资源简介

(共41张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：18.1.2.2 分式的约分和通分
副标题：深化性质应用 掌握分式变形核心技能
背景图：以分式变形流程图为背景，左侧呈现约分过程（从复杂分式到最简分式），右侧展示通分过程（从不同分母到同分母分式），中间用分式基本性质公式连接，体现知识关联
幻灯片 2：目录
约分的概念与依据
约分的步骤与方法
最简分式的定义
通分的概念与依据
最简公分母的确定
通分的步骤与方法
约分与通分的对比辨析
例题讲解与练习巩固
课堂小结与作业布置
幻灯片 3：约分的概念与依据
概念定义：
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
示例：\(\frac{6x^2y}{9xy^2}\)通过约去公因式\(3xy\)，得到\(\frac{2x}{3y}\)，这个过程就是约分。
理论依据：
分式的基本性质：\(\frac{A}{B}=\frac{A ·C}{B ·C}\)（其中\(A\)、\(B\)、\(C\)是整式，且\(B\neq0\)，\(C\neq0\)）。
强调：约分的本质是分子分母同时除以它们的公因式，不改变分式的值。
约分目的：将分式化为更简洁的形式，为后续分式运算（如加减）减少计算量。
幻灯片 4：约分的步骤与方法
步骤分解：
因式分解：对分式的分子和分母分别进行因式分解，将多项式转化为整式乘积的形式。
示例：对于\(\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4}\)，分子分解为\((x + 2)(x - 2)\)，分母分解为\((x + 2)^2\)。
找出公因式：确定分子和分母的公因式，包括系数的最大公因数和相同因式的最低次幂。
示例：上述分子分母的公因式为\(x + 2\)。
约去公因式：根据分式基本性质，分子分母同时除以公因式，得到化简后的分式。
示例：\(\frac{(x + 2)(x - 2)}{(x + 2)^2}=\frac{x - 2}{x + 2}\)。
特殊情况处理：
分子或分母为单项式时，直接找系数和字母的公因式（如\(\frac{8a^2b}{12ab^2}\)公因式为\(4ab\)）。
分子或分母是多项式但无公因式时，分式不能约分（如\(\frac{x + 1}{x + 2}\)）。
幻灯片 5：最简分式的定义
定义内容：
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。
特征：分子和分母已无法再进行约分，是分式的最简形式。
示例辨析：
最简分式：\(\frac{2x}{3y}\)、\(\frac{x - 2}{x + 2}\)、\(\frac{a + b}{a^2 + b^2}\)（分子分母无公因式）。
非最简分式：\(\frac{4x^2}{6x}\)（公因式为\(2x\)）、\(\frac{(x + 1)^2}{x^2 - 1}\)（公因式为\(x + 1\)）。
重要性：分式运算的结果通常需要化为最简分式，确保结果规范统一。
幻灯片 6：通分的概念与依据
概念定义：
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
示例：将\(\frac{1}{x}\)和\(\frac{1}{y}\)化为同分母分式\(\frac{y}{xy}\)和\(\frac{x}{xy}\)，这个过程就是通分。
理论依据：
分式的基本性质：\(\frac{A}{B}=\frac{A C}{B C}\)（其中\(A\)、\(B\)、\(C\)是整式，且\(B\neq0\)，\(C\neq0\)）。
通分的本质是分子分母同时乘一个适当的整式，使不同分母转化为相同分母，保持分式值不变。
通分目的：将异分母分式化为同分母分式，为分式的加减运算创造条件。
幻灯片 7：最简公分母的确定
定义：
通分时，通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
确定步骤：
分解各分母因式：将每个分母分解为最简因式（单项式或多项式因式）。
示例：分母为\(x^2y\)、\(xy^2\)，分解后为\(x^2y = x^2 ·y\)，\(xy^2 = x ·y^2\)。
取各因式的最高次幂：对于系数，取各分母系数的最小公倍数；对于相同因式，取最高次幂；对于不同因式，全部包含。
示例：系数无（视为 1），\(x\)的最高次幂为\(x^2\)，\(y\)的最高次幂为\(y^2\)，最简公分母为\(x^2y^2\)。
实例练习：
求\(\frac{1}{x - 1}\)和\(\frac{1}{x^2 - 1}\)的最简公分母：
