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2.2.1 同分母分式的加减教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：2.2.1 同分母分式的加减
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾与引入
回顾分数加减法法则：同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。例如\(\frac{2}{5}+\frac{1}{5}=\frac{2 + 1}{5}=\frac{3}{5}\)，\(\frac{7}{9}-\frac{4}{9}=\frac{7 - 4}{9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\)。
问题情境：我们已经学习了分式的基本性质、约分等知识，分式的运算也与分数运算有很多相似之处。既然同分母分数有相应的加减法则，那么同分母分式又该如何进行加减运算呢？
引入概念：同分母分式的加减是分式运算的基础，在实际问题和后续数学学习中经常用到，本节课我们将探究同分母分式的加减法则及其应用。
学习意义：掌握同分母分式的加减运算，有助于解决更复杂的分式混合运算问题，为进一步学习分式方程、函数等知识奠定基础。
第 3 页：学习目标
知识目标：理解并掌握同分母分式的加减运算法则；能准确运用法则进行同分母分式的加减运算；能对运算结果进行化简。
能力目标：通过类比同分母分数的加减运算，推导同分母分式的加减法则，培养类比推理能力和逻辑思维能力；在进行分式运算过程中，提高运算能力和细心程度。
情感目标：体会数学知识之间的内在联系和类比思想的重要性，增强对数学学习的信心，感受数学运算的严谨性和简洁美。
第 4 页：知识点 1—— 同分母分式的加减法则
法则内容：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
字母表示：\(\frac{a}{c}\pm\frac{b}{c}=\frac{a\pmb}{c}\)（其中\(a\)、\(b\)、\(c\)为整式，且\(c 0\)）。
关键词解析：
同分母：参与运算的分式分母必须相同。
分母不变：在进行加减运算时，分母保持原来的形式，不发生改变。
分子相加减：将分子按照整式的加减法进行运算，即把分子中的各项分别相加减。
示例分析：
对于\(\frac{3}{x}+\frac{2}{x}\)，因为是同分母分式，根据法则，分母\(x\)不变，分子相加，\(3 + 2 = 5\)，结果为\(\frac{3 + 2}{x}=\frac{5}{x}\)。
对于\(\frac{5a}{2b}-\frac{3a}{2b}\)，分母\(2b\)不变，分子相减，\(5a - 3a = 2a\)，所以结果是\(\frac{5a - 3a}{2b}=\frac{2a}{2b}=\frac{a}{b}\)（这里对结果进行了约分）。
第 5 页：例题 1—— 简单同分母分式的加减运算
例 1：计算。
（1）\(\frac{5}{x}+\frac{3}{x}\)
解析：根据同分母分式的加减法则，分母\(x\)不变，分子相加，\(5 + 3 = 8\)，所以\(\frac{5}{x}+\frac{3}{x}=\frac{5 + 3}{x}=\frac{8}{x}\)。
（2）\(\frac{7y}{4x}-\frac{3y}{4x}\)
解析：分母\(4x\)保持不变，分子相减，\(7y - 3y = 4y\)，则\(\frac{7y}{4x}-\frac{3y}{4x}=\frac{7y - 3y}{4x}=\frac{4y}{4x}=\frac{y}{x}\)（最后对结果进行了约分）。
（3）\(\frac{2}{a + b}+\frac{3}{a + b}\)
解析：同分母为\(a + b\)，分子相加，\(2 + 3 = 5\)，得到\(\frac{2}{a + b}+\frac{3}{a + b}=\frac{2 + 3}{a + b}=\frac{5}{a + b}\)。
第 6 页：例题 2—— 分子为多项式的同分母分式加减
例 2：计算。
（1）\(\frac{x + 2}{x - 1}+\frac{3 - x}{x - 1}\)
解析：分母都是\(x - 1\)，分子相加\((x + 2)+(3 - x)=x + 2 + 3 - x = 5\)，所以结果为\(\frac{(x + 2)+(3 - x)}{x - 1}=\frac{5}{x - 1}\)。
（2）\(\frac{2a + b}{a - b}-\frac{a + 2b}{a - b}\)
