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1.2.1 提单项式公因式教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：1.2.1 提单项式公因式
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾
回顾因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。
回顾公因式定义：多项式中各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。
问题引入：上节课我们知道公因式可以是单项式或多项式，本节课我们重点学习公因式是单项式的情况 —— 提单项式公因式。
学习意义：提单项式公因式是因式分解中最基础的方法，是后续学习其他因式分解方法的前提。
第 3 页：学习目标
知识目标：明确单项式公因式的概念；熟练掌握确定单项式公因式的方法；能运用提单项式公因式法对多项式进行因式分解。
能力目标：通过观察多项式各项的特征，培养分析和归纳能力；在分解因式过程中，提高代数式变形的准确性和熟练度。
情感目标：感受数学知识的逻辑性和严谨性，在解决问题中获得成就感，增强学习数学的信心。
第 4 页：知识点 1—— 单项式公因式的概念
定义：当多项式的公因式是一个单项式时，这个公因式叫做单项式公因式。
特征：由数字因数和字母因式组成，是多项式各项都含有的单项式。
示例：
多项式\(3x + 6\)的公因式是单项式\(3\)。
多项式\(ab - ac\)的公因式是单项式\(a\)。
多项式\(x^2y + xy^2\)的公因式是单项式\(xy\)。
与公因式关系：单项式公因式是公因式的一种特殊形式，公因式还可以是多项式。
第 5 页：知识点 2—— 确定单项式公因式的方法
系数部分：取多项式各项系数的最大公约数。
示例：多项式\(8x^2 + 12x\)中，8 和 12 的最大公约数是 4。
字母部分：
取各项都含有的相同字母。
取相同字母的最低次幂。
示例：多项式\(6a^3b^2 - 4a^2b^3 + 2a^2b\)中，相同字母为\(a\)、\(b\)；\(a\)的最低次幂是\(a^2\)，\(b\)的最低次幂是\(b\)，所以字母部分公因式是\(a^2b\)。
组合公因式：将系数的最大公约数与字母部分的公因式相乘，得到单项式公因式。
示例：上述多项式的单项式公因式是\(2 a^2b = 2a^2b\)（6、-4、2 的最大公约数是 2）。
第 6 页：例题 1—— 确定单项式公因式
例 1：找出下列多项式的单项式公因式。
（1）\(5x^3 - 10x^2\)
解析：系数 5 和 - 10 的最大公约数是 5；相同字母是\(x\)，最低次幂是\(x^2\)；公因式是\(5x^2\)。
（2）\(12a^2b^3 - 8a^3b^2 + 4a^2b\)
解析：系数 12、-8、4 的最大公约数是 4；相同字母是\(a\)、\(b\)，\(a\)的最低次幂是\(a^2\)，\(b\)的最低次幂是\(b\)；公因式是\(4a^2b\)。
（3）\(-6m^3n^2 + 3m^2n - 9mn\)
解析：系数 - 6、3、-9 的最大公约数是 3（注意符号，先不考虑负号）；相同字母是\(m\)、\(n\)，\(m\)的最低次幂是\(m\)，\(n\)的最低次幂是\(n\)；公因式是\(3mn\)（后续处理符号）。
第 7 页：知识点 3—— 提单项式公因式的分解步骤
步骤详解：
第一步：确定多项式各项的单项式公因式。
第二步：用公因式去除多项式的每一项，得到另一个因式（确保另一个因式中不再含有该公因式）。
第三步：把多项式写成公因式与另一个因式的积的形式，即\(ma + mb + mc = m(a + b + c)\)（其中\(m\)是单项式公因式）。
示例演示：分解因式\(8x^3y^2 + 12x^2y^3\)。
第一步：确定公因式为\(4x^2y^2\)。
第二步：计算每一项除以公因式的结果，\(8x^3y^2 ·4x^2y^2 = 2x\)，\(12x^2y^3 ·4x^2y^2 = 3y\)。
第三步：写成积的形式，\(8x^3y^2 + 12x^2y^3 = 4x^2y^2(2x + 3y)\)。
第 8 页：例题 2—— 提单项式公因式分解因式（一）
例 2：分解因式。
（1）\(6a^2b - 9ab^2\)
解析：公因式是\(3ab\)；\(6a^2b ·3ab = 2a\)，\(-9ab^2 ·3ab = -3b\)；结果为\(3ab(2a - 3b)\)。
（2）\(x^3y^2 + x^2y^3 - x^2y^2\)
