资源简介

(共28张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：18.2.2 分式的乘除混合运算及乘方
副标题：突破运算顺序 掌握乘方规律
背景图：以分式混合运算阶梯图为背景，底层是分式乘除运算，中层是混合运算流程，顶层是乘方运算示例，用箭头标注运算顺序递进关系
幻灯片 2：目录
分式乘除混合运算的顺序
分式乘除混合运算的步骤与实例
分式乘方法则的推导与应用
分式乘方与乘除的混合运算
运算中的符号与顺序易错点
例题讲解与技巧归纳
课堂练习巩固
课堂小结与作业布置
幻灯片 3：分式乘除混合运算的顺序
核心原则：
分式的乘除混合运算与有理数的乘除混合运算顺序一致，从左到右依次进行。
若有括号，先算括号内的运算，再算括号外的运算。
转化依据：
乘除混合运算可统一转化为乘法运算，再按乘法法则进行计算。即\(a ·b c = a \frac{1}{b} c\)，类比分式：\(\frac{A}{B} ·\frac{C}{D} \frac{E}{F}=\frac{A}{B} \frac{D}{C} \frac{E}{F}\)。
示例说明：
对于\(\frac{x}{y} ·\frac{m}{n} \frac{p}{q}\)，运算顺序为：先算\(\frac{x}{y} ·\frac{m}{n}=\frac{x}{y} \frac{n}{m}\)，再乘以\(\frac{p}{q}\)，即\(\frac{xn}{ym} \frac{p}{q}=\frac{xnp}{ymq}\)。
幻灯片 4：分式乘除混合运算的步骤与实例
运算步骤：
统一转化为乘法：将所有除法运算转化为乘法运算（除式取倒数）。
确定运算顺序：按从左到右的顺序，或先算括号内的部分。
分子分母分别相乘：将所有分子的积作为新分子，所有分母的积作为新分母。
约分化简：对分子和分母进行因式分解，约去公因式，化为最简分式。
实例解析：
例 1：计算\(\frac{a^2}{b} ·\frac{a}{c} \frac{b}{c}\)
解析：
转化为乘法：\(\frac{a^2}{b} \frac{c}{a} \frac{b}{c}\)
分子相乘：\(a^2 c b = a^2bc\)
分母相乘：\(b a c = abc\)
约分：\(\frac{a^2bc}{abc}=a\)
例 2：计算\(\frac{x^2 - 4}{x + 3} ·(x - 2) \frac{x + 3}{x + 2}\)
解析：
转化为乘法：\(\frac{x^2 - 4}{x + 3} \frac{1}{x - 2} \frac{x + 3}{x + 2}\)
因式分解：\(\frac{(x + 2)(x - 2)}{x + 3} \frac{1}{x - 2} \frac{x + 3}{x + 2}\)
约分：分子分母约去\((x + 2)(x - 2)(x + 3)\)，结果为\(1\)。
幻灯片 5：分式乘方法则的推导与应用
法则推导：
类比分数乘方：\((\frac{2}{3})^2=\frac{2}{3} \frac{2}{3}=\frac{2^2}{3^2}\)，\((\frac{a}{b})^3=\frac{a}{b} \frac{a}{b} \frac{a}{b}=\frac{a a a}{b b b}=\frac{a^3}{b^3}\)。
分式乘方法则：分式的乘方，要把分子、分母分别乘方。即\((\frac{A}{B})^n=\frac{A^n}{B^n}\)（\(n\)为正整数，\(B\neq0\)）。
应用示例：
例 3：计算\((\frac{2x}{3y})^2\)
解析：根据法则，分子乘方\((2x)^2 = 4x^2\)，分母乘方\((3y)^2 = 9y^2\)，结果为\(\frac{4x^2}{9y^2}\)。
例 4：计算\((\frac{-a^2}{b})^3\)
解析：分子乘方\((-a^2)^3=-a^6\)，分母乘方\(b^3\)，结果为\(\frac{-a^6}{b^3}=-\frac{a^6}{b^3}\)。
符号规律：分式乘方的符号由分子的符号和指数决定，负数的奇次幂为负，偶次幂为正。
幻灯片 6：分式乘方与乘除的混合运算
运算顺序：
先算乘方，再算乘除；有括号的先算括号内的运算。
用式子表示：先处理\((\frac{A}{B})^n\)，再进行\( \)或\( ·\)运算。
实例解析：
例 5：计算\((\frac{x^2}{y})^2 \frac{y}{2x} ·\frac{x^3}{y}\)
解析：
先算乘方：\((\frac{x^2}{y})^2=\frac{x^4}{y^2}\)
转化为乘法：\(\frac{x^4}{y^2} \frac{y}{2x} \frac{y}{x^3}\)
分子相乘：\(x^4 y y = x^4y^2\)
分母相乘：\(y^2 2x x^3 = 2x^4y^2\)
