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1.1 认识负数教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：1.1 认识负数
副标题：小学六年级数学下册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：情境引入
生活实例：
如图 1，天气预报显示北京冬季某一天的气温为\(-5^{\circ}C\)到\(3^{\circ}C\)，这里的 “\(-5^{\circ}C\)” 表示什么意思？
如图 2，银行存折上有一笔交易记录为 “\(-200\)元”，它和 “\(+300\)元” 分别代表什么含义？
如图 3，电梯按钮上的 “\(-1\)” 层，指的是哪一层？
提出问题：生活中经常会遇到这样带有 “\(-\)” 号的数，它们是什么数？为什么需要用到这样的数？引出对负数的探究。
第 3 页：学习目标
知识目标：理解负数的意义，知道负数是表示与正数相反意义的量；能正确读写正数和负数，知道 0 既不是正数也不是负数；会用正数和负数表示生活中常见的相反意义的量。
能力目标：通过观察、比较、分析生活中的实例，培养发现问题和解决问题的能力；在认识负数的过程中，提高数感和抽象思维能力。
情感目标：感受负数在生活中的广泛应用，体会数学与生活的密切联系，激发学习数学的兴趣。
第 4 页：相反意义的量
定义：在生活中，存在许多具有相反意义的量，如上升与下降、收入与支出、零上温度与零下温度、向东与向西等。
实例列举：
零上\(5^{\circ}C\)和零下\(3^{\circ}C\)是一对具有相反意义的量。
收入\(800\)元与支出\(500\)元是一对具有相反意义的量。
电梯上升\(6\)层与下降\(2\)层是一对具有相反意义的量。
思考：如何用数学符号清晰地区分这些具有相反意义的量？
第 5 页：负数的产生
历史背景：在古代，人们为了表示具有相反意义的量，逐渐引入了负数的概念。我国是世界上最早认识和使用负数的国家，早在《九章算术》中就有关于负数的记载。
引入需求：当我们用正数表示其中一种意义的量时，为了区分另一种相反意义的量，就需要引入一种新的数 —— 负数。例如，用\(+5^{\circ}C\)表示零上\(5^{\circ}C\)，那么零下\(3^{\circ}C\)就可以表示为\(-3^{\circ}C\)。
第 6 页：负数的定义和表示方法
正数：像\(+3\)、\(+5^{\circ}C\)、\(+800\)这样的数叫做正数，“\(+\)” 叫做正号，正数前面的 “\(+\)” 可以省略不写，如\(+3\)可以写成\(3\)。
负数：像\(-3\)、\(-5^{\circ}C\)、\(-200\)这样的数叫做负数，“\(-\)” 叫做负号，负数前面的 “\(-\)” 不能省略。
0 的特殊性：0 既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分界点。0 表示一个也没有，也可以表示某种量的基准，如\(0^{\circ}C\)不是没有温度，而是零上温度和零下温度的分界。
第 7 页：负数的读写
正数的读法：读正数时，先读 “正” 字，再读数，如\(+5\)读作 “正五”；省略正号的正数直接读数，如\(3\)读作 “三”。
负数的读法：读负数时，先读 “负” 字，再读数，如\(-3\)读作 “负三”，\(-5^{\circ}C\)读作 “负五摄氏度”。
正数的写法：写正数时，可以在数前面加 “\(+\)”，也可以不加，如正八写作 “\(+8\)” 或 “\(8\)”。
负数的写法：写负数时，必须在数前面加 “\(-\)”，如负七写作 “\(-7\)”。
第 8 页：生活中负数的应用举例
温度表示：
零上温度用正数表示，如零上\(15^{\circ}C\)写作 “\(15^{\circ}C\)” 或 “\(+15^{\circ}C\)”。
零下温度用负数表示，如零下\(8^{\circ}C\)写作 “\(-8^{\circ}C\)”。
财务收支：
收入用正数表示，如收入\(1000\)元记作 “\(+1000\)元”。
支出用负数表示，如支出\(300\)元记作 “\(-300\)元”。
海拔高度：
海平面以上的高度用正数表示，如珠穆朗玛峰海拔约\(+8848\)米（或\(8848\)米）。
海平面以下的深度用负数表示，如死海海拔约\(-430\)米。
方向距离：
规定向东为正方向，向东走\(50\)米记作 “\(+50\)米”，向西走\(30\)米记作 “\(-30\)米”。
第 9 页：例题讲解 1—— 正数和负数的识别
例 1：指出下列各数中哪些是正数，哪些是负数：\(+5\)、\(-3\)、\(0\)、\(7\)、\(-1.2\)、\(+3.6\)、\(-0.8\)。
答案解析：
正数：\(+5\)、\(7\)、\(+3.6\)（正数前面可以带 “\(+\)”，也可以不带）。
负数：\(-3\)、\(-1.2\)、\(-0.8\)（负数前面必须带 “\(-\)”）。
