资源简介

(共29张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：第十六章 整式的乘法 - 章末复习总结
副标题：梳理知识脉络 突破重点难点 提升解题能力
背景图：以思维导图形式呈现整式乘法知识框架图，核心为 “整式的乘法”，分支延伸出幂的运算、整式乘法法则、乘法公式等模块，各模块用不同颜色标注，营造系统整合的复习氛围
幻灯片 2：目录
知识网络构建
核心知识点回顾
高频考点解析
易错点警示与规避
综合题型突破
课堂检测练习
复习总结与建议
课后巩固作业
幻灯片 3：知识网络构建
整式乘法知识体系图：
第一层级：整式的乘法
第二层级：幂的运算、单项式 × 单项式、单项式 × 多项式、多项式 × 多项式、乘法公式、整式的除法
第三层级：
幂的运算：同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法
乘法公式：平方差公式、完全平方公式、添括号法则
关联标注：用箭头标注各知识点间的联系，如 “幂的运算→整式乘法法则→乘法公式” 的递进关系，强调基础运算对复杂公式的支撑作用
幻灯片 4：核心知识点回顾 - 幂的运算
同底数幂乘法：
法则：\(a^m a^n = a^{m + n}\)（\(m\)、\(n\)为正整数）
关键词：底数不变，指数相加
示例：\(2^3 2^5 = 2^{8}\)，\(x^2 x^4 = x^6\)
幂的乘方：
法则：\((a^m)^n = a^{mn}\)（\(m\)、\(n\)为正整数）
关键词：底数不变，指数相乘
示例：\((3^2)^4 = 3^8\)，\((y^3)^2 = y^6\)
积的乘方：
法则：\((ab)^n = a^n b^n\)（\(n\)为正整数）
关键词：每因式乘方，结果相乘
示例：\((2x)^3 = 8x^3\)，\((-3ab)^2 = 9a^2b^2\)
同底数幂除法：
法则：\(a^m ·a^n = a^{m - n}\)（\(a 0\)，\(m\)、\(n\)为正整数，\(m>n\)）
关键词：底数不变，指数相减
示例：\(10^7 ·10^3 = 10^4\)，\(a^5 ·a^2 = a^3\)
幻灯片 5：核心知识点回顾 - 整式乘法法则
单项式 × 单项式：
法则：系数相乘、同底数幂相乘、单独字母保留
步骤示例：\(3x^2y (-2xy^3)=[3 (-2)] (x^2 x) (y y^3)=-6x^3y^4\)
单项式 × 多项式：
法则：用单项式乘多项式每一项，再把积相加（乘法分配律）
步骤示例：\(2a(3a^2 - 5b)=2a 3a^2 + 2a (-5b)=6a^3 - 10ab\)
多项式 × 多项式：
法则：用一个多项式每一项乘另一个多项式每一项，再把积相加
步骤示例：\((x + 2)(x - 3)=x x + x (-3) + 2 x + 2 (-3)=x^2 - x - 6\)
整式除法：
单项式 ÷ 单项式：系数相除、同底数幂相除、保留单独字母
多项式 ÷ 单项式：分项相除再相加，即\((a + b) ·m = a ·m + b ·m\)
幻灯片 6：核心知识点回顾 - 乘法公式与添括号
平方差公式：
公式：\((a + b)(a - b)=a^2 - b^2\)
结构特征：两数和 × 两数差 = 平方差，左边 “同号项 + 异号项”，右边 “同号项 - 异号项 ”
示例：\((3x + 2y)(3x - 2y)=9x^2 - 4y^2\)
完全平方公式：
公式：\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)；\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
结构特征：两数和（差）的平方 = 平方和 ±2 倍积，结果为三项式
示例：\((2m - n)^2 = 4m^2 - 4mn + n^2\)
添括号法则：
括号前为 “+”：括号内各项符号不变，即\(a + b + c = a + (b + c)\)
括号前为 “-”：括号内各项符号全变，即\(a - b - c = a - (b + c)\)
作用：将多项式变形为符合公式结构的形式，如\((x - y + z)^2 = [x + (-y + z)]^2\)
幻灯片 7：高频考点解析 - 基础运算类
考点 1：幂的混合运算
例题：计算\((-a^2)^3 a^5 ·(-a^3)\)
解析：先算幂的乘方\((-a^2)^3=-a^6\)，再算乘法\(-a^6 a^5=-a^{11}\)，最后算除法\(-a^{11} ·(-a^3)=a^8\)
技巧：遵循 “先乘方，再乘除” 的顺序，注意符号变化
考点 2：整式乘法化简
例题：化简\(2x(x - 3y) - (x + 2y)(x - y)\)
解析：先算单项式 × 多项式\(2x^2 - 6xy\)，再算多项式 × 多项式\(x^2 - xy + 2xy - 2y^2 = x^2 + xy - 2y^2\)，最后合并\(2x^2 - 6xy - x^2 - xy + 2y^2 = x^2 - 7xy + 2y^2\)
