资源简介

(共39张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：第十四章 全等三角形 章末复习
副标题：梳理知识脉络，提升综合应用能力
背景图：展示多种全等三角形图形及角平分线相关示意图，体现本章核心内容。
幻灯片 2：复习目标
系统梳理全等三角形的概念、性质、判定方法及角平分线的性质与判定，构建知识网络。
能熟练运用全等三角形的判定方法解决证明线段相等、角相等的问题，掌握角平分线性质与判定的综合应用。
通过典型例题和综合练习，提高分析问题和解决问题的能力，明确常见易错点并加以规避。
幻灯片 3：知识框架图
全等三角形
概念：能够完全重合的两个三角形。
性质：对应边相等，对应角相等。
判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL（直角三角形专用）。
角的平分线
性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
判定：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
尺规作图：作一个角的平分线。
应用：解决尺规作图问题、实际生活中的几何问题等。
幻灯片 4：核心知识点回顾 —— 全等三角形的概念与性质
全等形与全等三角形：能够完全重合的两个图形叫做全等形；能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
对应元素：全等三角形中重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
性质：
全等三角形的对应边相等。
全等三角形的对应角相等。
拓展：全等三角形的对应中线、对应高、对应角平分线相等，周长相等，面积相等。
符号表示：用 “≌” 表示全等，记两个三角形全等时，对应顶点字母写在对应位置上，如△ABC≌△DEF。
幻灯片 5：核心知识点回顾 —— 全等三角形的判定方法
一般三角形全等的判定：
SAS：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
ASA：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
AAS：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
SSS：三边对应相等的两个三角形全等。
直角三角形全等的判定：
除一般三角形的判定方法外，还有HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
判定方法的选择技巧：
已知两边：找夹角（SAS）或第三边（SSS）。
已知一边一角：边为角的对边找另一角（AAS）；边为角的邻边找夹边的另一角（ASA）或另一边的对角（AAS）或夹角的另一边（SAS）。
已知两角：找夹边（ASA）或一角的对边（AAS）。
幻灯片 6：核心知识点回顾 —— 角的平分线
角的平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线。
尺规作角的平分线：
步骤：以顶点为圆心画弧交两边于两点；分别以两点为圆心画弧交于角内一点；过顶点和交点画射线。
依据：SSS（证明所作射线两边的三角形全等）。
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
性质与判定的关系：互为逆命题，性质由位置到数量，判定由数量到位置。
幻灯片 7：考点解析 —— 全等三角形的判定与性质应用
考点 1：证明线段相等
例题：如图，点 E、F 在 AC 上，AD∥BC，AD = BC，AE = CF。求证：DF = BE。
解题思路：先证 AF = CE（由 AE = CF 得 AE + EF = CF + EF），再由 AD∥BC 得∠A = ∠C，最后用 SAS 证△ADF≌△CBE，得 DF = BE。
考点 2：证明角相等
例题：如图，AB = AD，AC = AE，∠BAD = ∠CAE。求证：∠B = ∠D。
解题思路：由∠BAD = ∠CAE 得∠BAC = ∠DAE，用 SAS 证△ABC≌△ADE，得∠B = ∠D。
幻灯片 8：考点解析 —— 直角三角形全等的判定（HL）
例题：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△DCB 中，∠A = ∠D = 90°，AC = DB，AC 与 DB 相交于点 O。求证：△ABC≌△DCB。
解题思路：明确两个三角形是直角三角形（∠A = ∠D = 90°），已知 AC = DB，BC 是公共斜边，根据 HL 可证 Rt△ABC≌Rt△DCB。
易错点：应用 HL 时需先明确直角三角形，不可忽略直角条件。
幻灯片 9：考点解析 —— 角平分线的性质与判定综合应用
例题：如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的平分线相交于点 O，过点 O 作 DE∥BC，交 AB 于点 D，交 AC 于点 E。求证：BD + EC = DE。
