资源简介

(共33张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：综合与实践 最短路径问题
副标题：运用轴对称解决距离最短问题
背景图：展示一幅牧马人从营地出发，先到河边饮水再到草地放牧的场景示意图，引发对最短路径的思考。
幻灯片 2：学习目标
理解最短路径问题的实际意义，能将实际问题转化为几何图形中的距离问题。
掌握运用轴对称知识解决 “两点一线”“两点两线” 等类型最短路径问题的方法。
体会转化思想在解决最短路径问题中的应用，提升几何建模和逻辑推理能力。
幻灯片 3：情境引入 —— 生活中的最短路径
情境 1：如图，小明从家出发去学校，想先到河边洗手，再去学校，怎样走路线最短？
情境 2：在公路两侧有两个村庄，要在公路上建一个公交站，使公交站到两个村庄的距离之和最短，公交站应建在何处？
核心问题：这些实际问题都可以抽象为几何中的最短路径问题，即如何在平面内找到两点之间或点到线再到点的最短距离。
幻灯片 4：复习回顾 —— 两点之间的距离
基本事实：两点之间，线段最短。这是解决最短路径问题的基础原理。
轴对称性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段相等。利用轴对称可以将不在同一直线上的点转化到同一直线上，从而运用 “两点之间线段最短” 解决问题。
图形示例：展示两点 A、B 及直线 l，通过作 A 关于 l 的对称点 A'，说明 A 到直线 l 上一点 P 再到 B 的距离等于 A' 到 P 再到 B 的距离，即 AP + PB = A'P + PB。
幻灯片 5：问题探究（一）——“牧马饮水” 问题
问题描述：如图，牧马人从点 A 出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到点 B，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
转化为几何问题：在直线 l 上找一点 P，使 PA + PB 的值最小。
解决思路：
作点 A 关于直线 l 的对称点 A'。
连接 A'B，交直线 l 于点 P。
点 P 即为所求，此时 PA + PB = A'B，路径最短。
原理证明：在直线 l 上任取另一点 P'，连接 PA、P'A、P'A'、P'B。因为点 A 与 A' 关于 l 对称，所以 PA = PA'，P'A = P'A'。因此 PA + PB = PA' + PB = A'B，P'A + P'B = P'A' + P'B。根据 “两点之间线段最短”，A'B < P'A' + P'B，所以 PA + PB < P'A + P'B，即点 P 使 PA + PB 最小。
幻灯片 6：“牧马饮水” 问题的应用示例
例题 1：如图，在平面直角坐标系中，点 A (1, 3)，点 B (4, 2)，直线 l 为 x 轴，在 l 上找一点 P，使 PA + PB 的值最小，并求出点 P 的坐标和 PA + PB 的最小值。
解题步骤：
作点 A 关于 x 轴的对称点 A'(1, -3)。
设直线 A'B 的解析式为 y = kx + b，将 A'(1, -3)、B (4, 2) 代入得：\(\begin{cases}k + b = -3 \\ 4k + b = 2\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}k = \frac{5}{3} \\ b = -\frac{14}{3}\end{cases}\)，所以直线 A'B 的解析式为\(y = \frac{5}{3}x - \frac{14}{3}\)。
令 y = 0，得\(\frac{5}{3}x - \frac{14}{3} = 0\)，解得 x = \(\frac{14}{5}\)，所以点 P 的坐标为 (\(\frac{14}{5}\), 0)。
PA + PB 的最小值为 A'B 的长度，根据两点间距离公式，A'B = \(\sqrt{(4 - 1)^2 + (2 - (-3))^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}\)。
幻灯片 7：问题探究（二）——“造桥选址” 问题
问题描述：如图，A、B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN，桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
转化为几何问题：在两条平行直线 a、b（河的两岸）之间找一条垂线段 MN（桥），使 AM + MN + NB 的值最小。
解决思路：
将点 A 沿与河垂直的方向平移河宽的距离到 A'。
连接 A'B，交直线 b 于点 N。
过点 N 作 NM⊥a 于点 M，连接 AM。