技巧：分步运算，避免漏项，合并同类项要准确
幻灯片 8：高频考点解析 - 公式应用类
考点 3：平方差公式简便计算
例题：计算\(2023 2021 - 2022^2\)
解析：变形为\((2022 + 1)(2022 - 1) - 2022^2 = 2022^2 - 1 - 2022^2=-1\)
技巧：将数字转化为 “两数和 × 两数差” 的形式，简化计算
考点 4：完全平方公式求值
例题：已知\(a + b = 5\)，\(ab = 3\)，求\(a^2 + b^2\)和\((a - b)^2\)的值
解析：\(a^2 + b^2=(a + b)^2 - 2ab = 25 - 6 = 19\)；\((a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2 = 19 - 6 = 13\)
技巧：灵活运用公式变形，如\(a^2 + b^2=(a + b)^2 - 2ab\)，\((a - b)^2=(a + b)^2 - 4ab\)
幻灯片 9：易错点警示与规避
易错点 1：幂的运算符号错误
错误示例：\((-a)^2 = -a^2\)，\((-x^3)^2 = -x^6\)
纠正：负数的偶次幂为正，\((-a)^2 = a^2\)，\((-x^3)^2 = x^6\)
规避：先确定符号（奇负偶正），再计算指数
易错点 2：乘法公式漏项或符号错误
错误示例：\((a + b)^2 = a^2 + b^2\)，\((2x - y)^2 = 4x^2 - 2xy + y^2\)
纠正：完全平方公式有三项，中间项为 2 倍积，\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)，\((2x - y)^2 = 4x^2 - 4xy + y^2\)
规避：牢记公式结构，计算时按 “首平方→尾平方→中间两倍积” 分步书写
易错点 3：整式除法漏除项
错误示例：\((4x^3 + 2x^2) ·2x = 2x^2 + 1\)（正确应为\(2x^2 + x\)）
纠正：多项式每一项都要除以单项式，\(2x^2 ·2x = x\)
规避：用横线标记每一项的对应除法，确保不遗漏
幻灯片 10：综合题型突破 - 化简求值与实际应用
题型 1：化简求值
例题：先化简，再求值\((2x + y)^2 - (x - 2y)(x + 2y) - 3x(x - y)\)，其中\(x = 1\)，\(y = -2\)
解析：
化简：\(4x^2 + 4xy + y^2 - (x^2 - 4y^2) - 3x^2 + 3xy = 4x^2 + 4xy + y^2 - x^2 + 4y^2 - 3x^2 + 3xy = 7xy + 5y^2\)
代入：当\(x = 1\)，\(y = -2\)时，原式\(=7 1 (-2) + 5 (-2)^2=-14 + 20 = 6\)
技巧：先化简再代入，减少计算量
题型 2：实际应用题
例题：一个长方形的长为\((3x + 2y)\)，宽为\((x - y)\)，若长和宽分别增加\(2\)和\(1\)，求新长方形的面积比原长方形面积增加多少？
解析：
原面积：\((3x + 2y)(x - y)=3x^2 - 3xy + 2xy - 2y^2 = 3x^2 - xy - 2y^2\)
新面积：\((3x + 2y + 2)(x - y + 1)\)（展开过程略）
增加的面积：新面积 - 原面积（计算结果略）
技巧：用代数式表示数量关系，结合整式乘法计算
幻灯片 11：课堂检测练习
基础题：
计算\((-2a^2b)^3 = \_\_\_\_\_\)
化简\((a - 2)(a + 3) = \_\_\_\_\_\)
提升题：
3. 已知\(x^m = 3\)，\(x^n = 2\)，则\(x^{2m + n} = \_\_\_\_\_\)
4. 利用公式计算\(99^2 = \_\_\_\_\_\)
综合题：
5. 先化简再求值：\((x + 2y)^2 - (x + y)(x - y)\)，其中\(x = -1\)，\(y = 2\)
幻灯片 12：复习总结与建议
知识总结：
幂的运算核心是 “底数不变，指数运算”（加、乘、减）
整式乘法法则是 “转化思想” 的体现（多项式→单项式→幂的运算）
乘法公式是特殊多项式乘法的简化，需掌握结构特征和变形应用
方法建议：
建立错题本：分类记录幂运算、公式应用等错误类型，标注错误原因
强化公式记忆：通过对比练习（如平方差与完全平方的区别）加深理解
注重步骤规范：复杂运算分步书写，避免跳步导致错误
多做综合练习：结合实际问题提升知识应用能力
幻灯片 13：课后巩固作业
必做题：
完成课本第 [X] 页章末复习题 A 组全题
整理本章错题，分析错误原因并订正
选做题：
课本第 [X] 页章末复习题 B 组第 [X]、[X] 题
探究题：已知\((a + b)^2 = 7\)，\((a - b)^2 = 3\)，求\(a^2 + b^2\)和\(ab\)的值
