资源简介

(共26张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：18.4.1 负整数指数幂
副标题：拓展指数范围 完善幂运算体系
背景图：以指数幂运算阶梯图为背景，底层是正整数指数幂的运算，中层是负整数指数幂的推导过程，顶层是整数指数幂的统一法则，用箭头标注知识的拓展路径
幻灯片 2：目录
正整数指数幂的回顾
负整数指数幂的引入与定义
整数指数幂的运算性质
负整数指数幂的运算实例
科学记数法表示较小的数
例题讲解与易错点警示
课堂练习巩固
课堂小结与作业布置
幻灯片 3：正整数指数幂的回顾
基本概念：
正整数指数幂：\(a^n = a a a\)（\(n\)个\(a\)相乘，\(n\)为正整数，\(a\neq0\)）。
示例：\(2^3 = 2 2 2 = 8\)；\((-3)^2 = (-3) (-3) = 9\)；\(a^4 = a a a a\)。
运算性质：
\(a^m a^n = a^{m + n}\)（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）。
\(a^m ·a^n = a^{m - n}\)（\(m > n\)，同底数幂相除，底数不变，指数相减）。
\((a^m)^n = a^{mn}\)（幂的乘方，底数不变，指数相乘）。
\((ab)^n = a^n b^n\)（积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方）。
\((\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}\)（商的乘方，等于把分子、分母分别乘方）。
思考引导：当\(m \leq n\)时，\(a^m ·a^n\)的运算性质是否仍然适用？如何定义指数为负整数时的幂运算？
幻灯片 4：负整数指数幂的引入与定义
推理过程：
当\(m = n\)时，根据除法意义：\(a^m ·a^n = a^n ·a^n = 1\)；根据正整数指数幂性质：\(a^m ·a^n = a^{m - n} = a^0\)，因此规定\(a^0 = 1\)（\(a\neq0\)）。
当\(m < n\)时，例如计算\(a^2 ·a^5\)：
除法意义：\(a^2 ·a^5 = \frac{a^2}{a^5} = \frac{1}{a^3}\)。
若沿用指数性质：\(a^2 ·a^5 = a^{2 - 5} = a^{-3}\)。
由此规定：\(a^{-3} = \frac{1}{a^3}\)（\(a\neq0\)）。
定义推广：
负整数指数幂的定义：一般地，当\(n\)是正整数时，\(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)（\(a\neq0\)）。
解读：任何不等于零的数的\(-n\)（\(n\)为正整数）次幂，等于这个数的\(n\)次幂的倒数。
示例验证：
\(2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}\)；\(3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\)；\(a^{-1} = \frac{1}{a}\)（\(a\neq0\)）；\((\frac{2}{3})^{-3} = \frac{1}{(\frac{2}{3})^3} = (\frac{3}{2})^3 = \frac{27}{8}\)。
幻灯片 5：整数指数幂的运算性质
统一后的性质：
\(a^m a^n = a^{m + n}\)（\(m\)、\(n\)为任意整数，\(a\neq0\)）。
\((a^m)^n = a^{mn}\)（\(m\)、\(n\)为任意整数，\(a\neq0\)）。
\((ab)^n = a^n b^n\)（\(n\)为任意整数，\(a\neq0\)，\(b\neq0\)）。
说明：引入负整数指数幂后，正整数指数幂的运算性质可以推广到整数指数幂，且除法可转化为乘法（\(a^m ·a^n = a^m a^{-n} = a^{m - n}\)），商的乘方可转化为积的乘方（\((\frac{a}{b})^n = (ab^{-1})^n = a^n b^{-n}\)）。
性质验证：
验证\(a^m a^n = a^{m + n}\)：\(a^2 a^{-3} = a^{2 + (-3)} = a^{-1} = \frac{1}{a}\)，同时\(a^2 \frac{1}{a^3} = \frac{1}{a}\)，结果一致。
