资源简介

(共32张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：第十七章 因式分解 - 章末复习总结
副标题：梳理方法体系 突破综合应用 强化解题规范
背景图：以因式分解方法树为背景，树干标注 “因式分解”，主枝延伸出 “提公因式法”“公式法”“综合运用” 三大分支，各分支再细分具体方法，直观呈现知识脉络
幻灯片 2：目录
知识网络构建
核心方法梳理
高频考点解析
易错点警示与规避
综合题型突破
课堂检测练习
复习总结与建议
课后巩固作业
幻灯片 3：知识网络构建
因式分解知识体系图：
第一层级：因式分解的概念（把一个多项式化为几个整式的积的形式）
第二层级：基本方法（提公因式法、公式法）、综合运用（先提后套、分组分解）
第三层级：
提公因式法：确定公因式（系数、字母、多项式）、提取公因式
公式法：平方差公式（\(a^2 - b^2=(a + b)(a - b)\)）、完全平方公式（\(a^2 ±2ab + b^2=(a ±b)^2\)）
综合策略：一提二套三分组四检查
关联标注：用箭头标注方法间的递进关系，如 “提公因式法是基础，公式法是特殊形式的深化，综合运用是方法的组合”
幻灯片 4：核心方法梳理 - 提公因式法
公因式的确定：
系数：取各项系数的最大公因数（如\(8x^2y - 12xy^2\)的系数公因式为\(4\)）
字母：取各项都含有的相同字母（如\(8x^2y - 12xy^2\)的字母公因式为\(xy\)）
多项式：取各项都含有的相同多项式因式（如\(a(x - 2) + b(x - 2)\)的公因式为\((x - 2)\)）
指数：相同字母（或多项式）的指数取最低次幂
提取步骤：
写出公因式
用原多项式除以公因式，得到另一个因式
表示为 “公因式 × 另一个因式” 的形式（如\(8x^2y - 12xy^2 = 4xy(2x - 3y)\)）
注意事项：首项系数为负时，提取负的公因式，括号内各项符号改变（如\(-3x^2 + 6x=-3x(x - 2)\)）
幻灯片 5：核心方法梳理 - 公式法
平方差公式：
适用形式：二项式，两项都是平方形式且符号相反（\( ^2 - ^2\)）
分解结果：\(( + )( - )\)
示例：\(9a^2 - 16b^2=(3a + 4b)(3a - 4b)\)，\((x + y)^2 - z^2=(x + y + z)(x + y - z)\)
完全平方公式：
适用形式：三项式，两项为平方形式且符号相同，第三项为两平方项底数乘积的 2 倍（\( ^2 ±2 + ^2\)）
分解结果：\(( ± )^2\)
示例：\(x^2 + 10x + 25=(x + 5)^2\)，\(4m^2 - 12mn + 9n^2=(2m - 3n)^2\)
公式特征对比：
公式类型
项数
符号特征
关键项
平方差公式
二项
一正一负
无中间项
完全平方公式
三项
平方项同号
中间项为 2 倍积
幻灯片 6：核心方法梳理 - 综合运用策略
“一提二套三分组四检查” 流程：
一提：优先提取公因式（如\(2x^3 - 8x = 2x(x^2 - 4)\)）
二套：根据剩余多项式形式套用公式（如\(x^2 - 4=(x + 2)(x - 2)\)）
三分组：四项及以上多项式合理分组后分解（如\(ax + ay + bx + by=(a + b)(x + y)\)）
四检查：确保每个因式都不能再分解（如\(2x^3 - 8x = 2x(x + 2)(x - 2)\)分解彻底）
分组分解技巧：
按公因式分组：每组含相同公因式（如\((ax + ay) + (bx + by)\)）
按公式分组：分组后可应用公式（如\((x^2 - y^2) + (x + y)\)）
符号调整：将互为相反数的多项式因式转化为相同形式（如\((y - x)^2=(x - y)^2\)）
幻灯片 7：高频考点解析 - 基础运算类
考点 1：提公因式法分解
例题：分解因式\(-6a^2b + 18ab^2 - 24a^3b^3\)
解析：提取公因式\(-6ab\)，得到\(-6ab(a - 3b + 4a^2b^2)\)
技巧：注意首项符号，公因式提取要彻底
考点 2：公式法分解
例题：分解因式\((x^2 + 4)^2 - 16x^2\)
解析：先套平方差公式\((x^2 + 4 + 4x)(x^2 + 4 - 4x)\)，再套完全平方公式\((x + 2)^2(x - 2)^2\)
技巧：将多项式整体看作公式中的 “\(a\)” 或 “\(b\)”
幻灯片 8：高频考点解析 - 综合应用类
考点 3：先提后套综合分解
例题：分解因式\(3x^3y - 6x^2y^2 + 3xy^3\)
