资源简介

(共23张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：18.3.1 分式的加减
副标题：类比分数运算 掌握分式加减法则
背景图：以分数与分式加减对比图为背景，左侧展示分数加减实例，右侧预留分式加减推导区域，中间用 “类比迁移” 箭头连接，突出知识的延续性
幻灯片 2：目录
分数加减法法则回顾
同分母分式加减法法则及应用
异分母分式加减法法则及应用
分式加减的运算步骤
分式加减中的通分与约分技巧
例题讲解与易错点警示
课堂练习巩固
课堂小结与作业布置
幻灯片 3：分数加减法法则回顾
同分母分数加减：
法则：分母不变，分子相加减。
用式子表示为：\(\frac{a}{c} ±\frac{b}{c}=\frac{a ±b}{c}\)（\(c\neq0\)）。
示例：\(\frac{2}{5}+\frac{1}{5}=\frac{2 + 1}{5}=\frac{3}{5}\)；\(\frac{5}{7}-\frac{3}{7}=\frac{5 - 3}{7}=\frac{2}{7}\)。
异分母分数加减：
法则：先通分，化为同分母分数，再按同分母分数加减法法则计算。
用式子表示为：\(\frac{a}{b} ±\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd} ±\frac{bc}{bd}=\frac{ad ±bc}{bd}\)（\(b\neq0\)，\(d\neq0\)）。
示例：\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}\)；\(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=\frac{3}{4}-\frac{2}{4}=\frac{1}{4}\)。
提问引导：分数的加减法法则能否推广到分式的加减法中呢？分式的加减是否也需要考虑分母是否相同？
幻灯片 4：同分母分式加减法法则及应用
法则推导：
类比同分母分数加减法，同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
同分母分式加减法法则：\(\frac{A}{C} ±\frac{B}{C}=\frac{A ±B}{C}\)（其中\(A\)、\(B\)、\(C\)是整式，且\(C\neq0\)）。
应用示例：
例 1：计算\(\frac{x}{x + y}+\frac{y}{x + y}\)
解析：根据法则，分母不变仍为\(x + y\)，分子相加为\(x + y\)，得到\(\frac{x + y}{x + y}=1\)（结果需化简）。
例 2：计算\(\frac{a^2}{a - b}-\frac{b^2}{a - b}\)
解析：分母不变为\(a - b\)，分子相减为\(a^2 - b^2\)，因式分解分子得\((a + b)(a - b)\)，则原式\(=\frac{(a + b)(a - b)}{a - b}=a + b\)（\(a\neq b\)）。
注意事项：
分子相加减时，需将分子视为一个整体，若分子是多项式，要加括号避免符号错误（如\(\frac{x}{x - 1}-\frac{1}{x - 1}=\frac{x - 1}{x - 1}=1\)，而非\(\frac{x - 1}{x - 1}\)的错误书写）。
运算结果要化为最简分式或整式。
幻灯片 5：异分母分式加减法法则及应用
法则推导：
类比异分母分数加减法，异分母分式相加减，先通分，化为同分母分式，再按同分母分式加减法法则计算。
异分母分式加减法法则：\(\frac{A}{B} ±\frac{C}{D}=\frac{AD}{BD} ±\frac{BC}{BD}=\frac{AD ±BC}{BD}\)（其中\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)是整式，且\(B\neq0\)，\(D\neq0\)，\(BD\)为最简公分母）。
应用示例：
例 3：计算\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
解析：最简公分母为\(xy\)，通分后得\(\frac{y}{xy}+\frac{x}{xy}=\frac{x + y}{xy}\)。
例 4：计算\(\frac{3}{x - 2}-\frac{12}{x^2 - 4}\)
解析：
因式分解分母：\(x^2 - 4=(x + 2)(x - 2)\)，最简公分母为\((x + 2)(x - 2)\)。
通分：\(\frac{3}{x - 2}=\frac{3(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)}\)，\(\frac{12}{x^2 - 4}=\frac{12}{(x + 2)(x - 2)}\)。
