资源简介

(共42张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：18.5.2 列分式方程解决实际问题
副标题：聚焦实际场景 掌握建模解题方法
背景图：以生活场景拼图为背景，包含工程施工、行程问题、销售利润等场景插图，每个场景标注对应的等量关系关键词，体现数学与实际生活的联系
幻灯片 2：目录
列分式方程解应用题的步骤
常见实际问题类型及等量关系
行程问题建模与求解
工程问题建模与求解
销售与增长率问题建模与求解
实例解析与技巧归纳
易错点警示与检验要点
课堂练习巩固
课堂小结与作业布置
幻灯片 3：列分式方程解应用题的步骤
核心步骤：
审题：明确题意，找出已知量、未知量，确定问题类型（如行程、工程等）。
设元：设未知数（直接设元或间接设元），用含未知数的代数式表示相关量。
找等量关系：根据题目中的关键词句（如 “相等”“几倍”“提前” 等）建立等量关系。
列方程：根据等量关系列出分式方程。
解方程：按分式方程解法求解，得到未知数的值。
双检验：
检验解是否为分式方程的增根（代入最简公分母）。
检验解是否符合实际意义（如时间、长度、人数等不能为负）。
写答语：根据检验结果，写出符合实际的答案。
步骤图示：
审题→设元→找等量关系→列方程→解方程→双检验→写答语
幻灯片 4：常见实际问题类型及等量关系
行程问题：
基本公式：路程\(=\)速度\( \)时间（\(s = v t\)），变形：速度\(v = \frac{s}{t}\)，时间\(t = \frac{s}{v}\)。
常见等量关系：
相遇问题：甲路程\(+\)乙路程\(=\)总路程。
追及问题：快者路程\(-\)慢者路程\(=\)初始距离。
顺逆水问题：顺水速度\(=\)静水速度\(+\)水流速度；逆水速度\(=\)静水速度\(-\)水流速度。
工程问题：
基本公式：工作量\(=\)工作效率\( \)工作时间（\(w = p t\)），变形：工作效率\(p = \frac{w}{t}\)，工作时间\(t = \frac{w}{p}\)。
常见等量关系：
合作效率\(=\)各部分效率之和。
甲工作量\(+\)乙工作量\(=\)总工作量（通常设总工作量为 1）。
销售与增长率问题：
基本公式：利润\(=\)售价\(-\)成本；增长率\(=\frac{ é é }{ é } 100\%\)。
常见等量关系：
售价\(=\)进价\( (1 +\)利润率\()\)。
前后销量关系：原销量\( (1 +\)增长率\()=\)新销量。
幻灯片 5：行程问题建模与求解
例 1：相遇与追及问题：
问题：甲、乙两地相距 120 千米，一辆客车从甲地开往乙地，行驶 2 小时后，一辆货车从乙地开往甲地，货车速度是客车速度的\(\frac{3}{4}\)，两车相遇时客车比货车多行驶 30 千米，求客车和货车的速度。
解析：
设元：设客车速度为\(x\)千米 / 小时，则货车速度为\(\frac{3}{4}x\)千米 / 小时。
找等量关系：客车行驶总路程\(-\)货车行驶路程\(= 30\)千米；客车行驶时间\(=\)货车行驶时间\(+ 2\)小时。
列方程：设货车行驶时间为\(t\)小时，则客车行驶时间为\(t + 2\)小时，\(x(t + 2) + \frac{3}{4}x ·t = 120\)，且\(x(t + 2)-\frac{3}{4}x ·t = 30\)，联立化简得\(\frac{120 + 30}{2x}-\frac{120 - 30}{\frac{3}{4}x}=2\)。
解方程：解得\(x = 30\)，经检验\(x = 30\)是原方程的解且符合题意。
答：客车速度为 30 千米 / 小时，货车速度为 22.5 千米 / 小时。
幻灯片 6：工程问题建模与求解
例 2：合作完工问题：
问题：一项工程，甲单独做需 10 天完成，乙单独做需 15 天完成，现甲先做 2 天后，甲乙合作完成剩余工程，求合作还需多少天完成。
解析：
设元：设合作还需\(x\)天完成，总工作量为 1。
找等量关系：甲单独工作量\(+\)甲乙合作工作量\(= 1\)。
列方程：甲效率为\(\frac{1}{10}\)，乙效率为\(\frac{1}{15}\)，则\(\frac{2}{10}+(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})x = 1\)。
解方程：化简得\(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}x = 1\)，解得\(x = \frac{24}{5}=4.8\)。
