资源简介

(共31张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：18.3.2 分式的混合运算
副标题：整合运算法则 提升综合运算能力
背景图：以分式混合运算金字塔为背景，底层是分式乘除、加减、乘方的基础法则，中层是运算顺序流程图，顶层是综合运算实例，体现知识的递进与整合
幻灯片 2：目录
分式混合运算的顺序规则
分式混合运算的步骤分解
含括号的分式混合运算
分式混合运算中的技巧与策略
例题讲解与易错点剖析
课堂练习巩固
课堂小结与作业布置
幻灯片 3：分式混合运算的顺序规则
核心顺序：
先算乘方，再算乘除，最后算加减。
同级运算（只有乘除或只有加减），从左到右依次进行。
有括号的先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次计算。
类比有理数混合运算：
有理数混合运算顺序：“先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内”，分式混合运算顺序与其一致。
示例说明：
对于运算\(\frac{1}{x} + (\frac{x}{y})^2 \frac{y}{x} - \frac{1}{x - y} ·\frac{x}{x^2 - y^2}\)，顺序为：先算乘方\((\frac{x}{y})^2\)，再算乘除\((\frac{x}{y})^2 \frac{y}{x}\)和\(\frac{1}{x - y} ·\frac{x}{x^2 - y^2}\)，最后算加减。
幻灯片 4：分式混合运算的步骤分解
通用步骤：
处理乘方运算：先计算分式的乘方，将结果化为最简形式。
转化乘除运算：将所有除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘它的倒数。
进行乘除运算：按从左到右的顺序，分子乘分子，分母乘分母，约分后得到结果。
处理加减运算：对于加减运算，先确定最简公分母进行通分，再按同分母分式加减法则计算。
化简最终结果：对运算结果进行因式分解，约去公因式，化为最简分式或整式。
实例解析：
例 1：计算\(\frac{x}{x + 1} (\frac{2x}{x - 1} - \frac{1}{x + 1})\)
解析：
先算括号内加减：通分得到\(\frac{2x(x + 1)-(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)}=\frac{2x^2 + 2x - x + 1}{(x - 1)(x + 1)}=\frac{2x^2 + x + 1}{(x - 1)(x + 1)}\)。
再算乘法：\(\frac{x}{x + 1} \frac{2x^2 + x + 1}{(x - 1)(x + 1)}=\frac{x(2x^2 + x + 1)}{(x + 1)^2(x - 1)}\)（分子无法分解，结果为最简分式）。
幻灯片 5：含括号的分式混合运算
括号处理原则：
括号内的运算优先进行，括号内若为混合运算，同样遵循 “先乘方，再乘除，最后加减” 的顺序。
常见括号类型：小括号\(()\)、中括号\([]\)，计算时从内向外依次去括号。
实例解析：
例 2：计算\([\frac{1}{(x + y)^2} - \frac{1}{(x - y)^2}] ·(\frac{1}{x + y} - \frac{1}{x - y})\)
解析：
先算小括号内的加减：
第一个括号：\(\frac{(x - y)^2 - (x + y)^2}{(x + y)^2(x - y)^2}=\frac{x^2 - 2xy + y^2 - x^2 - 2xy - y^2}{(x + y)^2(x - y)^2}=\frac{-4xy}{(x + y)^2(x - y)^2}\)。
第二个括号：\(\frac{(x - y)-(x + y)}{(x + y)(x - y)}=\frac{-2y}{(x + y)(x - y)}\)。
再算除法：转化为乘法\(\frac{-4xy}{(x + y)^2(x - y)^2} \frac{(x + y)(x - y)}{-2y}=\frac{2x}{(x + y)(x - y)}\)。
幻灯片 6：分式混合运算中的技巧与策略
分步化简策略：
每完成一步运算（如乘方、乘除、括号内加减）后及时化简，减少后续计算量。例如乘除运算后先约分，再进行加减运算。
因式分解贯穿始终：
在乘方、乘除、加减的各个环节，对分子和分母中的多项式及时因式分解，便于约分和通分。如例 2 中对\((x - y)^2 - (x + y)^2\)用平方差公式分解。
符号统一技巧：
当式子中出现多个负号或分母互为相反数时，先通过提取负号统一符号。如\(\frac{1}{y - x}=-\frac{1}{x - y}\)，避免符号混淆。
整体代换简化运算：
对于复杂分式，若某一部分重复出现，可设字母代换简化书写。如计算\(\frac{(x + y)^2}{xy} - \frac{(x - y)^2}{xy}\)时，可设\(A = x + y\)，\(B = x - y\)，转化为\(\frac{A^2 - B^2}{xy}\)后分解计算。