相减：\(\frac{3(x + 2)-12}{(x + 2)(x - 2)}=\frac{3x + 6 - 12}{(x + 2)(x - 2)}=\frac{3x - 6}{(x + 2)(x - 2)}=\frac{3(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)}=\frac{3}{x + 2}\)（约分化简）。
幻灯片 6：分式加减的运算步骤
同分母分式加减步骤：
分子相加减：分母不变，把分子按整式加减法法则相加减（分子是多项式时加括号）。
化简结果：对分子进行因式分解，与分母约去公因式，化为最简分式或整式。
示例：\(\frac{x^2}{x - 3}-\frac{9}{x - 3}=\frac{x^2 - 9}{x - 3}=\frac{(x + 3)(x - 3)}{x - 3}=x + 3\)。
异分母分式加减步骤：
确定最简公分母：对各分母因式分解，取各因式最高次幂的积作为最简公分母。
通分：将每个分式化为以最简公分母为分母的分式（分子分母同乘相应整式）。
按同分母分式加减计算：分子相加减，分母不变。
化简结果：因式分解分子，约去与分母的公因式。
示例：\(\frac{1}{a^2 - a}+\frac{a}{a - 1}=\frac{1}{a(a - 1)}+\frac{a^2}{a(a - 1)}=\frac{1 + a^2}{a(a - 1)}\)（分子无法分解，结果为最简分式）。
幻灯片 7：分式加减中的通分与约分技巧
通分技巧：
分母是单项式时，最简公分母为系数的最小公倍数与各字母最高次幂的积（如\(\frac{1}{2x}\)与\(\frac{1}{3x^2}\)的最简公分母为\(6x^2\)）。
分母是多项式时，先因式分解再确定最简公分母（如\(\frac{1}{x^2 - 4}\)与\(\frac{1}{x + 2}\)的最简公分母为\((x + 2)(x - 2)\)）。
分母互为相反数时，可通过提取负号转化为相同分母（如\(\frac{1}{2 - x}=-\frac{1}{x - 2}\)，避免公分母重复）。
约分时机：
异分母分式加减后，分子是多项式时必须先因式分解，再与分母约分（如例 4 中分子\(3x - 6\)分解为\(3(x - 2)\)后约分）。
同分母分式加减后，直接对分子因式分解约分（如\(\frac{x^2 - y^2}{x + y}=\frac{(x + y)(x - y)}{x + y}=x - y\)）。
符号处理：
分式前有负号时，分子相减要注意符号变化（如\(\frac{a}{x - y}-\frac{b}{y - x}=\frac{a}{x - y}+\frac{b}{x - y}=\frac{a + b}{x - y}\)）。
幻灯片 8：例题讲解与易错点警示
例 5：复杂同分母分式加减：
计算\(\frac{x + 2}{x^2 - 4}-\frac{x - 1}{x^2 - 4}+\frac{1}{x^2 - 4}\)
解析：分母均为\(x^2 - 4\)，分子相加减得\((x + 2)-(x - 1)+1=x + 2 - x + 1 + 1=4\)，则原式\(=\frac{4}{x^2 - 4}\)（分子无法与分母约分，结果为最简分式）。
例 6：异分母分式加减综合运算：
计算\(\frac{2}{x^2 - 9}+\frac{1}{(x - 3)^2}\)
解析：
因式分解分母：\(x^2 - 9=(x + 3)(x - 3)\)，最简公分母为\((x + 3)(x - 3)^2\)。
通分：\(\frac{2}{(x + 3)(x - 3)}=\frac{2(x - 3)}{(x + 3)(x - 3)^2}\)，\(\frac{1}{(x - 3)^2}=\frac{x + 3}{(x + 3)(x - 3)^2}\)。
相加：\(\frac{2(x - 3)+x + 3}{(x + 3)(x - 3)^2}=\frac{2x - 6 + x + 3}{(x + 3)(x - 3)^2}=\frac{3x - 3}{(x + 3)(x - 3)^2}=\frac{3(x - 1)}{(x + 3)(x - 3)^2}\)。
易错点警示：
易错点 1：异分母分式直接加减分母或分子（如\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1 + 1}{x + y}\)，错误）。
易错点 2：通分时漏乘分子的某些项（如\(\frac{1}{x - 1}\)通分为\(\frac{x}{x(x - 1)}\)时，分子漏乘\(x\)，错误写成\(\frac{1}{x(x - 1)}\)）。
易错点 3：分子相减时符号错误（如\(\frac{x}{x - 2}-\frac{2}{x - 2}=\frac{x - 2}{x - 2}=1\)正确，错误写成\(\frac{x + 2}{x - 2}\)）。