检验：\(x = 4.8\)是原方程的解，且天数为正数符合实际。
答：合作还需 4.8 天完成。
例 3：效率变化问题：
问题：某车间加工一批零件，原计划每天加工 15 个，若干天完成，实际每天多加工 5 个，结果提前 2 天完成，求这批零件的总数。
解析：
设元：设原计划\(x\)天完成，则零件总数为\(15x\)个。
等量关系：原计划时间\(-\)实际时间\(= 2\)天。
列方程：\(x-\frac{15x}{15 + 5}=2\)。
解方程：解得\(x = 8\)，零件总数\(15 8 = 120\)个。
检验：符合题意，答：零件总数为 120 个。
幻灯片 7：销售与增长率问题建模与求解
例 4：利润问题：
问题：某商店销售一种服装，进价为每件 40 元，售价为每件 60 元，每月可卖出 300 件，若每件降价 1 元，每月可多卖出 20 件，为使每月利润达到 6120 元，每件服装应降价多少元？
解析：
设元：设每件服装降价\(x\)元，则售价为\(60 - x\)元，销量为\(300 + 20x\)件。
等量关系：每件利润\( \)销量\(=\)总利润。
列方程：\((60 - x - 40)(300 + 20x)=6120\)，化简得\((20 - x)(300 + 20x)=6120\)。
解方程：整理为\(x^2 - 5x + 6 = 0\)，解得\(x_1 = 2\)，\(x_2 = 3\)。
检验：均为原方程解，且降价金额为正数，符合实际。
答：每件服装应降价 2 元或 3 元。
幻灯片 8：实例解析与技巧归纳
例 5：综合应用问题：
问题：A、B 两地相距 48 千米，一艘轮船从 A 地顺流航行至 B 地，又立即从 B 地逆流返回 A 地，共用去 9 小时，已知水流速度为 4 千米 / 小时，求轮船在静水中的速度。
解析：
设元：设轮船静水速度为\(x\)千米 / 小时，则顺水速度为\(x + 4\)，逆水速度为\(x - 4\)。
等量关系：顺流时间\(+\)逆流时间\(= 9\)小时。
列方程：\(\frac{48}{x + 4}+\frac{48}{x - 4}=9\)。
解方程：两边乘\((x + 4)(x - 4)\)得\(48(x - 4)+48(x + 4)=9(x^2 - 16)\)，化简得\(x^2 - \frac{32}{3}x - 16 = 0\)，解得\(x = 12\)（负根舍去）。
检验：\(x = 12\)使公分母不为 0，且静水速度大于水流速度，符合实际。
答：轮船静水速度为 12 千米 / 小时。
技巧归纳：
设元技巧：优先设直接未知数，复杂问题可设间接未知数（如设时间求速度）。
等量关系寻找：关注 “比”“是”“多”“少”“快”“慢” 等关键词，结合公式推导。
单位统一：确保所有量的单位一致（如速度单位为千米 / 小时，时间单位为小时）。
幻灯片 9：易错点警示与检验要点
易错点 1：等量关系错误：
错误示例：工程问题中误将 “甲效率\( \)乙效率” 当作合作效率（正确应为 “甲效率\(+\)乙效率”）。
警示：牢记基本公式，明确和、差、积、商的实际意义。
易错点 2：单位不统一：
错误示例：速度单位为千米 / 小时，时间单位用分钟，未换算导致结果错误。
警示：列方程前统一所有量的单位，确保一致性。
易错点 3：忽视实际意义检验：
错误示例：解得时间为负数或速度小于水流速度，未舍弃仍作为答案。
检验要点：
解是否为正数（时间、长度、数量等）。
速度、效率等是否符合实际逻辑（如静水速度 > 水流速度）。
销量、人数等是否为整数（根据题意判断）。
幻灯片 10：课堂练习巩固
基础题：
甲、乙两人加工同一种零件，甲每小时比乙多加工 5 个，甲加工 120 个零件与乙加工 100 个零件所用时间相等，求甲、乙每小时各加工多少个零件。
一项工程，单独做甲需 15 天，乙需 10 天，两人合作几天可完成工程的一半？
提升题：
3. 某商店购进一批商品，进价为每件 20 元，售价为每件 30 元，每天可卖出 200 件，若售价每降低 1 元，每天可多卖出 20 件，要使每天利润为 2160 元，售价应降低多少元？
4. 一艘船在静水中速度为 20 千米 / 小时，顺流航行 3 小时的路程与逆流航行 4 小时的路程相等，求水流速度。
综合题：
5. A、B 两地相距 180 千米，新修的高速公路开通后，在 A、B 两地间行驶的长途客车平均车速提高了 50%，从 A 地到 B 地的时间缩短了 1 小时，求原来的平均车速。
幻灯片 11：课堂小结
知识总结：
列分式方程解应用题步骤：审题→设元→找等量关系→列方程→求解→双检验→答语。