解题思路：由 BO 平分∠ABC 得∠DBO = ∠CBO，因 DE∥BC 得∠CBO = ∠DOB，所以∠DBO = ∠DOB，得 BD = DO；同理得 EC = EO，因此 BD + EC = DO + EO = DE。
幻灯片 10：易错点提醒
对应关系错误：在写全等三角形时，对应顶点位置错误，导致对应边、对应角判断错误。
例：误将△ABC≌△DEF 写成△ABC≌△EDF，造成后续推理错误。
误用判定方法：用 “SSA” 判定一般三角形全等（“SSA” 不能判定一般三角形全等，但 HL 是直角三角形的特殊情况）。
例：已知两边及其中一边的对角对应相等，直接判定三角形全等。
忽略角平分线判定的条件：忘记 “在角的内部” 这一条件，认为角外部到两边距离相等的点也在角平分线上。
尺规作图不规范：作角的平分线时，半径选择不当导致两弧无交点或交点位置错误。
幻灯片 11：综合练习
如图，已知 AB = CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为 E、F，BF = DE。求证：AB∥CD。
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠CAB，DE⊥AB 于点 E，若 AC = 6，BC = 8，求 DE 的长。
如图，在△ABC 中，AB = AC，BD = CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E、F。求证：DE = DF。
幻灯片 12：思想方法总结
转化思想：将证明线段或角相等的问题转化为证明三角形全等的问题。
数形结合思想：通过图形分析已知条件和求证结论，找到全等三角形的对应关系。
分类讨论思想：在复杂图形中，对不同的全等情况进行分类讨论，避免漏解。
逆向思维：从求证结论出发，寻找需要的条件，逐步推向已知条件（分析法）。
幻灯片 13：本章总结
知识回顾：全等三角形的概念、性质、判定方法是核心，角平分线的性质与判定是重要应用。
能力要求：能准确识别全等三角形的对应元素，灵活选择判定方法，熟练运用性质解决问题。
学习建议：多做综合练习，注重总结解题规律，关注易错点，通过错题反思提升解题能力。
幻灯片 14：课后作业
完成章末测试卷（涵盖全章知识点，注重综合应用）。
整理本章错题本，分析错误原因，重新规范解答。
自编一道关于全等三角形和角平分线综合应用的题目，并给出解答过程。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
章末复习
第十四章 全等三角形
知识框架
全等
三角形
全等形
全等三角形
角的平分线
定义、性质、判定
性质、判定
尺规作图
作一个角等于已知角
过直线外一点作这条直线的平行线
已知两边及其夹角作三角形
角的平分线的作法
已知三角形的三边作三角形
知识梳理
知识点1 全等形、全等三角形
1. 全等形
定义：能够_____________的两个图形.
完全重合
2. 全等三角形
定义：能够_____________的两个三角形.
完全重合
表示方法：符号_______.
≌
性质：对应边_______，对应角________.
相等
相等
拓展：全等三角形的周长_____，面积_____，对应角平分线、中线、高_____.
相等
相等
相等
知识点2 全等三角形的判定
判定方法 简称 图示
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
三边分别相等
两边和它们的
夹角分别相等
两角和它们的
夹边分别相等
两角分别相等且其中
一组等角的对边相等
SSS
SAS
AAS
ASA
HL
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
A
B
C
C'
A'
B'
知识点3 角的平分线的性质与判定
1. 角的平分线的性质
角的平分线上的点到角两边的距离 _______.
相等
2. 角的平分线的判定
角的内部到角两边距离______的点在角的平分线上.
相等
C
A
B
O
D
E
P
知识点4 尺规作图
1. 已知三角形的三边作三角形：
a
b
c
A
B
C
2. 作一个角等于已知角：
知识点4 尺规作图
O
A
B
C
D
O'
A'
C'
D'
B'
3. 过直线外一点作这条直线的平行线：
知识点4 尺规作图
C
A
B
E
F
D
原理：_______________________.
同位角相等，两直线平行
3. 过直线外一点作这条直线的平行线：
知识点4 尺规作图
C
A
B
E
F
D
原理：_______________________.
内错角相等，两直线平行
4. (1)已知两边及其夹角作三角形：
知识点4 尺规作图
a
b
α
A
D
E
B
C
4. (2)已知两角及其夹边作三角形：
知识点4 尺规作图
a
α
β
A
B
C
5. 角的平分线的作法：
知识点4 尺规作图
A
B
O
M
N
C
1. 图中有三个正方形，请你说出图中所有的全等三角形 .
