资源简介

(共35张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：18.2.1 分式的乘除
副标题：掌握运算法则 提升分式运算能力
背景图：以分式乘除运算流程图为背景，左侧展示分数乘除实例，右侧预留分式乘除推导区域，中间用箭头连接体现从分数到分式的运算迁移
幻灯片 2：目录
分数乘除法则回顾
分式乘法法则的推导与应用
分式除法法则的推导与应用
分式乘除的运算步骤
分式乘除中的约分技巧
例题讲解与易错点警示
课堂练习巩固
课堂小结与作业布置
幻灯片 3：分数乘除法则回顾
分数乘法法则：
分数乘分数，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。
用式子表示为：\(\frac{a}{b} \frac{c}{d}=\frac{a c}{b d}\)（\(b\neq0\)，\(d\neq0\)）。
示例：\(\frac{2}{3} \frac{4}{5}=\frac{2 4}{3 5}=\frac{8}{15}\)。
分数除法法则：
分数除以分数，等于被除数乘除数的倒数，再按乘法法则计算。
用式子表示为：\(\frac{a}{b} ·\frac{c}{d}=\frac{a}{b} \frac{d}{c}=\frac{a d}{b c}\)（\(b\neq0\)，\(c\neq0\)，\(d\neq0\)）。
示例：\(\frac{2}{3} ·\frac{4}{5}=\frac{2}{3} \frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}\)。
提问引导：分数的乘除法则能否推广到分式的乘除运算中呢？
幻灯片 4：分式乘法法则的推导与应用
法则推导：
类比分数乘法法则，分式相乘时，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
分式乘法法则：\(\frac{A}{B} \frac{C}{D}=\frac{A C}{B D}\)（其中\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)是整式，且\(B\neq0\)，\(D\neq0\)）。
理论依据：分式的基本性质和整式乘法法则。
应用示例：
例 1：计算\(\frac{2x}{3y} \frac{9y^2}{4x^2}\)
解析：根据法则，分子相乘为\(2x 9y^2 = 18xy^2\)，分母相乘为\(3y 4x^2 = 12x^2y\)，得到\(\frac{18xy^2}{12x^2y}\)，约分后为\(\frac{3y}{2x}\)。
技巧：相乘前可先约分，再计算，简化过程。如\(\frac{2x}{3y} \frac{9y^2}{4x^2}=\frac{2x 9y^2}{3y 4x^2}=\frac{18xy^2}{12x^2y}=\frac{3y}{2x}\)（也可先约去公因式\(6xy\)）。
幻灯片 5：分式除法法则的推导与应用
法则推导：
类比分数除法法则，分式除以分式，等于被除式乘除式的倒数，再按乘法法则计算。
分式除法法则：\(\frac{A}{B} ·\frac{C}{D}=\frac{A}{B} \frac{D}{C}=\frac{A D}{B C}\)（其中\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)是整式，且\(B\neq0\)，\(C\neq0\)，\(D\neq0\)）。
关键：将除法转化为乘法，除数取倒数。
应用示例：
例 2：计算\(\frac{a^2}{b^3} ·\frac{a}{b^2}\)
解析：先转化为乘法\(\frac{a^2}{b^3} \frac{b^2}{a}\)，分子相乘为\(a^2 b^2 = a^2b^2\)，分母相乘为\(b^3 a = ab^3\)，得到\(\frac{a^2b^2}{ab^3}\)，约分后为\(\frac{a}{b}\)。
技巧：除以一个分式等于乘它的倒数，注意倒数的分子分母要颠倒。
幻灯片 6：分式乘除的运算步骤
分式乘法运算步骤：
确定符号：根据负号的个数确定积的符号（偶数个负号为正，奇数个负号为负）。
分子乘分子，分母乘分母：将分子、分母分别相乘，得到一个新的分式。
约分化简：对分子和分母进行因式分解，约去公因式，化为最简分式。
示例：\(\frac{-3x}{2y} \frac{4y^2}{9x^2}=-\frac{3x 4y^2}{2y 9x^2}=-\frac{12xy^2}{18x^2y}=-\frac{2y}{3x}\)。
分式除法运算步骤：
转化为乘法：将除式取倒数，除法转化为乘法运算。
后续步骤同乘法：确定符号→分子分母分别相乘→约分化简。
示例：\(\frac{x^2 - 4}{x + 1} ·\frac{x - 2}{x + 1}=\frac{x^2 - 4}{x + 1} \frac{x + 1}{x - 2}=\frac{(x + 2)(x - 2)(x + 1)}{(x + 1)(x - 2)}=x + 2\)。
幻灯片 7：分式乘除中的约分技巧
约分时机：
先约分后相乘：在分子分母相乘前，先找出分子与分母的公因式进行约分，可减少计算量。
示例：\(\frac{2x^2y}{3z} \frac{6z^2}{xy^2}=\frac{2x^2y 6z^2}{3z xy^2}=\frac{12x^2yz^2}{3xy^2z}=\frac{4xz}{y}\)（先约去\(3xyz\)）。