常见题型等量关系：行程问题（\(s = vt\)）、工程问题（\(w = pt\)）、销售问题（利润 = 售价 - 成本）。
关键原则：方程解需同时满足分式方程有意义和实际问题合理性。
方法提炼：
解题口诀：“实际问题不难解，审题分析是开端；等量关系是核心，设元列方程要准；解完检验双保险，实际意义不能偏；规范步骤写答语，解决问题乐无边”。
幻灯片 12：作业布置
必做题：
课本第 [X] 页练习题第 1、2、3 题。
某工厂计划生产一批零件，原计划每天生产 20 个，15 天完成，实际每天多生产 5 个，实际多少天完成？
选做题：
课本第 [X] 页习题 18.5 第 4、6 题。
甲、乙两人分别从距目的地 6 千米和 10 千米的两地同时出发，甲、乙速度比为 3:4，结果甲比乙提前 20 分钟到达目的地，求甲、乙的速度。
拓展题：
某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品每件进价 15 元，售价 20 元；乙种商品每件进价 35 元，售价 45 元，若该商场同时购进甲、乙两种商品共 100 件，恰好用去 2700 元，求能获得的最大利润（利润 = 售价 - 进价）。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
18.5.2列分式方程解决实际问题
第十八章 分式
进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程.
运用分式方程解决实际应用问题时，会合理设未知数，找出等量关系并列出方程.
你能说出实际应用中存在哪些常见的数量关系吗？
行程问题
路程 = 速度×时间
工作量=工作效率×工作时间，
合作效率=各自单独完成任务的效率和.
工程问题
利润 = 售价 – 进价，利润 = 进价×利润率，
销售额 = 销售量×单价.
销售问题
例 3　两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成. 哪个队的施工速度快？
探究1 工程问题
甲队工作总量 + 乙队工作总量 =“1”
问题中的哪个等量关系可以用来列方程？
工作时间/月 工作效率 工作总量
甲队
乙队
设乙队单独完成这项工程需要 x 月.
甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一
两队又共同工作了半个月
甲队工作总量 + 乙队工作总量 =“1”
解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的 ，记总工程量为 1，根据工程的实际进度，得
方程两边乘 6x，得
解得 x = 1.
检验：当 x = 1 时，6x ≠ 0.
所以，原分式方程的解为 x = 1.
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的，可知乙队的施工速度快.
注意：分式方程的解需要检验
2x + x + 3 = 6x.
分析：甲队1个月完成总工程的____，
那么甲队半个月完成总工程的____，
设乙队的单独施工1个月能完成总工程____，
乙队半个月完成总工程____，
两队半个月完成总工程的________.
思考
本题的等量关系还可以怎么找？
甲队单独完成的工作量 + 两队合作完成的工作量 =“1”
工程问题中的基本关系：
解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于1
常从工作量和工作时间上考虑相等关系.
工作总量 = 工作效率×工作时间
合作效率 = 各自单独完成任务的效率和
总工作量 = 各部分工作量之和
归纳
探究2 行程问题
这里的字母 v，s 表示已知数据
例4 某次列车平均提速 v km/h. 在相同的时间内，列车提速前行驶 s km，提速后比提速前多行驶 50 km，提速前列车的平均速度为多少？
表达问题时，用字母不仅可以表示未知数(或未知量)，也可以表示已知数(或已知量)
时间/m 速度/(km/h) 路程/km
提速前
提速后
列车提速前行驶 s km，提速后比提速前多行驶 50 km
平均提速 v km/h
s
s + 50
x
v + x
设提速前列车的平均速度为 x km/h
等量关系
解：设提速前这次列车的平均速度为 x km/h，
则提速前它行驶 s km 所用时间为 h；提速后列车的平均速度为 (x + v) km/h，提速后它行驶 (s + 50) km 所用时间为 h.
方程两边乘 x(x + v) ，得
解得 x =
s(x + v) = x(s + 50).
