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1.3.1 利用平方差公式进行因式分解教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：1.3.1 利用平方差公式进行因式分解
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾与引入
回顾整式乘法公式：我们学过平方差公式的整式乘法形式，即\((a + b)(a - b)=a^2 - b^2\)，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
问题引入：根据因式分解与整式乘法的互逆关系，你能将\(a^2 - b^2\)分解因式吗？（由整式乘法公式逆向可得\(a^2 - b^2=(a + b)(a - b)\)）
引入概念：像这样利用平方差公式将多项式分解因式的方法，叫做利用平方差公式进行因式分解。
学习意义：平方差公式是因式分解的重要方法之一，能快速分解特定形式的多项式，为解决更复杂的因式分解问题提供工具。
第 3 页：学习目标
知识目标：理解因式分解中平方差公式的推导过程；掌握平方差公式的结构特征和适用条件；能熟练运用平方差公式对多项式进行因式分解。
能力目标：通过观察多项式的结构特征，培养判断多项式是否适用平方差公式的能力；在因式分解过程中，提高代数式变形的灵活性和准确性。
情感目标：体会整式乘法与因式分解的互逆关系，感受数学知识的逻辑性和严谨性，激发学习数学的兴趣。
第 4 页：知识点 1—— 平方差公式的因式分解形式
公式推导：由整式乘法平方差公式\((a + b)(a - b)=a^2 - b^2\)，逆向运用可得因式分解的平方差公式：\(a^2 - b^2=(a + b)(a - b)\)。
语言描述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
图形解释：结合正方形面积差模型，边长为\(a\)的正方形面积减去边长为\(b\)的正方形面积（\(a > b\)），可转化为长为\((a + b)\)、宽为\((a - b)\)的长方形面积，直观体现公式的几何意义。
公式本质：将二项式的平方差形式转化为两个一次多项式的乘积形式。
第 5 页：知识点 2—— 平方差公式的结构特征
项数特征：多项式是二项式，即由两项组成。
符号特征：两项的符号相反，一项为正，一项为负。
形式特征：两项都能写成平方的形式，即可以表示为\( ^2 - ^2\)的形式（其中\( \)和\( \)可以是单项式或多项式）。
示例分析：
多项式\(x^2 - 9\)：是二项式，两项符号相反（\(x^2\)为正，\(-9\)为负），\(x^2 = x^2\)，\(9 = 3^2\)，符合平方差公式特征。
多项式\(4a^2 - b^2\)：二项式，符号相反，\(4a^2=(2a)^2\)，\(b^2 = b^2\)，符合特征。
多项式\(x^2 + y^2\)：两项符号相同，不符合特征；多项式\(x^3 - 4\)：\(x^3\)不是平方形式，不符合特征。
第 6 页：例题 1—— 判断是否适用平方差公式
例 1：下列多项式中，能利用平方差公式分解因式的是（ ）
A. \(x^2 + y^2\) B. \(-x^2 - y^2\) C. \(x^2 - y^3\) D. \(-x^2 + y^2\)
解析：A 选项两项符号相同，不符合；B 选项可化为\(-(x^2 + y^2)\)，两项符号相同，不符合；C 选项\(y^3\)不是平方形式，不符合；D 选项可化为\(y^2 - x^2\)，是二项式，符号相反，且都是平方形式，符合。答案：D
例 2：下列多项式能否用平方差公式分解因式？若能，指出公式中的\(a\)和\(b\)分别是什么。
（1）\(m^2 - 1\) 能，\(a = m\)，\(b = 1\)
（2）\(4x^2 - 9y^2\) 能，\(a = 2x\)，\(b = 3y\)
（3）\(x^2 + 2x\) 不能（不是平方差形式）
（4）\((a + b)^2 - c^2\) 能，\(a = a + b\)，\(b = c\)
第 7 页：知识点 3—— 利用平方差公式分解因式的步骤
步骤详解：
第一步：判断多项式是否符合平方差公式的结构特征（二项式、符号相反、两项都是平方形式）。
第二步：将多项式写成\( ^2 - ^2\)的形式，明确\( \)和\( \)分别代表的代数式。
第三步：套用平方差公式\(a^2 - b^2=(a + b)(a - b)\)，将多项式分解为\(( + )( - )\)。
第四步：检查分解结果是否彻底，若有公因式需先提取公因式，再用公式分解。