因式分解辅助约分：
当分子或分母是多项式时，先因式分解，再找公因式约分。
示例：\(\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} \frac{x + 1}{x - 1}=\frac{(x - 1)^2}{(x + 1)(x - 1)} \frac{x + 1}{x - 1}=\frac{(x - 1)^2(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)(x - 1)}=1\)。
符号处理：
当分式前有负号时，可将负号看作分子或分母的符号，参与约分过程。
示例：\(\frac{-a}{b} \frac{c}{-d}=\frac{(-a) c}{b (-d)}=\frac{-ac}{-bd}=\frac{ac}{bd}\)。
幻灯片 8：例题讲解与易错点警示
例 3：复杂分式乘法：
计算\(\frac{2a - 2b}{3a + 3b} \frac{a^2 + ab}{a^2 - b^2}\)
解析：先因式分解，分子\(2a - 2b = 2(a - b)\)，\(a^2 + ab = a(a + b)\)；分母\(3a + 3b = 3(a + b)\)，\(a^2 - b^2=(a + b)(a - b)\)。原式变为\(\frac{2(a - b)}{3(a + b)} \frac{a(a + b)}{(a + b)(a - b)}=\frac{2a}{3(a + b)}\)。
例 4：分式除法综合运算：
计算\(\frac{x^3 - 4x}{x^2 + 4x + 4} ·\frac{x^2 - 2x}{x + 2}\)
解析：转化为乘法\(\frac{x^3 - 4x}{x^2 + 4x + 4} \frac{x + 2}{x^2 - 2x}\)，因式分解后约分，得到\(\frac{x(x + 2)(x - 2)}{(x + 2)^2} \frac{x + 2}{x(x - 2)}=1\)。
易错点警示：
易错点 1：忘记将除法转化为乘法（如\(\frac{a}{b} ·\frac{c}{d}=\frac{a}{b} \frac{c}{d}\)，错误颠倒除数分子分母）。
易错点 2：分子或分母是多项式时，未因式分解直接约分（如\(\frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1}\)直接约分为\(x + 2x\)，错误）。
易错点 3：符号处理错误（如\(\frac{-x}{y} \frac{-y}{x}=-\frac{xy}{xy}=-1\)，符号判断错误，正确结果为 1）。
幻灯片 9：课堂练习巩固
基础题：
计算\(\frac{3x}{4y} \frac{8y}{9x^2}=\)____。
计算\(\frac{a^2}{b} ·\frac{a}{b^2}=\)____。
提升题：
3. 计算\(\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9} \frac{x + 3}{x - 3}=\)____。
4. 计算\(\frac{m^2 - n^2}{m^2 + mn} ·\frac{n - m}{m}\)。
综合题：
5. 先化简，再求值：\(\frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4} ·\frac{x - 2}{x + 2}\)，其中\(x = 1\)。
幻灯片 10：课堂小结
知识总结：
分式乘法法则：\(\frac{A}{B} \frac{C}{D}=\frac{A C}{B D}\)，分子分母分别相乘后约分。
分式除法法则：\(\frac{A}{B} ·\frac{C}{D}=\frac{A}{B} \frac{D}{C}=\frac{A D}{B C}\)，转化为乘法后按乘法法则计算。
核心技巧：先因式分解，再约分，最后计算；注意符号处理和运算顺序。
方法提炼：
运算口诀：“分式相乘分子乘分子，分母乘分母，约分之后再化简；分式相除变乘法，除数颠倒莫忘记，因式分解助约分，结果最简要牢记”。
幻灯片 11：作业布置
必做题：
课本第 [X] 页练习题第 1、2、3 题。
计算：\(\frac{5a}{6b} \frac{3b^2}{10a^2}\)；\(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1} ·\frac{x - 1}{x + 1}\)。
选做题：
课本第 [X] 页习题 18.2 第 1、3 题。
计算：\(\frac{a^2 - 4}{a^2 + 4a + 4} \frac{2a}{a - 2} ·\frac{a}{a + 2}\)。
拓展题：
已知\(x = 2y\)，求\(\frac{x^2 - y^2}{x^2 + xy} \frac{x}{x - y}\)的值。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
18.2.1分式的乘除
第十八章 分式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
掌握分式的乘除运算法则，并能正确进行计算.
