资源简介

(共61张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：第十八章 分式 章末复习
副标题：梳理知识脉络 强化综合应用能力
背景图：以分式知识体系思维导图为背景，核心是 “分式”，向外辐射出概念、性质、运算、应用等分支，各分支标注关键知识点，体现本章知识的整体性与关联性
幻灯片 2：目录
本章知识结构梳理
核心知识点回顾
分式的概念与有意义条件
分式的基本性质与变形
分式的运算（乘除、加减、混合运算）
负整数指数幂与科学记数法
分式方程的解法与实际应用
典型例题解析
易错点汇总与规避技巧
综合练习巩固
章末总结与提升建议
幻灯片 3：本章知识结构梳理
知识框架图：
分式
├─ 分式的概念与基本性质
│ ├─ 分式的定义（分母含未知数）
│ ├─ 分式有意义、无意义、值为0的条件
│ └─ 分式的基本性质（约分、通分的依据）
├─ 分式的运算
│ ├─ 乘除运算（含乘方）：转化为乘法→约分
│ ├─ 加减运算：同分母直接加减，异分母先通分
│ └─ 混合运算：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内
├─ 整数指数幂
│ ├─ 负整数指数幂：a = 1/a （a≠0，n为正整数）
│ └─ 科学记数法：表示绝对值小于1的数（a×10 ）
└─ 分式方程
├─ 定义：分母含未知数的方程
├─ 解法：去分母→解整式方程→验根（双检验）
└─ 应用：行程、工程、销售等实际问题建模求解
学习目标：
理解分式的概念，掌握分式有意义的条件。
能运用分式的基本性质进行约分和通分。
熟练进行分式的四则运算及混合运算。
掌握负整数指数幂的运算及科学记数法的应用。
会解分式方程并能解决实际问题。
幻灯片 4：核心知识点回顾 —— 分式的概念与有意义条件
分式的定义：
形如\(\frac{A}{B}\)（\(A\)、\(B\)是整式，\(B\)中含有未知数且\(B 0\)）的式子叫做分式。
关键条件：
分式有意义：分母不为 0（\(B 0\)）。
分式无意义：分母为 0（\(B=0\)）。
分式值为 0：分子为 0 且分母不为 0（\(A=0\)且\(B 0\)）。
示例：
对于分式\(\frac{x - 2}{x + 3}\)：
有意义：\(x + 3 0 x -3\)。
无意义：\(x + 3=0 x=-3\)。
值为 0：\(x - 2=0\)且\(x + 3 0 x=2\)。
易错点：判断分式值为 0 时忽略分母不为 0 的条件，如误认为\(\frac{x - 4}{x - 2}\)值为 0 时\(x= ±2\)，实际\(x=2\)时分母为 0，故仅\(x=-2\)。
幻灯片 5：核心知识点回顾 —— 分式的基本性质与变形
基本性质：
分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。
用式子表示：\(\frac{A}{B}=\frac{A C}{B C}\)，\(\frac{A}{B}=\frac{A ·C}{B ·C}\)（\(C 0\)，\(A\)、\(B\)、\(C\)为整式）。
主要应用：
约分：约去分子和分母的公因式，化为最简分式（分子分母无公因式）。
步骤：因式分解→找公因式→约去公因式。
示例：\(\frac{x - 4}{x + 2}=\frac{(x + 2)(x - 2)}{x + 2}=x - 2\)（\(x -2\)）。
通分：把几个异分母分式化为与原来分式相等的同分母分式。
关键：确定最简公分母（各分母所有因式的最高次幂的积）。
示例：\(\frac{1}{x - 9}\)与\(\frac{1}{x + 3}\)的最简公分母为\((x + 3)(x - 3)\)，通分后为\(\frac{1}{(x + 3)(x - 3)}\)和\(\frac{x - 3}{(x + 3)(x - 3)}\)。
幻灯片 6：核心知识点回顾 —— 分式的运算
分式的乘除运算：
乘法法则：\(\frac{A}{B} \frac{C}{D}=\frac{A C}{B D}\)（分子乘分子，分母乘分母）。
除法法则：\(\frac{A}{B} ·\frac{C}{D}=\frac{A}{B} \frac{D}{C}=\frac{A D}{B C}\)（除以分式等于乘其倒数）。
乘方法则：\((\frac{A}{B})^n=\frac{A^n}{B^n}\)（分子分母分别乘方）。
步骤：因式分解→约分→运算→化简。
分式的加减运算：
同分母：\(\frac{A}{C} ±\frac{B}{C}=\frac{A ±B}{C}\)（分母不变，分子相加减）。
异分母：\(\frac{A}{B} ±\frac{C}{D}=\frac{AD ±BC}{BD}\)（先通分，再按同分母法则计算）。
