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1.3.2 利用完全平方公式进行因式分解教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：1.3.2 利用完全平方公式进行因式分解
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾与引入
回顾整式乘法公式：我们学过完全平方公式的整式乘法形式，即\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)，\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)，两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的 2 倍。
问题引入：根据因式分解与整式乘法的互逆关系，你能将\(a^2 + 2ab + b^2\)和\(a^2 - 2ab + b^2\)分解因式吗？（由整式乘法公式逆向可得对应的因式分解形式）
引入概念：像这样利用完全平方公式将多项式分解因式的方法，叫做利用完全平方公式进行因式分解。
学习意义：完全平方公式是因式分解的重要方法，能有效分解三项式，为解决复杂代数问题提供支撑。
第 3 页：学习目标
知识目标：理解因式分解中完全平方公式的推导过程；掌握完全平方公式的结构特征和适用条件；能熟练运用完全平方公式对多项式进行因式分解。
能力目标：通过观察多项式结构，培养判断多项式是否适用完全平方公式的能力；在因式分解中，提高代数式变形的准确性和灵活性。
情感目标：体会整式乘法与因式分解的互逆关系，感受数学知识的严谨性，激发对数学公式应用的兴趣。
第 4 页：知识点 1—— 完全平方公式的因式分解形式
公式推导：由整式乘法完全平方公式逆向运用可得：
\(a^2 + 2ab + b^2=(a + b)^2\)
\(a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2\)
语言描述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
图形解释：结合正方形面积模型，边长为\(a + b\)的正方形面积，可拆分为边长为\(a\)的正方形、边长为\(b\)的正方形以及两个长\(a\)宽\(b\)的长方形面积之和，直观体现公式的几何意义。
公式本质：将特定形式的三项式转化为一个二项式的平方形式。
第 5 页：知识点 2—— 完全平方公式的结构特征
项数特征：多项式是三项式，由三项组成。
平方项特征：有两项是平方形式，且这两项的符号相同（均为正），可表示为\( ^2 + ^2\)（或\( ^2 - ^2\)不适用，平方项必同号）。
中间项特征：第三项是这两个平方项底数乘积的 2 倍（或 - 2 倍），即中间项\(= ±2 \)。
示例分析：
多项式\(x^2 + 6x + 9\)：三项式，\(x^2\)和\(9 = 3^2\)是同号平方项，中间项\(6x = 2 x 3\)，符合特征。
多项式\(4a^2 - 12ab + 9b^2\)：三项式，\((2a)^2\)和\((3b)^2\)同号，中间项\(-12ab=-2 2a 3b\)，符合特征。
多项式\(x^2 + 2x - 1\)：平方项符号不同，不符合；多项式\(x^2 + 4x + 4\)：符合特征。
第 6 页：例题 1—— 判断是否适用完全平方公式
例 1：下列多项式中，能利用完全平方公式分解因式的是（ ）
A. \(x^2 + 2x - 1\) B. \(x^2 + xy + y^2\) C. \(4a^2 + 12a + 9\) D. \(a^2 + b^2\)
解析：A 选项平方项符号不同；B 选项中间项不是两底数积的 2 倍；C 选项\(4a^2=(2a)^2\)，\(9=3^2\)，中间项\(12a=2 2a 3\)，符合；D 选项是二项式。答案：C
例 2：指出下列多项式是否为完全平方式，若是，指出公式中的\(a\)和\(b\)。
（1）\(m^2 - 4m + 4\) 是，\(a = m\)，\(b = 2\)
