资源简介

(共40张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：18.4.2 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数
副标题：精准把握规律 规范表示微小数值
背景图：以微观世界数值链为背景，展示纳米、微米等微小单位的数值，用箭头指向对应的科学记数法表示形式，体现知识的实际应用场景
幻灯片 2：目录
科学记数法的回顾与拓展
绝对值小于 1 的数的科学记数法定义
确定指数\(n\)的方法与技巧
科学记数法与原数的互化
实例解析与步骤归纳
易错点辨析与注意事项
课堂练习巩固
课堂小结与作业布置
幻灯片 3：科学记数法的回顾与拓展
回顾较大数的科学记数法：
形式：对于大于 10 的数，可表示为\(a 10^n\)（其中\(1 \leq a < 10\)，\(n\)为正整数）。
示例：\(36000 = 3.6 10^4\)（\(n = 4\)，等于原数整数位数减 1）。
核心：通过移动小数点将原数转化为\(1 \leq a < 10\)的数，小数点移动的位数即为\(n\)的绝对值。
思考引入：
对于绝对值小于 1 的正数（如 0.0001、0.0025），能否用类似的形式表示？指数应如何确定？
类比推理：较大数小数点左移得\(a\)，指数为正；较小数小数点右移得\(a\)，指数应为负。
幻灯片 4：绝对值小于 1 的数的科学记数法定义
定义内容：
绝对值小于 1 的正数可以表示为\(a 10^{-n}\)，其中\(1 \leq a < 10\)，\(n\)是正整数。
解读：
\(a\)是整数位只有一位的正数（即\(1 \leq a < 10\)）。
\(n\)是正整数，其值等于原数中左起第一个非零数字前所有零的个数（包括小数点前的那个零）。
实例验证：
0.001：左起第一个非零数字是 “1”，它前面有 3 个零（包括小数点前的零），则\(0.001 = 1 10^{-3}\)。
0.000025：左起第一个非零数字是 “2”，前面有 5 个零，则\(0.000025 = 2.5 10^{-5}\)。
0.01203：左起第一个非零数字是 “1”，前面有 2 个零，则\(0.01203 = 1.203 10^{-2}\)。
幻灯片 5：确定指数\(n\)的方法与技巧
方法一：零的计数法：
数出原数中左起第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前的零），这个数就是\(n\)。
示例：0.00000789
左起第一个非零数字是 “7”，前面有 6 个零（0.00000789 中 “7” 前的 0），则\(n = 6\)，表示为\(7.89 10^{-6}\)。
方法二：小数点移动法：
将原数的小数点向右移动，直到得到一个满足\(1 \leq a < 10\)的数，小数点移动的位数就是\(n\)。
示例：0.00205
小数点右移 3 位得到\(2.05\)（满足\(1 \leq 2.05 < 10\)），移动了 3 位，则\(n = 3\)，表示为\(2.05 10^{-3}\)。
技巧总结：
“左零个数即\(n\)，右移几位\(n\)是几”，两种方法可交叉验证，确保\(n\)的准确性。
幻灯片 6：科学记数法与原数的互化
科学记数法化为原数：
规则：对于\(a 10^{-n}\)，将\(a\)的小数点向左移动\(n\)位，位数不足时补零。
示例：
\(3.6 10^{-4}\)：将\(3.6\)的小数点左移 4 位，得\(0.00036\)。
\(5.02 10^{-2}\)：将\(5.02\)的小数点左移 2 位，得\(0.0502\)。
原数化为科学记数法：
步骤：
确定\(a\)：右移小数点至\(1 \leq a < 10\)。
确定\(n\)：记录小数点移动位数，即为\(n\)。
写出形式：\(a 10^{-n}\)。
示例：0.000000123 → 右移 7 位得\(1.23\)，则表示为\(1.23 10^{-7}\)。
幻灯片 7：实例解析与步骤归纳
例 1：用科学记数法表示下列各数：
（1）0.00003 （2）0.000000089 （3）0.01005
解析：
（1）0.00003：右移 5 位得\(3\)，\(n = 5\)，表示为\(3 10^{-5}\)。
（2）0.000000089：右移 8 位得\(8.9\)，\(n = 8\)，表示为\(8.9 10^{-8}\)。
（3）0.01005：右移 2 位得\(1.005\)，\(n = 2\)，表示为\(1.005 10^{-2}\)。
例 2：将下列科学记数法表示的数化为原数：
（1）\(2.5 10^{-3}\) （2）\(7.01 10^{-6}\)
解析：
（1）小数点左移 3 位：\(2.5 0.0025\)。
（2）小数点左移 6 位：\(7.01 0.00000701\)。
步骤归纳：
原数→科学记数法：找\(a\)（右移小数点）→定\(n\)（移动位数）→写形式\(a 10^{-n}\)。
科学记数法→原数：按\(n\)左移\(a\)的小数点→补零完成转化。
幻灯片 8：易错点辨析与注意事项
易错点 1：\(n\)的计数错误：
错误示例：0.0025 写成\(2.5 10^{-2}\)（漏算小数点前的零，正确\(n = 3\)，应为\(2.5 10^{-3}\)）。
辨析：左起第一个非零数字前的零包括小数点前的 “0”，需完整计数。
易错点 2：\(a\)的取值错误：