桥 MN 即为所求，此时路径 AMNB 最短。
原理证明：由平移性质可知 AM = A'N，MN 为定值（河宽）。因此 AM + MN + NB = A'N + MN + NB = A'B + MN。在其他位置造桥 M'N'，路径为 AM' + M'N' + N'B = A'N' + M'N' + N'B。因为 A'B < A'N' + N'B（两点之间线段最短），且 MN = M'N'，所以 AM + MN + NB < AM' + M'N' + N'B，即路径 AMNB 最短。
幻灯片 8：“造桥选址” 问题的应用示例
例题 2：如图，直线 a∥b，a、b 之间的距离为 2，点 A 在直线 a 上，坐标为 (1, 3)，点 B 在直线 b 上，坐标为 (5, 0)，在 a、b 之间造一座与它们垂直的桥 MN，使 A 到 B 的路径 AMNB 最短，求点 M、N 的坐标。
解题步骤：
因为桥与 a、b 垂直，且 a、b 平行于 x 轴（假设），所以将点 A 向下平移 2 个单位（河宽）到 A'(1, 3 - 2) = (1, 1)。
连接 A'B，设直线 A'B 的解析式为 y = kx + b，将 A'(1, 1)、B (5, 0) 代入得：\(\begin{cases}k + b = 1 \\ 5k + b = 0\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}k = -\frac{1}{4} \\ b = \frac{5}{4}\end{cases}\)，直线 A'B 的解析式为\(y = -\frac{1}{4}x + \frac{5}{4}\)。
点 N 在直线 b 上，直线 b 的纵坐标为 0（假设），令 y = 0，得\(-\frac{1}{4}x + \frac{5}{4} = 0\)，解得 x = 5，所以点 N 的坐标为 (5, 0)（与点 B 重合，特殊情况）。
点 M 与 N 的横坐标相同，且在直线 a 上（纵坐标为 3），所以点 M 的坐标为 (5, 3)。
幻灯片 9：最短路径问题的解题策略总结
核心思想：转化思想，通过轴对称、平移等方法，将折线距离转化为直线距离，利用 “两点之间线段最短” 解决问题。
“两点一线” 型：求直线上一点到两点距离之和最小，作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，交点即为所求。
“两点两线” 型（造桥选址）：求两平行线间的最短路径（含垂线段），将一点沿垂线方向平移垂线段长度，连接平移后点与另一点，交点确定路径。
关键步骤：确定转化方式（轴对称或平移）→ 作出辅助图形（对称点或平移点）→ 找到交点确定最短路径→ 证明路径最短。
幻灯片 10：课堂练习
如图，点 A、B 在直线 l 的同侧，在 l 上找一点 P，使 PA + PB 最小，并说明理由。
已知点 A (2, -1)，点 B (-3, -4)，直线 l：y = x，在直线 l 上求一点 P，使 PA + PB 的值最小。
如图，A、B 两地之间有一条河，河宽为 d，现要在河上建一座桥，使从 A 到 B 的路径最短，画出桥的位置并说明画法。
幻灯片 11：最短路径问题在生活中的拓展应用
应用 1：物流配送路线规划，物流公司从仓库出发，依次到多个配送点送货，如何规划路线使总路程最短（可简化为多点最短路径问题）。
应用 2：光的反射问题，光线从点 A 出发，经镜面反射后到点 B，反射光线的路径与最短路径原理一致，即入射角等于反射角，可通过作对称点求解。
应用 3：城市道路设计，在交叉路口设置人行横道，使行人从 A 地到 B 地过马路的路径最短，需考虑道路宽度和垂直过马路的要求。
幻灯片 12：课堂小结
知识总结：
最短路径问题的核心原理是 “两点之间线段最短”。
常用解决方法：对于 “两点一线” 问题，通过轴对称转化；对于 “造桥选址” 问题，通过平移转化。
关键是将折线距离转化为直线距离，利用几何变换实现转化。
方法总结：解决最短路径问题时，先分析问题类型，确定是 “两点一线” 还是 “两点两线” 型，再选择合适的转化方法（轴对称或平移），作出辅助图形找到最短路径，并进行原理证明。
思想提炼：体会转化思想在几何问题中的重要性，将复杂问题简单化，将未知问题转化为已知问题，培养几何建模和创新思维能力。
幻灯片 13：课后作业
基础作业：课本第 XX 页综合与实践习题，完成 “牧马饮水” 和 “造桥选址” 相关练习题。
提升作业：如图，在△ABC 中，AB = AC = 5，BC = 6，点 D 在 BC 上，求 AD + BD 的最小值。
拓展作业：设计一个生活中的最短路径问题，画出示意图，并用所学知识解决，写出解题步骤和原理说明。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
综合与实践 最短路径问题
第十五章 轴对称
通过轴对称变换、平移变换体会转化思想.