（2）\(x^2 + x + \frac{1}{4}\) 是，\(a = x\)，\(b = \frac{1}{2}\)
（3）\(2x^2 + 4x + 2\) 是（先提公因式后判断），\(a = x\)，\(b = 1\)
（4）\(a^2 + 2ab - b^2\) 否（平方项符号不同）
第 7 页：知识点 3—— 利用完全平方公式分解因式的步骤
步骤详解：
第一步：判断多项式是否符合完全平方公式特征（三项式、两项同号平方项、中间项为两底数积的 ±2 倍）。
第二步：若有公因式，先提取公因式，再判断剩余因式是否符合特征。
第三步：将多项式写成\( ^2 ± 2 + ^2\)的形式，明确\( \)和\( \)。
第四步：套用公式分解为\(( ± )^2\)，检查分解是否彻底。
示例演示：分解因式\(9x^2 - 12xy + 4y^2\)。
第一步：符合特征（三项式、\((3x)^2\)和\((2y)^2\)同号、中间项\(-12xy=-2 3x 2y\)）。
第二步：无公因式。
第三步：写成\((3x)^2 - 2 3x 2y + (2y)^2\)。
第四步：套用公式得\((3x - 2y)^2\)。
第 8 页：例题 2—— 直接运用完全平方公式分解
例 2：分解因式。
（1）\(x^2 + 8x + 16\)
解析：\(x^2 + 8x + 16 = x^2 + 2 x 4 + 4^2=(x + 4)^2\)。
（2）\(25m^2 - 20m + 4\)
解析：\(25m^2 - 20m + 4=(5m)^2 - 2 5m 2 + 2^2=(5m - 2)^2\)。
（3）\(a^2b^2 + 2ab + 1\)
解析：把\(ab\)看作整体，\((ab)^2 + 2 ab 1 + 1^2=(ab + 1)^2\)。
第 9 页：知识点 4—— 先提公因式再用完全平方公式
重要原则：多项式各项有公因式时，需先提取公因式，再运用完全平方公式分解，确保分解彻底。
示例分析：分解因式\(2x^2 + 4x + 2\)。
第一步：提取公因式\(2\)，得\(2(x^2 + 2x + 1)\)。
第二步：\(x^2 + 2x + 1\)符合完全平方公式，分解得\(2(x + 1)^2\)。
注意事项：提取公因式后，需检查剩余因式的项数和符号是否符合完全平方公式特征，避免漏提或错提。
反例：分解\(3a^3 + 6a^2b + 3ab^2\)时，错误结果\(3a(a^2 + 2ab + b^2)\)（未继续分解）；正确结果\(3a(a + b)^2\)。
第 10 页：例题 3—— 提公因式后用完全平方公式
例 3：分解因式。
（1）\(3x^2 + 6xy + 3y^2\)
解析：提取公因式\(3\)，得\(3(x^2 + 2xy + y^2)=3(x + y)^2\)。
（2）\(-2a^3b + 12a^2b - 18ab\)
解析：先提取公因式\(-2ab\)，得\(-2ab(a^2 - 6a + 9)=-2ab(a - 3)^2\)。
（3）\(4(x + y)^2 + 4(x + y) + 1\)
解析：把\(x + y\)看作整体，无公因式，直接分解得\([2(x + y) + 1]^2=(2x + 2y + 1)^2\)。
第 11 页：知识点 5—— 完全平方公式的拓展应用
拓展形式：当平方项的底数是多项式时，公式仍适用，即\((m + n)^2 + 2(m + n)p + p^2=(m + n + p)^2\)。
符号处理：若多项式首项为负，先提取负号，再判断是否符合公式特征（提取负号后平方项符号不变）。
示例分析：分解因式\(-x^2 - 4y^2 + 4xy\)。
第一步：提取负号，得\(-(x^2 + 4y^2 - 4xy)\)。
第二步：整理为\(-(x^2 - 4xy + 4y^2)=-[(x)^2 - 2 x 2y + (2y)^2]\)。
第三步：套用公式得\(-(x - 2y)^2\)。
第 12 页：例题 4—— 拓展应用与综合分解
例 4：分解因式。
（1）\((a + b)^2 - 6(a + b) + 9\)
解析：把\(a + b\)看作整体，得\((a + b)^2 - 2 (a + b) 3 + 3^2=(a + b - 3)^2\)。
（2）\(x^4 + 2x^2y^2 + y^4\)