解析：公因式是\(x^2y^2\)；\(x^3y^2 ·x^2y^2 = x\)，\(x^2y^3 ·x^2y^2 = y\)，\(-x^2y^2 ·x^2y^2 = -1\)；结果为\(x^2y^2(x + y - 1)\)（注意不要漏项）。
（3）\(5x(x - 2) - 3(x - 2)\)
解析：此题为干扰项，公因式是多项式\((x - 2)\)，非单项式公因式，后续学习。
第 9 页：知识点 4—— 提单项式公因式的注意事项（一）
注意事项 1：公因式要提尽。
含义：提取公因式后，另一个因式中不能再含有公因式。
反例：分解\(4x^2 - 8x\)时，错误结果\(2x(2x - 4)\)（\(2x - 4\)还能提取公因式 2）；正确结果\(4x(x - 2)\)。
注意事项 2：不要漏项。
含义：多项式有几项，提取公因式后括号内就应有几项，特别注意常数项为 1 或 - 1 的情况。
反例：分解\(x^2 + x\)时，错误结果\(x(x)\)（漏掉常数项 1）；正确结果\(x(x + 1)\)。
第 10 页：例题 3—— 提单项式公因式分解因式（二）
例 3：分解因式（强化公因式提尽和不遗漏项）。
（1）\(12x^3 - 6x^2 + 3x\)
解析：公因式是\(3x\)；\(12x^3 ·3x = 4x^2\)，\(-6x^2 ·3x = -2x\)，\(3x ·3x = 1\)；结果为\(3x(4x^2 - 2x + 1)\)。
（2）\(8a^3b^2c - 12ab^3c + 4ab^2c\)
解析：公因式是\(4ab^2c\)；\(8a^3b^2c ·4ab^2c = 2a^2\)，\(-12ab^3c ·4ab^2c = -3b\)，\(4ab^2c ·4ab^2c = 1\)；结果为\(4ab^2c(2a^2 - 3b + 1)\)。
第 11 页：知识点 5—— 提单项式公因式的注意事项（二）
注意事项 3：首项系数为负时先提负号。
操作方法：若多项式的首项系数是负数，应先提取负号，使括号内的首项系数为正数，提取负号后各项都要变号。
示例：分解\(-3x^2 + 6xy - 3x\)，先提取\(-3x\)，得到\(-3x(x - 2y + 1)\)（注意各项符号变化）。
注意事项 4：公因式中字母的指数是最低次幂。
强调：相同字母的指数取最低次幂，而非最高次幂或其他次数。
反例：分解\(x^3 + x^2\)时，错误提取\(x^3\)得到\(x^3(1 + x^{-1})\)（出现负指数，不符合整式要求）；正确提取\(x^2\)得到\(x^2(x + 1)\)。
第 12 页：例题 4—— 首项为负的提公因式分解
例 4：分解因式（首项系数为负）。
（1）\(-5x^2 + 15x - 10\)
解析：首项为负，先提取\(-5\)；\(-5x^2 ·(-5) = x^2\)，\(15x ·(-5) = -3x\)，\(-10 ·(-5) = 2\)；结果为\(-5(x^2 - 3x + 2)\)。
（2）\(-a^3b + a^2b^2 - ab^3\)
解析：首项为负，先提取\(-ab\)；\(-a^3b ·(-ab) = a^2\)，\(a^2b^2 ·(-ab) = -ab\)，\(-ab^3 ·(-ab) = b^2\)；结果为\(-ab(a^2 - ab + b^2)\)。
第 13 页：典型例题 —— 综合应用
例 5：分解因式\(2x^2y - 4xy^2 + 2xy\)。
解析：第一步确定公因式，系数 2、-4、2 的最大公约数是 2；相同字母是\(x\)、\(y\)，最低次幂分别是\(x\)、\(y\)，公因式是\(2xy\)。第二步每一项除以公因式，\(2x^2y ·2xy = x\)，\(-4xy^2 ·2xy = -2y\)，\(2xy ·2xy = 1\)。结果为\(2xy(x - 2y + 1)\)。
例 6：分解因式\(-3m^3n + 6m^2n^2 - 3mn^3\)。
解析：首项为负，先提取\(-3mn\)；\(-3m^3n ·(-3mn) = m^2\)，\(6m^2n^2 ·(-3mn) = -2mn\)，\(-3mn^3 ·(-3mn) = n^2\)。结果为\(-3mn(m^2 - 2mn + n^2)\)（后续可继续分解，但本节课到此为止）。
第 14 页：易错点总结
公因式确定错误：
系数部分未取最大公约数，如将\(6x + 9\)的公因式错定为 2（正确是 3）。
字母部分漏取或取错次数，如\(x^3y + x^2y^2\)的公因式错定为\(x^3y\)（正确是\(x^2y\)）。
分解过程错误：
提取公因式后漏项，尤其是常数项 1 或 - 1，如\(ax + ay\)分解为\(a(x + )\)（漏掉\(y\)）或\(a(x)\)（漏掉\(y\)）。
首项为负时未变号，如\(-x^2 + x\)分解为\(-x(x + 1)\)（正确是\(-x(x - 1)\)）。