解析：先提取公因式\(3xy\)得\(3xy(x^2 - 2xy + y^2)\)，再套完全平方公式得\(3xy(x - y)^2\)
技巧：遵循 “先提公因式，再用公式” 的顺序
考点 4：分组分解
例题：分解因式\(x^2 - y^2 + ax + ay\)
解析：分组为\((x^2 - y^2) + (ax + ay)=(x + y)(x - y) + a(x + y)=(x + y)(x - y + a)\)
技巧：分组后确保有公因式可提或能应用公式
幻灯片 9：高频考点解析 - 实际应用类
考点 5：利用因式分解求值
例题：已知\(a + b = 4\)，\(ab = 3\)，求\(a^3b + 2a^2b^2 + ab^3\)的值
解析：因式分解得\(ab(a^2 + 2ab + b^2)=ab(a + b)^2\)，代入得\(3 4^2 = 48\)
技巧：将代数式因式分解转化为已知条件的形式
考点 6：利用因式分解解决整除问题
例题：证明\(n^3 - n\)（\(n\)为整数）能被 6 整除
解析：分解得\(n(n^2 - 1)=n(n - 1)(n + 1)\)，三个连续整数中必有 2 和 3 的倍数，故能被 6 整除
技巧：通过因式分解将多项式转化为因数乘积形式分析整除性
幻灯片 10：易错点警示与规避
易错点 1：公因式提取不彻底
错误示例：\(4x^2 - 8x = 2x(2x - 4)\)（未继续提取括号内的公因式 2）
正确解答：\(4x^2 - 8x = 4x(x - 2)\)
规避：提取公因式后检查括号内是否还有公因式
易错点 2：公式应用条件判断错误
错误示例：\(x^2 + 4 = (x + 2)(x - 2)\)（平方和不能用平方差公式）
规避：牢记平方差公式适用于 “平方差”，完全平方公式适用于 “平方和 ±2 倍积”
易错点 3：分组后无公因式或无法用公式
错误示例：\(x^2 + y^2 + ax + ay=(x^2 + y^2) + (ax + ay)\)（两组均无法继续分解）
正确分组：\((x^2 + ax) + (y^2 + ay)=x(x + a) + y(y + a)\)（仍不当，需调整策略）
规避：分组前预判每组分解后是否有公共因式
易错点 4：分解结果未整理或符号错误
错误示例：\(a^2 - b^2=(a - b)(-a - b)\)（符号错误）
正确解答：\(a^2 - b^2=(a + b)(a - b)\)
规避：提取负公因式后注意括号内各项符号，最终结果按规范形式书写
幻灯片 11：综合题型突破
题型 1：多层级分解
例题：分解因式\(x^8 - y^8\)
解析：连续应用平方差公式\((x^4 + y^4)(x^4 - y^4)=(x^4 + y^4)(x^2 + y^2)(x^2 - y^2)=(x^4 + y^4)(x^2 + y^2)(x + y)(x - y)\)
题型 2：换元法分解
例题：分解因式\((x^2 + 3x + 2)(x^2 + 7x + 12) - 120\)
解析：先因式分解括号内式子得\((x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 120\)，换元设\(y = x^2 + 5x + 4\)，转化为\((y - 2)(y + 2) - 120 = y^2 - 124\)（后续步骤略）
题型 3：含参数的因式分解
例题：若\(x^2 + mx - 12\)能分解为\((x + a)(x + b)\)，求整数\(m\)的值
解析：由\(a b=-12\)，\(m = a + b\)，列举整数对\((a,b)\)得\(m\)的值为 ±11，±4，±1
幻灯片 12：课堂检测练习
基础题：
分解因式\(12x^2y - 18xy^2 = \_\_\_\_\_\)
分解因式\(x^2 - 6x + 9 = \_\_\_\_\_\)
提升题：
3. 分解因式\(x^3 - 4x = \_\_\_\_\_\)
4. 分解因式\(a^2 - b^2 + 2a + 2b = \_\_\_\_\_\)
综合题：
5. 已知\(x - y = 2\)，\(xy = 3\)，求\(x^3y - 2x^2y^2 + xy^3\)的值
幻灯片 13：复习总结与建议
知识总结：
因式分解的本质是整式乘法的逆运算，核心方法是提公因式法和公式法。
提公因式法关键在 “找公因式”，公式法关键在 “辨形式”，综合运用关键在 “分步骤”。
分解原则：分解要彻底，结果是整式乘积形式，每个因式不能再分解。
方法建议：
建立 “方法选择流程图”：遇多项式先看公因式，再看项数选公式，四项及以上考虑分组。
强化错题分类：按 “公因式错误”“公式错误”“分组错误” 等类型整理，标注错误原因。