实践题：
用整式乘法知识解决生活中的一个实际问题（如面积计算、利润问题等），写出解题过程和思路分析
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
章末复习
第十六章 整式的乘法
知识结构
幂的运算
am·an=am+n
(am)n=amn
(ab)n=anbn
am÷an=am-n
整式的乘法
整式的除法
单项式乘单项式
单项式乘多项式
多项式乘多项式
单项式除以单项式
多项式除以单项式
乘法公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
(a±b)2=a2±2ab+b2
特殊形式
互逆运算
知识回顾
同底数幂的乘法：am·an=_____ (m，n都是正整数)
幂的乘方：(am)n=_____ (m，n都是正整数)
积的乘方：(ab)n=_____ (n是正整数)
同底数幂的除法：am÷an= _____
(a≠0，m，n都是正整数，且m＞n)
零指数幂：a0 =____(a≠0)
幂的运算
am+n
amn
anbn
am-n
1
知识点一 幂的运算
单项式乘单项式
单项式乘多项式
多项式乘多项式
把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
同底数幂的乘法
转化
单项式乘单项式
转化
单项式乘多项式
转化
知识点二 整式的乘法
单项式除以单项式
多项式除以单项式
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加
知识点三 整式的除法
知识点四 乘法公式
(a – b)(a + b) = a2 – b2
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两数的平方差
平方差公式
完全平方公式
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
添括号法则
a + b + c = __________；
a – b – c = __________.
a + (b + c)
a – (b + c)
1. 计算：
（1）100×103×102； （2）[(–2)2]3；
（3）(–x)2·x3； （4）x·x2·x3 + (x3)2.
(2) 原式 = (22)3
= 26
复习巩固
【教材P121复习题16 第1题】
解：(1) 原式 = 102×103×102
(3) 原式 = x2·x3
= x2+3
= 102+3+2
= 107
= 64
= x5
(4) 原式 = x1+2+3 + x6
= x6 + x6
= 2x6
2. 计算：
（1）(–2x2y3)2(xy)3；（2）(2a + 3b)(2a – b)； （3）5x2(x + 1)(x – 1)；
【教材P121复习题16 第2题】
解：(1) 原式 = (4x4y6)·(x3y3)
= 4·(x4·x3)·(y6·y3)
= 4x7y9
(2) 原式 = 2a·2a + 2a·(–b) + 3b·2a + 3b·(–b)
= 4a2 – 2ab + 6ab – 3b2
= 4a2 + 4ab – 3b2
(3) 原式 = 5x2(x2 – 12)
= 5x2·x2 – 5x2·1
= 5x4 – 5x2
（4）(2x + y – 1)2；（5）59.8×60.2；
（6）1982.
(4) 原式 = [(2x + y) – 1]2
= (2x + y)2 – 2·(2x + y)·1 + 12
= (2x)2 + 2·2x·y + y2 – 4x – 2y + 1
= 4x2 + 4xy + y2 – 4x – 2y + 1
(5) 原式 = (60 + 0.2)×(60 – 0.2)
= 602 – 0.22
= 3599.96
(6) 原式 = (200 – 2)2
= 2002 –2×200×2 + 22
= 40000 – 800 + 4
= 39204
3. 计算：
（1）(2a)3·b4÷(12a3b2)；（2） ；
解：(1) 原式 = 8a3b4÷(12a3b2)
(2) 原式 =
【教材P121复习题16 第3题】
（3） ；
（4）(7x2y3 – 8x3y2z)÷(8x2y2) .
(3) 原式
(4) 原式 = (7x2y3)÷(8x2y2) – (8x3y2z)÷(8x2y2)
4. 计算：
（1）2x(x2 – 1) – x(x2 + 2)；
（2）[(x – 3)(x + 3)]2 – (x2 + 1)2 .
【教材P121复习题16 第4题】
解：(1) 原式 = 2x3 – 2x – x3 – 2x
= x3 – 4x
(2) 原式 = (x2 – 32)2 – (x4 + 2x2 + 1)
= x4 – 18x2 + 81 – x4 – 2x2 – 1
= 80 – 20x2
5. 先化简，再求值：
(x + 2y)2 + (x + y)(x – y) – y2，其中 x = 3，y = 2.
