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2.1.2 分式的基本性质教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：2.1.2 分式的基本性质
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾与引入
回顾分数基本性质：分数的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为 0 的数，分数的值不变，即\(\frac{a}{b}=\frac{a c}{b c}=\frac{a ·c}{b ·c}\)（\(b 0\)，\(c 0\)）。例如\(\frac{2}{3}=\frac{2 2}{3 2}=\frac{4}{6}\)，\(\frac{6}{8}=\frac{6 ·2}{8 ·2}=\frac{3}{4}\)。
问题情境：分式与分数有很多相似之处，分数有基本性质，那么分式是否也有类似的性质呢？
引入概念：分式也有基本性质，这是分式变形和运算的重要依据，本节课我们将学习分式的基本性质及其应用。
学习意义：掌握分式的基本性质是进行分式约分、通分及化简的基础，对后续分式运算至关重要。
第 3 页：学习目标
知识目标：理解并掌握分式的基本性质；能运用分式的基本性质进行分式的变形；理解约分的概念，能对分式进行约分并化为最简分式。
能力目标：通过类比分数的基本性质学习分式的基本性质，培养类比推理能力；在运用性质进行分式变形和约分的过程中，提高运算能力和逻辑思维能力。
情感目标：体会数学知识之间的联系（分数与分式），感受数学的严谨性，激发对分式学习的兴趣。
第 4 页：知识点 1—— 分式的基本性质
基本性质内容：分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。
字母表示：\(\frac{A}{B}=\frac{A C}{B C}\)，\(\frac{A}{B}=\frac{A ·C}{B ·C}\)（其中 A、B、C 是整式，且\(B 0\)，\(C 0\)）。
关键词解析：
同时乘（或除以）：分子和分母必须进行相同的运算，不能只改变分子或只改变分母。
同一个：乘（或除以）的整式必须是同一个整式。
不等于 0 的整式：C 不能为 0，否则分母可能为 0，分式无意义。
示例分析：
对于分式\(\frac{x}{y}\)，若乘整式\(2a\)（\(a 0\)），则\(\frac{x}{y}=\frac{x 2a}{y 2a}=\frac{2ax}{2ay}\)。
对于分式\(\frac{6a^2b}{4ab^2}\)，若除以整式\(2ab\)（\(a 0\)，\(b 0\)），则\(\frac{6a^2b ·2ab}{4ab^2 ·2ab}=\frac{3a}{2b}\)。
第 5 页：例题 1—— 利用分式基本性质变形
例 1：填空，使等式成立。
（1）\(\frac{1}{x}=\frac{()}{xy}\)（\(y 0\)）
解析：分母乘\(y\)，根据分式基本性质，分子也应乘\(y\)，因此括号内应填\(y\)。
（2）\(\frac{a + b}{ab}=\frac{()}{a^2b}\)（\(a 0\)，\(b 0\)）
解析：分母乘\(a\)，分子也应乘\(a\)，\((a + b) a=a^2 + ab\)，因此括号内应填\(a^2 + ab\)。
（3）\(\frac{x^2 - xy}{x^2}=\frac{x - y}{()}\)（\(x 0\)）
解析：分子除以\(x\)，分母也应除以\(x\)，\(x^2 ·x=x\)，因此括号内应填\(x\)。
（4）\(\frac{2x}{x + y}=\frac{()}{(x + y)(x - y)}\)（\(x y\)）
解析：分母乘\(x - y\)，分子也应乘\(x - y\)，\(2x(x - y)=2x^2 - 2xy\)，因此括号内应填\(2x^2 - 2xy\)。
第 6 页：知识点 2—— 分式的符号法则
符号法则内容：分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
符号表示：
\(\frac{-A}{B}=\frac{A}{-B}=-\frac{A}{B}\)
\(\frac{-A}{-B}=\frac{A}{B}\)
理解要点：
改变一个符号：分式的值改变符号，如\(\frac{A}{B}=-\frac{-A}{B}\)。
改变两个符号：分式的值不变，如\(\frac{-A}{-B}=\frac{A}{B}\)。
改变三个符号：分式的值改变符号，如\(-\frac{-A}{-B}=-\frac{A}{B}\)。
示例分析：
\(\frac{-x}{y}=-\frac{x}{y}\)，\(\frac{x}{-y}=-\frac{x}{y}\)，\(\frac{-x}{-y}=\frac{x}{y}\)。