解析：分母为\(a - b\)，分子相减\((2a + b)-(a + 2b)=2a + b - a - 2b=a - b\)，则\(\frac{(2a + b)-(a + 2b)}{a - b}=\frac{a - b}{a - b}=1\)（注意，这里当分子分母相等时，结果为 1）。
（3）\(\frac{x^2 - 1}{x + 2}+\frac{3x + 3}{x + 2}\)
解析：先将分子进行整理，\(x^2 - 1=(x + 1)(x - 1)\)，\(3x + 3 = 3(x + 1)\)。分母为\(x + 2\)，分子相加\((x^2 - 1)+(3x + 3)=(x + 1)(x - 1)+3(x + 1)=(x + 1)(x - 1 + 3)=(x + 1)(x + 2)\)，所以\(\frac{(x^2 - 1)+(3x + 3)}{x + 2}=\frac{(x + 1)(x + 2)}{x + 2}=x + 1\)（约分后得到结果）。
第 7 页：知识点 2—— 运算结果的化简
化简要求：同分母分式加减运算的结果，要化为最简分式或整式。
化简方法：
对分子进行整式运算后，若分子分母有公因式，需要根据分式的基本性质进行约分。例如，\(\frac{4x}{6x}\)，运算结果分子分母有公因式\(2x\)，约分后为\(\frac{2}{3}\)。
当分子是多项式时，先将分子进行整理、合并同类项等运算，再看能否与分母约分。如\(\frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1}\)，分子可化为\((x + 1)^2\)，与分母约分后结果为\(x + 1\)。
若运算结果的分子分母符号有需要调整的，根据分式的符号法则进行处理。如\(\frac{-x + 2}{-x - 1}\)，可根据符号法则化为\(\frac{x - 2}{x + 1}\)。
示例分析：
计算\(\frac{6}{x^2 - 4}+\frac{3}{4 - x^2}\)，先变形为\(\frac{6}{x^2 - 4}-\frac{3}{x^2 - 4}=\frac{6 - 3}{x^2 - 4}=\frac{3}{x^2 - 4}\)，此时\(x^2 - 4=(x + 2)(x - 2)\)，分子分母无其他公因式，已是最简形式。
计算\(\frac{x^2 - 4x + 4}{x - 2}-\frac{2 - x}{x - 2}\)，分子运算得\((x^2 - 4x + 4)-(2 - x)=x^2 - 4x + 4 - 2 + x=x^2 - 3x + 2=(x - 1)(x - 2)\)，分母为\(x - 2\)，约分后结果为\(x - 1\)。
第 8 页：例题 3—— 结果化简的综合应用
例 3：计算并化简。
（1）\(\frac{3}{x^2 - 9}+\frac{x}{x^2 - 9}\)
解析：分母相同为\(x^2 - 9=(x + 3)(x - 3)\)，分子相加得\(3 + x\)，则原式\(=\frac{3 + x}{x^2 - 9}=\frac{x + 3}{(x + 3)(x - 3)}=\frac{1}{x - 3}\)（约分得到最简分式）。
（2）\(\frac{2x^2 + 2x}{x^2 - 1}-\frac{x^2 - x}{x^2 - 1}\)
解析：分母\(x^2 - 1=(x + 1)(x - 1)\)，分子相减\((2x^2 + 2x)-(x^2 - x)=2x^2 + 2x - x^2 + x=x^2 + 3x=x(x + 3)\)，所以原式\(=\frac{x^2 + 3x}{x^2 - 1}=\frac{x(x + 3)}{(x + 1)(x - 1)}\)，此时分子分母无公因式，为最简结果。
（3）\(\frac{3 - x}{x - 2}+\frac{1}{2 - x}\)
解析：先将\(\frac{1}{2 - x}\)变形为\(\frac{-1}{x - 2}\)，则原式\(=\frac{3 - x}{x - 2}+\frac{-1}{x - 2}=\frac{3 - x - 1}{x - 2}=\frac{2 - x}{x - 2}=-1\)（分子分母约去\(x - 2\)，注意这里分子\(2 - x=-(x - 2)\)）。
第 9 页：易错点总结
法则应用错误：
忘记分母不变，错误地将分母也进行了加减运算。例如计算\(\frac{2}{x}+\frac{3}{x}\)，写成\(\frac{2 + 3}{x + x}=\frac{5}{2x}\)（正确应为\(\frac{5}{x}\)）。