0 既不是正数，也不是负数。
第 10 页：例题讲解 2—— 用正数和负数表示相反意义的量
例 2：用正数和负数表示下列具有相反意义的量：
（1）向东走\(20\)米和向西走\(15\)米。
（2）盈利\(500\)元和亏损\(200\)元。
（3）高出海平面\(300\)米和低于海平面\(120\)米。
答案解析：
（1）规定向东为正，则向东走\(20\)米记作 “\(+20\)米”，向西走\(15\)米记作 “\(-15\)米”。
（2）规定盈利为正，则盈利\(500\)元记作 “\(+500\)元”，亏损\(200\)元记作 “\(-200\)元”。
（3）规定高出海平面为正，则高出海平面\(300\)米记作 “\(+300\)米”，低于海平面\(120\)米记作 “\(-120\)米”。
第 11 页：例题讲解 3—— 理解负数在实际情境中的意义
例 3：填空：
（1）如果气温从\(0^{\circ}C\)上升\(5^{\circ}C\)记作\(+5^{\circ}C\)，那么从\(0^{\circ}C\)下降\(3^{\circ}C\)记作______。
（2）如果小明的体重增加\(2\)千克记作\(+2\)千克，那么他的体重减少\(1\)千克记作______。
（3）某商店上月盈利\(3000\)元记作\(+3000\)元，本月亏损\(500\)元记作______。
答案解析：
（1）\(-3^{\circ}C\)
（2）\(-1\)千克
（3）\(-500\)元
第 12 页：方法总结
认识正数和负数的方法：
正数前面可以带 “\(+\)” 或不带，负数前面必须带 “\(-\)”。
0 是正数和负数的分界，既不属于正数，也不属于负数。
用正数和负数表示相反意义的量的步骤：
先确定一个基准，规定其中一种意义的量为正。
那么与它相反意义的量就用负表示。
注意事项：在表示具有相反意义的量时，要明确规定哪个方向或哪种情况为正，避免混淆；负数的读写要注意 “负” 字的使用。
第 13 页：课堂练习 1
练习 1：读出下列各数，并指出哪些是正数，哪些是负数：
\(-12\)、\(+8\)、\(0\)、\(-3.5\)、\(100\)、\(-4.2\)、\(+1.8\)。
练习 2：用正数或负数表示下列各量：
（1）零下\(6^{\circ}C\)记作______。
（2）电梯上升\(9\)层记作\(+9\)层，那么下降\(4\)层记作______。
（3）妈妈存入银行\(5000\)元记作\(+5000\)元，取出\(1000\)元记作______。
第 14 页：课堂练习 2
练习 3：判断下列说法是否正确：
（1）一个数不是正数就是负数。（ ）
（2）\(-15^{\circ}C\)表示零下\(15^{\circ}C\)。（ ）
（3）正数都比 0 大，负数都比 0 小。（ ）
练习 4：某水库的水位在标准水位以上\(3\)米记作\(+3\)米，那么在标准水位以下\(2\)米记作什么？水位在标准水位处记作什么？
第 15 页：易错点提醒
误认为 0 是正数或负数，忽略 0 是正数和负数的分界点。
负数前面的 “\(-\)” 省略不写，如将 “\(-5\)” 写成 “\(5\)”，导致正负混淆。
对相反意义的量理解不清，在表示时没有先规定正方向，导致表示错误。
读负数时漏读 “负” 字，如将 “\(-7\)” 读作 “七”，而不是 “负七”。
认为负数都是整数，忽略负数也可以是小数或分数，如\(-3.5\)、\(-\frac{1}{2}\)都是负数。
第 16 页：课堂小结
本节课学习了负数的定义：像\(-3\)、\(-5^{\circ}C\)这样带有负号的数叫做负数，像\(3\)、\(+5^{\circ}C\)这样的数叫做正数，0 既不是正数也不是负数。
掌握了正数和负数的读写方法：正数可读 “正几” 或直接读数字，负数必须读 “负几”；正数可写 “\(+几\)” 或 “几”，负数必须写 “\(-几\)”。
学会了用正数和负数表示生活中具有相反意义的量，如温度、收支、海拔等。
理解了负数在实际生活中的应用价值，知道了 0 作为分界点的重要性。
第 17 页：作业布置
基础作业：教材第 [X] 页练习一第 1、2、3 题。
提高作业：记录一周的天气预报，分别用正数和负数表示每天的最高气温和最低气温（零上为正，零下为负）。
拓展作业：生活中还有哪些地方用到了负数？请举例说明它们所表示的意义，写一篇简短的数学日记。
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
1.1 多项式的因式分解
第1章 因式分解
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.理解因式分解的意义和概念；
2.掌握因式分解与整式乘法的区别和联系.（重点）
问题1 6 等于 2 乘哪个整数？
6 ＝ 2×3
问题2 x2 － 1 等于 x + 1 乘哪个多项式？
因式分解
1
(1) 因为(x + 1) = ，
所以 x + 2x + 1 = (x + 1)( )；
(2) 因为 x(x－) = ，
所以 x －x = x( ).