幻灯片 7：例题讲解与易错点剖析
例 3：综合混合运算：
计算\(\frac{a^2 - 4}{a^2 + 6a + 9} ·\frac{a - 2}{2a + 6} (a + 3) + \frac{4}{a + 3}\)
解析：
因式分解各部分：\(a^2 - 4=(a + 2)(a - 2)\)，\(a^2 + 6a + 9=(a + 3)^2\)，\(2a + 6=2(a + 3)\)。
转化乘除：\(\frac{(a + 2)(a - 2)}{(a + 3)^2} \frac{2(a + 3)}{a - 2} (a + 3) + \frac{4}{a + 3}\)。
进行乘除运算：约分后得\(2(a + 2) + \frac{4}{a + 3}\)。
进行加减运算：通分后\(\frac{2(a + 2)(a + 3) + 4}{a + 3}=\frac{2a^2 + 10a + 12 + 4}{a + 3}=\frac{2a^2 + 10a + 16}{a + 3}\)（分子无法分解，结果为最简分式）。
易错点剖析：
易错点 1：运算顺序错误，如先算加减后算乘除（如\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \frac{1}{z}\)错误计算为\(\frac{z + x}{xz} \frac{1}{z}\)）。
易错点 2：去括号时符号错误，如\(\frac{1}{x} - (\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x})=\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x}\)（错误，应为\(\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x}\)）。
易错点 3：约分时破坏分子完整性，如\(\frac{x + 1}{x} \frac{x}{x + 2}\)错误约分为\(\frac{1}{x + 2}\)（漏保留\(x + 1\)）。
易错点 4：结果未化简彻底，如例 3 中未将\(2(a + 2)\)与\(\frac{4}{a + 3}\)通分计算，直接保留中间结果。
幻灯片 8：课堂练习巩固
基础题：
计算\(\frac{1}{x} + \frac{x}{y} \frac{y}{x^2}=\)____。
计算\((\frac{a}{b})^2 ·\frac{a}{b^2} - \frac{b}{a}=\)____。
提升题：
3. 计算\(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1} ·\frac{x - 1}{x} (x + 1) + \frac{2}{x + 1}\)。
4. 计算\([\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{2}{xy}] ·(x + y)^2\)。
综合题：
5. 先化简，再求值：\((\frac{x}{x - 2} - \frac{4}{x^2 - 2x}) ·\frac{x + 2}{x^2 - x}\)，其中\(x = 3\)。
幻灯片 9：课堂小结
知识总结：
分式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内。
核心步骤：处理乘方→转化乘除→进行乘除→处理加减→化简结果。
关键技巧：因式分解辅助约分通分，符号统一避免错误，分步化简减少计算量。
方法提炼：
运算口诀：“混合运算有顺序，乘方乘除后加减；同级运算左到右，括号里面先处理；因式分解常相伴，约分通分要仔细；符号变化需留意，结果最简是目的”。
注意事项：每一步运算都要关注分式有意义的条件（分母不为 0），避免出现增根或无意义的情况。
幻灯片 10：作业布置
必做题：
课本第 [X] 页练习题第 4、5 题。
计算：\(\frac{a}{a - 1} ·\frac{a^2 - a}{a^2 - 1} - \frac{1}{a - 1}\)；\((\frac{x}{x + 2} + \frac{2}{2 - x}) ·\frac{1}{x^2 - 4}\)。
选做题：
课本第 [X] 页习题 18.3 第 5、7 题。
计算：\([\frac{1}{(a - b)^2} - \frac{1}{(a + b)^2}] ·(\frac{1}{a - b} + \frac{1}{a + b})\)。
拓展题：
已知\(x + \frac{1}{x}=3\)，求\(x^2 + \frac{1}{x^2}\)和\(x^4 + \frac{1}{x^4}\)的值（提示：利用分式混合运算转化）。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
18.3.2分式的混合运算
第十八章 分式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
会进行简单分式的加减乘除运算，能从数的四则运算类比分式的四则混合运算.