约分：\(\frac{x^4y^2}{2x^4y^2}=\frac{1}{2}\)
例 6：计算\((\frac{a - b}{a + b})^2 ·\frac{a^2 - b^2}{a + b} \frac{1}{a - b}\)
解析：
乘方运算：\((\frac{a - b}{a + b})^2=\frac{(a - b)^2}{(a + b)^2}\)
转化为乘法：\(\frac{(a - b)^2}{(a + b)^2} \frac{a + b}{(a + b)(a - b)} \frac{1}{a - b}\)
约分：分子分母约去\((a - b)^2(a + b)^2\)，结果为\(1\)。
幻灯片 7：运算中的符号与顺序易错点
易错点 1：乘除混合运算顺序错误
错误示例：计算\(\frac{x}{y} ·\frac{m}{n} \frac{p}{q}\)时，先算\(\frac{m}{n} \frac{p}{q}\)，再算除法。
正确方法：严格按从左到右顺序，先除法后乘法。
易错点 2：分式乘方时漏乘方或符号错误
错误示例：\((\frac{2x}{y})^3=\frac{2x^3}{y^3}\)（漏对系数\(2\)乘方）；\((\frac{-x}{y})^2=-\frac{x^2}{y^2}\)（符号错误，偶次幂应为正）。
正确解答：\((\frac{2x}{y})^3=\frac{8x^3}{y^3}\)；\((\frac{-x}{y})^2=\frac{x^2}{y^2}\)。
易错点 3：忽视括号对运算顺序的影响
错误示例：计算\(\frac{x}{y} ·(\frac{m}{n} \frac{p}{q})\)时，忽略括号直接从左到右计算。
正确方法：先算括号内的乘法\(\frac{m}{n} \frac{p}{q}=\frac{mp}{nq}\)，再算除法\(\frac{x}{y} ·\frac{mp}{nq}=\frac{xnq}{ymp}\)。
易错点 4：约分时破坏分子分母整体性
错误示例：计算\(\frac{x + 1}{x} \frac{x}{x + 2}\)时，约去\(x\)后错误写成\(\frac{1}{x + 2}\)（漏保留分子的\(x + 1\)）。
正确解答：\(\frac{(x + 1) x}{x (x + 2)}=\frac{x + 1}{x + 2}\)。
幻灯片 8：例题讲解与技巧归纳
例 7：复杂混合运算：
计算\((\frac{2a^2b}{-c^3})^3 \frac{c^2}{4a} ·(\frac{ab}{c})^2\)
解析：
乘方运算：\((\frac{2a^2b}{-c^3})^3=-\frac{8a^6b^3}{c^9}\)，\((\frac{ab}{c})^2=\frac{a^2b^2}{c^2}\)
转化为乘法：\(-\frac{8a^6b^3}{c^9} \frac{c^2}{4a} \frac{c^2}{a^2b^2}\)
约分计算：系数约去\(4\)，字母部分约去\(a^3b^2c^2\)，结果为\(-\frac{2a^3b}{c^5}\)。
例 8：含多项式的混合运算：
计算\((\frac{x^2 - 4}{x^2})^2 ·(\frac{x - 2}{x})^3 \frac{1}{x + 2}\)
解析：
因式分解与乘方：\((\frac{(x + 2)(x - 2)}{x^2})^2=\frac{(x + 2)^2(x - 2)^2}{x^4}\)，\((\frac{x - 2}{x})^3=\frac{(x - 2)^3}{x^3}\)
转化为乘法：\(\frac{(x + 2)^2(x - 2)^2}{x^4} \frac{x^3}{(x - 2)^3} \frac{1}{x + 2}\)
约分：结果为\(\frac{x + 2}{x(x - 2)}\)。
技巧归纳：
乘方运算先处理符号和系数，再对字母按指数乘方。
混合运算中，先将所有除法转化为乘法，再统一约分，减少分步计算误差。
多项式需先因式分解，确保约分彻底。
幻灯片 9：课堂练习巩固
基础题：
计算\((\frac{3x}{2y})^2=\)____。
计算\(\frac{a}{b} ·\frac{c}{d} \frac{e}{f}=\)____。
提升题：
3. 计算\((\frac{-x^2}{y})^3 \frac{y^2}{x} ·(-xy^4)\)。
4. 计算\(\frac{x^2 - 9}{x^2} ·\frac{x - 3}{x} (\frac{1}{x + 3})^2\)。
综合题：
5. 先化简，再求值：\((\frac{x^2}{x - 2})^2 ·(\frac{x}{x + 2})^2 \frac{1}{(x + 2)^2}\)，其中\(x = 1\)。
幻灯片 10：课堂小结
知识总结：
乘除混合运算：从左到右依次进行，统一转化为乘法后约分。