验证\((a^m)^n = a^{mn}\)：\((a^{-2})^3 = a^{-2 3} = a^{-6} = \frac{1}{a^6}\)，同时\((\frac{1}{a^2})^3 = \frac{1}{a^6}\)，结果一致。
验证\((ab)^n = a^n b^n\)：\((ab)^{-2} = a^{-2} b^{-2} = \frac{1}{a^2b^2}\)，同时\(\frac{1}{(ab)^2} = \frac{1}{a^2b^2}\)，结果一致。
幻灯片 6：负整数指数幂的运算实例
例 1：化简负整数指数幂：
计算：\((-2)^{-3}\)；\(a^{-2} a^5\)；\((x^{-1}y^2)^3\)。
解析：
\((-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = -\frac{1}{8}\)。
\(a^{-2} a^5 = a^{-2 + 5} = a^3\)。
\((x^{-1}y^2)^3 = (x^{-1})^3 (y^2)^3 = x^{-3}y^6 = \frac{y^6}{x^3}\)。
例 2：整数指数幂的综合运算：
计算：\((\frac{3}{2})^{-2} (\frac{2}{3})^{-3}\)；\((a^{-1}b^2)^{-3} ·(a^2b^{-1})^2\)。
解析：
方法一：转化为正指数\(\frac{1}{(\frac{3}{2})^2} \frac{1}{(\frac{2}{3})^3} = (\frac{2}{3})^2 (\frac{3}{2})^3 = (\frac{2}{3} \frac{3}{2})^2 \frac{3}{2} = 1 \frac{3}{2} = \frac{3}{2}\)。
方法二：用指数性质\((\frac{3}{2})^{-2} (\frac{2}{3})^{-3} = (\frac{3}{2})^{-2} (\frac{3}{2})^{3} = (\frac{3}{2})^{-2 + 3} = \frac{3}{2}\)。
第二题：\(a^{3}b^{-6} ·(a^4b^{-2}) = a^{3 - 4}b^{-6 + 2} = a^{-1}b^{-4} = \frac{1}{ab^4}\)。
幻灯片 7：科学记数法表示较小的数
回顾与推广：
科学记数法表示较大的数：\(a 10^n\)（\(1 \leq a < 10\)，\(n\)为正整数，\(n\)等于原数的整数位数减 1）。
推广到较小的数：对于小于 1 的正数，可表示为\(a 10^{-n}\)（\(1 \leq a < 10\)，\(n\)为正整数，\(n\)等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数）。
实例说明：
0.001 = \(1 10^{-3}\)（左起第一个非零数字 “1” 前有 3 个零）。
0.000025 = \(2.5 10^{-5}\)（左起第一个非零数字 “2” 前有 5 个零）。
0.01203 = \(1.203 10^{-2}\)（左起第一个非零数字 “1” 前有 2 个零）。
转化步骤：
确定\(a\)：将原数的小数点向右移动，使\(a\)满足\(1 \leq a < 10\)。
确定\(n\)：小数点移动的位数即为\(n\)，移动几位\(n\)就是几，指数为负。
示例：0.0000036 → 小数点右移 6 位得\(3.6\)，则表示为\(3.6 10^{-6}\)。
幻灯片 8：例题讲解与易错点警示
例 3：负整数指数幂的化简求值：
已知\(a = 2\)，\(b = 3\)，求\((a^{-1} + b^{-1})^{-1}\)的值。
解析：先化简式子\((\frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} = (\frac{a + b}{ab})^{-1} = \frac{ab}{a + b}\)，代入得\(\frac{2 3}{2 + 3} = \frac{6}{5}\)。
例 4：科学记数法的应用：
用科学记数法表示：0.00000078；\(3.6 10^{-4}\)写成小数形式。
解析：0.00000078 = \(7.8 10^{-7}\)；\(3.6 10^{-4} = 0.00036\)。
易错点警示：
易错点 1：负整数指数幂的符号错误，如\(2^{-3} = -8\)（错误，应为\(\frac{1}{8}\)）。