明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.
（1）乘法
（3）乘方
（2）除法
（4）加减法
分式运算的法则
同分母加减
异分母加减
计算：(– 2)2×4 – 9 ÷(-3)2
解：原式 =____________
=____________
=____________
4×4 – 9÷9
16 – 1
15
先乘方
再乘除
后加减
有理数的混合运算中，如果有括号，先算括号里的运算.
知识点1 分式的混合运算
计算：
这道题包含了哪些运算？
运算顺序又是怎样的？
分式的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，如果有括号先进行括号里的运算.
运算结果要化为最简分式或整式.
例3 计算：
先算乘方
统一为乘法
计算乘法
通分
按同分母分式相加减法则计算
约分
分式混合运算的计算方法：
方法
（1）将各分式的分子、分母分解因式后，再
进行计算；
（2）运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减；
（3）注意处理好每一步运算中遇到的符号；
（4）计算结果要约分为最简分式或整式.
知识点2 分式运算的实际应用
例4 张华和李明同时从甲地沿同一路线步行去乙地. 张华在前半段路程的平均行走速度是 a km/h，在后半段路程的平均行走速度是 b km/h；李明全程的平均行走速度是 km/h. 如果 a ≠ b，两人谁先到达乙地？
路程 = 速度×时间
解：设从甲地到乙地的路程为 s km.
李明从甲地到乙地的时间 (单位：h) 为：
张华从甲地到乙地的时间 (单位：h) 为：
两人的时间差为：
因为 s，a，b 均大于 0，且 a ≠ b，所以
因此，李明先到达乙地.
解：
即两队共同工作一天完成这项工程的　　　
1. 甲工程队完成一项工程需 n 天，乙工程队要比甲工程队多用 3 天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？
【教材P155练习 第2题】
解：
即今年与去年相比，森林面积增长率提高了
2. 前年、去年、今年某地的森林面积（单位：km2）分别是 S1，S2，S3，今年与去年相比，森林面积增长率提高了多少？
【教材P155练习 第3题】
随堂练习
1. 计算：
【教材P155练习 第1题】
1. 计算：
【教材P155习题18.3 第1题】
【教材P155习题18.3 第2题】
2. 计算：
【教材P155习题18.3 第3题】
3. 计算：
【教材P156习题18.3 第4题】
4. 先化简，再求值：
当 x = 2 时，原式 = 2.
5. 绿化队原来用漫灌方式灌溉绿地，a 天用水 m t，现在改用喷灌方式，可使这些水多用 3 天，现在比原来每天节约用水多少吨？
综合运用
【教材P156习题18.3 第5题】
解：由题意得，原来每天用水 t，
现在每天用水 t.
答：现在比原来每天节约用水
6. 甲、乙两地相距 n km，提速前高铁列车从甲地到乙地要用 t h，提速后行驶时间减少了 0.5 h，提速后高铁列车的平均速度比原来的平均速度快了多少？
【教材P156习题18.3 第6题】
解：由题意得，高铁列车原来的速度是 km/h，
提速后高铁列车的速度是 km/h.
答：提速后高铁列车的平均速度比原来的平均速度快了
7.一块麦田有 m hm2，甲收割完这块麦田需 n h，乙比甲少用 0.5 h 就能收割完这块麦田，两人一起收割完这块麦田需要多少小时？
【教材P156习题18.3 第7题】
解：由题意得，甲的工作效率是 hm2/h，
乙的工作效率是 hm2/h.
答：两人一起收割完这块麦田需要
8. 一个无盖长方体盒子的容积是 V.
(1)如果盒子底面是边长为 a 的正方形，这个盒子的表面积是多少？
【教材P156习题18.3 第8题】
拓广探索
(2)如果盒子底面是长为 b、宽为 c 的长方形，这个盒子的表面积是多少？
(3)上面两种情况下，如果盒子的底面面积相等，那么两种盒子的表面积相差多少？(不计制造材料的厚度.)
解：(1)由题意得，盒子的高为
所以这个盒子的表面积为
(2)由题意得，盒子的高为
所以这个盒子的表面积为
(3)如果 a2 = bc，那么
所以两种盒子的表面积相差
分式的混合运算顺序：
先乘方，再乘除，然后加减.
若有括号，先算括号里面的.
同级运算，按从左到右的顺序进行计算.　　
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