资源简介

(共32张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：18.1.1 从分数到分式
副标题：探索分式奥秘 构建代数新认知
背景图：以数学符号拼图为背景，核心位置是分数与分式的对比展示，旁边环绕着相关运算符号与字母，暗示从分数到分式的知识演进
幻灯片 2：目录
分数回顾与分式引入
分式的概念与表达式
分式有意义的条件
分式值为零的条件
分数与分式的对比辨析
例题讲解与方法归纳
课堂练习巩固
课堂小结与作业布置
幻灯片 3：分数回顾与分式引入
分数回顾：
展示常见分数如\(\frac{1}{2}\)、\(\frac{3}{4}\)等，回顾分数的定义：把单位 “1” 平均分成若干份，表示这样一份或几份的数。
举例说明分数运算，如\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3 + 2}{6}=\frac{5}{6}\)，强调分数在日常生活中的应用，如分蛋糕、比例分配等场景。
分式引入：
创设情境：一艘轮船在静水中的最大航速是\(30km/h\)，江水的流速是\(vkm/h\)。用式子表示轮船顺水航行\(90km\)所用时间和逆水航行\(60km\)所用时间。
引导学生列出式子：顺水航行时间为\(\frac{90}{30 + v}\)，逆水航行时间为\(\frac{60}{30 - v}\)。
提问：这些式子与我们熟悉的分数有什么相似和不同之处？引发学生思考，从而引入分式概念。
幻灯片 4：分式的概念与表达式
分式定义：
一般地，如果\(A\)、\(B\)表示两个整式，并且\(B\)中含有字母，那么式子\(\frac{A}{B}\)叫做分式。其中\(A\)叫做分子，\(B\)叫做分母。
强调关键要素：一是\(A\)、\(B\)是整式；二是\(B\)中必须含有字母。
表达式示例：
展示多个分式示例，如\(\frac{x}{y}\)、\(\frac{2a + 1}{a - 3}\)、\(\frac{m^2 - 1}{m + 1}\)等，让学生指出分子与分母分别是什么。
练习判断：给出一些式子，如\(\frac{3}{x}\)、\(\frac{x + y}{5}\)、\(\frac{2}{\pi}\)、\(\frac{x^2}{x}\)，让学生判断哪些是分式，加深对概念的理解。
幻灯片 5：分式有意义的条件
分析原理：
类比分数，分数中分母不能为\(0\)，否则分数无意义。对于分式\(\frac{A}{B}\)，当分母\(B = 0\)时，分式无意义；当分母\(B\neq0\)时，分式有意义。
以\(\frac{1}{x}\)为例，当\(x = 0\)时，式子无意义；当\(x\neq0\)时，式子有意义。
例题讲解：
例 1：当\(x\)取何值时，分式\(\frac{x + 2}{x - 1}\)有意义？
解析：要使分式有意义，则分母\(x - 1\neq0\)，解得\(x\neq1\)。
总结方法：求分式有意义时字母的取值范围，只需令分母不为\(0\)，解不等式即可。
幻灯片 6：分式值为零的条件
条件推导：
对于分式\(\frac{A}{B}\)，要使其值为\(0\)，需同时满足两个条件：一是分子\(A = 0\)；二是分母\(B\neq0\)。因为只有分子为\(0\)，且分母不为\(0\)时，分式的整体值才为\(0\)。
以\(\frac{x - 1}{x + 2}\)为例，若分式值为\(0\)，则\(x - 1 = 0\)且\(x + 2\neq0\)。
例题讲解：
例 2：当\(x\)为何值时，分式\(\frac{x^2 - 1}{x + 1}\)的值为\(0\)？
解析：由分子\(x^2 - 1 = 0\)，得\(x = \pm1\)。又因为分母\(x + 1\neq0\)，即\(x\neq - 1\)，所以\(x = 1\)时，分式值为\(0\)。
强调：必须同时考虑分子为\(0\)和分母不为\(0\)这两个条件。
幻灯片 7：分数与分式的对比辨析
相同点：
形式上：分数与分式都具有\(\frac{A}{B}\)的形式。
运算规则：基本运算规则相似，如乘法都是分子乘分子、分母乘分母；除法都可转化为乘法运算等。
不同点：
定义：分数的分子、分母都是整数，分式的分子、分母是整式，且分母含有字母。
取值范围：分数中分母为确定的非零整数，分式分母中字母取值要使分母不为\(0\)才有意义。
示例对比：以\(\frac{1}{2}\)与\(\frac{1}{x}\)对比，直观展示两者区别。
幻灯片 8：例题讲解与方法归纳
例 3：分式的识别与条件分析：
下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？
\(\frac{x}{2}\)，\(\frac{2}{x}\)，\(\frac{x + y}{3}\)，\(\frac{3}{x + y}\)，\(\frac{2\pi}{x}\)，\(\frac{x^2 - 1}{x - 1}\)