易错点 2：指数运算性质混淆，如\(a^{-2} a^{-3} = a^{-2 (-3)} = a^6\)（错误，应为\(a^{-2 + (-3)} = a^{-5}\)）。
易错点 3：科学记数法中\(n\)的确定错误，如 0.0025 写成\(2.5 10^{-2}\)（错误，应为\(2.5 10^{-3}\)，左起第一个非零数字前有 3 个零）。
易错点 4：忽略底数不为零的条件，如计算\(0^{-2}\)（无意义，因为 0 的负整数指数幂无意义）。
幻灯片 9：课堂练习巩固
基础题：
计算：\(3^{-2} = \_\_\_\_\_\)；\((-2)^{-3} = \_\_\_\_\_\)。
化简：\(a^{-3} a^5 = \_\_\_\_\_\)；\((x^2y^{-1})^{-3} = \_\_\_\_\_\)。
提升题：
3. 用科学记数法表示：0.0000105 = _____；\(5.2 10^{-6}\)写成小数是_____。
4. 计算：\((\frac{1}{2})^{-2} + (-3)^0 - (-\frac{1}{3})^{-1}\)。
综合题：
5. 已知\(x + x^{-1} = 3\)，求\(x^2 + x^{-2}\)的值。
幻灯片 10：课堂小结
知识总结：
负整数指数幂定义：\(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)（\(a\neq0\)，\(n\)为正整数），0 的负整数指数幂无意义。
整数指数幂运算性质：同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方性质对任意整数指数均成立。
科学记数法：较小的数表示为\(a 10^{-n}\)（\(1 \leq a < 10\)，\(n\)为正整数）。
方法提炼：
负指数运算口诀：“负指数，化为倒，指数变正莫忘掉；运算性质仍适用，统一法则要记牢”。
科学记数法口诀：“小数科学记，\(a\)在 1 - 10 间，小数点右移\(n\)位，指数为负\(n\)来填”。
幻灯片 11：作业布置
必做题：
课本第 [X] 页练习题第 1、2、3 题。
计算：\((-a)^{-3} a^2\)；\((2x^{-1}y^2)^{-2}\)；用科学记数法表示 0.00086。
选做题：
课本第 [X] 页习题 18.4 第 1、3 题。
计算：\((a^{-2} - b^{-2}) ·(a^{-1} - b^{-1})\)。
拓展题：
若\(2^x = 3\)，\(2^y = 5\)，用含\(x\)、\(y\)的代数式表示\(2^{-x - y}\)的值。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
18.4.1负整数指数幂
第十八章 分式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
知道负整数指数幂的意义及基本性质.
能运用分式的有关知识推导整数指数幂的意义.
问题1 你还记得正整数指数幂的意义吗？正整数指数幂有哪些运算性质？
正整数指数幂：
当n是正整数时，an = a·a·…·a.
n个
正整数指数幂有以下运算性质：
(1) (m，n是正整数)
(2) (m，n是正整数)
(3) (n是正整数)
(4) (a ≠ 0，m，n是正整数，m＞n)
(5) (n是正整数)
此外，还学过 0 指数幂，即a0 = 1(a ≠ 0)
如果指数是负整数该如何计算呢？
问题2 你能使用两种不同的方法计算a5÷a3 吗？
a5÷a3
= a5 – 3 = a2
分式的约分
am÷an = am-n(a≠0，m，n是正整数，m＞n)
溯源——幂的符号的演变
3 世纪
丢番图
Δγ，Kγ， ΔγΔ
Aq，Acu，Aqq
韦达(Vietè)
16 世纪
17 世纪
哈里奥特(Harriot)
aa，aaa，aaaa
a2，a3，a4
笛卡尔
1637年
an
简明
利于运算
有助于幂的运算的推广
知识点1 负整数指数幂
你认为牛顿的这个设想合理吗？
思 考
因为数学家将 aa，aaa，aaaa，···写成 a2，a3，a4，···，所以我将 ， ， ，···写成 a-1，a-2，a-3，···.
如果 am 中的 m 可以是负整数，那么负整数指数幂 am 表示什么？
你能使用两种不同的方法计算 a3÷a5 吗？
a3÷a5
= a3 – 5 = a–2
分式的约分
am÷an = am-n(a≠0，m，n是正整数，m＞n)
一般地，当n 是正整数时，
这就是说， a–n (a ≠ 0) 是 an 的倒数.　　　
