资源简介

(共38张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：第十五章 轴对称 章末复习
副标题：梳理知识脉络，巩固核心要点
背景图：展示多种轴对称图形组合的图案，如蝴蝶、五角星、等腰三角形等，体现轴对称的美感与多样性。
幻灯片 2：本章知识框架
幻灯片 3：核心知识回顾 —— 轴对称的概念与性质
轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线是它的对称轴。
成轴对称：把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线是对称轴，折叠后重合的点是对称点。
轴对称的性质：
成轴对称的两个图形全等，对应线段相等，对应角相等。
对称轴是对应点连线的垂直平分线，即对称点的连线被对称轴垂直平分。
易错提示：轴对称图形是 “一个图形” 的特性，成轴对称是 “两个图形” 的位置关系，二者既有区别又有联系。
幻灯片 4：核心知识回顾 —— 线段的垂直平分线
定义：经过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线。
性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
几何语言：∵直线 l 垂直平分 AB，点 P 在 l 上，∴PA = PB。
判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
几何语言：∵PA = PB，∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。
尺规作图：分别以线段两端点为圆心，大于线段一半长为半径画弧，两弧交点的连线即为垂直平分线。
应用：证明线段相等、确定到两点距离相等的点的位置。
幻灯片 5：核心知识回顾 —— 等腰三角形
定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边为腰，另一边为底边，两腰夹角为顶角，腰与底边夹角为底角。
性质：
等边对等角：等腰三角形的两个底角相等（∠B = ∠C）。
三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
判定：等角对等边：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等（∵∠B = ∠C，∴AB = AC）。
易错点：“三线合一” 的前提是 “等腰三角形”，且是 “顶角平分线、底边上的中线、底边上的高” 重合，腰上的中线与高不一定重合。
幻灯片 6：核心知识回顾 —— 等边三角形与含 30° 角的直角三角形
等边三角形：
性质：三边相等，三个内角都是 60°，每条边上都满足 “三线合一”，有 3 条对称轴。
判定：①三边相等的三角形；②三个角都相等的三角形；③有一个角是 60° 的等腰三角形。
含 30° 角的直角三角形：
性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半（∵∠A = 30°，∠C = 90°，∴BC = 1/2 AB）。
逆用：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30°。
联系：等边三角形沿高剪开可得到两个含 30° 角的直角三角形，体现特殊图形间的转化。
幻灯片 7：核心知识回顾 —— 最短路径问题
基本原理：两点之间，线段最短。
“两点一线” 型（如牧马饮水）：
问题：在直线 l 上找一点 P，使 PA + PB 最小（A、B 在 l 同侧）。
解法：作点 A 关于 l 的对称点 A'，连接 A'B 交 l 于 P，P 即为所求，此时 PA + PB = A'B。
“两点两线” 型（如造桥选址）：
问题：在平行直线 a、b 间建桥 MN（⊥a、b），使 AM + MN + NB 最小。
解法：将 A 沿桥长方向平移到 A'，连接 A'B 交 b 于 N，作 NM⊥a 于 M，MN 即为所求。
核心思想：通过轴对称、平移等变换，将折线距离转化为直线距离，利用基本原理求解。
幻灯片 8：典例解析（一）—— 轴对称性质的应用
例题 1：如图，△ABC 与△A'B'C' 关于直线 l 对称，∠A = 50°，∠C' = 30°，求∠B 的度数。
解题步骤：
由轴对称性质，△ABC≌△A'B'C'，∴∠C = ∠C' = 30°。
在△ABC 中，∠A + ∠B + ∠C = 180°，∴∠B = 180° - 50° - 30° = 100°。
方法提炼：利用轴对称的全等性转化角度关系，结合三角形内角和定理计算。
幻灯片 9：典例解析（二）—— 线段垂直平分线的综合应用
例题 2：如图，在△ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 AC 于 E，△BCE 的周长为 14，BC = 5，求 AB 的长。
解题步骤：
∵DE 垂直平分 AB，∴AE = BE（垂直平分线性质）。
△BCE 的周长 = BE + EC + BC = AE + EC + BC = AC + BC = 14。
∵BC = 5，∴AC = 14 - 5 = 9，又 AB = AC，∴AB = 9。
方法提炼：利用垂直平分线的性质将线段进行等量代换，简化周长表达式。
幻灯片 10：典例解析（三）—— 等腰三角形的性质与判定
例题 3：如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 BC 上，且 BD = AD，DC = AC，求∠B 的度数。
