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2.1.1 分式的概念教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：2.1.1 分式的概念
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾与引入
回顾分数概念：我们学过分数，如\(\frac{1}{2}\)、\(\frac{3}{4}\)等，分数由分子、分母和分数线组成，其中分母不能为 0，因为分母为 0 时分数无意义。
问题情境：观察下列式子\(\frac{1}{x}\)、\(\frac{a}{b}\)、\(\frac{x + 1}{x - 2}\)，它们与分数有什么相似之处？又有什么不同？
引入概念：像这样形如\(\frac{A}{B}\)（A、B 是整式，B 中含有字母且 B≠0）的式子叫做分式。其中 A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
学习意义：分式是代数式的重要组成部分，学好分式的概念是学习分式运算和应用的基础。
第 3 页：学习目标
知识目标：理解分式的定义，能区分整式与分式；掌握分式有意义、无意义的条件；理解分式值为零的条件并能进行相关判断。
能力目标：通过观察、比较整式与分式的区别，培养分析和判断能力；在解决分式有意义、值为零的问题中，提高逻辑推理能力。
情感目标：感受数学概念的严谨性，体会分式在实际生活中的应用，激发学习数学的兴趣。
第 4 页：知识点 1—— 分式的定义
定义：形如\(\frac{A}{B}\)的式子，其中 A、B 是整式，且 B 中含有字母，同时 B≠0，这样的式子叫做分式。
关键词解析：
A 和 B 都是整式（单项式或多项式）。
分母 B 中必须含有字母（区别于整式的关键特征）。
分母 B 的值不能为 0（分式有意义的前提）。
示例分析：
\(\frac{1}{x}\)：分子是 1（整式），分母是 x（整式且含字母），是分式。
\(\frac{x + y}{3}\)：分母是 3（不含字母），是整式（多项式），不是分式。
\(\frac{a - b}{a + b}\)：分子、分母都是整式，分母含字母，是分式。
\(\frac{2}{5}\)：分母不含字母，是分数（整式），不是分式。
第 5 页：例题 1—— 区分整式与分式
例 1：下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
（1）\(\frac{3}{x}\) （2）\(\frac{x}{3}\) （3）\(\frac{1}{x + y}\) （4）\(x^2 + 2x\) （5）\(\frac{a}{b + 1}\) （6）\(\frac{2m}{3n}\)
解析：整式是分母不含字母的式子，分式是分母含字母的式子。
整式：（2）、（4）
分式：（1）、（3）、（5）、（6）
例 2：判断下列说法是否正确。
（1）分式的分母中一定含有字母（正确）。
（2）分子中含有字母的式子是分式（错误，如\(\frac{x}{3}\)分子含字母但分母不含，是整式）。
（3）整式一定不是分式（正确，整式与分式是两类不同的代数式）。
第 6 页：知识点 2—— 分式有意义、无意义的条件
分式有意义的条件：分母不等于 0，即当 B≠0 时，分式\(\frac{A}{B}\)有意义。
分式无意义的条件：分母等于 0，即当 B=0 时，分式\(\frac{A}{B}\)无意义。
注意事项：分式有意义与否只与分母有关，与分子无关（分子可以为 0）。
示例分析：
分式\(\frac{1}{x - 1}\)：当\(x - 1 0\)即\(x 1\)时，分式有意义；当\(x = 1\)时，分式无意义。
分式\(\frac{x + 2}{x^2 - 4}\)：分母\(x^2 - 4=(x + 2)(x - 2)\)，当\(x 2\)且\(x -2\)时，分式有意义；当\(x = 2\)或\(x=-2\)时，分式无意义。
第 7 页：例题 2—— 分式有意义、无意义的条件
例 2：当 x 取何值时，下列分式有意义？当 x 取何值时，分式无意义？
（1）\(\frac{2}{x - 3}\)
解析：有意义时，\(x - 3 0\)即\(x 3\)；无意义时，\(x - 3 = 0\)即\(x = 3\)。
（2）\(\frac{x + 1}{2x + 6}\)
