资源简介

(共27张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：第十三章 三角形 章末复习
副标题：夯实基础概念，掌握三角形核心知识
背景图：展示不同类型的三角形（锐角、直角、钝角三角形）及三角形的高、中线、角平分线示意图，体现本章核心内容。
幻灯片 2：复习目标
系统梳理三角形的概念、分类、三边关系、内角和定理及三角形的重要线段（高、中线、角平分线），构建完整的知识体系。
能熟练运用三角形的性质解决边长计算、角度求解等问题，掌握三角形重要线段的性质及应用。
通过典型例题和综合练习，提升分析几何图形的能力，明确常见易错点并学会规避。
幻灯片 3：知识框架图
三角形的基本概念
定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。
构成要素：边、顶点、角。
表示方法：用符号 “△” 表示，如△ABC。
三角形的分类
按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
按边分：不等边三角形、等腰三角形（含等边三角形）。
三角形的性质
三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°。
外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和；三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角。
三角形的重要线段
高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段。
中线：连接三角形顶点和它对边中点的线段。
角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点和交点之间的线段。
多边形初步
多边形的内角和：n 边形内角和等于（n-2）×180°。
多边形的外角和：任意多边形的外角和等于 360°。
幻灯片 4：核心知识点回顾 —— 三角形的概念与分类
三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角。
三角形的分类：
按角分类：
锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。
直角三角形：有一个角是直角的三角形（直角所对的边叫做斜边，另两边叫做直角边）。
钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。
按边分类：
不等边三角形：三条边都不相等的三角形。
等腰三角形：有两条边相等的三角形（相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角）。
等边三角形（正三角形）：三条边都相等的三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）。
幻灯片 5：核心知识点回顾 —— 三角形的三边关系
三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边。
几何语言：在△ABC 中，AB + BC > AC，AB + AC > BC，BC + AC > AB。
三边关系推论：三角形任意两边之差小于第三边。
几何语言：在△ABC 中，AB - BC BC > AC）。
应用：
判断三条线段能否组成三角形：只需验证较短的两条线段之和是否大于最长的线段。
已知三角形两边的长度，求第三边的取值范围：设两边长为 a、b（a > b），则第三边长 c 的取值范围是 a - b < c < a + b。
例题：若三角形的两边长分别为 3 和 5，则第三边长 x 的取值范围是______。（答案：2 < x < 8）
幻灯片 6：核心知识点回顾 —— 三角形的内角和与外角性质
内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°。
证明思路：通过作平行线将三角形的三个内角转化为一个平角。
应用：已知三角形两个角的度数，求第三个角的度数；证明角之间的等量关系。
直角三角形的内角关系：直角三角形的两个锐角互余（和为 90°）。
几何语言：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，则∠A + ∠B = 90°。
三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。
外角性质：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和。
三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角。
三角形的外角和等于 360°。
