资源简介

(共23张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：18.1.2.1 分式的基本性质
副标题：探究变形规律 夯实分式运算基础
背景图：以分数与分式的性质对比图为背景，左侧展示分数基本性质的示例，右侧预留分式基本性质的推导区域，用箭头连接体现知识的迁移过程
幻灯片 2：目录
分数基本性质回顾
分式基本性质的推导
分式基本性质的表达式与解读
分式基本性质的应用（化简与变形）
分式的符号法则
例题讲解与方法归纳
课堂练习巩固
课堂小结与作业布置
幻灯片 3：分数基本性质回顾
性质内容：
分数的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为\(0\)的数，分数的值不变。
用式子表示为：\(\frac{a}{b}=\frac{a c}{b c}\)，\(\frac{a}{b}=\frac{a ·c}{b ·c}\)（其中\(a\)、\(b\)、\(c\)是整数，且\(b\neq0\)，\(c\neq0\)）。
实例说明：
\(\frac{2}{3}=\frac{2 2}{3 2}=\frac{4}{6}\)，\(\frac{6}{8}=\frac{6 ·2}{8 ·2}=\frac{3}{4}\)。
强调：乘或除以的数不能为\(0\)，否则分数无意义或值发生改变。
提问引导：分数有这样的基本性质，那么与分数形式相似的分式是否也有类似的性质呢？
幻灯片 4：分式基本性质的推导
类比推理：
分式与分数形式相似，都具有\(\frac{A}{B}\)的形式，其中分数的\(a\)、\(b\)是整数，分式的\(A\)、\(B\)是整式且\(B\)含字母。
分数的基本性质中，“数” 可以拓展为 “整式”，因为整式具有类似于数的运算性质。
性质得出：
一般地，分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不等于\(0\)的整式，分式的值不变。这就是分式的基本性质。
强调关键条件：乘或除以的整式必须不等于\(0\)，否则会导致分母为\(0\)或分式无意义。
幻灯片 5：分式基本性质的表达式与解读
表达式：
用式子表示为：\(\frac{A}{B}=\frac{A C}{B C}\)，\(\frac{A}{B}=\frac{A ·C}{B ·C}\)（其中\(A\)、\(B\)、\(C\)是整式，且\(B\neq0\)，\(C\neq0\)）。
符号解读：
\(A\)、\(B\)分别为分式的分子和分母，\(C\)是乘或除以的整式。
\(B\neq0\)保证原分式有意义，\(C\neq0\)保证变形后分式的分母不为\(0\)且值不变。
实例验证：
对于分式\(\frac{x}{y}\)，当\(C = 2\)（整式）时，\(\frac{x}{y}=\frac{x 2}{y 2}=\frac{2x}{2y}\)，值不变。
当\(C = a\)（\(a\neq0\)）时，\(\frac{x}{y}=\frac{x ·a}{y ·a}=\frac{x/a}{y/a}\)，值不变。
幻灯片 6：分式基本性质的应用（化简与变形）
化简分式（约分）：
定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。
例题 1：化简分式\(\frac{6x^2y}{9xy^2}\)
解析：分子分母的公因式为\(3xy\)，根据分式基本性质，分子分母同时除以\(3xy\)，得\(\frac{6x^2y ·3xy}{9xy^2 ·3xy}=\frac{2x}{3y}\)。
分式变形：
例题 2：不改变分式的值，使分式\(\frac{x}{x - y}\)的分子和分母都不含 “\(-\)” 号。
解析：根据分式基本性质，分子分母同时乘\(-1\)，得\(\frac{x (-1)}{(x - y) (-1)}=\frac{-x}{-x + y}=\frac{-x}{y - x}\)（或直接利用符号法则变形）。
幻灯片 7：分式的符号法则
法则内容：
根据分式的基本性质，分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
用式子表示为：\(\frac{A}{B}=\frac{-A}{-B}=-\frac{A}{-B}=-\frac{-A}{B}\)。
实例说明：
\(\frac{2}{3}=\frac{-2}{-3}=-\frac{2}{-3}=-\frac{-2}{3}\)
\(\frac{x}{y}=\frac{-x}{-y}=-\frac{x}{-y}=-\frac{-x}{y}\)
应用技巧：
当分式中出现多个负号时，可通过改变两个符号使分式简化，通常将分母的符号化为正号。例如\(\frac{-a}{-b + c}=\frac{a}{b - c}\)。
幻灯片 8：例题讲解与方法归纳
例 3：利用分式基本性质化简：
化简分式\(\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4}\)
解析：先因式分解分子分母，分子\(x^2 - 4=(x + 2)(x - 2)\)，分母\(x^2 + 4x + 4=(x + 2)^2\)。公因式为\(x + 2\)（\(x + 2\neq0\)即\(x\neq - 2\)），根据基本性质约分，得\(\frac{x - 2}{x + 2}\)。
方法归纳：化简分式先因式分解，找出公因式，再约去公因式，注意公因式不为\(0\)。
例 4：分式变形与符号调整：
不改变分式的值，使分式\(\frac{-x + y}{-x - y}\)的分子和分母首项系数为正。
解析：分子提取\(-1\)得\(-(x - y)\)，分母提取\(-1\)得\(-(x + y)\)，则分式变为\(\frac{-(x - y)}{-(x + y)}=\frac{x - y}{x + y}\)。
方法归纳：通过提取负号调整符号，利用符号法则保证分式值不变。
幻灯片 9：课堂练习巩固
基础题：
填空：\(\frac{a}{b}=\frac{(\quad)}{bc}\)（\(c\neq0\)）；\(\frac{x^2}{xy}=\frac{(\quad)}{y}\)。