分子相加减时，没有正确处理各项的符号。比如\(\frac{5a}{b}-\frac{3a}{b}\)，算成\(\frac{5a - (-3a)}{b}=\frac{8a}{b}\)（错误，应是\(\frac{5a - 3a}{b}=\frac{2a}{b}\)）。
结果未化简：
运算完成后，没有检查分子分母是否有公因式，未进行约分。如计算\(\frac{4x^2}{6x^2}\)，直接写结果为\(\frac{4x^2}{6x^2}\)，应约分为\(\frac{2}{3}\)。
当分子是多项式时，没有先对分子进行整理就判断不能约分。例如\(\frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1}\)，若不将分子化为\((x + 1)^2\)，可能就无法发现可以约分，而直接认为是最终结果。
对分母的理解错误：
没有准确判断分式是否为同分母分式。例如\(\frac{1}{x - 1}\)和\(\frac{1}{1 - x}\)，没有发现\(1 - x=-(x - 1)\)，而认为不能直接用同分母分式加减法则，其实可将\(\frac{1}{1 - x}\)化为\(\frac{-1}{x - 1}\)后再运算。
在分式变形过程中，改变了分母的本质。比如为了凑同分母，错误地将\(\frac{1}{x}\)变为\(\frac{x}{x^2}\)时，没有考虑\(x\)是否为 0 的情况，若\(x = 0\)，分式变形不成立。
第 10 页：课堂练习 1—— 基础题
练习 1：选择题
（1）计算\(\frac{3}{a}+\frac{2}{a}\)的结果是（ ）
A. \(\frac{5}{2a}\) B. \(\frac{6}{a}\) C. \(\frac{5}{a}\) D. \(\frac{3 + 2}{2a}\)
（2）\(\frac{2x}{x - y}-\frac{2y}{x - y}\)的值为（ ）
A. 2 B. \(\frac{2x - 2y}{x - y}\) C. \(\frac{2(x + y)}{x - y}\) D. \(\frac{2(x - y)}{x - y}\)
练习 2：填空题
（1）\(\frac{4}{m}+\frac{3}{m}=\underline{\quad\quad}\)
（2）\(\frac{5a}{2b}-\frac{3a}{2b}=\underline{\quad\quad}\)
（3）\(\frac{3}{x + 1}+\frac{5}{x + 1}=\underline{\quad\quad}\)
练习 3：计算题
（1）\(\frac{7}{x - 3}+\frac{2}{x - 3}\)
（2）\(\frac{4y}{3x}-\frac{y}{3x}\)
（3）\(\frac{3}{a^2 - 1}+\frac{2}{a^2 - 1}\)
第 11 页：课堂练习 2—— 提高题
练习 4：计算并化简
（1）\(\frac{x^2 + 2x}{x + 1}-\frac{x + 1}{x + 1}\)
（2）\(\frac{3}{x^2 - 4}-\frac{1}{4 - x^2}\)
（3）\(\frac{2a + 1}{a^2 - a}-\frac{a}{a^2 - a}\)
练习 5：先化简，再求值
已知\(x = 2\)，求\(\frac{x + 3}{x^2 - 9}+\frac{x}{x^2 - 9}\)的值。
已知\(a = 3\)，\(b = 2\)，求\(\frac{a^2 - b^2}{a - b}-\frac{2ab - b^2}{a - b}\)的值。
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.2.2分式的通分
第2章 分式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 会确定几个分式的最简公分母；（重点）
2. 会根据分式的基本性质把分式进行通分.
（重点、难点）
1. 分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘同_________________
(或除以它们的一个不为 0 的公因式)，所得分式与原分式 .
相等
一个不为 0 的多项式
2. 什么叫约分？
利用分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去(即分子与分母都除以它们的公因式)，叫作分式的约分．
最小公倍数：24
问题1：通分： 与
解：
分式的通分
1
通分：利用分式的基本性质把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值.