错误示例：0.0006 写成\(60 10^{-5}\)（\(a = 60\)不满足\(1 \leq a < 10\)，正确应为\(6 10^{-4}\)）。
辨析：\(a\)必须是整数位只有一位的数，即\(1 \leq a < 10\)，不可多位数。
易错点 3：小数点移动方向错误：
错误示例：\(4.3 10^{-2}\)化为原数时右移 2 位得\(430\)（应左移，正确为\(0.043\)）。
辨析：负指数表示原数小于 1，小数点需向左移动，正指数才向右移动。
注意事项：
带有单位的数需先统一单位再表示（如 1 微米\(=0.000001\)米\(=1 10^{-6}\)米）。
结果需保留原数的有效数字（如 0.00120 写成\(1.20 10^{-3}\)，不可省略末尾的 0）。
幻灯片 9：课堂练习巩固
基础题：
用科学记数法表示：0.0004 = ____；0.0000056 = ____。
将科学记数法化为原数：\(3.1 10^{-4}\) = ____；\(8.02 10^{-5}\) = ____。
提升题：
3. 比较大小：\(2.5 10^{-3}\)与\(3.6 10^{-4}\)（提示：转化为原数或统一指数比较）。
4. 一个纳米粒子的直径约为 0.00000025 米，用科学记数法表示为____米。
综合题：
5. 已知某种细菌的长度为\(5 10^{-6}\)米，求 1000 个这样的细菌首尾相连的总长度（用科学记数法表示）。
幻灯片 10：课堂小结
知识总结：
绝对值小于 1 的数的科学记数法形式：\(a 10^{-n}\)（\(1 \leq a < 10\)，\(n\)为正整数）。
\(n\)的确定：左起第一个非零数字前所有零的个数（或小数点右移的位数）。
互化方法：原数化科学记数法右移定\(a\)和\(n\)；科学记数法化原数左移小数点补零。
方法提炼：
记忆口诀：“小数值，科学记，\(a\)在 1 到 10；左零个数是\(n\)，指数为负要牢记；左移小数点，补零得原数，转化不费力”。
幻灯片 11：作业布置
必做题：
课本第 [X] 页练习题第 4、5 题。
用科学记数法表示：0.0000000031；0.002008。
将下列数化为原数：\(5.06 10^{-3}\)；\(9.8 10^{-7}\)。
选做题：
课本第 [X] 页习题 18.4 第 4、6 题。
已知\(1\)米\(=10^9\)纳米，那么\(1\)纳米\(=\)____米（用科学记数法表示）。
拓展题：
若一个正方形的边长为\(2 10^{-3}\)米，求它的面积（用科学记数法表示）。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
18.5.1分式方程及其解法
第十八章 分式
理解分式方程的意义，掌握解分式方程的一般方法和步骤.
理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程中验根的方法.
一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行 90 km 所用的时间，与以最大航速逆流航行 60 km 所用的时间相等，江水的流速为多少？
等量关系
v顺流 = v静水 + v水流
v逆流 = v静水 – v水流
如果设江水的流速为 v km / h：
速度(km/h) 路程(km) 时间(h) 等量关系式
顺流
逆流 30 + v
30 – v
90
60
仔细观察这个方程，其未知数的位置有什么特点？
知识点1 分式方程的概念
分母中含未知数的方程叫作分式方程.
这些方程有什么共同特征？
*我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中.
（1）是方程——含有未知数的等式；
（2）是分式——分母中含有未知数.
提炼
分式方程必须满足的条件：
知识点2 分式方程的解法
如何解方程 ？
思 考
（1）如何把它转化为整式方程？
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？
（4）这样做的依据是什么？
解分式方程最关键的问题是什么？
整式方程
转化
各个分母的最简公分母
等式的性质2
去分母
方程两边同乘各分母的最简公分母：(30 + v)(30 – v)
得
解得 v = 6
检验：将 v = 6 代入原方程中，左边 = 2.5 = 右边，因此 v=6 是原方程的解.
90(30 – v) = 60(30 + v)
解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母，这也是解分式方程的一般方法.
结
小
纳
归
解下列方程：
【教材P166练习第(1)(2)题】
最简公分母：x(x – 2)
解：去分母，得
解得 x = – 5
检验：将 x = – 5 代入原方程中，左边 = – 1 = 右边，因此 x = – 5 是原方程的解.
5(x – 2) = 7x
最简公分母：(x + 3)(x – 1)
解：去分母，得
解得 x = 5
检验：将 x = 5 代入原方程中，左边 = 0.25 = 右边，因此 x = 5 是原方程的解.
2(x – 1) = x + 3
解：在方程两边乘最简公分母_____________，
去分母，得 x + 5 = 10
解得 x = 5
(x – 5)(x + 5)
x = 5是①的解吗？
检验：将 x = 5 代入①，分母 x – 5 和 x2 – 25 的值都为 0，相应的分式无意义.