易错点 4：结果未化简（如例 4 中未约去\(x - 2\)，保留\(\frac{3(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)}\)）。
幻灯片 9：课堂练习巩固
基础题：
计算\(\frac{3}{a}+\frac{1}{a}=\)____。
计算\(\frac{1}{x}-\frac{1}{x + 1}=\)____。
提升题：
3. 计算\(\frac{x}{x^2 - y^2}+\frac{y}{y^2 - x^2}\)。
4. 计算\(\frac{1}{x^2 + 3x + 2}+\frac{1}{x^2 + 4x + 3}\)。
综合题：
5. 先化简，再求值：\(\frac{1}{x - 1}+\frac{x}{1 - x}\)，其中\(x = 2\)。
幻灯片 10：课堂小结
知识总结：
同分母分式加减：分母不变，分子相加减，结果化简（\(\frac{A}{C} ±\frac{B}{C}=\frac{A ±B}{C}\)）。
异分母分式加减：先通分（找最简公分母），再按同分母法则计算，结果化简（\(\frac{A}{B} ±\frac{C}{D}=\frac{AD ±BC}{BD}\)）。
核心技巧：通分是异分母分式加减的关键，约分是化简结果的必要步骤。
方法提炼：
运算口诀：“同分母，直接算，分子加减母不变；异分母，先通分，化为同母再运算；分子多项式，括号来保护，符号要关注；结果必化简，约分要彻底”。
注意事项：通分时分子整体乘整式，分子加减时符号准确，结果必须为最简形式。
幻灯片 11：作业布置
必做题：
课本第 [X] 页练习题第 1、2、3 题。
计算：\(\frac{5}{x - 1}-\frac{3}{x - 1}\)；\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)；\(\frac{x}{x - y}-\frac{y}{x + y}\)。
选做题：
课本第 [X] 页习题 18.3 第 1、4 题。
计算：\(\frac{3}{x^2 - 4}+\frac{2}{x + 2}-\frac{1}{x - 2}\)。
拓展题：
已知\(a + b = 3\)，\(ab = 2\)，求\(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\)的值。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
18.3.1分式的加减
第十八章 分式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
类比分数的加减法，归纳分式的加减法法则.
利用分式加减法法则进行分式加减法运算.
计算：
+ =
– =
+ =
– =
=
= –
+
–
=
=
同分母分数相加减，分母不变，把分子相加减.
异分母分数相加减，先通分，变为同分母分数，再加减.
知识点1 同分母分式的加减
+ =
– =
–
同分母分数相加减，分母不变，把分子相加减.
你能将它推广，得出同分母分式的加减法法则吗？
思 考
分式
例1 计算：
注意结果要化为最简分式
同分母的分式的加、减法运算步骤：
分母不变，分子相加减.
1
3
约分化为最简分式或整式.
2
把分子去括号，并按照整式的加减进行计算.
方法
知识点2 异分母分式的加减
+ =
– =
异分母分数相加减，先通分，变为同分母分数，再加减.
分式
分式
例2 计算：
12abc
(m + 3)(m – 3)
分式的加减法的思路
方法
异分母相加减
同分母相加减
分子(整式)相加减
通分
转化为
分母不变
转化为
1. 计算：
【教材P153练习 第1题】
2. 计算：
【教材P153练习 第2题】
知识点 异分母分式的加减
6.填空：
（1） ；
（2） ；
（3） .
返回
7.［2025成都期末］计算 的结果是( )
B
A. B. C. D.2
返回
8.计算 的结果是( )
C
A. B. C. D.
返回
9. 下面是小轩化简 的过程：
解：原式 ①
小轩的化简过程从第____步开始出错，请帮他计算出正确的结果：
_________.
②
返回
10.［教材 例2变式］计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） ；
解：原式
.
（4） .
解：原式 .
返回
分式的加减
同分母
异分母
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减.
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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