解析：分式有\(\frac{2}{x}\)，\(\frac{3}{x + y}\)，\(\frac{2\pi}{x}\)，\(\frac{x^2 - 1}{x - 1}\)；整式有\(\frac{x}{2}\)，\(\frac{x + y}{3}\)。
方法归纳：判断分式依据分母是否含字母，整式分母不含字母。
例 4：分式有意义及值为零的综合问题：
已知分式\(\frac{x - 3}{x^2 - 9}\)。
（1）当\(x\)为何值时，分式有意义？
（2）当\(x\)为何值时，分式值为\(0\)？
解析：
（1）由分母\(x^2 - 9=(x + 3)(x - 3)\neq0\)，得\(x\neq\pm3\)时分式有意义。
（2）由分子\(x - 3 = 0\)得\(x = 3\)，且分母\(x^2 - 9\neq0\)，即\(x\neq\pm3\)，矛盾，所以此分式值不可能为\(0\)。
方法归纳：解决此类问题，严格按分式有意义和值为零的条件分析，注意计算与逻辑判断。
幻灯片 9：课堂练习巩固
基础题：
下列式子是分式的是（ ）
A. \(\frac{x}{2}\) B. \(\frac{1}{\pi}\) C. \(\frac{x + 1}{x}\) D. \(\frac{2}{3}(x + y)\)
当\(x\)____时，分式\(\frac{1}{x - 5}\)有意义。
提升题：
3. 若分式\(\frac{x^2 - 4}{x + 2}\)的值为\(0\)，则\(x\)的值为____。
4. 已知分式\(\frac{3x - 6}{x^2 - 4}\)，当\(x\)取何值时，分式有意义？当\(x\)取何值时，分式值为\(0\)？
综合题：
5. 已知分式\(\frac{2x - a}{x^2 + b}\)，当\(x = 2\)时，分式无意义；当\(x = - 1\)时，分式值为\(0\)，求\(a\)、\(b\)的值。
幻灯片 10：课堂小结
知识总结：
回顾分式的概念，强调\(A\)、\(B\)为整式且\(B\)含字母。
明确分式有意义的条件是分母不为\(0\)，分式值为零需分子为\(0\)且分母不为\(0\)。
对比分数与分式的异同点，深化对分式的理解。
方法总结：
判断分式的方法，识别式子中分母是否含字母。
求分式有意义时字母取值范围，通过解分母不为\(0\)的不等式。
求分式值为零时字母取值，联立分子为\(0\)和分母不为\(0\)的方程与不等式求解。
幻灯片 11：作业布置
必做题：
课本第 [X] 页练习题第 1、2、3 题。
已知分式\(\frac{2x + 1}{x - 3}\)，求当\(x\)取何值时，分式有意义？当\(x\)取何值时，分式值为\(0\)？
选做题：
课本第 [X] 页习题 18.1 第 1、2 题。
若分式\(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1}\)的值为\(0\)，求\(x\)的值。
拓展题：
探究当\(x\)为何值时，分式\(\frac{1}{x^2 + 2x + m}\)总有意义？（提示：考虑一元二次方程根的判别式）
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
18.1.1 从分数到分式
第十八章 分式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
了解分式的概念，能识别分式；在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义.
能判别分式有意义时和分式的值为0时，分母中的字母满足的条件.
运算类型 算式 结果 是否整数
加
减
乘
除
分数
整数
整数
整数
2 + 3
5
3 – 2或2 – 3
3×2
3÷2或2÷3
1或 – 1
6
3
3
2
2
或
问题2 任选两个整式进行加、减、乘、除运算，运算结果还是整式吗？
运算类型 算式 结果 是否整式
加
减
乘
除
a + (a + 1)
a – (a+1)或(a+1) – a
a(a + 1)
a÷(a+1)或(a+1)÷a
2a + 1
– 1或1
a2 + a
a
a
a+1
a+1
或
整式
整式
整式
？
小组讨论 同桌合作完成学习单(1) ~ (3)小题.
知识点1 分式的概念
(1)一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行 90 km 所用的时间，与以最大航速逆流航行 60 km 所用的时间相等. 如果设江水速度为 v km/h，则轮船顺流航行 90 km 所用时间为
_______h，逆流航行 60 km 所用的时间为_______h.
路程 = 速度×时间
(2)长方形的面积为 10，长为 7，则宽为___；
长方形的面积为 S，长为 a，则宽为____.