解析：分母\(2x + 6 = 2(x + 3)\)，有意义时\(x + 3 0\)即\(x -3\)；无意义时\(x=-3\)。
（3）\(\frac{1}{x^2 + 1}\)
解析：分母\(x^2 + 1\)，因为\(x^2 0\)，所以\(x^2 + 1 1\)恒不为 0，因此 x 取任意实数时，分式都有意义。
第 8 页：知识点 3—— 分式值为零的条件
分式值为零的条件：分子等于 0 且分母不等于 0，即当 A=0 且 B≠0 时，分式\(\frac{A}{B}\)的值为 0。
关键提醒：
分子必须为 0（保证分式的值可能为 0）。
分母不能为 0（保证分式有意义）。
两者缺一不可，需同时满足。
示例分析：
分式\(\frac{x - 2}{x + 1}\)：值为 0 时，需\(x - 2 = 0\)且\(x + 1 0\)，即\(x = 2\)（此时分母\(2 + 1 = 3 0\)）。
分式\(\frac{x^2 - 4}{x - 2}\)：分子\(x^2 - 4=(x + 2)(x - 2)\)，值为 0 时需\(x + 2 = 0\)或\(x - 2 = 0\)，且分母\(x - 2 0\)，因此\(x=-2\)（\(x = 2\)时分母为 0，舍去）。
第 9 页：例题 3—— 分式值为零的条件
例 3：当 x 取何值时，下列分式的值为 0？
（1）\(\frac{x}{x + 5}\)
解析：分子\(x = 0\)，且分母\(x + 5 0\)即\(x -5\)，因此\(x = 0\)。
（2）\(\frac{x^2 - 1}{x - 1}\)
解析：分子\(x^2 - 1 = 0\)得\(x = 1\)或\(x=-1\)；分母\(x - 1 0\)即\(x 1\)，因此\(x=-1\)。
（3）\(\frac{|x| - 3}{x + 3}\)
解析：分子\(|x| - 3 = 0\)得\(x = 3\)或\(x=-3\)；分母\(x + 3 0\)即\(x -3\)，因此\(x = 3\)。
第 10 页：知识点 4—— 分式与实际问题的联系
实际应用场景：分式在行程问题、工程问题、浓度问题等实际问题中广泛应用。
示例：
若汽车行驶的路程为 s 千米，行驶时间为 t 小时，则汽车的平均速度为\(\frac{s}{t}\)千米 / 小时（t≠0）。
一项工程，甲单独完成需要 a 天，乙单独完成需要 b 天，则甲的工作效率为\(\frac{1}{a}\)，乙的工作效率为\(\frac{1}{b}\)（a、b 均为正整数）。
有 m 克盐溶解在 n 克水中，盐水的浓度为\(\frac{m}{m + n}\)（m + n≠0）。
意义：通过实际问题感受分式的实用性，理解分式中字母取值的实际意义（如时间、工作量等不能为 0 或负数）。
第 11 页：典型例题 —— 综合应用
例 4：已知分式\(\frac{2x - 6}{x^2 - 5x + 6}\)。
（1）当 x 为何值时，分式无意义？
（2）当 x 为何值时，分式有意义？
（3）当 x 为何值时，分式的值为 0？
解析：
（1）分母\(x^2 - 5x + 6=(x - 2)(x - 3)\)，令分母为 0 得\(x = 2\)或\(x = 3\)，因此 x=2 或 x=3 时，分式无意义。
（2）由（1）可知，当 x≠2 且 x≠3 时，分式有意义。
（3）分子\(2x - 6 = 0\)得\(x = 3\)，但 x=3 时分母为 0，因此分式的值不可能为 0。
第 12 页：易错点总结
概念理解错误：
混淆整式与分式，认为分子含字母就是分式（忽略分母是否含字母），如误将\(\frac{x}{5}\)当作分式。
忽略分式定义中 “B≠0” 的条件，认为只要分母含字母就是分式，未强调分母不能为 0。
条件判断错误：
判断分式有意义时，只考虑分子不为 0，忽略分母不为 0 的关键条件。
判断分式值为零时，只考虑分子为 0，忘记验证分母是否不为 0，如\(\frac{x - 2}{x - 2}\)错误认为 x=2 时值为 0（实际此时分式无意义）。
实际应用错误：
在实际问题中忽略字母取值的实际限制，如时间、长度等不能为负数或零，导致字母取值范围判断错误。
第 13 页：课堂练习 1—— 基础题
练习 1：选择题
（1）下列式子中，是分式的是（ ）
A. \(\frac{x}{2}\) B. \(\frac{2}{x}\) C. \(x + y\) D. \(\frac{1}{3}\)
（2）当 x=2 时，分式\(\frac{x - 2}{x + 1}\)的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 无意义 D. 2