示例演示：分解因式\(9a^2 - 16b^2\)。
第一步：符合特征（二项式、符号相反、\(9a^2=(3a)^2\)，\(16b^2=(4b)^2\)）。
第二步：写成\((3a)^2 - (4b)^2\)，其中\( = 3a\)，\( = 4b\)。
第三步：套用公式得\((3a + 4b)(3a - 4b)\)。
第四步：结果无公因式，分解彻底。
第 8 页：例题 2—— 直接运用平方差公式分解因式
例 2：分解因式。
（1）\(x^2 - 25\)
解析：\(x^2 - 25 = x^2 - 5^2=(x + 5)(x - 5)\)。
（2）\(16m^2 - 9n^2\)
解析：\(16m^2 - 9n^2=(4m)^2 - (3n)^2=(4m + 3n)(4m - 3n)\)。
（3）\(\frac{1}{4}a^2 - b^2\)
解析：\(\frac{1}{4}a^2 - b^2=(\frac{1}{2}a)^2 - b^2=(\frac{1}{2}a + b)(\frac{1}{2}a - b)\)。
（4）\(-x^2 + 1\)
解析：先整理为\(1 - x^2=1^2 - x^2=(1 + x)(1 - x)\)。
第 9 页：知识点 4—— 先提公因式再用平方差公式
重要原则：当多项式各项有公因式时，应先提取公因式，再运用平方差公式分解因式。
示例分析：分解因式\(3x^3 - 3x\)。
第一步：提取公因式\(3x\)，得\(3x(x^2 - 1)\)。
第二步：\(x^2 - 1\)符合平方差公式特征，分解得\(3x(x + 1)(x - 1)\)。
注意事项：提取公因式后，剩余的因式若符合平方差公式特征，必须继续分解，确保分解彻底。
反例：分解\(2a^3 - 2ab^2\)时，错误结果\(2a(a^2 - b^2)\)（未继续分解）；正确结果\(2a(a + b)(a - b)\)。
第 10 页：例题 3—— 提公因式后用平方差公式
例 3：分解因式。
（1）\(2x^2 - 8\)
解析：先提取公因式\(2\)，得\(2(x^2 - 4)\)；\(x^2 - 4 = x^2 - 2^2=(x + 2)(x - 2)\)；结果为\(2(x + 2)(x - 2)\)。
（2）\(a^3b - ab\)
解析：提取公因式\(ab\)，得\(ab(a^2 - 1)\)；\(a^2 - 1=(a + 1)(a - 1)\)；结果为\(ab(a + 1)(a - 1)\)。
（3）\(-4x^3y + 9xy^3\)
解析：先提取公因式\(-xy\)，得\(-xy(4x^2 - 9y^2)\)；\(4x^2 - 9y^2=(2x)^2 - (3y)^2=(2x + 3y)(2x - 3y)\)；结果为\(-xy(2x + 3y)(2x - 3y)\)。
第 11 页：知识点 5—— 平方差公式的拓展应用（多项式作为底数）
拓展形式：当\( \)和\( \)是多项式时，平方差公式仍然适用，即\((m + n)^2 - (p + q)^2=[(m + n) + (p + q)][(m + n) - (p + q)]\)。
分解步骤：
将多项式底数看作一个整体，确定\( \)和\( \)。
套用平方差公式分解。
去括号后化简，检查是否能继续分解。
示例分析：分解因式\((x + y)^2 - (x - y)^2\)。
第一步：看作\( ^2 - ^2\)，其中\( = x + y\)，\( = x - y\)。
第二步：套用公式得\([(x + y) + (x - y)][(x + y) - (x - y)]\)。
第三步：去括号化简，\((2x)(2y)=4xy\)。
第 12 页：例题 4—— 多项式作为底数的平方差分解
例 4：分解因式。
（1）\((a + 2b)^2 - 9c^2\)
解析：看作\((a + 2b)^2 - (3c)^2=[(a + 2b) + 3c][(a + 2b) - 3c]=(a + 2b + 3c)(a + 2b - 3c)\)。
（2）\(4(x + y)^2 - (x - y)^2\)
解析：看作\([2(x + y)]^2 - (x - y)^2=[2(x + y) + (x - y)][2(x + y) - (x - y)]\)；去括号化简得\((3x + y)(x + 3y)\)。
（3）\(x^2 - (y^2 - 2y + 1)\)
解析：先将后一项化为平方形式，\(x^2 - (y - 1)^2=[x + (y - 1)][x - (y - 1)]=(x + y - 1)(x - y + 1)\)。
第 13 页：典型例题 —— 综合应用平方差公式分解
例 5：分解因式\(x^4 - 16\)。