根据行驶时间的相等关系，得
检验：当 x = 时， x(x + v) ≠ 0.
所以，原分式方程的解为 x =
答：提速前列车的平均速度为 km/h．　
用字母表示已知数据的形式，在分析问题寻找规律时经常出现. 其中根据 v，s 所表示的实际意义可知，它们是正数.
行程问题中的注意事项：
归纳
1. 注意关键词“提速”与“提速到”的区别；
2. 把两个“主人公”行程问题中的三个量用代数式表示出来；
3. 行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程.
练习
某地发生雪灾，一些电线被雪压断，供电局的维修队要到 30 km 远的郊区进行抢修，维修人员骑摩托车先行，15 min 后抢修车装载着所需材料出发，结果两车同时到达抢修点，已知抢修车的速度是摩托车速度的 1.5 倍，求这两种车的速度.
路程/km 速度/(km/h) 时间/h
摩托车
抢修车
摩托车先行，15 min 后抢修车出发，两车同时到达
设摩托车的速度为 x km/h
30
30
x
1.5x
到 30 km 远的郊区进行抢修
抢修车的速度是摩托车速度的 1.5 倍
摩托车行驶时间 = 抢修车行驶时间 + 15 min
解：设摩托车的速度为 x km/h，则抢修车的速度为 1.5x km/h.
方程两边乘 60x，得
解得 x = 40.
检验：当 x = 40 时，60x ≠ 0.
所以，原分式方程的解为 x = 40.
答：摩托车的速度为 40 km/h，抢修车的速度为 60 km/h.
1800 = 1200 + 15x.
根据题意，得
所以 1.5x = 60.
某自行车行经营的某款自行车去年销售总额为8万元，今年该款自行车每辆售价预计比去年降低 200 元. 若该款自行车的销售数量与去年相同，则今年的销售总额将比去年减少 10%. 去年该款自行车每辆售价为多少元？
探究3 销售问题
设去年该款自行车每辆售价为 x 元
售价/元 销量/辆 销售额/元
去年
今年
今年的销售总额将比去年减少 10%
80000
80000×(1 – 10%)
x
x – 200
去年销售总额为 8 万元
今年该款自行车每辆售价预计比去年降低 200 元
该款自行车的销售数量与去年相同
等量关系
解：设去年该款自行车每辆售价为 x 元，则今年该款自行车每辆售价为 (x – 200) 元.
方程两边乘 x(x – 200)，得
解得 x = 2000.
检验：当 x = 2000 时， x(x – 200) ≠ 0.
所以，原分式方程的解为 x = 2000.
答：去年该款自行车每辆售价为 2000 元.
80000(x – 200) = 80000x(1 – 10%).
根据题意，得
销售问题中的基本关系：
归纳
利润 = 售价 – 进价
利润 = 进价 × 利润率
销售额 = 销售量 × 单价
3. 八年级学生去距学校 30 km 的中国人民抗日战争纪念馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了 5 min，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达. 已知中巴的平均速度是大巴平均速度的 1.2 倍，求大巴的平均速度.
【教材P168练习 第1题】
解：设大巴的平均速度是 x km/h，则中巴的平均速度是 1.2x km/h.
由题意，得 .
方程两边乘 60x，得 1800 – 5x = 1500
解得 x = 60.
检验：当 x = 60 时，60x ≠ 0.
所以 x = 60 是原方程的解.
答：大巴的平均速度为 60 km/h.
4. 甲、乙二人做某种机械零件. 已知甲每小时比乙多做 6 个，甲做 90 个所用的时间与乙做 60 个所用的时间相等. 求甲、乙每小时各做零件多少个.
【教材P168练习 第2题】
解：设乙每小时做 x 个零件，则甲每小时做
(x + 6) 个零件.
由题意，得 .
方程两边乘 x(x + 6)，得 90x = 60(x + 6)
解得 x = 12.
检验：当 x = 12 时， x(x + 6) ≠ 0.
所以 x = 12 是原方程的解. 所以 x + 6 = 18.
答：甲每小时做 18 个零件，乙每小时做 12 个零件.
2. 解下列关于 x 的方程：
综合运用
【教材P169习题18.5 第2题】
解：(1)方程两边乘 x – 1，得
1 + a(x – 1) = x – 1，
因为 a ≠ 1，所以 a – 1 ≠ 0.
检验：当 x = 时，
所以，原分式方程的解为 x =
即 (a – 1)x = a – 2.