解析：看作\((x^2)^2 + 2 x^2 y^2 + (y^2)^2=(x^2 + y^2)^2\)（注意\(x^2 + y^2\)不能再分解）。
（3）\(a^2 - 2ab + b^2 - c^2\)
解析：前三项用完全平方公式得\((a - b)^2 - c^2\)，再用平方差公式得\((a - b + c)(a - b - c)\)（公式综合应用）。
第 13 页：典型例题 —— 复杂多项式分解
例 5：分解因式\(x^2 - 4x + 4 - y^2\)。
解析：先对前三项用完全平方公式，得\((x - 2)^2 - y^2\)；再用平方差公式分解，得\((x - 2 + y)(x - 2 - y)\)。
例 6：分解因式\(2a^2 - 4ab + 2b^2 - 8c^2\)。
解析：先提取公因式\(2\)，得\(2(a^2 - 2ab + b^2 - 4c^2)\)；括号内前三项用完全平方公式得\(2[(a - b)^2 - (2c)^2]\)；再用平方差公式得\(2(a - b + 2c)(a - b - 2c)\)。
第 14 页：易错点总结
公式应用条件错误：
对二项式或四项式强行套用完全平方公式，如分解\(x^2 + y^2\)为\((x + y)^2\)（错误）。
忽略平方项符号必须相同的条件，对含异号平方项的多项式套用公式。
分解步骤错误：
有公因式未先提取，直接套用公式，导致结果不彻底，如\(2x^2 + 4x + 2\)分解为\((\sqrt{2}x + \sqrt{2})^2\)（错误）。
中间项系数未核对 2 倍关系，如\(x^2 + 3x + 2\)错分解为\((x + 1)^2\)（中间项应为\(2x\)）。
符号与整体处理错误：
首项为负时提取负号后未变号，如\(-x^2 + 2x - 1\)错分解为\(-(x^2 + 2x + 1)\)（正确应为\(-(x - 1)^2\)）。
多项式作为底数时去括号错误，如\((x - y)^2 + 2(x - y) + 1\)错分解为\((x - y + 1)(x - y)\)（正确应为\((x - y + 1)^2\)）。
第 15 页：课堂练习 1—— 基础题
练习 1：选择题
（1）分解因式\(x^2 - 6x + 9\)的结果是（ ）
A. \((x - 3)^2\) B. \((x + 3)^2\) C. \((x - 3)(x + 3)\) D. \(x(x - 6) + 9\)
（2）下列分解正确的是（ ）
A. \(a^2 + 4a + 4=(a + 4)^2\) B. \(1 - 2x + x^2=(x - 1)^2\)
C. \(4m^2 - 4m + 1=(2m + 1)^2\) D. \(x^2 + xy + y^2=(x + y)^2\)
练习 2：分解因式
（1）\(m^2 + 10m + 25\)
（2）\(4x^2 - 4x + 1\)
（3）\(3a^3 + 6a^2b + 3ab^2\)
第 16 页：课堂练习 2—— 提高题
练习 3：分解因式
（1）\((x^2 + 1)^2 - 4x^2\)
（2）\(-a^2 - b^2 + 2ab + 4\)
（3）\(x^2 - 2xy + y^2 - 2x + 2y + 1\)
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
1.3.2利用完全平方公式进行因式分解
第1章 因式分解
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 理解并掌握用完全平方公式分解因式；（重点）
2. 灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解
进行计算．（难点）
1. 什么叫因式分解？
把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式.
2. 我们已经学过哪些因式分解的方法？
① 提公因式法
② 平方差公式
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
用完全平方公式分解因式
1
请说出完全平方公式.
说一说
完全平方公式1： ，
完全平方公式2： .