掌握直线同侧两点到线上一点的距离和最小问题，了解运用平移法解决造桥问题，在解决实际问题的过程中强化应用意识.
活动一：创设情境，引入新知
日常生活中经常会遇到最短路径问题.
从数学的角度看，这类问题抽象为几何问题后，常常是求线段和的最小值问题.
活动一：创设情境，引入新知
两点的所有连线中，_______最短.
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，_________最短.
线段
垂线段
本节课的探究任务
我们称这种问题为最短路径问题.
活动任务
活动目标
会用数学的眼光发现生活中的最短路径问题；会用数学知识、思想、方法描述最短路径问题，把最短路径问题转化为数学问题；会通过逻辑推理解决数学问题；会用数学问题的结果解释最短路径问题，获得最短路径问题的答案 .
活动准备
1. 查阅资料，列举生活中的最短路径问题.
2. 了解光行最速原理：光线所行进的“光程”最短，即光行进的时间最短.
活动一：牧民饮马问题
任务1
如图，牧民从 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地. 牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？
你能用自己的语言把问题抽象为数学问题吗？
活动一：牧民饮马问题
提示：从数学的角度看，如果把河边 l 近似地看成一条直线，问题就是要在直线 l 上找一点 C，使 AC 与 CB 的和最小.
在直线 l 上找一点 C，使 AC + BC 最短，点 C 应该在哪里？
A
B
l
C
活动一：牧民饮马问题
（1）如果点 A，B 是直线 l 异侧的两个点，如何在 l 上找一点 C，使 AC 与 CB 的和最小？
A
B
l
两点之间，线段最短
C
（2）在任务 1 中，点 A，B 在直线 l 的同侧，你能利用轴对称，把这个问题转化为（1）中的问题吗？
A
B
l
B'
①找到点 B 关于直线 l 的对称点 B′；
②连接 AB′，其与直线 l 的交点就是所求点 C.
AC + BC 就是最短路程.
C
证明你在任务 1 中得到的结论.
任务2
（1）点 A，B 是直线 l 异侧的两个点：
A
B
l
C
证明：如图，在 l 上另外任取一点 C′.
在△ABC′ 中，AB < AC′ + C′B，
即 AC + CB < AC′ + C′B.
所以 AC + CB 最小.
C'
证明：如图，在直线 l 上任取一点 C′（与点C 不重合）连接 AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，BC = B′C，BC′ = B′C′．
∴ AC + BC = AC + B′C = AB′，
AC′ + BC′ = AC′ + B′C′．
在△AB′C′中，AB′ ＜ AC′ + B′C′，
∴ AC + BC ＜ AC′ + BC′．
即 AC + BC 最短．
（2）点 A，B 是直线 l 同侧的两个点：
A
B
l
B'
C
C'
轴对称
两点之间
线段最短
归纳总结
A
B
l
C
A
l
C
B
同侧转化异侧
实际问题
数学问题
将同侧点 转化到异侧
化折为直
针对训练
如图，元元星期天从 A 处赶几只羊到草地边某一处吃草，然后赶羊到河边某一处饮水，之后再回到 B 处的家. 假设元元赶羊走的都是直路，请你为他设计一条最短的路线，并指明羊吃草与饮水的位置.
针对训练
解：如图，作出点 A 关于 l1 的对称点 E，点 B关于 l2 的对称点 F，连接 EF，分别交 l1 ，l2 于点 C，D，连接 AC，BD，则 A→C→D→B 是元元走的最短路线，其中点 C 是羊吃草的位置，点 D 是羊饮水的位置.
活动二：牧民饮马问题的拓展
任务1
课堂
讨论
如图，牧民从 A 地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到 A 处. 牧民怎样走可使所走的路径最短？
如图，如果把草地近似看成射线 a，河边近似看成射线 b，问题就是分别在射线 a，b 上分别找一点 B， C，使 AB + BC + AC 最小.