注重变式练习：同一多项式尝试不同分解路径，对比最优方法；改编题目参数，拓展思维。
联系实际应用：通过求值、证明等问题体会因式分解的工具性作用。
幻灯片 14：课后巩固作业
必做题：
完成课本第 [X] 页章末复习题 A 组全题
分解因式：\(2a^3 - 8a\)；\((x^2 - 2x)^2 - 1\)；\(x^2 - y^2 - z^2 + 2yz\)
选做题：
课本第 [X] 页章末复习题 B 组第 [X]、[X] 题
已知\(a\)、\(b\)、\(c\)是三角形三边，证明\(a^2 - b^2 - c^2 + 2bc > 0\)
拓展题：
探究多项式\(x^2 + (p + q)x + pq\)的因式分解规律，并利用规律分解\(x^2 + 5x + 6\)、\(x^2 - 3x - 10\)
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
章末复习
第十七章 因式分解
知识结构
整式的乘法
因式分解
公式法
乘法公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
(a±b)2=a2±2ab+b2
特殊形式
相反变形
提公因式法
相反变形
具体方法
知识回顾
概念：把一个多项式化为几个整式的______的形式，叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式___________.
与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是方向相反的变形.
因式分解
乘积
分解因式
知识点一 因式分解
注意：因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止.
知识点二 提公因式法
公因式：一个多项式的各项都含有的公共的因式.
确定公因式：①定______，②定______，③定______.
提公因式：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式.
系数
字母
指数
知识点三 公式法
十字相乘法：
x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)
综合运用多种方法分解因式
复习巩固
分解因式（第1~3题）.
1.（1）15a3 + 10a2； （2）12abc – 3bc2；
（3）6p(p + q) – 4q(p + q)；（4）m(a – 3) + 2(3 – a).
【教材P136复习题17 第1题】
解：(1) 原式 = 5a2(3a + 2)
(2) 原式 = 3bc(4a – c)
(3) 原式 = (6p – 4q)(p + q)
= 2(3p – 2q)(p + q)
(4) 原式 = m(a – 3) – 2(a – 3)
= (m – 2)(a – 3)
2.（1）1 – 36b2； （2）12x2 – 3y2；
（3）0.49p2 – 144；（4）(2x + y)2 – (x + 2y)2 .
解：(1) 原式 = (1 + 6b)(1 – 6b)
(2) 原式 = 3(4x2 – y2)
(3) 原式 = (0.7p + 12)(0.7p – 12)
(4) 原式 = [(2x + y) + (x + 2y)][(2x + y) – (x + 2y)]
= 3(2x + y)(2x – y)
= (3x + 3y)(x – y)
【教材P136复习题17 第2题】
= 3(x + y)(x – y)
3.（1）1 + 10t2 + 25t2；（2）m2 – 14m + 49；
解：(1) 原式 = (5t + 1)2
(2) 原式 = (m – 7)2
【教材P136复习题17 第3题】
（4）25a2 – 80a + 64；
(4) 原式 = (5a – 8)2
（5）(m + n)2 – 4m(m + n) + 4m2 ；
（6）a2 + 2a(b + c) + (b + c)2 .
(5) 原式 = (m + n – 2m)2
(6) 原式 = (a + b + c)2
= (n – m)2
综合运用
4. 利用因式分解计算：
（1）21×3.14 + 62×3.14 + 17×3.14；
（2）7582 – 2582 .
解：(1) 原式 = 3.14×(21 + 62 + 17)
= 314
= 3.14×100
(2) 原式 = (758 + 258)(758 – 258)
= 1016×500
= 508000
【教材P136复习题17 第4题】
5. 分解因式：
（1）3ax2 – 3ay2；（2）4xy2 – 4x2y – y3 .