解题步骤：
设∠B = x，∵AB = AC，∴∠C = x（等边对等角）。
∵BD = AD，∴∠BAD = ∠B = x，∠ADC = ∠B + ∠BAD = 2x（外角性质）。
∵DC = AC，∴∠CAD = ∠ADC = 2x（等边对等角）。
∠BAC = ∠BAD + ∠CAD = x + 2x = 3x。
在△ABC 中，x + x + 3x = 180°，解得 x = 36°，即∠B = 36°。
方法提炼：通过设未知数，利用等腰三角形性质表示各角，结合内角和定理列方程求解。
幻灯片 11：典例解析（四）—— 最短路径问题
例题 4：如图，点 A (1, 2)，B (3, 4)，直线 l：y = x，在 l 上找一点 P，使 PA + PB 最小，并求 P 点坐标。
解题步骤：
作 A 关于 l 的对称点 A'(2, 1)（对称点坐标满足 y = x 的对称规律）。
设直线 A'B 的解析式为 y = kx + b，代入 A'(2, 1)、B (3, 4) 得：\(\begin{cases}2k + b = 1 \\ 3k + b = 4\end{cases}\)，解得 k = 3，b = -5，解析式为 y = 3x - 5。
联立 l：y = x 与 y = 3x - 5，得 x = 3x - 5 x = 5/2，y = 5/2，∴P (5/2, 5/2)。
方法提炼：利用轴对称转化对称点，通过一次函数求交点确定最短路径点。
幻灯片 12：易错点警示
概念混淆：混淆 “轴对称图形” 与 “成轴对称”，前者是单个图形，后者是两个图形的关系。
性质误用：“三线合一” 仅适用于等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高，不可随意扩展到腰上的线段。
判定条件遗漏：判定等边三角形时，忽略 “等腰三角形” 前提，直接认为 “有一个角是 60° 的三角形是等边三角形”。
最短路径转化错误：“造桥选址” 问题中，平移方向错误或未平移河宽距离，导致路径计算错误。
含 30° 角直角三角形性质逆用条件缺失：忽略 “直角三角形” 前提，错误认为 “一条边是另一条边一半，则对角为 30°”。
幻灯片 13：本章思想方法总结
转化思想：将最短路径问题转化为直线距离问题，将等边三角形问题转化为含 30° 角的直角三角形问题。
数形结合思想：在平面直角坐标系中，利用坐标表示轴对称变换和最短路径点，通过函数求解坐标。
方程思想：在等腰三角形角度计算中，设未知数表示角的关系，列方程求解。
分类讨论思想：涉及等腰三角形边长或角度问题时，需考虑腰与底边、顶角与底角的不同情况。
建模思想：将实际问题（如牧马饮水、造桥选址）抽象为几何模型，运用轴对称知识解决。
幻灯片 14：章末检测题（选讲）
下列图形中，是轴对称图形的是（ ）（考查轴对称图形的识别）
等腰三角形的顶角为 80°，则底角的度数为______。（考查等腰三角形性质）
如图，在△ABC 中，DE 垂直平分 AB，若 AC = 5，BC = 4，则△BCE 的周长为______。（考查垂直平分线性质）
已知点 A (2, 3) 关于 x 轴对称的点为 A'，则 A' 的坐标为______。（考查坐标表示轴对称）
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 2，则 AB 的长为______。（考查含 30° 角直角三角形性质）
如图，A、B 在直线 l 同侧，在 l 上找一点 P 使 PA + PB 最小，保留作图痕迹。（考查最短路径作图）
幻灯片 15：总结与展望
知识梳理：本章围绕轴对称展开，学习了轴对称的概念、性质，线段垂直平分线、等腰三角形、等边三角形的性质与判定，以及最短路径问题的解决方法，形成了完整的知识体系。
能力提升：通过本章学习，提升了几何直观、逻辑推理、数学建模等核心素养，能运用轴对称知识解决实际问题和几何证明。
后续衔接：轴对称是平面几何的重要内容，为后续学习旋转、圆等知识奠定基础，其对称思想在函数图像、几何证明中应用广泛，需深入理解并灵活运用。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
章末复习
第十五章 轴对称
知识框架
生活中的轴对称
轴对称
等腰三角形
等边三角形
作对称轴
画轴对称的图形
关于坐标轴对称的点的坐标的关系
知识梳理
知识点1 轴对称的概念与性质
1. 轴对称：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够__________，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的________. 折叠后重合的点是对应点，叫作________.
互相重合
对称轴
注意：对称轴要用_____线表示.
虚
对称点
2. 成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形______，那么就说这两个图形关于这条直线__________.
重合
成轴对称
知识点1 轴对称的概念与性质
3. 轴对称与成轴对称：
区别 联系
轴对称图形 一个图形本身的特性 对称点在 同一个图形上
两个图形成轴对称 两个图形的位置关系 对称点分别在两个图形上 轴对称图形
两个图形关于 对称轴成轴对称
对称部分看成两个图形
看成一个整体
4. 轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴 ________.
垂直平分
知识点2 互逆命题与互逆定理
1. 互逆命题：两个命题的题设、结论正好______.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的________.
相反
逆命题
2. 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是________，那么它也是一个定理，这两个定理叫作________，其中一个定理叫作另一个定理的______.
真命题
注意：原命题成立时，它的逆命题_________________________.
可能成立，也可能不成立
互逆定理
逆定理
知识点3 线段的垂直平分线
1. 定义：经过线段______并且______于这条线段的______，叫作这条线段的垂直平分线.
中点
垂直
直线
2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离______.
相等
3. 判定：与线段两个端点__________的点在这条线段的垂直平分线上.
距离相等
知识点3 线段的垂直平分线
4. 作法：
A
B
(1) 分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C，D 两点；
(2) 作直线 CD.
CD 就是线段 AB 的垂直平分线.
C
D
也可以用这种方法确定线段的中点
中点
知识点3 线段的垂直平分线
5. 经过已知直线外一点作这条直线的垂线：
A
B
C
(1)以点 C 为圆心，适当长为半径作弧，交直线 AB 于点 D 和点 E；
E
D
(2)分别以点 D 和点 E 为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，两弧相交于点 F；
(3)作直线 CF.
F
知识点4 与轴对称有关的作图
1. 作对称轴：找出图形中的任意一对________后连接，作出所连线段的____________，该直线即成轴对称的两个图形或轴对称图形的对称轴.
对称点
垂直平分线
2. 画轴对称的图形：画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的_______，按顺序连接这些_______，就可以得到与原图形成轴对称的图形.
对称点
对称点
知识点4 与轴对称有关的作图
3. 用坐标表示轴对称：
点(x，y)关于 x 轴对称的点的坐标为(___，___)；
x –y
–x y
点(x，y)关于 y 轴对称的点的坐标为(___，___).
知识点5 等腰三角形的性质和判定
1. 性质：
等腰三角形的两个_____相等——“__________”；
等腰三角形底边上的______、 ____及__________重合 ——“__________”.
底角
等边对等角
中线
三线合一
高
顶角平分线
2. 判定：有____________的三角形是等腰三角形
——“____________”.
两个角相等
等角对等边
知识点6 等边三角形的性质和判定
1. 性质：等边三角形的三个内角都_____，并且每一个角都等于______.
相等
60°
2. 判定：______________的三角形是等边三角形；
有______________的等腰三角形是等边三角形.
三个角都相等
一个角是60°
3.在直角三角形中，如果一个锐角等于______ ，那么它所对的直角边等于斜边的_______.
30°
一半
1. 下列图形是轴对称图形吗？如果是，画出它们的对称轴.
【教材P91复习题15 第1题】
复习巩固
在教材上画一画吧！
2. 下列各命题都成立，写出它们的逆命题 .
这些逆命题成立吗？
（1）如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数；
【教材P91复习题15 第2题】
逆命题：如果两个实数的积是正数，那么它们都是正数.
该逆命题不成立.
（2）等边三角形是锐角三角形；
逆命题：锐角三角形是等边三角形.
（3）如果两个角是直角，那么它们相等；
逆命题：如果两个角相等，那么它们都是直角.
该逆命题不成立.
（4）角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 .
逆命题：角的平分线上的点到角的两边的距离
相等.
该逆命题不成立.
该逆命题成立.
3. 如图，D，E 分别是 AB，AC 的中点，CD⊥AB，垂足为 D，BE⊥AC，垂足为 E. 求证 AC = AB.
【教材P91复习题15 第3题】
证明：如图，连接BC.
∵D 是 AB 的中点，CD⊥AB，
∴CD 是 AB 的垂直平分线.
∴ AC = BC.
同理，AB = BC.
∴ AC = AB.
4. 如图所示的点 A，B，C，D，E 中，哪两个点关于 x 轴对称？哪两个点关于 y 轴对称？点 C 和点 E 关于 x 轴对称吗？为什么？
【教材P91复习题15 第4题】
解：点 A 和点 B 关于 x 轴对称.
点 B 和点 E 关于 y 轴对称.
点 C 和点 E 不关于 x 轴对称.
因为这两个点的纵坐标不是相反数，不符合关于 x 轴对称点的规律，所以它们不是关于 x 轴对称的点.
5. 如图，在△ABC 中，∠ABC = 50°，∠ACB = 80°，延长 CB 至 D，使 DB = BA，延长 BC 至 E，使 CE = CA，连接 AD，AE.
求∠D，∠E，∠DAE 的度数 .
【教材P92复习题15 第5题】
解：∵∠ABC 是△ABD 的一个外角，DB = BA，
∴ ∠D +∠DAB = ∠ABC = 50°，∠D =∠DAB.
∴∠D = ∠ABC = ×50° = 25°.