练习 2：填空题
（1）分式\(\frac{1}{x - 5}\)有意义的条件是______。
（2）分式\(\frac{x^2 - 9}{x + 3}\)无意义的条件是______。
（3）当 x=______时，分式\(\frac{x - 1}{x + 2}\)的值为 0。
第 14 页：课堂练习 2—— 提高题
练习 3：解答题
（1）当 x 取何值时，分式\(\frac{2x + 1}{3x - 6}\)有意义？值为 0？
（2）已知分式\(\frac{|x| - 2}{x^2 - x - 2}\)，当 x 为何值时，分式无意义？当 x 为何值时，分式的值为 0？
练习 4：当 m 为何值时，分式\(\frac{(m - 1)(m - 3)}{m^2 - 3m + 2}\)的值为 0？
第 15 页：作业布置
基础作业：教材第 [X] 页习题 [X] 第 1、2、3 题。
提高作业：
（1）若分式\(\frac{x^2 - 4}{x - 2}\)的值为 0，求 x 的值。
（2）当 x 满足什么条件时，分式\(\frac{1}{x^2 + 2x + 1}\)有意义？
拓展作业：编写一个含有分式的实际问题，并指出其中分式有意义的条件。
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.1.1分式的概念
第2章 分式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 了解分式的概念；
2. 理解分式有意义的条件及分式值为零的条件；
（重点）
3. 能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件．（难点）
问题1：已知 6 = 3×2，那从这个式子能得到什么除法运算结果？
问题2(类比数的整除)：已知 x2－1＝(x＋1)(x－1)，那 x2－1 除以 x＋1 的结果应该是多少呢？
(x2－1)÷(x＋1)＝x－1.
6÷3＝2.
问题3：已知 8 = 3×2＋2，显然 8 不能被 3 整除，那我们怎么表示 8 除以 3 的结果呢？
分式的概念
1
8 除以 3 的结果记作 .
问题4(类比数不能整除的表示)：
已知 x2＋1＝(x＋1)(x－1)＋2，那 x2＋1 能被 x＋1 整除吗？不能整除的话，该怎么表示这个结果呢？
x2＋1 除以 x＋1 的结果记作 .
分式的定义
设 f 和 g 都是多项式，其中 g 不为 0. 我们把 f 除以 g 的结果记作 ，称 是分式，其中 f 称为分子，g 称为分母.
知识要点
思考：（1）分式与分数有何联系？
②分数是分式中的字母取某些值的结果，更具一般性.
整数
整数
整式
整式
(分母含有字母）
分数
分式
类比思想
特殊到一般的思想
①
7
100
a + 1
100
(是一个数）
判一判：下面的式子哪些是分式？
分式:
归纳：1. 判断时，注意含有 π 的式子中 π 是常数.
2. 式子中含有多项时，若其中至少一项分母含有字母，其他项为整式，则该式也为分式，如： .
问题3： 已知分式 .
(1) 当 x = 3 时，分式的值是多少
(2) 当 x = -2 时，分式的值能算出来吗
不能，当 x = -2 时，分式分母为 0，没有意义.
当 x_____时，分式有意义.
(3) 当 x 为何值时，分式有意义？
一般到特殊的思想
类比思想
≠-2
当 x = 3 时，分式值为
分式有意义的条件
2
对于分式 ：
当_______时分式有意义；
当_______时无意义.
g ≠ 0
g = 0
分式有意义的条件
知识要点
例1 已知分式 有意义，则 x 应满足的
条件是 (　　)
A．x≠1 B．x≠2
C．x≠1 且 x≠2 D．以上结果都不对
方法总结：分式有意义的条件是分母不为零. 如果分母是几个因式乘积的形式，那么每个因式都不为零.
C
（4）当 时，分式 有意义；
（2）当 x 时，分式 有意义；
（1）当 x 时，分式 有意义；
x≠y
（3）当 b 时，分式 有意义；
（5）当 x 时，分式 有意义.
做一做：
为任意实数
≠0
≠1
想一想：分式 的值为零应满足什么条件？
当 f = 0 而 g ≠ 0 时，分式 的值为零.
注意：分式值为零是分式有意义的一种特殊情况.
分式值为零的条件及求分式的值
3
解：当分子等于零而分母不等于零时，分式的值为零.
的值为零.
所以 当 x = 1 时分式
所以 x≠-1.
而 x + 1≠0，
所以 x = ±1.