\(-\frac{a - b}{c}=\frac{b - a}{c}\)（改变分子和分式本身的符号）。
第 7 页：例题 2—— 分式符号的变化
例 2：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含 “-” 号。
（1）\(\frac{-3x}{-y}\)
解析：分子和分母都含 “-” 号，根据符号法则，改变两个符号值不变，得\(\frac{3x}{y}\)。
（2）\(\frac{-2a}{b}\)
解析：分子含 “-” 号，改变分子和分式本身的符号，得\(-\frac{2a}{b}\)（或\(\frac{2a}{-b}\)，但通常使分母不含负号）。
（3）\(\frac{5m}{-n}\)
解析：分母含 “-” 号，改变分母和分式本身的符号，得\(-\frac{5m}{n}\)。
例 3：不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数为正数。
（1）\(\frac{2 - x}{x^2 - 1}\)
解析：分子最高次项系数为 - 1，分母最高次项系数为 1，改变分子符号和分式本身符号，得\(\frac{x - 2}{x^2 - 1}\)。
（2）\(\frac{-x^2 + 3x}{-x + 2}\)
解析：分子最高次项系数为 - 1，分母最高次项系数为 - 1，分子分母同时改变符号，得\(\frac{x^2 - 3x}{x - 2}\)。
第 8 页：知识点 3—— 约分的概念
约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
约分依据：分式的基本性质（分子和分母同时除以同一个不为 0 的整式）。
公因式定义：分子与分母都含有的因式叫做它们的公因式（可以是单项式或多项式）。
示例分析：
分式\(\frac{6a^2b}{4ab^2}\)的分子分母公因式是\(2ab\)，约分后得\(\frac{3a}{2b}\)。
分式\(\frac{x(x + y)}{(x + y)}\)（\(x + y 0\)）的公因式是\(x + y\)，约分后得\(x\)。
第 9 页：知识点 4—— 约分的步骤
约分步骤：
第一步：确定分子和分母的公因式（系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，多项式因式先分解）。
第二步：将分子和分母同时除以公因式。
第三步：检查约分后的分式是否还能继续约分，直到分子与分母没有公因式为止。
最简分式定义：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。约分的最终结果应为最简分式或整式。
示例演示：约分\(\frac{12x^2y^3}{18x^3y}\)。
第一步：确定公因式，系数 12 和 18 的最大公约数是 6；相同字母\(x\)取最低次幂\(x^2\)，\(y\)取最低次幂\(y\)，公因式是\(6x^2y\)。
第二步：分子分母同时除以公因式，\(\frac{12x^2y^3 ·6x^2y}{18x^3y ·6x^2y}=\frac{2y^2}{3x}\)。
第三步：\(\frac{2y^2}{3x}\)分子分母无公因式，是最简分式。
第 10 页：例题 3—— 分式的约分（单项式公因式）
例 3：约分。
（1）\(\frac{-25a^2bc^3}{15ab^2c}\)
解析：公因式是\(5abc\)；分子分母同时除以\(5abc\)，得\(\frac{-5ac^2}{3b}=-\frac{5ac^2}{3b}\)。
（2）\(\frac{4x^2y}{6xy^2}\)
解析：公因式是\(2xy\)；分子分母同时除以\(2xy\)，得\(\frac{2x}{3y}\)。
（3）\(\frac{3a^2b(m - 1)}{9ab^2(1 - m)}\)
解析：先将\(1 - m\)转化为\(-(m - 1)\)，公因式是\(3ab(m - 1)\)；分子分母同时除以公因式，得\(\frac{a}{-3b}=-\frac{a}{3b}\)。
第 11 页：例题 4—— 分式的约分（多项式公因式）
例 4：约分。
（1）\(\frac{x^2 - 4}{x + 2}\)
解析：分子分解因式为\((x + 2)(x - 2)\)，公因式是\(x + 2\)（\(x + 2 0\)）；约分后得\(x - 2\)。
（2）\(\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 - b^2}\)
解析：分子分解为\((a - b)^2\)，分母分解为\((a + b)(a - b)\)，公因式是\(a - b\)（\(a - b 0\)）；约分后得\(\frac{a - b}{a + b}\)。