解析：先看作\((x^2)^2 - 4^2=(x^2 + 4)(x^2 - 4)\)；\(x^2 - 4\)继续用平方差公式分解得\((x + 2)(x - 2)\)；最终结果为\((x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)\)（注意\(x^2 + 4\)不能再分解）。
例 6：分解因式\((a^2 + b^2)^2 - 4a^2b^2\)。
解析：先展开看作\(a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - 4a^2b^2=a^4 - 2a^2b^2 + b^4\)（此步骤可省略）；直接看作平方差形式\((a^2 + b^2)^2 - (2ab)^2=[(a^2 + b^2) + 2ab][(a^2 + b^2) - 2ab]\)；再用完全平方公式得\((a + b)^2(a - b)^2\)（体现公式综合应用）。
第 14 页：易错点总结
公式应用条件错误：
对不符合平方差公式特征的多项式强行套用公式，如对\(x^2 + y^2\)分解为\((x + y)(x - y)\)（错误）。
忽略两项符号必须相反的条件，如分解\(-x^2 - y^2\)时强行套用公式（应先提取负号，且无法用平方差公式分解）。
分解步骤错误：
多项式有公因式时未先提取公因式，直接套用公式，如分解\(2x^2 - 8\)时错误得\((\sqrt{2}x + 2\sqrt{2})(\sqrt{2}x - 2\sqrt{2})\)（正确应先提公因式）。
分解不彻底，提取公因式或套用公式后未检查剩余因式是否可继续分解，如\(x^4 - 16\)分解为\((x^2 + 4)(x^2 - 4)\)后未继续分解。
符号处理错误：
对首项为负的多项式处理不当，如\(-x^2 + y^2\)分解为\(-(x + y)(x - y)\)（正确应为\((y + x)(y - x)\)）。
多项式作为底数时去括号符号错误，如\((x - y)^2 - z^2\)分解为\((x - y + z)(x - y + z)\)（正确应为\((x - y + z)(x - y - z)\)）。
第 15 页：课堂练习 1—— 基础题
练习 1：选择题
（1）分解因式\(x^2 - 1\)的结果是（ ）
A. \((x + 1)(x - 1)\) B. \((x + 1)^2\) C. \((x - 1)^2\) D. \(x(x - 1)\)
（2）下列分解因式正确的是（ ）
A. \(a^2 - 4b^2=(a + 4b)(a - 4b)\) B. \(x^2 - 1=(x + 1)(x - 1)\)
C. \(4m^2 - n^2=(4m + n)(4m - n)\) D. \(-9 + y^2=-(3 + y)(3 - y)\)
练习 2：分解因式
（1）\(a^2 - 4\)
（2）\(9x^2 - 16y^2\)
（3）\(3x^2 - 3\)
第 16 页：课堂练习 2—— 提高题
练习 3：分解因式
（1）\(x^3y - xy^3\)
（2）
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
1.3.1利用平方差公式进行因式分解
第1章 因式分解
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化
思想．（重点）
2.会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进
行因式分解．（难点）
如图，在边长为 a 米的正方形上剪掉一个边长为 b 米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么等式？
a米
b米
b米
a米
(a-b)米
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
用平方差公式进行因式分解
想一想：多项式 x2 - y2 有什么特点？你能将它因式分解吗？
是 x，y 两数的平方差的形式
)
)(
(
y
x
y
x
-
+
=
2
2
y
x
-
)
)(
(
2
2
y
x
y
x
y
x
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
1
像上面那样，把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式的多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法.
x －25＝ ＝ .