(x＋y) = x ＋2xy＋y
(x－y) = x －2xy＋y
例如：在完全平方公式 1 中，将 y 用 2 代入得到等式
把这个等式从右到左使用，就可以把多项式
x ＋4x＋4 因式分解： x ＋4x＋4 = .
(x＋2) = .
(x＋2)
x ＋4x＋4
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方的形式，便实现了因式分解.
2
x
y
+ y2
±
= (x ± y)
x2
首2
+ 尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
两个数的平方和加上 (或减去) 这两个数积的 2 倍，等于这两个数的和 (或差) 的平方.
例1 把多项式 9x2－6x＋1 因式分解：
分析：9x2 = (3x)2， 1 = 1 ，2·3x·1 = 6x，
因此 9x2－6x＋1 符合完全平方式 2 右边的形式，于是从右到左使用完全平方公式 2，就可把 9x2－6x＋1 因式分解.
解： 9x2－6x＋1
= (3x－1)2.
= (3x)2－2 · 3x · 1 + 12
典例精析
例2 把下列多项式因式分解：
(1) －4x2＋12xy－9y2；
解：(1) －4x2＋12xy－9y2
＝－(4x －12xy＋9y )
＝－[(2x) －2·2x·3y＋(3y) ]
＝－(2x－3y) .
分析：(1)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为 -(4x2－12xy＋9y2)，然后再利用公式因式分解.
(2) x5＋2x3y＋xy2.
(2) x5＋2x3y＋xy2
＝x(x4＋2x y＋y )
＝x[(x ) ＋2·x ·y＋y ]
＝x(x ＋y) .
分析：(2) 中有公因式 x，应先提出公因式，再进一步因式分解；
例3 把多项式 x4－2x2＋1 因式分解.
解： x4－2x2＋1
＝(x ) －2·x ·1＋1
＝(x －1)
＝[(x＋1)(x－1)]
＝(x＋1) (x－1) .
做一做
可以利用完全平方公式把多项式 (x＋y) －4(x＋y)＋4 因式分解吗？试一试.
分析：将 x＋y 看成一个整体，如 x＋y = m，则原式化为 m2 - 4m + 4.
解：(x＋y) －4(x＋y)＋4
＝(x＋y) －2·(x＋y)·2＋2
＝(x＋y－2) .
分解因式：
(1) - 3a2x2 + 24a2x - 48a2；
(2) ( a2 + 4 )2 - 16a2.
针对训练
＝( a2 + 4 + 4a )( a2 + 4 - 4a )
解：(1) 原式＝ - 3a2( x2 - 8x + 16 )
＝ - 3a2( x - 4 )2.
(2) 原式＝( a2 + 4 )2 - ( 4a )2
＝( a + 2 )2( a - 2 )2.
有公因式要先提公因式
要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．
例4 利用完全平方公式简便计算：
(1) 1002 - 2×100×99 + 99 ；
(2) 342 + 34×32 + 162.
解：(1) 原式 = (100 - 99)
(2) 原式 = (34 + 16)2
本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算，
= 1.
= 2500.
例5 已知 x2 - 4x + y2 - 10y + 29＝0，求 x2y2 + 2xy + 1 的值.
＝ 112 ＝ 121.
解：由题可知 x2 - 4x + y2 - 10y + 29
因为 (x - 2)2 ≥ 0，(y - 5)2 ≥ 0，
所以 x - 2＝0，y - 5＝0，
所以 x＝2，y＝5.
