 - 2x) - 3\)（提示：将\(x^2 - 2x\)看作整体先分解）。
已知\(a + b = 5\)，\(ab = 3\)，利用因式分解求\(a^3b + 2a^2b^2 + ab^3\)的值。
拓展题：
若多项式\(x^2 + mx + n\)分解因式的结果是\((x - 3)(x + 4)\)，求\(m\)、\(n\)的值；若多项式\(x^2 + 2x + k\)是完全平方式，求\(k\)的值（用因式分解相关知识解答）。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
17.2.3综合运用各种方法分解因式
第十七章 因式分解
能灵活运用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解.
2. 分解因式：
(1) 2x4y3 – x3y4 = _____________；
(2) 25a2 – 1 = ________________；
(3) m2n2 + 8mn + 16 = _________.
x3y3(2x – y)
(5a + 1)(5a – 1)
(mn + 4)2
1. 我们目前学习了哪些因式分解的方法？
提公因式法
，公式法
：平方差公式、完全平方公式
例5　分解因式：　
(1) x4 – y4；
解：(1) x4 – y4
= (x2)2 – (y2)2
分析：可以用___________分解因式
= (x2 + y2)(x2 – y2)
平方差公式
其中 a = ____，b = ____
x2
y2
结束了吗？
还能用平方差公式再分解
= (x2 + y2)(x + y)(x – y)
分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
(2) a3b – ab.
解：(2) a3b – ab
= ab(a2 – 1)
= ab(a + 1)(a – 1)
还能用____________再分解
分析：可以用___________分解因式
提公因式法
平方差公式
对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用提公因式法和公式法.
练习
将下列各式因式分解：
（1）p4 – 1；
（2）x4 – 81y4；
(2) x4 – 81y4
解：(1) p4 – 1
= (p2 + 1)(p2 – 1)
= (p2 + 1)(p – 1)(p + 1)
= (x2)2 – (9y2)2
= (x2 + 9y2)(x2 – 9y2)
= (x2 + 9y2)[x2 – (3y)2]
= (x2 + 9y2)(x + 3y)(x – 3y)
例6　分解因式：　
(1) 3ax2 + 6axy + 3ay2；
(2) – ax2 + 2a2x – a3 .
解：(1) 3ax2 + 6axy + 3ay2
= 3a(x2 + 2xy + y2)
先提出公因式，再用公式法进一步分解因式
(2) – ax2 + 2a2x – a3
= –a(x2 – 2ax + a2)
= –a(x – a)2
= 3a(x + y)2
探究
你会把 x2 + 3x + 2 分解因式吗？
完全平方公式
1 + 1
提公因式
方法一：x2 + 3x + 2
= (x2 + 2x + 1) + x + 1
= (x + 1)2 + (x + 1)
= (x + 1)(x + 1 + 1)
= (x + 1)(x + 2)
2x + x
方法二：x2 + 3x + 2
= x2 + 2x + x + 2
= x(x + 2) + (x + 2)
= (x + 1)(x + 2)
提公因式
提公因式
还有其他方法吗？
阅读与思考
x2 + (p + q)x + pq 型式子的因式分解
多项式乘法法则：
(x + p)(x + q) =
x2 + (p + q)x + pq
由等式性质可得：
x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)
方法三：x2 + 3x + 2
= x2 + (1 + 2)x + 1×2
= (x + 1)(x + 2)
竖分二次项系数和常数项
交叉相乘
十字相乘法
x2 + (p + q)x + pq
1
1
p
q
×
1·q
x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)
1·p
+ = p + q
积相加
练习
把下列各式分解因式：
（1）x2 + 7x + 10；
（2）x2 – 2x – 8；
1
1
2
5
1×5 + 1×2 = 7
解：(1)原式 = (x + 2)(x + 5)
1
1
2
–4
1×(–4) + 1×2 = –2
(2) 原式 = (x + 2)(x – 4)
思考
分解因式的一般步骤有哪些？
（1）如果多项式的各项含有公因式，那么应先提取公因式；
（2）如果多项式的各项不含有公因式，那么可以尝试运用公式法、十字相乘法因式分解；
（3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止.
随堂练习
1. 分解因式：
（1）x2y – 4y；
（2）a3 – 2a2 + a；
【教材P132练习 第1题】
（3）ax2 + 2a2x + a3；
解：(1) 原式 = y(x2 – 4)
= y(x + 2)(x – 2)
(2) 原式 = a(a2 – 2a + 1)
= a(a – 1)2
(3) 原式 = a(x2 + 2ax + a2)
= a(x + a)2
（4） – a4 + 16；
(4) 原式 = – (a4 – 16)
= – (a2 + 4)(a2 – 4)
= – (a2 + 4)(a + 2) (a – 2)
（5）3a – 6ax + 3ax2；
（6） – 4bx2 + 8bxy – 4by2.
(5) 原式 = 3a(1 – 2x + x2)
= 3a(x – 1)2
(6) 原式 = – 4b(x2 – 2xy + y2)
= – 4b(x – y)2
2. 分解因式：
（1）(a – b)2 + 4ab； （2）(p – 4)(p + 1) + 3p .