【教材P136复习题17 第5题】
解：(1) 原式 = 3a(x2 – y2)
(2) 原式 = – y(4x2 – 4xy + y2)
= – y(2x – y)2
= 3a(x + y)(x – y)
6. 如图，在半径为 R 的圆形钢板上，挖去半
径为 r 的四个小圆，计算当 R = 5.6 cm，r = 1.2 cm 时剩余部分的面积（π取3.14）.
解：S剩余部分 = πR2 – 4πr2
= π(R2 – 4r2)
【教材P132复习题17第6题】
= π(R + 2r)(R – 2r)
当 R = 5.6 cm，r = 1.2 cm 时，
S剩余部分 = 3.14×(5.6 + 2×1.2)(5.6 – 2×1.2)
= 3.14×8×3.2
= 80.384（cm2）
拓广探索
7. 求证：当 n 是整数时，两个连续奇数的平方差 (2n + 1)2 – (2n – 1)2 是 8 的倍数.
证明： (2n + 1)2 – (2n – 1)2
= [(2n + 1) + (2n – 1)][(2n + 1) – (2n – 1)]
= 4n·2
= 8n
因为 n 是整数，所以 8n 是 8 的倍数.
所以两个连续奇数的平方差 (2n + 1)2 – (2n – 1)2 是 8 的倍数.
【教材P132复习题17第7题】
8. 阅读下面的分解因式的过程：
【教材P132复习题17第8题】
p2 – 1 + q2 + 2pq = (p2 + 2pq + q2) – 1
= (p + q)2 – 1
= (p + q + 1)(p + q – 1)
利用上述分解因式的方法证明：
如果 a，b，c 是 △ABC 的三条边的长，那么 a2 – b2 + c2 – 2ac < 0 .
证明： a2 – b2 + c2 – 2ac
= (a2 – 2ac + c2) – b2
= (a – c)2 – b2
= (a – c + b)(a – c – b)
因为 a，b，c 是 △ABC 的三条边的长，
所以 a + b > c，b + c > a .
所以 a – c + b > 0， a – c – b < 0 .
所以 (a – c + b)(a – c – b) < 0 .
所以 a2 – b2 + c2 – 2ac < 0 .
一、核心考点巩固
考点1 因式分解的概念
1.［2025深圳月考］下列从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
C
A.
B.
C.
D.
返回
2.多项式与多项式 的公因式为( )
A
A. B. C. D.
返回
考点2 分解因式
3.把 分解因式时，提出公因式后，另一个因式是
( )
A
A. B. C. D.
返回
4.［2025青岛月考］下列多项式能用平方差公式分解因式的是( )
D
A. B. C. D.
返回
5.下列因式分解正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
6.若将多项式加上一个单项式 后，就能够在我们所学范围内分
解因式，则单项式 不可能是( )
D
A. B. C. D.
返回
7.［2025杭州期末］若，则 的值为
( )
A
A.12 B.6 C.3 D.0
返回
8.［2025承德期末］若，， 为一个三角形的三条边，则
的值( )
B
A.一定为正数 B.一定为负数
C.可能为正数，也可能为负数 D.可能为0
返回
9.分解因式：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） ；
解：原式 .
（4） ；
解：原式
.
（5） ；
解：原式
.
（6） .
解：原式 .
返回
10.利用因式分解计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
返回
二、思想方法演练
方法一 配方法
11. 我们已学过完全平方公式 ，
观察下列式子：
；
.
解答下列问题：
（1），则___， ___.
1
8
（2）如图，有一段长为 的围墙，在紧靠围墙的
空地上，利用围墙及一段长为 的木栅栏围成一个
长方形花圃，设长方形花圃垂直于墙的一边的长度为
，完成下列任务：
①列式：用含的式子表示花圃的面积：______________， 的取值
范围为_____________；
②请说明当 取何值时，花圃的面积最大，最大面积是多少平方米
解：设花圃的面积为，则 ，
, 当时，花圃的面积最大，最大面积为 .
返回
方法二 数形结合思想
12.［2025烟台期末］如图，大长方形是由三个小长方
形和一个小正方形拼成的.
【观察猜想】请根据此图填空：
（①____） （②____）.
【说理验证】事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形：
（③____）（④____）（⑤____） （⑥____）.
于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解.
【尝试运用】
例：把多项式 分解因式：
（1）将“观察猜想”“说理验证”的括号内序号处填上相应的内容；
解：; （①，②两处内容可以互换）; ; ; ;
（⑤，⑥两处内容可以互换）
.
请解决下列问题：
（2）利用上述方法分解因式： .
解：
.
返回
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