所以 x2y2 + 2xy + 1 ＝ ( xy + 1 )2
几个非负式的和为 0，则这几个非负式都为 0
＝ x2 - 4x +4+ y2 - 10y + 25
＝ (x - 2)2 + (y - 5)2
＝0，
方法总结：此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负式的和的形式，然后利用非负式的性质解决问题．
1. 下列四个多项式中，能因式分解的是 ( )
A．a2 + 1 B．a2 - 6a + 9
C．x2 + 5y D．x2 - 5y
2. 把多项式 4x2y - 4xy2 - x3 因式分解的结果是 ( )
A．4xy( x - y ) - x3 B． - x( x - 2y )2
C．x( 4xy - 4y2 - x2 ) D． - x( - 4xy + 4y2 + x2 )
3. 若 m ＝ 2n + 1，则 m2 - 4mn + 4n2 的值是_____．
B
B
1
4. 若关于 x 的多项式 x2 - 8x + m2 是完全平方式，则 m 的值为______．
±4
5. 把下列多项式因式分解：
（1）x2 - 12x + 36；（2）4(2a + b)2 - 4(2a + b) + 1；
（3）y2 + 2y + 1 - x2.
(2) 原式 = [2(2a + b)] - 2×2(2a + b)·1 + 1
= (4a + 2b - 1)2.
解：(1) 原式 = x2 - 2·x·6 + 62
= (x - 6)2.
(3) 原式 = (y + 1) - x
= (y + 1 + x)(y + 1 - x).
(2) 原式
6. 计算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92；
解：(1) 原式＝(38.9－48.9)2
＝100.
7. 因式分解：(1) 4x2 + 4x + 1；(2)
小聪和小明的解答过程如下：
他们做对了吗？若不对，请你帮忙纠正过来.
x2 - 2x + 3.
(2)原式＝ (x2 - 6x + 9)＝ (x - 3)2.
解:(1)原式＝(2x)2 + 2×2x 1 + 1＝(2x + 1)2.
小聪: 小明:
×
×
8. (1) 已知 a - b＝3，求 a(a - 2b) + b2 的值；
(2) 已知 ab＝2，a + b＝5，求 a3b + 2a2b2 + ab3 的值.
原式＝2×52＝50.
解：(1) 原式＝a2 - 2ab + b2＝(a - b)2.
当 a - b＝3 时，原式＝32＝9.
(2) 原式＝ab(a2 + 2ab + b2)＝ab(a + b)2.
当 ab＝2，a + b＝5 时，
1. ［2025东营月考］若 能用完全平方公式
进行因式分解，则常数 的值是( )
D
A. 或5 B. 5 C. 8 D. 8或
【点拨】因为 ，所以
，解得或 .
返回
2. ［2025日照月考］下列多项式： ；
；； ；
， 其中能用公式法分解因式的是( )
B
A. ①③④⑤ B. ②④⑤ C. ②③④ D. ②③④⑤
【点拨】 不能用公式法分解；
，可以用公式
法分解； 不能用公式法分解；
，可以用公式
法分解；
，
可以用公式法分解；综上所述，能用公式法分解因式的是②
④⑤.
返回
3. 如果， ，那么
的值为( )
D
A. 0 B. 1 C. 4 D. 9
4. 已知，为任意有理数，记 ，
，则与 的大小关系为( )
B
A. B. C. D. 不能确定
返回
5. 一个大正方形被分割成四部分的面积分别为,,, ，
则大正方形的边长为( )
D
A. B. C. D.
6.［2024威海］因式分解： _________.
7.利用因式分解计算： ____.
16
返回
8.母题教材P12例6 因式分解：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） .
原式 .
返回
9. 在分解因式时，小彬和小颖对同一道题
产生了分歧，下面是他们的解答过程.
（1）老师批阅后发现两人中只有一人的解答结果正确，则
解答正确的同学是______；
（2）小彬同学的第1步是运用了__________公式；小颖同学
的第1步是运用了________公式；
小彬
完全平方
平方差
（3）请你按照做错同学的思路，写出正确的解答过程.
【解】
.
返回
10. 将多项式加上一项，使它能化成 的形式，
以下是四名学生所加的项，其中错误的是( )
D
A. B. C. D.
返回
利用完全平方公式因式分解
公式
a2±2ab＋b2 = (a±b)2
特点
（1）要求多项式有三项；
（2）其中两项是某数或式的平方和，另一项则是这两数或式的乘积的 2 倍，符号可正可负.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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