（3）\(\frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 4}\)
解析：分子分解为\((x + 2)^2\)，分母分解为\((x + 2)(x - 2)\)，公因式是\(x + 2\)（\(x + 2 0\)）；约分后得\(\frac{x + 2}{x - 2}\)。
第 12 页：典型例题 —— 约分综合应用
例 5：约分\(\frac{(x - y)^3}{(y - x)^2}\)。
解析：先将\((y - x)^2\)转化为\((x - y)^2\)（因为平方后符号不变）；公因式是\((x - y)^2\)；约分后得\(x - y\)。
例 6：约分\(\frac{2x^2 - 8}{x^2 - 4x + 4}\)。
解析：分子分解因式为\(2(x^2 - 4)=2(x + 2)(x - 2)\)；分母分解因式为\((x - 2)^2\)；公因式是\(x - 2\)（\(x - 2 0\)）；约分后得\(\frac{2(x + 2)}{x - 2}=\frac{2x + 4}{x - 2}\)。
第 13 页：易错点总结
分式基本性质应用错误：
忽略 “C≠0” 的条件，在未明确整式 C 是否为 0 的情况下进行变形，如\(\frac{x}{y}=\frac{x (x - 1)}{y (x - 1)}\)未注明\(x 1\)。
只对分子或分母进行变形，如\(\frac{x}{y}=\frac{x 2}{y}\)（错误，未同时乘 2）。
符号法则应用错误：
改变符号时未遵循 “改变两个符号值不变” 的原则，如\(\frac{-x}{-y}=-\frac{x}{y}\)（正确应为\(\frac{x}{y}\)）。
处理多项式符号时出错，如\(\frac{2 - x}{x - 1}=\frac{x - 2}{x - 1}\)（错误，应为\(-\frac{x - 2}{x - 1}\)）。
约分错误：
公因式确定错误，漏提系数的最大公约数或字母的最低次幂，如\(\frac{4x^2y}{6xy^2}\)公因式错定为\(2x\)（正确是\(2xy\)）。
未先分解多项式因式就约分，导致公因式提取不彻底，如\(\frac{x^2 - 4}{x + 2}\)直接约分（应先分解分子）。
约分时去掉了分子或分母中的项，而非公因式，如\(\frac{x + 1}{x + 2}=\frac{1}{2}\)（错误，x + 1 和 x + 2 无公因式）。
第 14 页：课堂练习 1—— 基础题
练习 1：选择题
（1）下列等式成立的是（ ）
A. \(\frac{x}{y}=\frac{x^2}{y^2}\) B. \(\frac{x}{y}=\frac{x + 2}{y + 2}\) C. \(\frac{x}{y}=\frac{ax}{ay}\)（\(a 0\)） D. \(\frac{x}{y}=\frac{x - a}{y - a}\)
（2）分式\(\frac{-a}{a - b}\)可变形为（ ）
A. \(\frac{a}{-a - b}\) B. \(\frac{a}{a + b}\) C. \(-\frac{a}{a + b}\) D. \(-\frac{a}{a - b}\)
练习 2：约分
（1）\(\frac{15xy^2}{25x^2y}\)
（2）\(\frac{x^2 - 2x}{x^2 - 4x + 4}\)
（3）\(\frac{a^2 - b^2}{a^2 + 2ab + b^2}\)
第 15 页：课堂练习 2—— 提高题
练习 3：填空
（1）\(\frac{a + b}{ab}=\frac{()}{a^2b^2}\)（\(a 0\)，\(b 0\)）
（2）\(\frac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9}=\frac{x + 3}{()}\)
练习 4：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含负号，且分子分母最高次项系数为正。
（1）\(\frac{-x^2}{-x + y}\)
（2）(\frac{2 - 3
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.1.2分式的基本性质
第2章 分式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 理解并掌握分式的基本性质；（重点）
2. 会运用分式的基本性质进行分式的约分.（难点）
分数的 基本性质
分数的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于零的数，分数的值不变.
2. 这些分数相等的依据是什么？
1. 把 3 个苹果平均分给 6 个同学，每个同学得到几个
苹果？
相等
做一做：填空，并说一说下列等式从左到右变化的依据.