混合运算顺序：
先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的运算；同级运算从左到右依次进行。
示例：计算\(\frac{x}{x - 1} ·\frac{x }{x - 1}-\frac{1}{x}\)
解析：\(\frac{x}{x - 1} \frac{(x + 1)(x - 1)}{x }-\frac{1}{x}=\frac{x + 1}{x}-\frac{1}{x}=\frac{x}{x}=1\)。
幻灯片 7：核心知识点回顾 —— 负整数指数幂与科学记数法
负整数指数幂：
定义：\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)（\(a 0\)，\(n\)为正整数）。
运算性质（与正整数指数幂统一）：
\(a^m a^n=a^{m + n}\)；\((a^m)^n=a^{mn}\)；\((ab)^n=a^n b^n\)（\(m\)、\(n\)为整数，\(a,b 0\)）。
示例：\(2^{-3}=\frac{1}{8}\)；\((\frac{2}{3})^{-2}=(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}\)；\(a^{-2} a^5=a^{3}\)。
科学记数法：
表示绝对值小于 1 的数：\(a 10^{-n}\)（\(1 ¤a<10\)，\(n\)为正整数，\(n\)等于左起第一个非零数字前所有零的个数）。
示例：0.000025=2.5×10 ；3.6×10 =0.00036。
幻灯片 8：核心知识点回顾 —— 分式方程的解法与实际应用
分式方程的解法：
去分母：方程两边同乘最简公分母，转化为整式方程。
解整式方程：按整式方程解法求解。
验根：
增根检验：代入最简公分母，若为 0 则是增根，原方程无解。
实际意义检验：解需符合实际场景（如时间、速度为正数）。
示例：解方程\(\frac{2}{x}=\frac{3}{x + 1}\)
去分母得\(2(x + 1)=3x\)，解得\(x=2\)，验根得\(x=2\)是原方程的解。
实际应用步骤：
审题：明确已知量、未知量及问题类型。
设元：设未知数，用代数式表示相关量。
列方程：根据等量关系列出分式方程。
求解与检验：解方程并双检验。
写答语：写出符合实际的答案。
常见题型：行程问题（\(s=vt\)）、工程问题（\(w=pt\)）、销售利润问题（利润 = 售价 - 成本）。
幻灯片 9：典型例题解析
例 1：分式的概念与性质：
问题：若分式\(\frac{x - 5x + 6}{x - 2}\)的值为 0，求\(x\)的值；若分式有意义，求\(x\)的取值范围。
解析：值为 0 时，\(x - 5x + 6=0\)且\(x - 2 0\)，解得\(x=3\)；有意义时，\(x - 2 0 x 2\)。
例 2：分式的混合运算：
问题：计算\((\frac{a }{a - b}+\frac{b }{b - a}) ·\frac{a + b}{ab}\)
解析：原式\(=(\frac{a - b }{a - b}) \frac{ab}{a + b}=(a + b) \frac{ab}{a + b}=ab\)。
例 3：负整数指数幂与科学记数法：
问题：计算\((-2)^{-2}+( - 3)^0 - (\frac{1}{3})^{-1}\)；用科学记数法表示 0.00000123。
解析：原式\(=\frac{1}{4}+1 - 3=-\frac{7}{4}\)；0.00000123=1.23×10 。
例 4：分式方程的应用：
问题：甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，已知 A、B 两地距离为 40 千米，甲的速度比乙快 2 千米 / 小时，4 小时后相遇，求甲、乙的速度。
解析：设乙速度为\(x\)千米 / 小时，则甲为\(x + 2\)，方程\(4x + 4(x + 2)=40\)，解得\(x=4\)，甲速度为 6 千米 / 小时，乙为 4 千米 / 小时。
幻灯片 10：易错点汇总与规避技巧
概念类易错点：
混淆分式与整式：判断\(\frac{x}{2}\)为分式（错误，是整式，分母无未知数）。
忽略分式有意义条件：求分式值时未考虑分母不为 0。
规避：紧扣分式定义，明确 “分母含未知数” 是核心特征，任何时候需保证分母不为 0。
运算类易错点：
分式乘除时漏乘分子或分母：\(\frac{a}{b} \frac{c}{d}=\frac{a c}{b}\)（漏乘分母\(d\)）。
异分母加减直接通分错误：通分时漏乘分子的某些项。