公因式未提尽，导致另一个因式仍有公因式，如\(4x^2 - 8x\)分解为\(2x(2x - 4)\)（正确是\(4x(x - 2)\)）。
第 15 页：课堂练习 1—— 基础题
练习 1：选择题
（1）多项式\(6x^2y - 9xy^2 + 3x^2y^2\)的单项式公因式是（ ）
A. \(3x\) B. \(3y\) C. \(3xy\) D. \(3x^2y^2\)
（2）分解因式\(-4x^3 + 8x^2 - 4x\)的结果正确的是（ ）
A. \(-4x(x^2 - 2x + 1)\) B. \(4x(-x^2 + 2x - 1)\) C. \(-4x(x^2 + 2x + 1)\) D. \(-x(4x^2 - 8x + 4)\)
练习 2：分解因式
（1）\(7a^2b - 14ab^2\)
（2）\(x^3y^3 + x^2y^2 - xy\)
（3）\(-12x^2 + 18x - 6\)
第 16 页：课堂练习 2—— 提高题
练习 3：分解因式
（1）\(2a^2b^3c - 4ab^2c^2 + 6a^3b^2c\)
（2）\(-x^2y + xy^2 - xyz\)
练习 4：已知多项式\(x^2y + xy^2 = xy(x + y)\)，当\(x + y = 5\)，\(xy = 3\)时，求该多项式的值。
第 17 页：作业布置
基础作业：教材第 [X] 页习题 [X] 第 1、2 题（只做提单项式公因式的题目）。
提高作业：
（1）分解因式\(3x^2(x - 2) - 6x(x - 2)\)（提示：先确定公因式）。
（2）若\(a + b = 4\)，求多项式\(a^2b + ab^2 - 4b\)的值（先因式分解再代入）。
拓展作业：思考如何分解因式\(2x^{n+1} - 4x^n + 2x^{n-1}\)（\(n\)为大于 1 的整数）。
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
1.2.1 提单项式公因式
第1章 因式分解
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 能准确地找出各项的公因式，并注意各种变形的符号问题；（重点）
2. 能简单运用提公因式法进行因式分解.（难点）
问题：整数 18，42，60 的最大公因数是什么？
18 = 6×3
42 = 6×7
60 = 6×10
6
思考：多项式 z2 + yz 中每一项的因式分别是什么？你发现什么？
每一项中均有因式 z
z2 的因式是 z 和 z
yz 的因式是 y 和 z
pa + pb + pc
提单项式公因式分解因式
几个多项式的相同因式称为它们的公因式.
相同因式 p
问题1 观察下列多项式，它们有什么共同特点？
x2 ＋ x
相同因式 x
1
(a + b + c)
pa + pb + pc
p
=
像上面这样，如果一个多项式的各项有公因式，从右到左使用多项式的乘法对加法的分配律，可以把所有公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫作提公因式法.
找 3 x 2 – 6 x y 的公因式.
系数：
最大公因数
3
字母：
相同的字母
x
所以公因式是 3x
指数：
相同字母的最低次数
1
问题2 如何确定一个多项式的公因式？
正确找出多项式的公因式的步骤：
3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即相同字母的最低次数.
1. 定系数：对于整数系数的多项式来说，公因式的系数是多项式各项系数的最大公因数；
2. 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母；
找一找：下列各多项式的公因式是什么？
3
a
a2
3mn
-2xy
(1) 3x + 6y
(2) ab - 2ac
(3) a2 - a3
(4) 9m2n - 6mn
(5) - 6x2y - 8xy2
典例精析
例1 把 4x2－6x3 因式分解．
分析： 1. 定系数：多项式由 4x 和 －6x3 这两项组成，它们的系数分别为 4，－6，不考虑其符号，则 4 与 6 的最大公因数是 2；
2. 定字母：这两项都含有字母 x，
3. 定指数： x 的最低次数为 2.
因此，可提出公因式 2x .
解：4x2－6x3 = 2x (2－3x).
例2 把 8x y4－12xy z 因式分解．
解： 8x y4－12xy z＝ 4xy · 2xy －4xy · 3z
＝4xy (2xy －3z).
议一议
三名同学对多项式 2x ＋4x 进行因式分解，结果如下：
(1) 2x + 4x = 2(x + 2x)；(2) 2x + 4x = x(2x + 4)；
(3) 2x + 4x = 2x(x + 2).