做一做
x + 2x + 1
x + 1
x－
x －x
观察 “所以”后面的式子，有什么共同点？
都是一个多项式化为几个多项式的积的形式
整式的乘法
一般地，对于多项式 f 与 g，如果有多项式 h 使得 f = gh，那么把 g 叫作 f 的一个因式，此时，h 也是 f 的一个因式.
知识要点
单项式可看作只有一项的多项式
↗
由于 x + 2x + 1 = (x + 1) ，
则 x + 1 是多项式 x + 2x + 1 的因式.
类似地，由于 x －x = x(x－)，
则 x 和 x－ 都是 x －x 的因式.
定义：
一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式.
x + 2x + 1 = (x + 1)
x －x = x(x－)
知识要点
例1 填空：
典例精析
因为(x－2)(x－3) = ，
所以 = (x－2)(x－3)
是多项式 的因式分解.
解：(x－2)(x－3) = x －3x－2x＋(－2)×(－3)
= x －5x＋6，
因此三个空格都填写 x －5x＋6.
x －5x＋6
x －5x＋6
x －5x＋6
x2 － y2 ( x + y )( x － y )
因式分解
多项式的乘法
x2 － y2 = ( x + y )( x － y )
因式分解等式的特征：
左边是多项式，
右边是几个多项式的乘积.
想一想：多项式的乘法运算与因式分解有什么关系？
是互逆的变形过程，即
(1) x(x－2y) = x2－2xy；
(2) x2－2x + 1 = x(x－2) + 1；
典例精析
例2 下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可.
解：(1) 不是因式分解，理由：它是整式的乘法.
(2) 不是因式分解，理由：等式右边不是几个多项式的乘积形式.
(4) 是因式分解，理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且 (x－1)(y－1) = xy－x－y + 1，因而符合因式分解的定义. xy－x－y + 1 的因式为 x－1 和 y－1.
(3) 3x2－x = x(3x－)；
(4) xy－x－y + 1 = (x－1)(y－1).
(3) 是因式分解. 理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且 x(3x－) = 3x2－x，因而符合因式分解的定义. 3x2－x 的因式为 x 和 3x－.
方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个整式的积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．
把多项式因式分解的重要用处之一是：
可以较简便地求出关于 x 的多项式中，x用哪些数代入能够使得这个多项式的值为 0.
归纳总结
x2 + x = x2(1 + )
在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有
；不是因式分解的，请说明为什么.
①
②
③
④
⑤
⑥
③
⑥
辨一辨：
am + bm + c = m(a + b) + c
24x2y = 3x ·8xy
x2－ 1 = (x + 1)(x－ 1)
(2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1
2x + 4y + 6z = 2(x + 2y + 3z)
最后不是积的运算
因式分解的对象是多项式
是整式乘法
每个因式必须是整式
判断下列各式从左到右的变形是否为因式分解：
A. x(a﹣b) = ax﹣bx
B. x2﹣1 + y2 = (x﹣1)(x + 1) + y2
C. y2﹣2 = ( y + 1)( y﹣1)
D. ax + bx + c = x(a + b) + c
E. 2a3b = a2 2ab
F. x + 3 = x (1 + )
×
×
×
×
×
×
提示：判定一个变形是因式分解的条件：
(1) 必须是等式；(2) 左边是至少含两项的多项式；
(3) 右边是整式的乘积的形式.