（1）
（2）
8
9
9
1
分式的基本性质
1
依据：对于任意一个分数 有
想一想：类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？
从右到左看①式，可以发现：分式的分子与分母都乘同一个不为 0 的多项式，所得分式与原分式相等.
从左到右看①式，可以发现：分式的分子与分母都除以它们的一个不为 0 的公因式，所得分式与原分式相等.
①
对于分式 ，若 h 不为 0，则
分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘同一个不为0的多项式 (或除以它们的一个不为 0 的公因式)，所得分式与原分式相等.
知识要点
思考
下列关于分式的等式是否成立？为什么
(1) ＝；
(2) ＝；
(1) 成立. 分式 的分子与分母都除以－1，根据分式的基本性质得
＝，
即 ＝.
(2) 成立. 分式 的分子与分母都乘－1，根据分式的基本性质得
＝，
即 ＝.
例1 填空：
看分母如何变化，想分子如何变化.
看分子如何变化，想分母如何变化.
想一想：(1)中为什么不给出 x≠0，而(2)中却给出了 b≠0
典例精析
例2　根据分式的基本性质填空：
想一想：运用分式的基本性质应注意什么
(1)“都”
(2)“同一个”
(3)“不为 0”
a2 - 1
x2
x - 3
解：(1)
例3　不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数.
(1) (2)
分式的约分
2
利用分式的基本性质填空，并说明理由.
＝.
＝
想一想：联想分数的约分，由上例你能想出如何对分式进行约分吗？
与分数约分类似，关键是要找出分式的分子与分母的“公因式”.
x－3
　 像这样，利用分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去(即分子与分母都除以它们的公因式)，叫作分式的约分．
约分的定义
如果分式的分子与分母没有公因式，那么称这个分式是最简分式.　
知识要点
例4 把下列分式化成最简分式：
典例精析
(1) ；
(2) .
分析：化成最简分式的方法是约分.
分析：若分子或分母是多项式，应先将其因式分解，然后找出分子与分母的公因式，最后约去公因式.
= =
解：(1)
(2) = = .
约分的基本步骤
(1) 若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；
(2) 若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式．
归纳总结
例5 当 x = 23，y = 17 时，求分式 的值.
解：由于分式 不是最简分式，
因此，可将其先化为最简分式，即
将 中 x，y 分别用 23，17 代入，则分式 的值为
因此，当 x = 23，y = 17 时，分式 的值为 .
注意事项：
（1）约分前后分式的值要相等；
（2）约分的关键是确定分式分子和分母的公因式；
（3）约分是对分子，分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都要除以同一个因式.
归纳总结
1. 下列各式中最简分式是( )
D
A. B.
C. D.
2. 下列各式从左到右的变形正确的是( )
D
A. B.
C. D.
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3. ［2025长沙开福区月考］如果把分式中的， 都扩大
为原来的10倍，那么分式的值( )
B
A. 缩小为原来的 B. 缩小为原来的
C. 不变 D. 扩大为原来的10倍
【点拨】把分式中的和 都扩大为原来的10倍后可得
.所以分式的值缩小为原来的 .
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4.如果成立，则 的取值范围是______.
5.不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“-”号：
（1） ______;
（2） ____;
（3） ____;
（4） ____.
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6.不改变分式的值，将分式 中的分子、分母的系数
化为整数，其结果为_ _______.
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7.母题教材P28例4 当，时，求分式 的值.
【解】原式
，
当，时，原式 .
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8. 请从下列三个代数式中任选两个
（一个作为分子，一个作为分母）构造一个分式，并化简该
分式，然后请你自选一个合理的数代入求值.
，， .
【解】把作为分子， 作为分母，可得
，当时，原式 .
（答案不唯一）
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9. 若把分式的， 同时扩大到原来的5倍，则分式的值
也扩大到原来的5倍，则“ ”可以是( )
B
A. 5 B. C. D.
返回
10. 如果一个分式的分子或分母可以因式
分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”，下
列分式中，是“和谐分式”的是( )
A
A. B.
C. D.
返回
分式的
基本性质
分式的约分求值
先分解因式，找出分子与分母的公因式，再约分
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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