化简分式\(\frac{12a^2b}{18ab^2}=\)____。
提升题：
3. 不改变分式的值，使分式\(\frac{-2x}{-x + 3}\)的分子和分母都不含负号，结果为____。
4. 化简分式\(\frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 9}\)，并说明化简的条件。
综合题：
5. 已知\(\frac{x}{y}=3\)，利用分式基本性质求\(\frac{x^2 + xy}{y^2}\)的值。
幻灯片 10：课堂小结
知识总结：
分式基本性质：分子分母同乘（或除以）同一个不为\(0\)的整式，值不变，表达式为\(\frac{A}{B}=\frac{A C}{B C}=\frac{A ·C}{B ·C}\)（\(C\neq0\)）。
分式符号法则：改变分子、分母、分式本身中的任意两个符号，值不变。
应用：可用于分式化简（约分）和变形，化简需约去公因式。
方法总结：
化简分式步骤：因式分解→找公因式→约去公因式（注意公因式不为\(0\)）。
符号调整技巧：通过提取负号或利用符号法则，使分式形式更简洁。
幻灯片 11：作业布置
必做题：
课本第 [X] 页练习题第 1、2、4 题。
化简下列分式：\(\frac{5ab}{20a^2b}\)；\(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1}\)。
选做题：
课本第 [X] 页习题 18.1 第 3、5 题。
不改变分式的值，把分式\(\frac{0.2x + 0.5y}{0.3x - y}\)的分子分母中各项系数化为整数。
拓展题：
若分式\(\frac{x + 1}{x - 1}\)的值为\(2\)，利用分式基本性质求\(\frac{2x + 2}{x - 1}\)的值。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
18.1.2.1分式的基本性质
第十八章 分式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
能说出分式的基本性质.
能利用分式的基本性质将分式变形.
复习回顾
一般方法
概念意义
基本性质
加减乘除运算
应用
分数
分式
特殊
一般
概念意义
基本性质
加减乘除运算
应用
类比
类比
类比
类比
类比
你对数与式的知识体系是否有了更加深刻的认识？
数式通性
类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？
下列分式的变形成立吗？
其中 A，B，C (C ≠0) 是整式.
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变.
文字语言
符号语言
分式的基本性质：
解：（1）分式 的分子与分母乘同一个不等于 0 的整式 c，分式的值不变，即
例2 下列等式，从左到右是如何运用分式的基本性质变形的？
×c
×c
（2）分式 的分子与分母除以同一个不等于 0 的整式 x，分式的值不变，即
÷x
÷x
例3 填空：
÷x2
分母如何变化，分子也应做同样的变化
x
÷3x
2x
解：（1）因为 所以括号中应填 x .
（2）因为
所以括号中应填 2x .
×a
a
×b
2ab – b2
（3）因为 所以括号中应填 a .
（4）因为
所以括号中应填 2ab – b2 .
分子分母同时进行；
分子、分母只能同乘或同除，不能进行同加或同减；
分子、分母同乘或同除以同一个整式；
除式是不等于零的整式.
运用分式的基本性质的注意事项：
方法
解：（1）分式 的分子与分母乘同一个不等于 0 的整式 x，分式的值不变，即：
3. 下列等式，从左到右是如何运用分式的基本性质变形的？
×x
×x
【教材P141练习 第1题】
（2）分式 的分子与分母除以同一个不等于 0 的整式 x – y ，分式的值不变，即：
÷(x – y)
÷(x – y)
4. 填空：
÷a
b
÷b
a + 1
×2y
xy
×x
2y
【教材P141练习 第2题】
5. 不改变分式的值，把下列各式中分子与分母的各项系数化为整数：
【教材P142练习 第3题】
知识点 分式的基本性质
1.使得等式成立的 的取值范围是( )
D
A. B. C.或 D.
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2.［2025杭州期末］下列从左到右的变形一定正确的是( )
D
A. B. C. D.
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3.如图，对于分式中的四个符号，同时改变其中两个符号，
分式的值不变的是( )
B
A.①③ B.①② C.②③ D.②④
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4.［教材 例3变式］填空：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
返回
5.［教材 例2变式］下列等式，从左到右是如何运用分式的基本性质
变形的？
（1） ;
解：的分子与分母都乘同一个不等于0的整式 ，分式的值不变，
即 .
（2） ；
解：的分子与分母都除以同一个不等于0的整式 ，分式的值不变，
即 .
（3） .
解：的分子与分母都除以同一个不等于0的整式 ，分式的值
不变，即 .
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分式的
基本性质
内容
注意
(1) 分子分母同时进行
(2) 分子分母只能同乘或同除，不能进行同加或同减
(3) 分子分母只能同乘或同除以同一个非零的数或式
其中 A，B，C (C ≠ 0) 是整式
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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