分别作点 A 关于 a，b 的对称轴 A′，A″，可得 A′B = AB，A″C = AC.
问题转化为：当点 B，C 在什么位置时，A′B + BC + CA″ 最小？
当 B，C 分别为 A′A″ 与射线 a，b 的交点时，AB + BC + AC″ 最小，为 A′A″.
A
a
b
任务2
课堂
讨论
如图，牧民从 A 地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到 B 处 . 牧民怎样走可使所走的路径最短？
这个问题可抽象为：如图，在射线 a，b 上分别找一点 C，D，使 AC + CD + BD 和最小.
分别作点 A，B 关于 a，b 的对称点 A′，B′，可得 AC = A′C′，BD = B′D.
当 C，D 分别为 A′B′ 与射线 a，b 的交点时，AC + CD + BD 最小，为 A′B′.
A
B
a
b
任务3
课堂
讨论
如图，牧民每天从生活区的边沿 A 处出发，先到草地边的 B 处牧马，再到河边 C 处饮马，然后回到 A 处 . 如何确定 A，B，C 的位置，使从 A 处出发，到 B 处牧马，再到 C 处饮马，最后回到 A 处所走的路径最短？
这个问题可抽象为：如图，在△DEF 中，A，B，C 分别为 EF，DE，DF 上一动点，当点 A，B，C 在什么位置时，AB + BC + CA 最小.
要使 A′A″ 最小，则 DA′ 最小即 AD 最小，当 AD⊥EF 时，AD 最小.
分别作点 A 关于 DE，DF 的对称点 A′，A″，有 A′B = AB，A″C = AC，AB + BC + CA ≥ A′A″.
在△DA′A″ 中，DA′ = DA″ = AD，∠A′DA″ = 2∠EDF（定值）.
【点击打开几何画板】
D
E
F
任务4
课堂
讨论
举出类似上述数学模型的其他现实问题并加以解决 .
如图，A，B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径AMNB 最短？(假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直 .)
任务1
活动三：造桥选址问题
提示：可以把河的两岸看成两条平行线，由于河宽固定，所以可以考虑将点 A（或B）按与河岸垂直的方向平移河宽的距离，使问题转化为可以利用“两点之间，线段最短”解决的问题.
活动三：造桥选址问题
你能用自己的语言将它抽象为数学问题吗？
如图，直线 a // b，N 为直线 b 上的一个动点，MN⊥b，交直线 a 于点 M.当点 N 在直线 b 的什么位置时，AM + MN + NB 最小？
a
b
A
B
M
N
将 AM 沿与河岸垂直的方向平移河宽的距离，
点 M 移动到点 N，点 A 移到点 A′，则 AA′ = MN，AM + NB = A′N + NB.
当点 N 为 A′B 与直线 b 的
交点时，AM + MN + BN最小，为 A′B + MN.
活动三：造桥选址问题
a
b
A
B
M
N
问题就转化为：当点 N 在直线 b 的什么位置时，A′N + NB 最小？
A'
任务2
课堂
讨论
举出类似上述数学模型的其他现实问题并加以解决 .
活动三：造桥选址问题
类型1 牧民饮马问题
1.如图，点，在直线的同侧，在直线上找一点,使 最小，
则下列图形中符合题意的是( )
B
A. B. C. D.
2.如图，正方形网格中有，两点，在直线 上求
点，使最短，则点 应选在( )
C
A.点 B.点 C.点 D. 点
（第3题）
3.［2025长沙期末］如图，在等边三角形中，
是边上的高，为上一动点，若，为
边上一点，则 的最小值为___.
7
4.如图，已知 ，点为内部一点，点为射线 上
的动点，点为射线上的动点，当的周长最小时，
_____.
（第4题）
5.如图，一个人从点骑马出发到 点，但他必须
先到河岸边的点让马饮水，然后再到河岸边
的点，再次让马饮水，最后骑马到 点.他应如
何选择饮水点， ，才能使所走的路程
最短？
解：如图，作点关于的对称点，作点关于
的对称点，连接，分别交，于点 、点
，连接， ，此时所走的路程
最短.
A
B
l
C
A
l
C
B
平移
a
b
A
B
M
N
轴对称
依据：两点之间，线段最短
课后作业
从课后习题中选取；
完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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