面积 = 长×宽
S
a
？
(3)在越野滑雪比赛中，若一名滑雪运动员在平地滑行 a km 用时 b h，则他的平均速度为_____km/h；
若他在上坡滑行 a km 比在平地滑行同样多的距离多用 c h，则他的平均速度为____km/h.
路程 = 速度×时间
同 5÷3 可以写成 一样，式子 A÷B 可以写成 .
这些式子有什么共同点？
思 考
① 从形式上都具有分数 形式.
② 分子A，分母B 都是整式.
③ 分母中含有字母.
　　一般地，如果A，B 表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫作分式. 在分式中，A 叫作分子，B 叫作分母.
A、B是整式
B中含有字母
分式的定义：
特点：
既表示除法运算
A÷B，又可表示运算结果（商）.
分式与分数有什么相同点和不同点？
思 考
分数
分式
类比
整数
整数
分数
3 ÷ 5 =　
被除数÷除数 = 商
整式
整式
S ÷ a =　
被除式÷除式 = 商
分式
看其原始形式是否满足定义中的三个条件，而不是看化简后的式子的形式.
判断时，注意含有π的式子，π是常数.
式子中含有多项时，若其中有一项分母含有字母，则该式也为分式.
判断一个式子是不是分式：
方法
整数
整数
整式
整式(含字母)
分数
分式
实质：分数是分式中的字母取某些值的结果，分式更具有一般性.
具体化
一般化
令S = 100，a = 7
知识点2 分式有意义、无意义的条件
从4个整式中任选两个分别作为分子和分母，你能构造多少个分式？
8 ，x，x2 – 1，x – 1.
分式的分母中含有字母
x 取值 … …
… …
… …
… …
给 x 选几个适当的值，并求出各分式的结果：
0
– 2
– 1
1
2
无
意义
– 4
– 8
8
4
0
无
意义
无
意义
1
– 1
0
无
意义
3
要使分数有意义，分数中的分母不能为 0. 要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？
思 考
整式
整式
分式
A ÷ B =　
被除式÷除式 = 商
当B≠0时，分式 有意义
当B=0时，分式 无意义
分式的分母表示除数，除数不能为0，分式的分母不能为0.
解：（1）要使分式 有意义，则分母 3x ≠ 0，即 x ≠ 0；
（2）要使分式 有意义，则分母 x – 1 ≠ 0，即 x ≠ 1；
例1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
（3）要使分式 有意义，则分母 5 – 3b ≠ 0，即 x ≠ ；
（4）要使分式 有意义，则分母 x – y ≠ 0，即 x ≠ y.
如无特别说明，本套书中出现的分式都有意义.
分式 的值为零应满足什么条件？
分子为0
分母不为0
注意：分式值为零是分式有意义的一种特殊情况.
当A = 0，B ≠ 0时，分式
思考
1. 列式表示下列各量：
【教材P139练习 第1题】
（1）某村有 n 个人，耕地 40 hm2，则人均耕地面积为____hm2.
（2）△ABC的面积为 S，边 BC 的长为 a，则高 AD 为____.
2. 下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？两类式子的区别是什么？
【教材P140练习 第2题】
解：分式：
整式：
两类式子的区别在于整式的分母中不含字母，而分式的分母中含有字母.
【教材P140练习 第3题】
3. 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
a ≠ 0
x ≠ 1
x ≠ y
x ≠ – 2
6. 分式可以表示现实生活中的某些数量关系. 请你构造一个问题情境，使其中的数量关系可以用分式 表示.
【教材P140练习 第4题】
如：牛肉 a 元 1 kg，100元可以买 kg牛肉.
知识点1 分式的概念
1.在下列代数式中，属于分式的是( )
D
A. B. C. D.
返回
2.若是分式，则“ ”不可以是( )
D
A. B. C. D.5
返回
知识点2 分式有意义、无意义的条件
3.［2024安徽中考］若分式有意义，则实数 的取值范围是______.
返回
4.当 时，下列分式没有意义的是( )
B
A. B. C. D.
返回
5.［教材P练习T 变式］下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
（1） ;
解： .
（2） ；
解： .
（3） ；
解： .
（4） .
解： .
返回
7.［2025上海黄浦区月考］如果当时，分式的值为0，那么
可以是( )
C
A. B. C. D.
返回
分式有意义的条件
分式无意义的条件
分式值为零的条件
当 B ≠ 0时
当 B = 0 时
当 A = 0，B ≠ 0 时
　　一般地，如果A，B 表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫作分式. 在分式中，A 叫作分子，B 叫作分母.
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