则 x2 - 1 = 0，
例2 当 x 为何值时，分式 的值为零
解：(1) 由题意可得，若分母 2x - 3 的值为 0，
则分式的值不存在，解方程 2x - 3 = 0，得 ，
例3 已知分式 ：
（1）当 x 取哪个数时， 的值不存在？
（2）当 x 取哪个数时， 的值等于 0 ？
因此当 x 取 时， 的值不存在.
（2）当 x 取哪个数时， 的值等于 0 ？
(2) 由题意可得，若分子 x－2 的值为 0，
则分式的值为 0，解方程 x－2＝0，得 x＝2.
又因为此时分母 2x－3 的值为 2×2－3＝1≠0，
于是当 x 取 2 时， 的值为 ＝0.
议一议
(1) 当 x 取哪个数时，分式 的值不存在？
(2) 分式 的值可能等于 0 吗？为什么？
解：(1) 由题意可得，若分母 x + 1 的值为 0，
则分式的值不存在，解方程 x + 1 = 0，得 x = -1.
因此当 x 取 -1 时， 的值不存在.
(2) 不可能，因为由题意可得，若分子 x2 + 1 的值为 0，则分式的值为 0.
但是 x2 + 1＞0，所以分式 的值不可能等于 0.
例4 求下列条件下分式 的值.
（1）x = 3； （2）x = -0.4.
解 （1）把 x 用 3 代入，则 的值为
（2）把 x 用 -0.4 代入，则 的值为
1. 下列代数式中，属于分式的是（ ）
A. B. C. D.
C
2. 当 a = -1 时，分式 （ ）
A. 没有意义 B. 等于零
C. 等于 1 D. 等于 -1
A
3. 当 x 为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）
A.
B.
C.
D.
A
4. 已知当 x = 5 时，分式 的值等于零，则 k =
.
-10
5. 在分式 中，当 x 为何值时，分式有意义？为何值时，分式的值为零？
答：当 x≠3 时，该分式有意义；当 x = -3 时，该分式的值为零.
6. 分式 的值能为 0 吗？说明理由．
答：不能. 因为若 ，则必须 x = -3；而 x = -3 时，分母 x2 - x - 12 = 0，分式无意义.
1. ［2025长沙雨花区期末］下列各式：,,,, ,
中，属于分式的有( )
B
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2. 下列各式中,当 时,分式的值一定存在的是( )
C
A. B. C. D.
返回
3. 根据下表信息, 表示的代数式可能是
( )
… 0 1 2 …
… * 不存在 * * 0 …
B
A. B. C. D.
返回
4. 黑龙江仙洞山梅花鹿保护区是以梅花鹿为代
表的许多珍贵野生动植物的栖息地，经过10多年的努力，取
得了显著效果，野生梅花鹿的种群数量逐渐增多.该保护区为
了估计该地区梅花鹿的数量，先捕捉了 只梅花鹿给它们做
上标记，然后放走，待有标记的梅花鹿完全混合于鹿群后，
第二次捕捉只梅花鹿，发现其中 只有标记，请估计这个地
区的梅花鹿约有____只.
返回
5.母题教材P25例2 当时， 的值是___.
6.对于分式,当时分式的值不存在，则 的
值为________.
2
返回
7. 取何值时，下列分式的值存在？
（1） ;
【解】要使的值存在，则,解得 .
（2） ;
要使的值存在，则,解得 .
（3） .
要使的值存在，则且,解得
且 .
返回
8.母题教材P25练习 已知， 取哪些值时：
（1）分式的值是0？
【解】当分子值为0，分母的值不为0时，分式值为0，所以
，，所以 ，
所以当 时，分式的值为0.
（2）分式的值不存在？
当分母为0时，分式的值不存在，则时，即
时分式的值不存在.
（3）分式的值是正数？
因为分式的值为正数，所以可得 或
由①得此时无解，解②得 ，
所以当 时，分式的值为正数.
返回
9. ［2025邵阳期末］若分式的值为零，则 的值是( )
B
A. 1 B. C. D. 0
10. 下列关于分式的判断，正确的是( )
D
A. 当时， 的值为0
B. 当时， 的值一定存在
C. 无论为何值， 的值不可能是整数
D. 无论为何值， 的值总为正数
返回
分式
定义
值为零的条件
有意义的条件
分式 有意义的条件是 g≠0
分式 的值为零的条件是 f = 0且 g ≠ 0
概念：一个整式 f 除以一个非零整式 g (g 中含字母) 所得的商
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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