判一判：
方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把因式分解后的结果乘开，再与多项式的各项系数对应比较，使其分别相等即可.
归纳总结
1.下列多项式中，分解因式的结果为﹣(x + y)(x﹣y) 的是（　　）
A．x2﹣y2 B．﹣x2 + y2
C．x2 + y2 D．﹣x2﹣y2
B
练一练
x2﹣y2
9﹣25x2
x2 + 2x + 1
xy﹣y2
(x + 1)2
y(x﹣ y)
(3﹣5x)(3 + 5x)
(x + y)(x﹣y)
1. 连线：
2. 根据整式乘法的经验把下列多项式因式分解：
；
解：
3. 判断下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解：
(1) x2﹣4y2 = (x + 2y)(x﹣2y)
(2) 2x(x﹣3y) = 2x2﹣6xy
(3) (5a﹣1)2 = 25a2﹣10a + 1
(4) x2 + 4x + 4 = (x + 2)2
(5) 2πR + 2πr = 2π(R + r)
因式分解
整式乘法
整式乘法
因式分解
因式分解
4. 若多项式 x4 + mx3 + nx﹣16 含有因式 (x﹣2) 和 (x﹣1)， 求 mn 的值.
解：因为 x4 + mx3 + nx﹣16 的最高次数是 4，
所以可设 x4 + mx3 + nx﹣16 = (x﹣1)(x﹣2)(x2 + ax + b).
则 x4 + mx3 + nx﹣16
= x4 + (a﹣3)x3 + (b﹣3a + 2)x2 + (2a﹣3b)x + 2b.
比较系数得
a﹣3 = m，b﹣3a + 2 = 0，2a﹣3b = n，2b =﹣16.
解得 b =﹣8，a =﹣2，m =﹣5，n = 20.
所以 mn =﹣5×20 =﹣100．
5. 甲、乙两个同学分解因式 x2 + ax + b 时，甲看错了 b，分解结果为 ( x + 2 )( x + 4 )；乙看错了 a，分解结果为
( x + 1)( x + 9 )，求 a + b 的值.
解：分解因式甲看错了 b，但 a 是正确的，
其分解结果为 x2 + ax + b = (x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8，
所以 a = 6.
同理，乙看错了 a，但 b 是正确的，
分解结果为 x2 + ax + b = (x + 1)(x + 9) = x2 + 10x + 9，
所以 b = 9.
因此 a + b = 15.
a
a
b
a – b
a2 – b2 =
(a + b)(a – b)
7. 手工课上，老师给小南同学发下一张如左图形状的纸张，要求他在恰好不浪费纸张的前提下剪拼成右图形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底．你能帮助小南同学解决这个问题吗？能给出数学解释吗？
b
a + b
1. 下列各式由左边到右边的变形中，是因
式分解的是( )
C
A.
B.
C.
D.
返回
2. 下列各式由左边到右边的变形中，表述正确的是( )
；
.
C
A. 都是因式分解
B. 都是乘法运算
C. ①是因式分解，②是乘法运算
D. ①是乘法运算，②是因式分解
返回
3. 是下列哪一个多项式因式分解的结果
( )
C
A. B.
C. D.
返回
4. 通过计算比较图①，图②中阴影部分的面积，可以验证的
计算式子是( )
D
A.
B.
C.
D.
返回
5. ［2025衡阳月考］若多项式 有一个因式是
，则这个多项式中 的值是( )
A
A. 3 B. C. 5 D.
返回
6.［2025常德期末］下列各式中，是整式乘法的是______，
是因式分解的是______.（填序号）
① ；
② ;
③ ；
④ .
①②
③④
返回
7.如果，则 的值为____.
21
【点拨】 ，则
，.所以 .
返回
8.母题教材P4习题 下列各式的变形中，是不是因式分解，
为什么
（1） ;
【解】不是因式分解.因为 是和的形式.
（2） ;
不是因式分解.因为 是和的形式.
（3） ;
不是因式分解.因为 是单项式.
（4） ;
是因式分解.因为多项式 分解成三个整式
,与 的积的形式，符合因式分解的定义.
（5） .
不是因式分解.因为中的 不是整式.
返回
9. 根据如图所示的拼图过程，写出一个多
项式的因式分解：___________________________.
返回
因式分解要注意以下几点：
3. 要分解到不能分解为止.
2. 分解的结果一定是几个多项式的乘积的形式；
1. 分解的对象必须是多项式；
因式分解与多项式乘法是互逆的变形过程.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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