混合运算顺序错误：先算加减后算乘除。
规避：运算前明确法则，乘除运算分步约分，加减运算先确定公分母，严格遵循 “先乘方，再乘除，最后加减” 的顺序。
方程与应用类易错点：
解分式方程忘记验根：将增根作为解。
实际问题中单位不统一或等量关系错误。
规避：解分式方程必须验根，应用题需先统一单位，通过关键词句准确提炼等量关系，解后检验是否符合实际意义。
幻灯片 11：综合练习巩固
基础题：
若分式\(\frac{x - 1}{x + x - 2}\)有意义，则\(x\)的取值范围是____。
化简：\(\frac{x - 9}{x + 6x + 9} ·\frac{x - 3}{x + 3}=\)____。
解方程：\(\frac{3}{x - 1}=\frac{4}{x}\)。
提升题：
4. 计算：\((\frac{1}{a} - \frac{1}{b}) ·\frac{a - b }{ab}\)。
5. 用科学记数法表示 0.00000085，并将\(5.6 10^{-5}\)化为原数。
6. 某工厂原计划用\(x\)天生产 120 个零件，实际每天多生产 3 个，结果提前 2 天完成，求原计划每天生产多少个零件。
综合题：
7. 已知\(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}=3\)，求\(\frac{2x - 3xy - 2y}{x - 2xy - y}\)的值。
幻灯片 12：章末总结与提升建议
知识总结：
本章以分式的概念为起点，通过基本性质延伸出约分、通分，进而学习分式的四则运算和混合运算，结合负整数指数幂拓展了指数范围，最终应用于分式方程的求解与实际问题。
核心思想：转化思想（分式方程转化为整式方程，异分母分式转化为同分母分式）、类比思想（分式运算类比分数运算）。
提升建议：
强化基础：熟练掌握分式有意义的条件、基本性质及运算法则，确保基础题不丢分。
规范步骤：分式运算和方程求解过程中，严格按步骤进行，避免因步骤省略导致错误。
多练综合：加强分式与实际问题的结合练习，提高建模能力和等量关系提炼能力。
错题整理：针对易错点建立错题本，分析错误原因，定期回顾巩固。
寄语：分式是代数式运算的重要组成部分，其运算规律和方程思想在后续学习中应用广泛，扎实掌握本章知识，将为代数学习奠定坚实基础。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
章末复习
第十八章 分式
知识结构
分式
概念
基本性质
运算
分式方程
约分
通分
乘、除、乘方
加、减，及混合运算
整数指数幂
最简分式
知识回顾
知识点一 分式
一般地，如果 A，B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫作分式.
整式
整式
分式
A ÷ B =　
被除式÷除式 = 商
当______时，分式 有意义
当______时，分式 无意义
当 时，分式 值为0
B≠0
B=0
A=0，B≠0
分式的基本性质：分式的分母与分子乘（或除以）同一个不等于 0 的________，分式的值________.
最简分式：分子与分母没有公因式的分式.
约分：把一个分式的分子与分母的 ________ 约去.
通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式.
整式
公因式
知识点二 分式的基本性质
其中 A，B，C (C ≠ 0) 是整式.
不变
知识点三 分式的运算
先乘方，再乘除，然后加减. 若有括号，先算括号里面的.
加、减法：
乘、除法：
乘方：
混合运算：
知识点四 整数指数幂
负整数指数幂：
运算性质：
(1) am·an = am+n (m，n是整数)
(2) (am)n = amn (m，n是整数)
(3) (ab)n = anbn (n是整数)
a×10 – n (1 |a| < 10，n 是正整数)
科学记数法：
知识点五 分式方程及其应用
1. 分式方程：分母中含未知数的方程叫作分式方程.
2. 分式方程的解法：
分式方程
去分母
整式方程
求解
x = m
x = m 是分式方程的解
目标
最简公分母不为0
检验
1. 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
复习巩固
【教材P172复习题18 第1题】
分式：
整式：
2. 计算：
【教材P172复习题18 第2题】
(3)原式 = 2
3. 计算：
【教材P172复习题18 第3题】
解：(1)原式 = 6
4. 解下列方程：
【教材P172复习题18 第4题】
解得 x = – 1.
检验：当 x = – 1时， x(x + 1) = 0，所以原方程无解.