同理，∠E = ∠ACB = ×80° = 40°.
∴∠DAE = 180° –∠D –∠E = 180° – 25° – 40° = 115°.
6. 如图，AD = BC，AC = BD，求证：△EAB 是等腰三角形 .
【教材P92复习题15 第6题】
证明：在△ABD 和△BAC 中，
AD = BC，
BD = AC，
AB = BA，
∴△ABD≌△BAC（SSS）. ∴∠ABE =∠BAE.
∴BE=AE，即△EAB是等腰三角形.
7. 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是高，∠A = 30°. 求证 BD = AB.
【教材P92复习题15 第7题】
证明：∵在△ABC 中，∠ACB = 90°，∠A = 30°，
∴∠B = 90°–∠A = 60°，BC = AB.
∵CD 是高，∴∠BDC = 90°.
∴∠BCD = 90°–∠B = 30°.
∴BD = BC.
∴BD = × AB = AB.
8. 作出下列轴对称图形的对称轴 .
【教材P92复习题15 第8题】
综合运用
9. 如图，从图形 I 到图形 II 是进行了平移还是轴对称？如果是轴对称，找出对称轴；如果是平移，是怎样的平移？
【教材P92复习题15 第9题】
解：（1）从图形 I 到图形 II 是进行了轴对称.
对称轴是 y 轴.
（2）从图形 I 到图形 II 是进行了平移.
将图形 I 先向左平移 5 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，得到图形 II（平移的方法不唯一）.
（3）从图形 I 到图形 II 是进行了平移.
将图形 I 先向右平移 5 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，得到图形 II（平移的方法不唯一）.
（4）从图形 I 到图形 II 是进行了轴对称.
对称轴是 x 轴.
10. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE，DF分别是△ABD 和△ACD 的高 . 求证：AD 垂直平分 EF.
【教材P93复习题15 第10题】
证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE = DF.
∴点 D 在线段 EF 的垂直平分线上.
在 Rt△ADE 和 Rt△ADF 中，
AD = AD，
DE = DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）.
∴AE = AF.
∴点 A 也在线段 EF 的垂直平分线上.
∴AD 垂直平分 EF.
11. 如图，在等边三角形 ABC 的三边上，分别取点 D，E，F，使 AD = BE = CF.
求证：△DEF 是等边三角形.
【教材P93复习题15 第11题】
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB = BC = CA，∠A =∠B =∠C = 60°.
又AD = BE = CF，∴AB – AD = BC – BE = CA – CF，
即 BD = CE = AF.
在△BDE 和△CEF 中，
BD = CE，
∠B = ∠C，
BE = CF，
∴△BDE≌△CEF（SAS）. ∴DE = EF.
同理EF = FD. ∴DE = EF = FD.
∴△DEF是等边三角形.
12. 如图，△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长 BC 至 E，使 CE = CD. 求证 DB = DE.
【教材P93复习题15 第12题】
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC =∠ACB = 60°.
又 BD 是中线，∴BD 也是∠ABC 的平分线.
∴∠DBC = ∠ABC = ×60°= 30°.
又 CE = CD，∠ACB 是△DCE 的一个外角，
∴∠CDE =∠E，且∠E +∠CDE =∠ACB = 60°.
∴∠E = ∠ACB = 30°.
∴∠DBC =∠E. ∴DB = DE.
13. 如图，△ABC 是等腰三角形，AC = BC，△BCD 和△ACE 是等边三角形，AE 与 BD 相交于点 F，连接 CF 并延长，交 AB 于点 G.
求证：G 为 AB 的中点 .
【教材P93复习题15 第13题】
拓广探索
证明：∵△BCD 和△ACE 都为等边三角形，
∴∠CBD =∠CAE = 60°.
又△ABC 为等腰三角形，AC = BC，
∴点C在线段AB的垂直平分线上，
∠CAB =∠CBA.
∴∠CAB –∠CAE =∠CBA –∠CBD，
即∠FAB =∠FBA.
∴AF = BF. ∴点 F 也在线段 AB 的垂直平分线上.
又AC=BC，∴点 C 也在线段 AB 的垂直平分线上.
∴CG 垂直平分 AB. ∴G 为 AB 的中点.
14. 如图，直线 l1，l2 是两条平行的直线，图形 G 是一条封闭的曲线 .
先作图形 G 关于直线 l1 对称的图形，得到图形 G1，再作图形 G1 关于直线 l2 对称的图形，得到图形 G2. 图形 G2 可以由图形 G 平移得到吗？如果可以，平移的方向与直线 l1，l2 有什么关系？平移的距离是多少？
【教材P93复习题15 第14题】
解：可以. 平移的方向与直线 l1，l2 均互相垂直.
如图，平移的距离是线段 AB 的长度.
A
B
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