在平方差公式中，将 y 用 5 代入得到等式：
(x＋5)(x－5)＝ ＝ .
x －5
x －25
把这个等式从右到左使用，就可以把多项式
x －25因式分解：
x －5
(x＋5)(x－5)
知识要点
(5x)2 - (2y)2
典例精析
例1 把多项式 25x －4y 因式分解.
= (5x+2y)(5x-2y).
x
x
y
y
+
(
)
(
-
)
x2 - y2 =
解：原式 =
5x
2y
5x
5x
2y
2y
2y
分析 由 25x ＝(5x) 和 4y ＝(2y) 可知，
√
×
×
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来因式分解？为什么？
√
√
★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成： ( )2 - ( )2的形式.
（1）a2 + b2
（2） - a2 - b2
- ( a2 + b2 )
y2 - x2
（3） - x2 + y2
（4）x2 - 25y2
( x + 5y )( x - 5y )
（5）m2 - 1
( m + 1 )( m - 1 )
方法总结：公式中的 x、y 无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
x
x
y
y
+
(
)
(
-
)
x2 - y2 =
把多项式 (x＋y) －(x－y) 因式分解.
解：原式＝
[(x＋y)＋(x－y)][(x＋y)－(x－y)]
＝2x·2y＝4xy.
做一做
例2 把多项式 x4－y4 因式分解.
解： x4－y4＝( x2 )2－( y2 )2
＝( x2＋y2 )(x2－y2 )
＝( x2＋y2 )( x＋y )(x－y ).
因式分解后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解.
分解因式：
(1) (a＋b)2－4a2； (2) 9(m＋n)2－(m－n)2.
针对训练
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
解：(1) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
＝(b－a)(3a＋b).
(2) 原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n )
＝4(m＋2n)(2m＋n)．
若用平方差公式分解后的结果中还有公因式，一定要继续提公因式分解
例3 把多项式 x5－x3y 因式分解.
分析：多项式 x5－x3y 的各项有公因式 x3，故应先提公因式，然后运用公式法进行因式分解.
解：x5－x3y ＝x3(x2－y )
＝x3( x＋y )(x－y).
方法总结：因式分解前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意因式分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.
因式分解：
(1) 5m2a4 － 5m2b4； (2) a2 － 4b2 － a － 2b.
针对训练
＝ ( a＋2b )( a－2b－1 ).
＝ 5m2( a2＋b2)( a＋b )( a－b ).
解：(1) 原式＝ 5m2( a4－b4 )
＝ 5m2( a2＋b2)( a2－b2 )
(2) 原式＝ ( a2－4b2 )－( a＋2b )
＝ ( a＋2b )( a－2b )－( a＋2b )
例4 把多项式 x4 － 9 因式分解.
解： x4－9＝( x2 )2－32
＝( x2＋3 )( x2－3 )
＝( x2＋3 )[ x2－( )2 ]
＝( x2＋3 )( x＋ )( x－ ).
方法总结：在进行因式分解时，必须进行到每一个因式都不能分解为止.
做一做：用简便方法计算：
(1) 6.12－3.92； (2) 0.122－0.882.
解：(1) 原式＝( 6.1＋3.9 )( 6.1－3.9 )
＝10×2.2＝22.
(2) 原式＝( 0.12＋0.88 )( 0.12－0.88 )
＝1×(－0.76 )＝－0.76.
方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
例6 试说明：当 n 为整数时，多项式 (2n + 1)2 - (2n - 1)2 一定能被 8 整除．
即多项式 (2n + 1)2 - (2n - 1)2 一定能被 8 整除．
解：原式 = (2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1) = 4n 2 = 8n.
因为 n 为整数，
所以8n 一定能被 8 整除，
方法总结：说明整除问题的基本思路，就是将代数式化为整式的乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．
例7 已知 x2 - y2 ＝ - 2，x ＋ y ＝ 1，求 x - y，x，y 的值．
所以 x - y＝ - 2 ②.
解：因为 x2 - y2＝( x ＋ y )( x - y )＝ - 2，
x ＋ y ＝ 1 ①，
联立 ①② 组成二元一次方程组，
解得
方法总结：在与 x2 - y2，x±y 有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立组成方程组求值.