方程两边乘 x(x + 1)，得 5x + 2 = 3x，
解：(1)原方程化为
(2) 方程两边乘 (2x + 5)(2x – 5)，得
2x(2x + 5) – 2(2x – 5) = (2x + 5)(2x – 5) ，
检验：当 x = 时， (2x + 5)(2x – 5) ≠ 0，
所以 x = 是原方程的解.
5. x 满足什么条件时下列式子有意义？
【教材P172复习题18 第5题】
综合运用
6.填空:
（1）当 x 取什么值时，分式 的值为 0；
（2）当 x 取什么值时，分式 的值为正；
（3）当 x 取什么值时，分式 的值为负.
【教材P173复习题18 第6题】
7. 什么情况下 2(x + 1)-1 与 3(x – 2)-1 的值相等？
【教材P173复习题18 第7题】
解： 2(x + 1)-1 = 3(x – 2)-1，
检验：当 x = – 7时，(x + 1)(x – 2) ≠ 0.
2(x – 2) = 3(x + 1)，解得 x = – 7.
方程两边乘 (x + 1)(x – 2)，得
所以 x = – 7 时， 2(x + 1)-1 与 3(x – 2)-1的值相等.
8. （1）先化简，再求值：
【教材P173复习题18 第8题】
当 x 时，原式
（2）当 x = – 3.2 时，求
当 x = – 3.2 时，原式 = – 3.2 + 3 = – 0.2
9. 某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器，现在生产 600 台机器所需时间与原计划生产 450 台机器所需时间相同. 现在平均每天生产多少台机器？
【教材P173复习题18 第9题】
解：设原计划平均每天生产 x 台机器，则现在平均每天生产 (x + 50) 台机器.
由题意，得
解得 x = 150.
经检验， x = 150 是原方程的解.
所以 x + 50 = 200.
答：现在平均每天生产 200 台机器.
10.一台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的 150 倍，用这台机器收割 10 hm2 小麦比 100 个农民人工收割这些小麦要少用 1 h. 这台收割机每小时收割多少公顷小麦？
【教材P173复习题18 第10题】
解：设这台收割机每小时收割 x hm2 小麦，则一个农民每小时收割 hm2 小麦.
根据题意，得
解得 x = 5.
经检验， x = 5 是原方程的解.
答：这台收割机每小时收割 5 hm2 小麦.
11. 一辆汽车开往距离出发地 180 km 的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的 1.5 倍匀速行驶，并比原计划提前 40 min 到达目的地. 求第一小时的行驶速度.
【教材P173复习题18 第11题】
解：设第一小时的行驶速度为 x km/h，则后来行驶速度为 1.5x km/h.
根据题意，得
解得 x = 60.
经检验， x = 60 是原方程的解.
答：第一小时的行驶速度为 60 km/h.
拓广探索
【教材P173复习题18 第12题】
12. 如图，运动场两端的半圆形跑道外径为 R，内径为 r，中间为直跑道，整个跑道总面积为 S，试用含 S，R，r 的式子表示直跑道的长 a.
解：根据题意，得 S = (R – r)·a·2 + πR2 – πr2，
整理，得 2(R – r)·a = S – πR2 + πr2.
因为 R ≠ r，所以 R – r ≠ 0.
所以
13. （1）式子 的值能否为 0？为什么？
【教材P173复习题18 第13题】
解：不能为 0. 理由：
若该式值为 0，则 a = b = c = 0，此时
没有意义，所以式子 的值不能为0.
（2）式子
的值能否为 0？为什么？
解：不能为 0. 理由：
若该式值为 0，则 a – b = b – c = c – a = 0，
此时原式没有意义，所以式子
的值不能为0.
一、核心考点巩固
考点1 分式的有关概念
1.对于代数式 ，有甲、乙两种判断，下列说法正确的是( )
甲：是分式，因为是整式，且分母 中含有字母.
乙：是整式，因为 ，而1是整式.
A
A.甲对、乙不对 B.乙对、甲不对 C.甲和乙都对 D.甲和乙都不对
返回
2.下列关于分式的判断正确的是( )
D
A.当时，分式 的值为0
B.当时，分式 无意义
C.无论为何值，分式 的值不可能是整数
D.无论为何值，分式 的值总为正数
返回
考点2 分式的基本性质
3.若是一个最简分式，则 可以表示的式子是( )
B
A. B. C. D.
返回
4.下列各式变形正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
5.［2025佛山南海区期末］将克蔗糖完全溶于 克水中，配制成蔗糖水，
蔗糖水的浓度为，若， 同时扩大为原来的2倍，且蔗糖能完全溶于
水中，则蔗糖水的浓度( )
A
A.不变 B.缩小为原来的
C.扩大为原来的2倍 D.扩大为原来的4倍
返回
6. 将分式与 通分，最简公分母是_______________，
分式变为__________，分式 变为_ _________.