【教材P121复习题16 第5题】
解：原式 = x2 + 4xy + 4y2 + x2 – y2 – y2
= 2x2 + 4xy + 2y2
当 x = 3，y = 2 时，原式 =
2×32 + 4×3×2 + 2×22
= 18 + 24 + 8
= 50
还能想到别的计算方法吗？
5. 先化简，再求值：
(x + 2y)2 + (x + y)(x – y) – y2，其中 x = 3，y = 2.
【教材P121复习题16 第5题】
解：原式 = x2 + 4xy + 4y2 + x2 – y2 – y2
= 2x2 + 4xy + 2y2
= 2(x2 + 2xy + y2)
= 2(x + y)2
当 x = 3，y = 2 时，原式 =
2×(3 + 2)2
= 50
= 2·x2 + 2·2xy + 2·y2
综合运用
6. 计算：
（1）4(x + 1)2 – 2(x + 5)(2x – 10)；
【教材P121复习题16 第6题】
解：（1）原式 = 4(x + 1)2 – 2(x + 5)(2x – 10)
= 4(x2 + 2x + 12) – (2x + 10)(2x – 10)
= 4x2 + 8x + 4 – (4x2 – 102)
= 4x2 + 8x + 4 – 4x2 + 100
= 8x + 104
（2）3(y – z)2 – (2y + z)(–z + 2y)；
（2）原式 = 3(y2 – 2yz + z2) – (4y2 – z2)
= 3y2 – 6yz + 3z2 – 4y2 + z2
= – y2 – 6yz + 4z2
（3）(2x2 + 1)2 – (x + 2)(x2 + 4)(x – 2)；
（3）原式 = (4x4 + 4x2 + 12) – (x2 + 4)(x2 – 4)
= 4x4 + 4x2 + 1 – (x4 – 16)
= 4x4 + 4x2 + 1 – x4 + 16
= 3x4 + 4x2 + 17
（4）原式 = [x3y2 – x2y – (x2y – x3y2)]÷(3x2y)
= (x3y2 – x2y –x2y + x3y2)÷(3x2y)
= (2x3y2 – 2x2y)÷(3x2y)
（4）[x(x2y2 – xy) – y(x2 – x3y)]÷(3x2y).
= (2x3y2)÷(3x2y) – (2x2y)÷(3x2y)
=
7. 已知 求代数式
解： (m – 2n)(m + 2n) + (m + 2n)2 – 4mn
【教材P121复习题16 第7题】
(m – 2n)(m + 2n) + (m + 2n)2 – 4mn 的值.
= m2 – 4n2 + (m2 + 4mn + 4n2) – 4mn
= 2m2
8. 已知 (x + y)2 = 25，(x – y)2 = 9，求 xy 与 x2+ y2 的值.
【教材P121复习题16 第8题】
解：因为(x + y)2 = 25，(x – y)2 = 9，
所以 x2 + 2xy + y2 = 25，①
x2 – 2xy + y2 = 9，②
① – ② 得 4xy = 16，所以 xy = 4.
① + ② 得 2(x2 + y2) = 34，所以 x2 + y2 = 17.
9. 一张正方形纸片的边长减少 2 cm，它的面积就减少 20 cm2，这张正方形纸片的边长是多少？
【教材P121复习题16 第9题】
解：设正方形纸片的边长是 x cm，根据题意，得
x2 – (x – 2)2 = 20
解得 x = 6
答：这张正方形纸片的边长是 6 cm.
10. 如图是一水压机空心钢立柱的示意图. 如果其高 h 为 18 m，外径 D 为 1 m ，内径 d 为 0.4 m，每立方米钢的质量为 7.8 t，求该立柱的质量. (π取3.14，结果保留小数点后两位.)
【教材P121复习题16 第10题】
解：该立柱的体积为
11.8692×7.8 ≈ 92.58 (t)
答：该立柱的质量约为 92.58 t.
11. 已知 xm = 64，xn = 8，求 xm-n 的值.
解： xm-n
拓广探索
= xm÷xn
= 64÷8
= 8
【教材P122复习题16 第11题】
12. 某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有三种方案：
（1）第一次提价 p%，第二次提价 q%；
（2）第一次提价 q%，第二次提价 p%；
（3）第一、二次提价均为
其中 p，q 是不相等的正数. 三种方案哪种提价最多？
（提示：因为 p ≠ q，(p – q)2 = p2 – 2pq + q2 > 0，所以 p2 + q2 > 2pq.）
【教材P122复习题16 第12题】
解： 设提价前产品的价格为1，则提价后：
第一种方案下产品价格为：(1 + p%)(1 + q%)；
第二种方案下产品价格为：(1 + q%)(1 + p%)；
第三种方案下产品价格为：
要比较 与 p%·q% 的大小，即比较
与 pq 的大小.
因为
所以
所以第三种方案提价最多.
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