通分的关键是确定几个分母的最小公倍数
想一想：
联系分数的通分，由上述两个问题你能想出如何将分式进行通分吗？
（ b≠0 ）.
问题2：填空：
知识要点
分式的通分的定义
利用分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式，这个过程叫作分式的通分.
通分时，关键是确定公分母.
一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母.
找出下式的最简公分母：
最小公倍数
最简公分母
最高次幂
单独字母
1
试一试
典例精析
例1 把分式 与 通分.
解：由于 4xy2＝22·x·y2，6x3y＝2×3·x3·y，因此这两个分式的最简公分母为 12x3y2.
于是，利用分式的基本性质得
＝＝，
＝＝.
例2 通分：
解：
最简公分母是
解：
最简公分母是
不同的因式
最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍数，字母及式子取各分母中所有字母和式子的最高次幂.
试一试
找出右式的最简公分母：
例3 把分式 与 通分.
解：由于 2x = 2·x，3(x －x) = 3·x(x－1)，
因此，这两个分式的最简公分母为 6x(x－1).
于是，利用分式的基本性质得
＝＝，
＝＝.
确定几个分式的最简公分母的步骤：
（1）分解：能因式分解的先分解；
（2）系数：取各分式分母系数的最小公倍数；
（3）字母：取各分母的所有单项式中字母的最高次幂；
（4）多项式：取各分母所有多项式因式的最高次幂；
（5）求积.
方法归纳
解：最简公分母是
例4 通分：
解：最简公分母是
【方法总结】
① 通分的关键是确定最简公分母. 通分时，如果分母的系数是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；当分母是多项式时，一般应先分解因式；
② 在确定最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母的商．
想一想：
分数和分式在约分和通分的做法上有什么特点？这些做法的根据是什么？将答案填入下表中：
约分 通分
分数
分式
依据 找分子与分母的
最大公因数
找分子与分母的公因式
找所有分母的
最小公倍数
找所有分母的
最简公分母
分数或分式的基本性质
的最简公分母是（ ）
2. 分式
的最简公分母是______________.
C
1. 三个分式
B.
C.
D.
A.
4xy
3y2
12xy2
12x2y2
2x(x - 1)(x + 1)
3. 三个分式 的最简公分母是
.
x(x - 1)(x + 1)
4. 通分：
解：（1）最简公分母是 4b2d，
（2）最简公分母是 (x + y)2 (x - y)，
解：（3）最简公分母是 3(a - 3)(a + 3)，
（4）最简公分母是 2x(2 - x)(x + 1)(x - 1)，
1. ［2025株洲期末］分式， 的最简公分母是
( )
B
A. B.
C. D.
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2. 若将分式与通分，则分式 的分子应变为
( )
A
A. B.
C. D.
3.分式,, 的最简公分母是________.
返回
4.母题教材P34练习 通分：
（1），， ；
，， .
（2），， .
，， .
返回
5. 把，， 通分过程中，不正确的是( )
D
A. 最简公分母是
B.
C.
D.
【点拨】A.最简公分母是 ，正确；
，正确； ，正确；
D.通分不正确，分子应为 .
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6.已知分式与,是常数且 的最简公分母为
，则 __________.
或
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7.已知分式，，是这两个分式中分母的公因式，
是这两个分式的最简公分母，且 ，试求这两个分式的值.
【解】因为这两个分式中分母的公因式 ，最简公分
母 ，
所以，所以 .
所以， .
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8.甲工程队完成一项工程需要 天，乙工程队要比甲
工程队多做8天才能完成这项工程.请用式子表示出甲、乙两
工程队每天完成的工作量.如果两式的分母不同，请进行通分.
【解】由题意，得甲工程队每天完成的工作量为 ,乙工程
队每天完成的工作量为. ,
.
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2. 确定最简公分母的一般步骤：
（1）找系数；（2）找字母；
（3）找指数；
（4）当分母是多项式时，应先将各分母分解因式，再确定最简公分母；
（5）若分母的系数是负数，应利用符号法则，把负号提取到分式前面.
1. 几个异分母的分式化成同分母的分式的过程叫作分式的通分.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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