返回
考点3 分式的运算
7.下列计算正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
8. 阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有
一道填空题破了一个洞， 表示破损的部分,则破损部分的式子是( )
A
A. B. C. D.
. .
返回
9.［2024重庆中考］计算： .
解：原式
.
返回
10.［2024青岛中考］先化简，再从 ，0，3中选一个
合适的数作为 的值代入求值.
解：原式
.
易知，1， ，
当时，原式 ；
当时，原式 .
（选择一个数代入即可）
返回
考点4 整数指数幂与科学记数法
11.随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元
件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占 .将
用科学记数法表示为( )
C
A. B. C. D.
返回
12.下列运算正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
13.［教材P练习T 变式］计算：
（1） ;
解：原式 .
（2） .
解：原式
.
返回
考点5 分式方程及其解法
14.在方程；；； 中，分式方程
的个数是( )
C
A.1 B.2 C.3 D.4
返回
15.（1）［2024北京中考］方程 的解为________；
（2）［2024湖北中考］分式方程 的解是________.
返回
16. 若关于的分式方程 的解为非正数，写出一
个符合条件的 的值：__________________.
（答案不唯一）
返回
17.已知关于的分式方程无解，则 的值为_______.
2或
返回
18. 定义运算“”：若 ，
则 的值为_______.
或10
返回
19.解分式方程：
（1）［2024陕西中考］ ；
解：方程两边同乘，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
检验：当时，， 原分式方程的解为 .
（2） .
解：方程两边同乘，得 ，
解得 .
检验：当时， ，
不是原分式方程的解，
原分式方程无解.
返回
考点6 分式方程的应用
20.［2024达州中考］甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因
没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工.甲为了追赶上乙
的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成.求乙每小时加工
零件多少个.设乙每小时加工零件 个，可列方程为( )
D
A. B.
C. D.
返回
21.为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市
实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）
，用电低谷时段（简称谷时） 次日
，峰时电价比谷时电价高0.2元/千瓦时.市民小萌的电动汽车用家
用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用
电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价.
解：设该市谷时电价为元/千瓦时，则峰时电价为 元/千瓦时，
根据题意，得，解得 ，
经检验， 是原方程的解.
答：该市谷时电价为0.3元/千瓦时.
返回
22. ［2025长沙南雅中学月考］第一届全国青少年三大球
运动会于2024年11月20日至28日在长沙市和岳阳市举行.长沙市南雅中学
作为本次三大球运动会的承办地之一，承担了足球赛事.在筹备期间，
为了确保赛事顺利进行，学校准备一次性购买若干个足球和排球，用
480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价
比排球的单价多15元.
（1）足球和排球的单价各是多少元？
解：设足球的单价是元，则排球的单价是 元，
依题意得，解得 ，
经检验， 是原方程的解，
.
答：足球的单价是80元，排球的单价是65元.
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其
总费用不超过7 550元，那么学校最多可以购买多少个足球？
解：设学校购买个足球，则购买 个排球，
依题意得，解得 .
为正整数， 可以取的最大值为70.
答：学校最多可以购买70个足球.
返回
二、思想方法演练
思想1 整体思想
23.［2025武汉江岸区月考］已知 ，则
的值是( )
C
A.1 B. C.0.5 D.
返回
24.若，则 的值为( )
A
A. B. C.5 D.
返回
思想2 数形结合思想
25.［2025杭州滨江区期末］甲、乙两个大小不一样的正方形按如图所
示的两种方式放置，， ，记图①中的阴影部分的面积为
，图②中的阴影部分的面积为，甲正方形的面积为 .
（1）若，则 的值是___；
0
（2）若，则 的值是___.
4
返回
思想3 消元思想
26.已知，，且，求 的值.
解：由,,得 解得
又 ,
原式 .
返回
分式方程的解
分式方程
实际问题
实际
问题
的答案
目标
分式
目标
类比分
数性质
分式基本性质
类比分
数运算
分式的运算
列式
整式方程
去分母
解整式方程
整式方程的解
检验
列方程
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