数学中规定：
试说说当 m 分别是正整数、0、负整数时，am 各表示什么意义？
当 m 是正整数时，am 表示 m 个 a 相乘；
当 m 是 0 时，am 即为 a0，值为 1；
当 m 是负整数时，am 即为 a –m 的倒数.
归纳
如无特别说明，本套书中涉及的负整数指数幂的底数均不为0.
引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩充到全体整数.
知识点2 整数指数幂及其运算
引入负整数指数和 0 指数后，正整数指数幂的运算性质能否推广到 m，n 是任意整数的情形？
思 考
① am·an = am+n (m，n是正整数)
② (am)n = amn (m，n是正整数)
③ (ab)n = anbn (n是正整数)
④ am÷an = am–n (a ≠ 0，m，n是正整数，m＞n)
⑤ (n是正整数)
例如：
a3·a–5
a–3·a–5
a0·a–5
= a–2
= a3+(–5)
= a–8
= a(–3) +(–5)
= a–5
= a0 +(–5)
am·an = am+n
(1)当m，n分别为正整数和负整数时，
(2)当m，n均为负整数时，
(3)当m，n分别为零和负整数时，
对于m，n是任意整数的情形仍然适用.
探 究
类似地，用负整数指数幂或 0 指数幂对其他四个正整数指数幂的运算性质进行尝试.
例如：
(a–3)2
= a–6
= a(–3)×2
(ab)–3
= a–3 · a–3
a–2÷a –4
= a2
= a(–2) – (–4)
即，整数指数幂有以下运算性质：
① am·an = am+n (m，n是整数)
② (am)n = amn (m，n是整数)
③ (ab)n = anbn (n是整数)
④ am÷an = am–n (a ≠ 0，m，n是整数)
⑤ (n是整数)
归纳
例1 计算：(1) a–2÷a5；
(3) (a–1b2)3；
(4) a–2b2·(a2b–2)–3.
解：(1) a–2÷a5
= a–2 – 5
= a–7
(3) (a–1b2)3
= a–3b6
(4) a–2b2·(a2b–2)–3
= a–2b2·a–6b6
= a–8b8
整式指数幂的运算结果一般用正整数指数幂来表示.
由于负整数指数的出现，使得：
方法
am÷an = am·a–n = am–n
除法
乘法
转化
同底数幂的：
商的乘方
积的乘方
转化
于是，整数指数幂的运算性质可以归结为：
(1) am·an = am+n (m，n是整数)
(2) (am)n = amn (m，n是整数)
(3) (ab)n = anbn (n是整数)
1. 填空：
【教材P161练习 第1题】
（1）30 = ____，3–2 = ____；
（2）(– 3)0 = ____， (– 3)–2 = ____；
（3）b0 = ____，b–2 = ____ .
1
1
1
2. 计算：
【教材P161练习 第2题】
(1) x2y–3·(x–1y)3；
(2) (2ab2c–3)÷(a–2b)3.
解：(1)原式 = x2y–3·x–3y3
(2)原式 = (2ab2c–3)·(a–2b)–3
= 2ab2c–3·a6b–3
= x–1y0
= 2a7b–1c–3
知识点1 负整数指数幂
1.［2025石家庄期末］ 可以表示为( )
D
A. B.
C. D.
返回
2.［2025大连期末］计算 的结果是( )
C
A.27 B. C. D.
返回
3.下列运算结果最大的是( )
B
A. B. C. D.
返回
4.若有意义，则 的取值范围是_______.
返回
5.计算：
（1）［2024重庆中考］ ___;
（2）［2024浙江中考］ ___.
3
7
返回
负整数指数幂
整数指数幂的运算性质
一般地，当 n 是正整数时，
(1) am·an = am+n (m，n是整数)
(2) (am)n = amn (m，n是整数)
(3) (ab)n = anbn (n是整数)
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
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