1. 下列多项式中能用平方差公式因式分解的是（　　）
A．a2 ＋ ( - b)2 B．5m2 - 20mn
C．- x2 - y2 D． - x2 ＋ 9
D
2. 因式分解 ( 2x + 3 )2 - x2 的结果是（　　）
A．3( x2 + 4x + 3 ) B．3( x2 + 2x + 3 )
C．( 3x + 3 )( x + 3 ) D．3( x + 1 )( x + 3 )
D
3. 若 a + b = 3，a - b = 7，则 b2 - a2 的值为（　　）
A．- 21 B．21 C．- 10 D．10
A
4. 把下列各式因式分解：
(1) 16a2 - 9b2 =__________________；
(2) ( a + b )2 - ( a - b )2 =_______；
(3) 9xy3 - 36x3y =____________________；
(4) - a4 + 16 =______________________.
( 4a + 3b )( 4a - 3b )
4ab
9xy( y + 2x )( y - 2x )
( 4 + a2 )( 2 + a )( 2 - a )
5. 若 ( 2x )n - 81 可分解成 ( 4x2 + 9 )( 2x + 3)( 2x - 3 )，则 n 的值是______.
4
6. 已知 4m + n = 40，2m - 3n = 5，求 (m + 2n)2 - (3m - n)2
的值．
原式 = -40×5 = -200.
解：原式 = (m + 2n + 3m - n)(m + 2n - 3m + n)
= (4m + n)(3n - 2m)
= -(4m + n)(2m - 3n).
当 4m + n = 40，2m - 3n = 5 时，
7. 如图，在边长为 6.8 cm 的正方形钢板上，挖去 4 个边长为 1.6 cm 的小正方形，求剩余部分的面积．
解：根据题意，得剩余部分面积为：
6.82 - 4×1.62
＝ 6.82 - (2×1.6)2
＝ 6.82 - 3.22
＝ (6.8 + 3.2)(6.8 - 3.2)
＝ 10×3.6
＝ 36 (cm2).
答：剩余部分的面积为 36 cm2.
8. (1) 992 - 1 能被 100 整除吗？
解：(1) 因为 992 - 1 = ( 99 + 1)( 99 - 1 ) = 100×98，
所以 ( 2n + 1)2 - 25 能被 4 整除.
(2) n 为整数，( 2n + 1)2 - 25 能否被 4 整除？
所以 992 - 1 能被 100 整除.
(2) 原式 = ( 2n + 1 + 5 )( 2n + 1 - 5 )
= ( 2n + 6 )( 2n - 4 )
= 2( n + 3) × 2( n - 2 ) = 4( n + 3 )( n - 2 ).
1. 下列多项式：； ；
；； ；
.能用平方差公式因式分解的有
( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
返回
2. 若，，则 ( )
A. B. C. 3 D. 9
3. 已知,,是三角形的三边长，那么整式 的值
( )
A. 大于零 B. 小于零 C. 等于零 D. 不能确定
A
B
返回
4.因式分解： ___________________
____.
5.［2025宜宾月考］设， ，
，则数，， 的大小关系是__________.
【点拨】 ，
.因为，所以 .
返回
6.母题教材P11练习 把下列多项式因式分解：
（1） ;
【解】原式 .
（2） ;
原式 .
（3） ；
原式 .
（4） .
原式
.
返回
7. 下面是明明同学把多项式
分解因式的具体步骤：
第一步
第二步
第三步
第四步
（1）事实上，明明的解法是错误的，造成错误的原因是
__________________；
公因式没有提取完
（2）请给出这个问题的正确解法.
【解】原式 .
返回
8. 小明在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了 的指数，他
只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式因
式分解，他抄在作业本上的式子是（“ ”表示漏抄
的指数），则这个指数可能的结果共有( )
C
A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种
返回
9. ［2025长沙北雅中学开学考试］若, ,则
的值为( )
A
A. 12 B. 4 C. 6 D.
【点拨】 .
返回
10. 若，则 的值为( )
C
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【点拨】因为 ，所以
.
返回
平方差公式分解因式
公式
a2 - b2 = ( a + b )( a - b )
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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