上述结果正确吗？用提公因式法分解因式时，你认为应注意什么？
注意：公因式要提尽.
(1)错误. 理由：公因式没有提尽，还可以提出公因式 x.
(2)错误. 理由：公因式没有提尽，还可以提出公因式 2.
(3) 正确.
注意：某项提出莫漏 1.
例3 把多项式 5x －3xy＋x 因式分解.
分析： 1. 定系数：多项式由 5x ，－3xy 和 x 这三项组成，它们的系数分别为 5，－3，1，不考虑其符号，则5，3，1的最大公因数是 1；
2. 定字母：这三项都含有字母 x，
3. 定指数： x 的最低次数为1.
因此，可提出公因式x.
解：5x －3xy＋x＝x(5x－3y＋1).
例4 把多项式 －3x ＋6xy－3xz 因式分解.
注意：首项有负常提负.
分析：多项式 －3x ＋6xy－3xz 的首项系数为负数，一般先将负号提取出来，此时括号内各项都要改变符号，然后进行因式分解.
解：－3x ＋6xy－3xz = －(3x －6xy＋3xz)
=－3x(x－2y＋z).
1.因式分解：
(1) 3a3c2＋12ab3c； (2) 3a －9ab；
(3) －5a + 25a.
解：(1) 3a3c2＋12ab3c＝3ac(a2c＋4b3).
练一练
(2) 3a －9ab = 3a(а－3b).
(3) －5a + 25a = －5a(a－5).
2. 已知 a＋b＝7，ab＝4，求 a2b＋ab2 的值.
所以 原式＝ab(a ＋ b)＝4×7＝28.
解：因为 a＋b＝7，ab＝4，
方法总结：含 a±b，ab 的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用 a±b 和 ab表示的式子，然后将 a±b，ab 的值整体代入即可.
1. 多项式 15m3n2 + 5m2n - 20m2n3 的公因式是（　　）
A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D．5mn2
2. 下列多项式的因式分解，正确的是（　　）
A．12xyz - 9x2y2 = 3xyz（4 - 3xyz）
B．3a2y - 3ay + 6y = 3y（a2 - a + 2）
C．- x2 + xy - xz = - x（x2 + y - z）
D．a2b + 5ab - b = b（a2 + 5a）
B
C
3. 把下列各式分解因式：
(1) 8m2n + 2mn = _____________；
(2) 12xyz - 9x2y2 = _____________；
(3) - x3y3 - x2y2 - xy = _________________.
2mn ( 4m + 1)
3xy ( 4z - 3xy)
- xy ( x2y2 + xy + 1)
4. 把 - 24x3 - 12x2 + 28x 分解因式.
5. 简便计算：
(1) 1.992 + 1.99 × 0.01；
(2) 20002 + 2000 - 20012；
(3) (- 2)101 + (- 2)100.
(2) 原式 = 2000×(2000+1) - 20012
= 2000×2001 - 20012 = 2001×(2000 - 2001)
= -2001．
解：(1) 原式 = 1.99(1.99 + 0.01) = 3.98.
(3) 原式 = (- 2)100×(- 2 + 1) = 2100×(- 1) = - 2100.
6. 已知 2x + y = 4，xy = 3，求代数式 2x2y + xy2 的值.
解：2x2y + xy2 = xy(2x + y) = 3×4 = 12.
1. 把多项式 分解因式，应
提的公因式是( )
B
A. B. C. D.
2. 把 分解因式时，提出公因式后，另一个
因式是( )
A
A. B.
C. D.
返回
3. 利用因式分解简便计算 ，下列各
式计算正确的是( )
B
A.
B.
C.
D.
4.多项式 因式分解的结果为________
_________.
返回
5.［2025衡阳月考］计算 所得的结果是
_______.
【点拨】 .
6. 在处填入一个整式，使关于 的多项式
可以因式分解，则 处可以填：______________
_______________（写出一个即可）.
（答案不唯一）
返回
7.母题教材P6练习 把下列各式分解因式：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ;
原式 .
（3） .
原式 .
返回
8. 下列各数中，能整除（ 为正整数）的是
( )
B
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【点拨】 ，即
能被7整除.
返回
9.［2025怀化模拟］如图，长方形的长、宽分别为， ，且
比大3，面积为10，则 的值为____.
30
【点拨】由题意得， ，所以
.
返回
10.已知，则 的值为___.
0
【点拨】因为，所以 .
返回
2. 确定公因式的方法：
一看系数，二看字母，三看指数.
1. 提公因式法分解因式步骤 (分两步)：
第一步，找出公因式；
第二步，提公因式.
3. 用提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）公因式要提尽；
（2）小心漏项；
（3）多项式的首项取正号.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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