分式乘方：\((\frac{A}{B})^n=\frac{A^n}{B^n}\)，分子分母分别乘方，注意符号规律。
混合运算顺序：先乘方，再乘除；有括号先算括号内。
方法提炼：
运算口诀：“乘除混合化乘法，从左到右莫慌乱；分式乘方分母子，各自乘方要记牢；先算乘方后乘除，括号里面优先算；因式分解助约分，结果最简才完成”。
关键技巧：符号处理看指数奇偶，多项式先分解再运算，分步转化减少错误。
幻灯片 11：作业布置
必做题：
课本第 [X] 页练习题第 4、5、6 题。
计算：\((\frac{2a}{b})^2 ·\frac{a}{b} \frac{b}{2a}\)；\((\frac{x^2}{y})^3 (\frac{y^2}{x})^4\)。
选做题：
课本第 [X] 页习题 18.2 第 4、6 题。
计算：\((\frac{a^2 - b^2}{ab})^2 (\frac{a}{a - b})^3 ·\frac{a + b}{b}\)。
拓展题：
已知\((\frac{x}{y})^2 = 4\)，求\(\frac{x^3}{y^3} ·\frac{x}{y} (\frac{y}{x})^2\)的值。
2024人教版数学八年级上册
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18.2.2分式的乘除混合运算及乘方
第十八章 分式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
掌握分式的乘除混合运算顺序及方法.
能说出分式乘方的运算法则，并能运用法则进行分式乘方的运算.
知识点1 分式的乘除混合运算
完成下面分数的计算：
例4 计算：
乘除混合运算可以统一为乘法运算.
分式乘除混合运算的计算方法：
（1）分式乘除混合运算，先依据分式的乘除法法则，把分式乘除法统一成乘法.
（2）当分式的分子分母为多项式时，应先进行因式分解，然后约去分子分母的公因式，计算结果应为最简分式或整式.
方法
知识点2 分式的乘方
根据乘方的意义填空：
10个
10个
10个
猜想：n 为正整数时，　　　　　　　　
根据乘方的意义和分式的乘法法则，可得：
一般地，当 n 是正整数时，　　
即
这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方.
例5 计算：
先乘方，后乘除
负数的偶次幂为正数
负数的奇次幂为负数
1. 计算：
【教材P150练习 第1题】
2. 计算：
【教材P150练习 第2题】
1. 计算：
复习巩固
【教材P150习题18.2 第1题】
【教材P150习题18.2 第2题】
2. 计算：
【教材P150习题18.2 第3题】
3. 计算：
【教材P151习题18.2 第4题】
4. 计算：
【教材P151习题18.2 第5题】
5. 先化简，再求值：
当 a = 3 时，原式 = 32 + 3 – 2 = 10.
6. 如图，有甲、乙两个花坛（阴影部分），分别在这两个花坛中均匀播种 m 颗花种，哪一个花坛
的撒播密度大 ？
综合运用
【教材P151习题18.2 第6题】
a
a
b
b
a
a
b
b
解：甲花坛的撒播密度为
乙花坛的撒播密度为
所以甲花坛的撒播密度大.
7. 一艘船顺流航行 n km 用了 m h，如果逆流航速是顺流航速的 ，那么这艘船逆流航行 t h 走了多少路程？
【教材P151习题18.2 第7题】
解：由题意得，船顺流航行速度为 km/h，
所以船逆流航行速度为 (km/h).
所以这艘船逆流航行 t h 走的路程为 (km).
答：这艘船逆流航行 t h 走的路程为 km.
8. 在一块 a hm2 的稻田上插秧，如果 10 个人插秧，要用 m 天完成；如果一台插秧机工作，要比 10 个人插秧提前 3 天完成. 一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的多少倍？
【教材P151习题18.2 第8题】
解：由题意得，一个人的工作效率为
一台插秧机的工作效率为
所以
答：一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的 倍.
9. 在调配饮料时，需要考虑不同原料的质量配比.如果一种由甲、乙两种原料配制成的饮料成品是 1 kg，甲、乙两种原料的配比是 x : y，那么需要甲原料多少千克？
【教材P151习题18.2 第9题】
解：需要甲原料
拓广探索
【教材P151习题18.2 第10题】
10. 观察周边生活或查阅书籍，设计一个运用分式乘除运算的实际问题，并给出解答.
分式的乘方
分式的乘除、乘方混合运算
分式乘方的法则
先乘方，再乘除
分式乘方要把分子、分母分别乘方，
即 (n是正整数).
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