【教材P132练习 第2题】
解：(1) 原式 = a2 – 2ab + b2 + 4ab
= a2 + 2ab + b2
= (a + b)2
(2) 原式 = p2 + p – 4p – 4 + 3p
= p2 – 4
= (p + 2)(p – 2)
复习巩固
分解因式（第1~3题）.
1.（1）9a2 – 16； （2）81x2 – 64y2；
（3） ； （4） .
【教材P132习题17.2 第1题】
解：(1) 原式 = (3a + 4)(3a – 4)
(2) 原式 = (9x + 8y)(9x – 8y)
2.（1）a2 – 4ab + 4b2；（2）–x2 + 10xy – 25y2；
（3）4 + 12(x – y) + 9(x – y)2；
（4）– (m + n)2 + 4(m + n) – 4 .
解：(1) 原式 = (a – 2b)2
(2) 原式 = –(x2 – 10xy + 25y2)
(3) 原式 = [2 + 3(x – y)]2
(4) 原式 = – [(m + n)2 – 4(m + n) + 4]
【教材P132习题17.2 第2题】
= – (x – 5y)2
= (3x – 3y + 2)2
= – (m + n – 2)2
3.（1）18y3 – 27y4 – 3y2；
（2）m4 – 18m2 + 81；
解：(1) 原式 = – 3y2(9y2 – 6y + 1)
(2) 原式 = (m2 – 9)2
【教材P132习题17.2 第3题】
= – 3y2(3y – 1)2
= [(m + 3)(m – 3)]2
= (m + 3)2(m – 3)2
（3）x4 – 16y4 ；
（4）(a2 + b2 – c2)2 – (a2 – b2 – c2)2 .
(3) 原式 = (x2 + 4y2)(x2 – 4y2)
(4) 原式 = [(a2 + b2 – c2) + (a2 – b2 – c2)][(a2 + b2 – c2) – (a2 – b2 – c2)]
= (x2 + 4y2)(x + 2y)(x – 2y)
= (2a2 – 2c2)·2b2
= 4b2(a2 – c2)
= 4b2(a + c)(a – c)
4. 利用因式分解计算：
（1）1032 + 103×194 + 972；
（2）20212 – 20202 + 20102 – 20092 .
解：(1) 原式 = 1032 + 2×103×97 + 972
= 2002
= (103 + 97)2
(2) 原式 = (20212 – 20202) + (20102 – 20092)
= (2021 + 2020)(2021 – 2020) + (2010 + 2009)(2010 – 2009)
= 4041×1 + 4019×1
【教材P132习题17.2 第4题】
= 40000
= 8060
5. 已知 xy = 4，x + y = 5，求 x3y + 2x2y2 + xy3 .
当 xy = 4，x + y = 5 时，
xy(x + y)2 = 4×52
= 100
解： x3y + 2x2y2 + xy3
= xy(x2 + 2xy + y2)
= xy(x + y)2
【教材P132习题17.2 第5题】
6. 分解因式：
（1）(2ab + 1)2 – a4b4；
（2）(p + q)2 – 6(p2 – q2) + 9(p – q)2.
解：(1) 原式 = (2ab + 1 + a2b2)(2ab + 1 – a2b2)
= (ab + 1)2(2ab + 1 – a2b2)
【教材P132习题17.2 第6题】
(2) 原式 = (p + q)2 – 6(p + q)(p – q) + 9(p – q)2
= [(p + q) – 3(p – q)]2
= (4q – 2p)2
= 4(2q – p)2
7. 已知 n 为正整数，求证：(4n + 3)2 – (2n + 3)2 能被24整除.
解： (4n + 3)2 – (2n + 3)2
= [(4n + 3) + (2n + 3)][(4n + 3) – (2n + 3)]
= (6n + 6)·2n
= 12n(n + 1)
因为 n 为正整数，n 与 n + 1 为一奇一偶，
所以 12n(n + 1) 能被 24 整除.
所以 (4n + 3)2 – (2n + 3)2 能被24整除.
【教材P132习题17.2 第7题】
8. 已知 4y2 + my + 9 是完全平方式，求 m 的值.
解：因为 4y2 + my + 9 = (2y)2 + my + 32，
且 4y2 + my + 9 是完全平方式，
所以 4y2 + my + 9 = (2y±3)2 = 4y2±12y + 9，
所以 m = ±12.
【教材P132习题17.2 第8题】
9. 观察下列式子，你得出了什么结论？你能证明你的结论吗？
【教材P132习题17.2 第9题】
12 + 12×22 + 22 = (1 + 1 + 1)2，
22 + 22×32 + 32 = (4 + 2 + 1)2，
32 + 32×42 + 42 = (9 + 3 + 1)2，
······
结论： n2 + n2(n + 1)2 + (n + 1)2 = (n2 + n + 1)2
证明： n2 + n2(n + 1)2 + (n + 1)2
= n2 + n2(n2 + 2n + 1) + (n2 + 2n + 1)
= n4 + 2n3 + 2n2 + n2 + 2n + 1
= (n2)2 + 2n2(n + 1) + (n2 + 2n + 1)
= (n2)2 + 2n2(n + 1) + (n + 1)2
= (n2 + n + 1)2
分解因式的一般步骤：
（1）如果多项式的各项含有公因式，那么应先提取公因式；
（2）如果多项式的各项不含有公因式，那么可以尝试运用公式法、十字相乘法因式分解；
（3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止.
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
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