所以 x =
解：(2)方程两边乘 x(x + 1)，得
m(x + 1) – x = 0，
因为 m ≠ 1，所以 1 – m ≠ 0.
检验：当 x = 时，
所以，原分式方程的解为 x =
即 (1 – m)x = m.
所以 x =
因为m ≠ 0 且 m ≠ 1，所以 x(x + 1) ≠ 0.
【教材P169习题18.5 第3题】
3. 甲、乙两人分别从距目的地 6 km 和 10 km 的两地同时出发，甲、乙的平均速度比是 3∶4，结果甲比乙提前 20 min 到达目的地. 求甲、乙的平均速度.
解：设甲的平均速度是 3x km/h，乙的平均速度是 4x km/h.
由题意，得 .
解得 x = 1.5.
经检验， x = 1.5 是原方程的解.
所以 3x = 4.5，4x = 6.
答：甲的平均速度是 4.5 km/h，乙的平均速度是 6 km/h.
4. A，B 两种机器都被用来搬运化工原料，A 型机器比 B 型机器每小时多搬运 30 kg，A 型机器搬运 900 kg 所用时间与 B 型机器搬运 600 kg 所用时间相等，两种机器每小时分别搬运多少化工原料？
【教材P169习题18.5 第4题】
解：设B型机器每小时搬运 x kg 化工原料，则A型机器每小时搬运 (x + 30) kg 化工原料.
由题意，得 .
解得 x = 60.
经检验， x = 60 是原方程的解.
所以 x + 30 = 90.
答：A、B两种机器每小时分别搬运 90 kg，60 kg 化工原料.
5. 王芳 3 h 清点完一批图书的一半，刘伟加入清点另一半图书的工作，两人合作 1.2 h 清点完另一半图书. 刘伟单独清点这批图书需要几小时？
【教材P169习题18.5 第5题】
解：设刘伟单独清点这批图书需要 x h，则刘伟的工作效率为
根据题意得王芳的工作效率为
所以 解得 x = 4.
经检验， x = 4 是原方程的解.
答：刘伟单独清点这批图书需要 4 h.
【教材P169习题18.5 第6题】
6. 一个圆柱形容器的容积为 V m3，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管 2 倍的大水管注水，向容器中注满水的全过程共用时间 t min. 求两根水管各自的注水速度. (提示:要考虑大水管的注水速度是小水管注水速度的多少倍.)
解：设小水管的注水速度是 x m3/min.
因为大水管的口径为小水管口径的 2 倍，所以大水管的横截面积是小水管横截面积的 4 倍，所以大水管的注水速度是 4x m3/min.
由题意，得
经检验， x = 是原方程的解.
答：小水管的注水速度是 m3/min ，大水管的注水速度是 m3/min.
拓广探索
7. 改良玉米品种后，迎春村玉米平均每公顷增加产量 a t，原来产 m t 玉米的一块土地，现在的总产量增加了20 t. 原来和现在平均每公顷玉米的产量各是多少？
【教材P169习题18.5 第7题】
解：设原来平均每公顷玉米的产量是 x t，
则现在平均每公顷玉米的产量是(x + a) t.
根据题意，得
解得 x =
经检验， x = 是原方程的解.
答：原来和现在平均每公顷玉米的产量分别为
8. 两个小组同时开始攀登一座 450 m 高的山，第一组的平均登高速度是第二组的 1.2 倍，他们比第二组早 15 min 到达顶峰. 两个小组的平均登高速度各是多少？如果山高为 h m，第一组的平均登高速度是第二组的 a 倍，并比第二组早 t min 到达顶峰，则两组的平均登高速度各是多少？
【教材P169习题18.5 第8题】
解：设第二组的平均登高速度是 x m/min，则第一组的平均登高速度是 1.2x m/min.
由题意，得 解得 x = 5.
经检验， x = 5 是原方程的解.
所以 1.2x = 1.2×5 = 6.
如果山高为 h m，设第二组的平均登高速度是 y m/min，则第一组的平均登高速度是 ay m/min.
由题意，得
经检验， 是原方程的解.
所以
答：第一组的平均登高速度是 6 m/min，第二组的平均登高速度是 5 m/min. 如果山高为 h m，则第一组的
平均登高速度是 m/min，第二组的平均登高速度是 m/min
列分式方程解决实际问题的一般步骤：
①审
②找
③设
④列
⑤解
⑥验
⑦答
审已知和未知
找等量关系
设未知数
列方程
解方程
验证是否符合实际意义
作答
验证是否为分式方程的解
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
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