能够进行分子、分母为多项式的分式乘除法运算.
通过分式乘除法法则体会类比的数学思想.
能运用分式的乘除法解决实际问题.
知识点1 分式的乘法
根据分数的乘法法则完成下面的计算：
分数乘分数，用分子相乘的积作分子，用分母相乘的积作分母.
类比分数的乘法法则，你能说出分式的乘法法则吗？
思 考
分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.
符号语言：
例1 计算：
分子相乘
分母相乘
运算结果应化为最简形式.
例2 计算：
分子、分母是多项式时，通常先分解因式，再约分.
知识点2 分式的除法
根据分数的除法法则完成下面的计算：
一个数除以一个分数，等于乘上这个分数的倒数.
类比分数的除法法则，你能说出分式的除法法则吗？
思 考
分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
符号语言：
例1 计算：
分子、分母颠倒位置
除法转化为乘法
注意：如果运算结果不是最简分式，一定要进行约分，使运算结果化为最简分式.
例2 计算：
整式与分式进行乘除运算时，整式可以看作分母是1的“分式”.
分数的乘除运算步骤
确定运算类型，如果是除法，先转化为乘法.
1
3
约分化为最简分式或整式.
2
用乘法法则计算，如果是多项式，先因式分解.
方法
知识点3 分式乘除的应用
例3 如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为 a m (a＞1)的正方形去掉一个边长为 1 m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为 (a – 1) m 的正方形，两块试验田的小麦都收获了
500 kg 小麦.
（1）哪种小麦的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单
位面积产量的多少倍？
思考以下问题：
① 你能说出小麦的“单位产量”的含义吗？
② 如何表示这两块试验田的单位产量？
③ 怎样确定哪种小麦的单位产量高？
④ 你能列式表示（2）的问题吗？
∵ a > 1，∴ (a – 1)2 ＞ 0，a2 – 1＞ 0，
∴　 ＜ .
所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量高.　　
解：（1）“丰收1号”小麦的试验田面积是
单位面积产量是 kg/m2．
(a2 – 1) m2，单位面积产量是 kg/m2；
“丰收2号”小麦的试验田面积是 (a – 1)2 m2，　
由图可得 (a – 1)2 ＜a2 – 1，
所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量是
“丰收1号”小麦的单位面积产量的 倍.
解：（2）
2. 计算：
【教材P148练习 第1题】
3. 计算：
【教材P148练习 第2题】
【教材P148练习 第3题】
4. 一个水平放置的长方体容器，其容积为 V，底面的长为 a，宽为 b，当容器内的水占容积的 时，水面的高度为多少？
【教材P148练习 第4题】
5. 大拖拉机 m 天耕地 a hm2，小拖拉机 n 天耕地 b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？
知识点1 分式的乘法
1.计算 的结果是( )
C
A. B. C. D.1
返回
2.计算 的结果为( )
A
A. B. C. D.
返回
3.计算 的结果为( )
A
A. B. C. D.2
返回
4.计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） ；
解：原式
.
（4） .
解：原式
.
返回
知识点2 分式的除法
5.计算：
（1） ___ _ __；
（2）____·____ ______.
返回
6.［2025西安期末］化简 的结果是( )
B
A. B. C. D.
返回
7.化简的结果为，则 ( )
C
A. B. C. D.
返回
8.计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） ；
解：原式 .
（4） ；
解：原式 .
（5） .
解：原式 .
返回
知识点3 分式除法的应用
9.公园普通景观灯天耗电千瓦时.改用节能景观灯后，同样 千
瓦时的电量可多用5天.普通景观灯每天的耗电量是 节能景观灯每天
耗电量的____倍.
返回
分式的乘除
乘法法则
除法法则
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
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