例题：在△ABC 中，∠A = 50°，∠B = 60°，则∠C = ，与∠C 相邻的外角等于。（答案：70°，110°）
幻灯片 7：核心知识点回顾 —— 三角形的重要线段
三角形的高：
定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
性质：三角形的三条高所在直线交于一点（垂心）。锐角三角形的垂心在三角形内部，直角三角形的垂心在直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外部。
三角形的中线：
定义：连接三角形顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
性质：三角形的三条中线交于一点（重心），重心到顶点的距离是它到对边中点距离的 2 倍；三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两个三角形。
三角形的角平分线：
定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
性质：三角形的三条角平分线交于一点（内心），内心到三角形三边的距离相等。
图示对比：展示锐角、直角、钝角三角形的高、中线、角平分线的位置分布，直观理解其特点。
幻灯片 8：核心知识点回顾 —— 多边形初步
多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形（n 边形）。
正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
多边形的内角和：n 边形内角和公式为（n - 2）×180°。
推导思路：从 n 边形的一个顶点出发可以引（n - 3）条对角线，将 n 边形分成（n - 2）个三角形，因此内角和为（n - 2）×180°。
多边形的外角和：任意多边形的外角和都等于 360°（与边数无关）。
例题：十边形的内角和是______，外角和是______。（答案：1440°，360°）
幻灯片 9：考点解析 —— 三角形三边关系的应用
考点 1：判断三条线段能否组成三角形
例题：下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. 1cm，2cm，3cm B. 3cm，4cm，8cm C. 5cm，6cm，10cm D. 5cm，6cm，11cm
解题思路：根据三角形三边关系，验证较短两边之和是否大于第三边。A 中 1 + 2 = 3，不能；B 中 3 + 4 <8，不能；C 中 5 + 6> 10，能；D 中 5 + 6 = 11，不能。答案：C。
考点 2：求第三边的取值范围
例题：已知三角形的两边长分别为 4 和 7，则第三边 x 的取值范围是______。
解题思路：根据两边之差 < 第三边 < 两边之和，得 7 - 4 < x < 7 + 4，即 3 < x < 11。
幻灯片 10：考点解析 —— 三角形内角和与外角性质的应用
考点 1：求三角形内角的度数
例题：在△ABC 中，∠A : ∠B : ∠C = 2 : 3 : 4，求∠A、∠B、∠C 的度数。
解题思路：设∠A = 2x，∠B = 3x，∠C = 4x，由内角和定理得 2x + 3x + 4x = 180°，解得 x = 20°，所以∠A = 40°，∠B = 60°，∠C = 80°。
考点 2：利用外角性质求角度
例题：如图，在△ABC 中，∠A = 70°，∠B = 60°，点 D 在 BC 的延长线上，则∠ACD = ______。
解题思路：根据外角性质，∠ACD = ∠A + ∠B = 70° + 60° = 130°。
幻灯片 11：考点解析 —— 三角形重要线段的性质应用
例题：如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，若△ABD 的面积为 6，则△ABC 的面积为______。
解题思路：因为 AD 是 BC 边上的中线，所以 BD = CD，又因为△ABD 和△ACD 等底等高，所以面积相等，因此△ABC 的面积 = 2×△ABD 的面积 = 2×6 = 12。
幻灯片 12：易错点提醒
三角形三边关系理解错误：忽略 “任意” 两边之和大于第三边，仅验证一组边的关系；求第三边范围时忘记 “小于两边之和且大于两边之差”。
例：误认为 3cm，5cm，8cm 能组成三角形（3 + 5 = 8，不满足两边之和大于第三边）。
三角形高的位置判断错误：认为所有三角形的高都在三角形内部，忽略钝角三角形的高在外部，直角三角形的高有一条在边上。
多边形内角和与外角和混淆：计算多边形内角和时误用外角和 360°，或计算外角和时受边数影响。
例：误认为五边形的外角和是 540°（实际任意多边形外角和都是 360°）。
三角形中线分面积相等的三角形理解偏差：认为只有中线能分三角形为面积相等的两部分，或错误计算由中线分割的三角形面积。