分母分解：\(x - 1\)，\(x^2 - 1=(x + 1)(x - 1)\)。
最简公分母：\((x + 1)(x - 1)\)（即\(x^2 - 1\)）。
幻灯片 8：通分的步骤与方法
步骤分解：
确定最简公分母：按上述方法找出各分母的最简公分母。
示例：通分\(\frac{1}{2a^2b}\)和\(\frac{1}{3ab^2}\)，最简公分母为\(6a^2b^2\)。
计算各分式的变形系数：用最简公分母除以原分母，得到需要乘的整式。
示例：\(6a^2b^2 ·2a^2b = 3b\)，\(6a^2b^2 ·3ab^2 = 2a\)。
分子分母同乘变形系数：根据分式基本性质，将每个分式化为以最简公分母为分母的分式。
示例：\(\frac{1}{2a^2b}=\frac{1 3b}{2a^2b 3b}=\frac{3b}{6a^2b^2}\)，\(\frac{1}{3ab^2}=\frac{1 2a}{3ab^2 2a}=\frac{2a}{6a^2b^2}\)。
注意事项：
分子乘整式时要整体相乘，避免漏乘项（如\(\frac{x + 1}{x}\)通分乘\(y\)得\(\frac{(x + 1)y}{xy}\)）。
分母是多项式时，先因式分解再确定最简公分母（如\(\frac{1}{x^2 - 4}\)和\(\frac{1}{x + 2}\)通分，先分解分母）。
幻灯片 9：约分与通分的对比辨析
相同点：
都依据分式的基本性质，不改变分式的值。
都涉及对分子、分母的变形（乘或除以整式）。
不同点：
对比维度
约分
通分
目的
化为最简分式，简化形式
化为同分母分式，便于加减
操作方向
分子分母同时除以公因式
分子分母同时乘适当整式
结果特征
分子分母无公因式
各分式分母相同（最简公分母）
适用场景
分式化简、运算前预处理
分式加减运算前准备
联系：约分是通分的基础，通分前通常需对各分式先约分，简化通分过程（如先将\(\frac{2x}{4x^2}\)约分为\(\frac{1}{2x}\)再通分）。
幻灯片 10：例题讲解与练习巩固
例 1：约分：
化简\(\frac{2x^2 - 4xy + 2y^2}{x^2 - y^2}\)
解析：分子因式分解为\(2(x - y)^2\)，分母分解为\((x + y)(x - y)\)，公因式为\(x - y\)，约分后得\(\frac{2(x - y)}{x + y}\)。
例 2：通分：
通分\(\frac{3}{2x^2y}\)、\(\frac{5}{-3xy^2}\)、\(\frac{1}{4x^3y^3}\)
解析：最简公分母为\(12x^3y^3\)，通分后分别为\(\frac{18xy^2}{12x^3y^3}\)、\(\frac{-20x^2y}{12x^3y^3}\)、\(\frac{3}{12x^3y^3}\)。
课堂练习：
约分：\(\frac{x^3 - 2x^2 + x}{x^2 - x}\)
通分：\(\frac{1}{x^2 - 9}\)与\(\frac{x}{6 - 2x}\)
幻灯片 11：课堂小结
知识总结：
约分：约去分子分母公因式，结果为最简分式，步骤是 “因式分解→找公因式→约分”。
通分：化为同分母分式，关键是确定最简公分母，步骤是 “分解分母→定公分母→变形分式”。
核心依据：两者均依赖分式的基本性质，是分式变形的核心技能。
方法提炼：
约分口诀：“先分解，再找公，约去公因即最简”。
通分口诀：“分母分解清，公分母最简，乘式要对应，分子随分母变”。
幻灯片 12：作业布置
必做题：
课本第 [X] 页练习题第 5、6、7 题。
约分：\(\frac{3a^2b(m - 1)}{9ab^2(1 - m)}\)；\(\frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4}\)。
通分：\(\frac{1}{2x - 2}\)与\(\frac{x}{x^2 - 1}\)；\(\frac{a}{a^2 - 4a + 4}\)与\(\frac{b}{a^2 - 4}\)。
选做题：
课本第 [X] 页习题 18.1 第 6、8 题。
已知分式\(\frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4}\)，先约分再求当\(x = 3\)时的值。
拓展题：
若最简公分母为\(12(x + y)(x - y)^2\)，试写出两个异分母分式，使其通分后以此为公分母。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
18.1.2.2分式的约分和通分
第十八章 分式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
会对分式进行约分.