因此 x = 5 虽然是整式方程②的解，但不是分式方程①的解. 此分式方程无解.
①
②
比较解上面两个分式方程的过程，为什么分式方程①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而分式方程②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？
思 考
最简公分母
解
结论
(x – 5)(x + 5)
(30 + v)(30 – v)
x = 5
v = 6
所得整式方程的解不是②的解
所得整式方程的解与①的解相同
回代结果≠0
回代结果= 0
x = 5 是分式方程的增根
一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验:
归纳
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
解：方程两边乘 x(x – 3)，得
2x = 3x – 9
解得 x = 9
检验：
当 x = 9时， x(x – 3) ≠ 0，
所以，原分式方程的解为 x = 9.
例1 解方程
例2 解方程
解：方程两边乘 (x – 1)(x + 2)，得
x(x + 2) – (x – 1)(x + 2) = 3
解得 x = 1
检验：
当x = 1时，(x – 1)(x + 2) = 0
所以，原分式方程无解.
因此， x = 1不是原分式方程的解.
分式方程
去分母
整式方程
解整式方程
x = m
检验
x = m 是分式方程的解
归纳
x = m 不是分式方程的解
最简公分母不为0
最简公分母为0
目标
解分式方程的一般过程：
解下列方程：
【教材P166练习第(3)~(6)题】
解：方程两边乘 2x(x + 3)，得
x + 3 = 4x
解得 x = 1
检验：
当 x = 1 时， 2x(x + 3) ≠ 0，
所以，原分式方程的解为 x = 1.
解：方程两边乘 3(x + 1)，得
3x = 2x + 3x + 3
解得 x =
检验：
当 x = 时， 3(x + 1) ≠ 0，
所以，原分式方程的解为 x = .
解：方程两边乘 (x – 1)(x + 1)，得
2(x + 1) = 4
解得 x = 1
检验：
当 x = 1 时， (x – 1)(x + 1) = 0，
所以，原分式方程无解.
解：方程两边乘 x(x – 1)(x + 1) ，得
5(x – 1) – (x + 1)= 0
解得 x =
检验：
当 x = 时， x(x – 1)(x + 1) ≠ 0，
所以，原分式方程的解为 x = .
1. 解下列方程：
【教材P169习题18.5 第1题】
解：(1)方程两边乘 x(x + 3)，得
x + 3 = 5x
解得 x =
检验：
当 x = 时， x(x + 3) ≠ 0，
所以，原分式方程的解为 x = .
解：(2)方程两边乘 2(x – 1)，得
2x = 3 – 4(x – 1)
解得 x =
检验：
当 x = 时， 2(x – 1) ≠ 0，
所以，原分式方程的解为 x = .
解：(3)方程两边乘 (2x + 1)(2x – 1) ，得
2(2x + 1) = 4
解得 x =
检验：
当 x = 时， (2x + 1)(2x – 1) = 0，
所以，原分式方程无解.
解：(4)方程两边乘 x(x + 2)(x – 2) ，得
3(x – 2) – (x + 2) = 0
解得 x = 4
检验：
当 x = 4 时， x(x + 3) ≠ 0，
所以，原分式方程的解为 x = 4.
解：(5)方程两边乘 (x – 1)(x – 3)，得
x(x – 1) = (x + 1)(x – 3)
解得 x = – 3
检验：
当 x = – 3 时， (x – 1)(x – 3) ≠ 0，
所以，原分式方程的解为 x = – 3.
解：(6)方程两边乘 (x – 2)，得
x – 3 + x – 2 = – 3
解得 x = 1
检验：
当 x = 1 时， x – 2 ≠ 0，
所以，原分式方程的解为 x = 1.
解：(7)方程两边乘 6x(x + 1)，得
6(2x + 1) = 5x
解得 x =
检验：
当 x = 时， 6x(x + 1) ≠ 0，
所以，原分式方程的解为 x = .
解：(8)方程两边乘 2(3x – 1)，得
3(3x – 1) – 2 = 5
解得 x =
检验：
当 x = 时， 2(3x – 1) ≠ 0，
所以，原分式方程的解为 x = .
知识点1 分式方程的概念
1.下列式子中，属于分式方程的是( )
C
A. B. C. D.
返回
2. 请利用式子1，， ，5组成一个分式方程：
________________________.
（答案不唯一）
返回
知识点2 分式方程的解法
3.化分式方程 为整式方程时，方程两边同乘的最简公分母是
( )
C
A. B.
C. D.
返回
4.将分式方程 化为整式方程，正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
5.［2024无锡中考］分式方程 的解是( )
A
A. B. C. D.
返回
6.［2025怀化期末］若关于的分式方程的解是，则
___.
1
返回
1. 分式方程：分母中含未知数的方程叫作分式方程.
2. 分式方程的解法：
分式方程
去分母
整式方程
求解
x = m
x = m 是分式方程的解
目标
最简公分母不为0
检验
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
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