幻灯片 13：综合练习
已知一个三角形的两边长分别为 5 和 9，求第三边长的取值范围；若第三边为偶数，求第三边的长。
在△ABC 中，∠B = 50°，∠C = 60°，AD 是∠BAC 的角平分线，求∠BAD 的度数。
如图，在△ABC 中，E 是 BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，BD⊥AD 于点 D，若 AB = 12，AC = 18，求 DE 的长。
一个多边形的内角和是外角和的 3 倍，求这个多边形的边数。
幻灯片 14：思想方法总结
方程思想：在求三角形角度或边长时，通过设未知数，根据内角和定理或三边关系列方程求解。
转化思想：将多边形问题转化为三角形问题（如多边形内角和推导中分割成三角形）；将角的关系转化为已知角的和或差。
数形结合思想：通过画图分析三角形的边、角关系，直观理解几何概念和性质。
分类讨论思想：在涉及等腰三角形边长或角度问题时，需分不同情况讨论（如已知等腰三角形两边长求周长，需分腰和底两种情况）。
幻灯片 15：本章总结
知识回顾：三角形的概念、分类是基础，三边关系和内角和定理是核心性质，高、中线、角平分线是重要线段，多边形的内角和与外角和是三角形知识的拓展。
能力要求：能熟练运用三角形的性质解决计算和推理问题，准确识别三角形的重要线段并掌握其性质，会进行多边形内角和与外角和的计算。
学习建议：注重结合图形理解概念和性质，通过适量练习巩固基础，关注易错点，建立几何知识的直观认知和逻辑推理能力。
幻灯片 16：课后作业
完成章末测试卷（涵盖全章知识点，注重基础应用和综合拓展）。
整理本章错题，分析错误原因，针对性复习薄弱知识点。
设计一个关于三角形三边关系或内角和定理的小实验，并用文字描述实验过程和结论。
2024人教版数学八年级上册
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章末复习
第十三章 三角形
知识结构
三角形
与三角形有关的线段
三角形的内角与外角
三角形的三边关系
中线、角平分线、高
三角形的内角和
三角形的外角
三角形的有关概念及分类
知识回顾
知识点1 三角形的概念及分类
1. 三角形的有关概念
定义：由不在同一条直线上的三条线段_____________组成的图形.
首尾顺次相接
A
B
C
D
顶点
边
三角形的内角
三角形的外角
点A
AC
或 b
∠ACB
∠ACD
表示方法：
△ABC
知识点1 三角形的概念及分类
2. 三角形的分类
直角
三角形
锐角
三角形
钝角
三角形
三边都不相等的三角形
等腰
三角形
等边
三角形
三角形按角分类
三角形按边分类
知识点2 与三角形有关的线段
1. 三角形的三边关系
三角形两边的和______第三边.
大于
三角形两边的差______第三边.
小于
三角形是具有______性的图形.
稳定
知识点2 与三角形有关的线段
2. 三角形的中线
A
B
C
D
F
E
B
C
F
D
E
A
B
C
F
D
E
三角形的中线将三角形分成两个__________的三角形.
三角形的三条中线相交于三角形____一点，这一点是三角形的______.
内
重心
面积相等
A
知识点2 与三角形有关的线段
3. 三角形的角平分线
A
B
C
F
D
E
A
B
C
F
D
E
A
B
C
F
D
E
三角形的三条角平分线相交于三角形____一点.
内
知识点2 与三角形有关的线段
4. 三角形的高
锐角三角形的三条高交于三角形______，直角三角形的高的交点是__________，钝角三角形的高交于三角形的______
A
B
C
E
D
F
A
B
C
D
B
C
E
D
F
A
内部
直角顶点
外部
知识点3 三角形的内角与外角
1. 三角形的内角和
三角形的内角和等于______.
180°
直角三角形的两个锐角______.
互余
有两个角______的三角形是直角三角形.
互余
知识点3 三角形的内角与外角
2. 三角形外角的有关推论
三角形的外角等于与它______________________.
三角形的外角______任何一个与它不相邻的内角.
三角形的外角和等于______.
不相邻的两个内角的和
大于
360°
复习巩固
1.下列四个条件：
①在△ABC中，∠A，∠B都是锐角；
②△ABC 的三个内角的度数之比是 1：2：3；
③在△ABC 中，∠A –∠B = ∠C；
④△ABC 的三个外角的度数之比是 3：4：5.
其中能确定△ABC 是直角三角形的是_________ (只填序号).
②③④
【教材P21复习题13 第1题】
2. 如图，在△ABC 中，AD，AE 分别是边 BC 上的中线和高，AE = 2，S△ABD = 1.5 . 求 BC 和 DC 的长.
解：∵S△ABD = BD · AE
= BD · 2 = 1.5，
∴BD = 1.5.
又 AD 是边 BC 上的中线，
∴BC = 2BD = 3，DC = BD = 1.5.