【教材P58复习题14 第1题】
复习巩固
解：如图：
△ANM≌△MPC，
△AEF≌△CHG，
△ABC≌△CDA.
2. 如图，在长方形 ABCD 中，AF⊥BD，垂足为 E，AF 交 BC 于点 F，连接 DF.
（1）图中有全等三角形吗？
（2）图中有面积相等但不全等的
三角形吗？
【教材P58复习题14 第2题】
解：(1) 图中有全等三角形：△ABD≌△CDB.
(2)图中有面积相等但不全等的三角形：
S△AFD=S△ABD=S△CDB，S△ABF=S△DBF，S△ABE=S△DEF.
3. 如图，AB = AC，AD = BD = AE = CE.
求证∠D = ∠E.
【教材P59复习题14 第3题】
证明：在△ABD 和△ACE 中，
AD = AE，
DB = EC，
AB = AC，
∴△ABD≌△ACE（SSS）.
∴∠D =∠E.
【教材P59复习题14 第4题】
4. 如图，CA = CD，∠1 =∠2，BC = EC. 求证AB = DE.
证明：∵∠1 =∠2，∴∠1 +∠ACE =∠2 +∠ACE，
即∠ACB=∠DCE.
在△ACB 和△DCE中，
CA = CD，
∠ACB =∠DCE，
BC = EC，
∴△ACB≌△DCE（SAS）.∴AB = DE.
【教材P59复习题14 第5题】
5. 如图，海岸上有 A，B 两个观测点，
点 B 在点 A 的正东方，海岛 C 在
观测点 A 的正北方，海岛 D 在观
测点 B 的正北方 . 如果从观测点 A
看海岛 C，D 的视角∠CAD 与从观
测点 B 看海岛 C，D 的视角 ∠CBD 相等，那么海岛 C，D 到观测点 A，B 所在海岸的距离 CA，DB 相等 . 请你说明理由 .
解：∵海岛 C 在观测点 A 的正北方，海岛 D 在观测点 B 的正北方，∴CA⊥AB，DB⊥AB.
∴∠CAB =∠DBA = 90°.
又∠CAD =∠CBD，
∴∠DAB =∠CBA（等角的余角相等）.
在△ABC 和△BAD 中，
∠CBA =∠DAB，
AB = BA，
∠CAB =∠DBA，
∴△ABC≌△BAD（ASA）.
∴CA = DB，即海岛 C，D 到观测点 A，B所在海岸的距离CA，DB 相等.
【教材P59复习题14 第6题】
6. 如图，AB = CD，AC⊥BD，垂足为 E，AE = CE. 求证 BE = DE.
证明：∵AC⊥BD，∴∠CED =∠AEB = 90°.
在 Rt△AEB 和 Rt△CED 中，
AB = CD，
AE = CE，
∴Rt△AEB≌Rt△CED（HL）.
∴BE = DE.
【教材P59复习题14 第7题】
7. 如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，BE = CF. 求证：AD 是△ABC 的角平分线 .
证明：∵ D 是 BC 的中点，∴BD = CD.
又 DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB =∠DFC = 90°.
在 Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
BD = CD，
BE = CF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.
∴DE = DF.
∴AD 是△ABC 的角平分线.
【教材P59复习题14 第8题】
8. 如图，为了促进旅业的发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？
解：如图，三条公路两两相交，
设交点分别为 A，B，C.
分别作∠ABC，∠BAC 的平分线，
它们交于点 O，
则应在点 O 修建度假村.
9. 如图，两车从路段 AB 的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达 C，D 两地 . C，D 两地到路段 AB 的距离 CE，DF 相等吗？为什么？
【教材P59复习题14 第9题】
综合运用
解：C，D 两地到路段 AB 的距离 CE，DF 相等.
理由： ∵两车从 A，B 同时同速度出发，
行驶相同时间后分别到达 C，D 两地，
∴AC = BD.
∵AC // BD，∴∠A =∠B.
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠AEC =∠BFD = 90°.