会对异分母的分式通分.
1. 把下列分数化为最简分数或整数：
= ( )， = ( ) ， = ( ) ；
2
2. 因式分解：(1) x2 + xy = ________；
(2) 4m2 – n2 = _______________.
3. 填空：
x(x + y)
(2m + n)(2m – n)
12a2bc2
2x
知识点1 分式的约分、最简分式
想一想：分数约分关键的是什么？
约去分子分母的最大公因数
约去分子分母的最大公因式
联想分数的约分，由前面的练习，你能想出如何对分式进行约分吗？
思 考
像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分.
÷x2
÷3x
分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式．　
例4 约分：
分析：
当分子、分母都是单项式时，先看系数；
–25
15
5
再找相同字母的最低次幂.
a bc
ab c
abc
当分子或分母中有系数为小数或分数时，需先化为整数；
没有公因式，是最简分式
分式的约分，一般要约去分子和分母的所有的公因式，使所得结果成为最简分式或整式.
分析：
当分子或分母是多项式时，先分解因式；
再找公因式.
x + 3
x + 3
x – y
x – y
2
3
3
约分的步骤：
若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；
1
2
若分子或分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式.
注意：
（1）约分前后分式的值要相等；
（2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式；
（3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式.
归纳
知识点2 分式的通分
想一想：分数通分的关键是什么？
确定分母的最小公倍数
找最简公分母
分数的通分：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值.
12
联想分数的通分，由下面的式子，你能想出如何对分式进行通分吗？
思 考
像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分.
一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母,它叫作最简公分母.
通分的步骤
确定各分式的最简公分母.
1
3
用所得的商去乘原各分式的分子、分母
2
用这个最简公分母除以各分式的分母.
通分的依据
分式的基本性质
方法
例5 通分：
最简公分母：
当各分母是单项式时，
整数系数的最小公倍数
2
3
相同字母的最高次幂
a2
b2
单独出现的字母(连同其指数)
c
×
×
6
a2b2
c
用最简公分母除以各分式的分母：
1
2
(6a2b2c)÷(2a2b) = _____
(6a2b2c)÷(3ab2c) = ____
3bc
2a
先分解因式：
当各分母中有多项式时，
再按单项式的方法求最简公分母：
2(x + 5)(x – 5)
约分 通分
分数 找分子与分母的 _____________ 找所有分母的
____________
分式 找分子与分母的 _____________ 找所有分母的
____________
依据 分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？
思 考
最大公因数
最小公倍数
公因式
最简公分母
分数/分式的基本性质
3. 约分：
【教材P144练习 第1题】
4. 通分：
【教材P144练习 第2题】
解：(1) 最简公分母是 abc .
(2) 最简公分母是 4b2d .
(3) 最简公分母是 ab(x + 2) .
(4) 最简公分母是 (x + y)2(x – y) .
1. 填空并判断所填式子是不是分式.