【教材P21复习题13 第2题】
3. 如图，填空：
由三角形两边的和大于第三边，得
AB + AD >______，
PD + CD >______.
将不等式左边，右边分别相加，得
AB + AD + PD + CD >_________，
即 AB + AC >___________.
BD
PC
BD + PC
PB + PC
【教材P21复习题13 第3题】
4. 求出下列图形中 x 的值.
（1）
（2）
（3）
【教材P22复习题13 第4题】
解：(1) x° = 90° – 50° = 40°，x = 40；
(2) x° + x° + 40° = 180°，x = 70；
(3) x° + (x + 10)° = (x + 70)°，x = 60.
综合运用
5. 如图，∠B = 42°，∠A 比∠1 小 10°，∠ACD = 64°. 求证 AB // CD.
【教材P22复习题13 第5题】
证明：由题意可知 ∠A + 10° =∠1，
∴ ∠A +∠1 = 180° –∠B = 180° – 42° = 138°，
∴ ∠A +∠A + 10° = 138°，
∴ ∠A = 64°. ∴∠A = ∠ACD.
∴ AB // CD (内错角相等，两直线平行).
6. 如图，在△ABC 中，∠C = ∠ABC = 2∠A， BD 是边 AC 上的高，求 ∠DBC 的度数.
【教材P22复习题13 第6题】
解：∵∠A +∠ABC +∠C = 180°，
∠C =∠ABC = 2∠A，
∴∠A + 2∠A + 2∠A = 180°，
∴∠A = 36°.
∴∠C = 2∠A = 2×36°= 72°.
∵BD 是 AC 边上的高，
∴∠BDC = 90°.
则∠DBC = 90° –∠C = 90° – 72° = 18°.
7. 如图，在△ABC 中，AD 是高，AE，BF 是角平分线，且 AE，BF相交于点 O，∠BAC = 50°，∠C = 70°. 求∠DAC 和∠BOA 的度数.
【教材P22复习题13 第7题】
解：如图，∵∠BAC = 50°，∠C = 70°，
∴∠ABC = 180°– (∠BAC +∠C )
= 180° – (50° + 70°) = 60°.
又 AE，BF 分别是∠BAC，∠ABC 的平分线，
∴∠1 = ∠BAC = ×50°=25°，
∠2 = ∠ABC = ×60°= 30°.
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∴在△AOB中，
∠BOA = 180° – (∠1 +∠2)
= 180° – ( 25° + 30°) = 125°.
∵在△ABC 中，AD 是高，
∴∠ADC = 90°.
又∠C = 70°，
∴∠DAC = 90° – 70° = 20°.
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拓广探索
8. 如图，在△ABC 中，BE，CF 是角平分线，且 BE，CF 相交于点 G. 求证：
（1）∠BGC = 180° – (∠ABC +∠ACB)；
（2）∠BGC = 90°+ ∠A.
【教材P22复习题13 第8题】
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证明：如图，
(1)∠BGC = 180° – (∠2 +∠3).
∵BE，CF 分别是∠ABC 与∠ACB 的平分线，
∴ ∠1 =∠2，∠3 =∠4.
∴ ∠2 +∠3 = (∠ABC +∠ACB).
∴ ∠BGC = 180° – (∠ABC +∠ACB).
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(2) ∵∠1 +∠2 +∠3 +∠4 +∠A = 180°，
∴ ∠2 +∠3 = 90° – ∠A.
∴ ∠BGC = 180° – (∠2 +∠3)
= 180° – (90° – ∠A)
= 90° + ∠A.
9. 如图，连接 AC，AD，BD，BE，CE，求证∠A +∠B + ∠C +∠D +∠E = 180°.
【教材P22复习题13 第9题】
解：如图，记 AC、BE 相交于点 F，AD，BE 相交于点 G.
∠C +∠E =∠AFG，
∠B +∠D =∠AGF，
∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E
=∠A +∠AFG +∠AGF = 180°.
G
F
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