在△AEC 和△BFD 中，
∠AEC =∠BFD，
∠A =∠B，
AC = BD，
∴△AEC≌△BFD（AAS）.
∴CE = DF，
即 C，D 两地到路段 AB 的距离 CE，DF 相等.
10. 如图，点 C 是 AB 的中点，CD // BE，且 CD = BE. 求证 AD // CE.
【教材P60复习题14 第10题】
证明：∵点 C 是 AB 的中点，∴AC = CB.
∵CD // BE，∴∠ACD =∠CBE.
在△ACD 和△CBE 中，
AC = CB，
∠ACD = ∠CBE，
CD = BE，
∴△ACD≌△CBE（SAS）.
∴∠DAC =∠ECB. ∴AD // CE.
【教材P60复习题14 第11题】
11. 如图，∠ACB = 90°，AC = BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为 D，E，AD = 2.5，DE = 1.7. 求 BE的长 .
解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠BEC =∠CDA = 90°.
∴∠CAD +∠ACD = 90°.
又∠ACB = 90°，
∴∠BCE +∠ACD = 90°.
∴∠BCE =∠CAD.
在△BEC 和△CDA 中，
∠BEC =∠CDA，
∠BCE =∠CAD，
BC = CA，
∴△BEC≌△CDA（AAS）.
∴CE = AD = 2.5，BE = CD.
∴BE = CD = CE – DE = 2.5 – 1.7 = 0.8.
【教材P60复习题14 第12题】
12. 如图的三角形纸片 ABC 中，AB = 8 cm，BC = 6 cm，AC = 5 cm. 沿过点 B 的直线折叠这个三角形，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，折痕为 BD. 求△AED 的周长 .
解：由折叠可知，BE = BC = 6 cm，DE = DC，
∴AE = AB – BE = 8 – 6 = 2（cm）.
∴△AED 的周长为：
AD + DE + AE = AD + DC + AE
= AC + AE = 5 + 2 = 7（cm）.
【教材P60复习题14 第13题】
13. 如图，△ABC ≌ △A′B′C′，AD，A′D′ 分别是△ABC，△A′B′C′ 的对应边上的中线，AD 与 A′D′ 有什么关系？证明你的结论 .
解：AD = A'D'. 证明：
∵△ABC≌△A'B'C'，
∴ AB = A'B'，∠B =∠B'，BC = B'C'.
又 AD，A'D' 分别是 BC，B'C' 上的中线，
∴BD = BC，B'D' = B'C'. ∴BD = B'D'.
在△ABD 和△A'B'D' 中，
AB = A'B'，
∠B =∠B'，
BD = B'D'，
∴△ABD≌△A'B'D'（SAS）. ∴AD = A'D'.
14. 如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线 . 求证 S△ABD：S△ACD = AB：AC.
【教材P60复习题14 第14题】
拓广探索
证明：如图，过点 D 分别作 DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F.
∵AD 平分∠BAC，
∴DE = DF.
∴S△ABD : S△ACD
= (AB·DE):(AC·DF) = AB : AC，
即S△ABD : S△ACD = AB : AC.
【教材P60复习题14 第15题】
15. 求证：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个角形全等 .
已知：如图，在△ABC 和△A1B1C1 中，AB = A1B1，BC = B1C1，AD 为 BC 上的中线，A1D1 为 B1C1 上的中线，且 AD = A1D1.
求证：△ABC≌△A1B1C1.
证明：∵AD，A1D1 分别为 BC，B1C1 上的中线，
∴BD = BC，B1D1 = B1C1.
∵BC = B1C1，∴BD = B1D1.
在△ABD 和△A1B1D1 中，
AB = A1B1，
AD = A1D1，
BD = B1D1，
∴△ABD≌△A1B1D1（SSS）.∴∠A =∠A1.
在△ABC 和△A1B1C1 中，
AB = A1B1，
∠A =∠A1
BC = B1C1，
∴△ABC≌△A1B1C1（SAS）.
边角边，角边角，角角边，
边边边，斜边、直角边
判定
全等三角形
全等形
应用
性质
对应边相等，对应角相等
角的平分线
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