（1）一位作家先用 m 天写完了一部小说的上集，又用 n 天写完下集，这部小说(上、下集)共120万字，这位作家平均每天的写作量
为_________万字；
复习巩固
【教材P144习题18.1 第1题】
是分式
（2）走一段长 10 km的路，步行用 2x h，骑自行车所用时间比步行所用时间的一半少 0.2 h，
骑自行车的平均速度为________km/h；
（3）甲完成一项工作需 t h，乙完成同样工作比
甲少用 1 h，乙的工作效率为_______.
是分式
是分式
2. 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
分式：
整式：
【教材P144习题18.1 第2题】
解：（1） x ≠ 3；
3. x 满足什么条件时下列分式有意义？
【教材P144习题18.1 第3题】
（2） ；
（3） x 为任意实数；
（4） x ≠ ±4.
4. 下列各组中的两个分式是否相等？为什么？
【教材P144习题18.1 第4题】
解：（1）因为
所以
（2）因为
所以
5. 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“–”号.
【教材P145习题18.1 第5题】
解：（1）
（2）
（3）
（4）
6. 约分：
【教材P145习题18.1 第6题】
解：(1)
(2)
(3)
(4)
7. 通分：
【教材P145习题18.1 第7题】
解：(1)最简公分母为 6y2，
(2)最简公分母为 3a2b2，
(3)最简公分母为 2(x + y)2，
(4)最简公分母为 (2m + 3)(2m – 3)，
8. 小李要打一份 12000 字的文件，第一天她打字 2 h，平均打字速度为 w 字/min，第二天她平均打字速度比第一天快了 10 字/min，两天打完全部文件，第二天她打字用了多长时间？
综合运用
【教材P145习题18.1 第8题】
解：由题意得，小李第一天打的字数为
w·2×60 = 120w，
所剩字数为 12 000 – 120w，
小李第二天打字速度为(w + 10)字/min.
所以第二天她打字用了
答:第二天她打字用了
9. 某村种植了 m hm2 玉米，总产量为 n kg；水稻种植面积比玉米的种植面积多 p hm2，水稻的总产量比玉米总产量的 2 倍多 q kg. 写出表示玉米和水稻的单位面积产量(单位：kg/hm2)的式子.
【教材P145习题18.1 第9题】
解：玉米的单位面积产量为
水稻的单位面积产量为
10. 有四块小场地：第一块是边长为 a m 的正方形，第二块是边长为 b m 的正方形，其余两块都是长为 a m、宽为 b m 的长方形. 另有一块大长方形场地，它的面积等于上面四块场地面积的和，它的长为 2(a + b) m，用最简单的式子表示出大长方形的宽.
【教材P145习题18.1 第10题】
解：由题意得，第一块场地的面积为 a2 m2；第二块场地的面积为 b2 m2；
第三、四块场地的面积均为 ab m2.
所以大长方形场地的面积为
a2 + b2 + ab + ab = a2 + b2 + 2ab = (a + b)2 (m2)
又大长方形的长为 2(a + b) m，
所以大长方形的宽为
11. 在什么条件下，下列分式的值为 0？
拓广探索
【教材P145习题18.1 第11题】
解：(1)要使分式的值为 0，必须有 3x2 – 12 = 0，且 x2 + 4x + 4 ≠ 0，所以 x = 2.
即当 x = 2 时，分式 的值为 0.
(2)要使分式的值为 0，必须有 5a – b = 0，
且 a + b ≠ 0，所以 b = 5a，且 a ≠ – b.
即当 b = 5a，且 a ≠ – b 时，分式 的值为 0.
12. 已知 ，且 ，求 x 的值.
【教材P145习题18.1 第12题】
解：因为 ，所以
即
= 2×3 – 3x = 1.
所以 x =
约分
方法
依据
结果
分子和分母同时除以它们的公因式
分式的基本性质
最简分式或整式
通分
确定各分式的最简公分母
用这个最简公分母除以各分式的分母
用所得的商去乘原各分式的分子、分母
1
3
2
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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