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2.3.1 分式的乘除教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：2.3.1 分式的乘除
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾与引入
回顾分数乘除法：分数乘法法则为分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，即\(\frac{a}{b} \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\)；分数除法法则为除以一个数等于乘这个数的倒数，即\(\frac{a}{b} ·\frac{c}{d}=\frac{a}{b} \frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}\)（\(b\)、\(c\)、\(d\)均不为 0）。
问题情境：分式与分数具有类似的形式，分数的乘除法则能否类比到分式中呢？例如\(\frac{x}{y} \frac{a}{b}\)和\(\frac{x}{y} ·\frac{a}{b}\)该如何计算？
引入概念：分式的乘除是分式运算的重要组成部分，其法则与分数的乘除法则类似，本节课我们将学习分式的乘除法则及应用。
学习意义：掌握分式的乘除运算，是解决更复杂分式混合运算和实际问题的基础，对后续数学学习具有重要意义。
第 3 页：学习目标
知识目标：理解并掌握分式的乘法法则和除法法则；能熟练运用法则进行分式的乘除运算；能对运算结果进行化简。
能力目标：通过类比分数乘除法法则学习分式乘除法法则，培养类比推理能力；在分式乘除运算中，提高运算能力和因式分解能力。
情感目标：体会数学知识之间的联系，感受类比思想的作用，增强学习数学的兴趣和信心。
第 4 页：知识点 1—— 分式的乘法法则
法则内容：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
字母表示：\(\frac{a}{b} \frac{c}{d}=\frac{a c}{b d}=\frac{ac}{bd}\)（其中\(b\)、\(d\)不为 0）。
核心思想：分子相乘、分母相乘，与分数乘法法则一致。
示例分析：
计算\(\frac{2}{x} \frac{3}{y}\)，根据法则，分子相乘为\(2 3 = 6\)，分母相乘为\(x y=xy\)，结果为\(\frac{6}{xy}\)。
计算\(\frac{a}{b} \frac{b}{c}\)，分子相乘为\(a b=ab\)，分母相乘为\(b c=bc\)，约分后结果为\(\frac{a}{c}\)（分子分母的公因式\(b\)约去）。
第 5 页：知识点 2—— 分式的除法法则
法则内容：分式除以分式，等于被除式乘除式的倒数，再按照分式乘法法则进行计算。
字母表示：\(\frac{a}{b} ·\frac{c}{d}=\frac{a}{b} \frac{d}{c}=\frac{a d}{b c}=\frac{ad}{bc}\)（其中\(b\)、\(c\)、\(d\)不为 0）。
关键步骤：先将除法转化为乘法（乘倒数），再按乘法法则计算。
示例分析：
计算\(\frac{3}{x} ·\frac{6}{y}\)，转化为乘法为\(\frac{3}{x} \frac{y}{6}\)，分子相乘\(3 y = 3y\)，分母相乘\(x 6 = 6x\)，约分后结果为\(\frac{y}{2x}\)。
计算\(\frac{a}{b} ·\frac{a}{c}\)，转化为\(\frac{a}{b} \frac{c}{a}\)，分子相乘\(a c=ac\)，分母相乘\(b a=ab\)，约分后结果为\(\frac{c}{b}\)。
第 6 页：知识点 3—— 分式乘除的运算步骤
乘法运算步骤：
第一步：确定积的符号（同号得正，异号得负）。
第二步：分子相乘作为积的分子，分母相乘作为积的分母。
第三步：对分子和分母进行因式分解。
第四步：约去分子和分母的公因式，化为最简分式或整式。
除法运算步骤：
第一步：将除法转化为乘法（乘以除式的倒数）。
第二步：后续步骤同乘法运算步骤（确定符号、分子分母分别相乘、因式分解、约分）。
示例演示：计算\(\frac{2x}{3y} \frac{9y^2}{4x^2}\)。
第一步：符号为正。
第二步：分子相乘\(2x 9y^2 = 18xy^2\)，分母相乘\(3y 4x^2 = 12x^2y\)。
第三步：分子分母无需额外因式分解（已为单项式乘积）。
第四步：约分，公因式为\(6xy\)，结果为\(\frac{3y}{2x}\)。
第 7 页：例题 1—— 分子分母为单项式的乘除运算
例 1：计算。
（1）\(\frac{3a}{4b} \frac{16b}{9a^2}\)
解析：分子相乘\(3a 16b = 48ab\)，分母相乘\(4b 9a^2 = 36a^2b\)；约分，公因式为\(12ab\)，结果为\(\frac{4}{3a}\)。
（2）\(\frac{5x}{6y} ·\frac{10x}{3y^2}\)
解析：转化为乘法\(\frac{5x}{6y} \frac{3y^2}{10x}\)；分子相乘\(5x 3y^2 = 15xy^2\)，分母相乘\(6y 10x = 60xy\)；约分，公因式为\(15xy\)，结果为\(\frac{y}{4}\)。
（3）\(-\frac{3m}{n} \frac{2n^2}{9m}\)
解析：符号为负；分子相乘\(3m 2n^2 = 6mn^2\)，分母相乘\(n 9m = 9mn\)；约分，公因式为\(3mn\)，结果为\(-\frac{2n}{3}\)。
第 8 页：例题 2—— 分子分母为多项式的乘除运算
例 2：计算。
（1）\(\frac{x^2 - 4}{x + 3} \frac{x + 3}{x - 2}\)
解析：分子\(x^2 - 4\)因式分解为\((x + 2)(x - 2)\)；转化为\(\frac{(x + 2)(x - 2)}{x + 3} \frac{x + 3}{x - 2}\)；分子相乘\((x + 2)(x - 2)(x + 3)\)，分母相乘\((x + 3)(x - 2)\)；约分，公因式为\((x + 3)(x - 2)\)，结果为\(x + 2\)。
（2）\(\frac{a^2 - 6a + 9}{a^2 - 4} ·\frac{a - 3}{a + 2}\)
解析：分子分母因式分解，\(a^2 - 6a + 9=(a - 3)^2\)，\(a^2 - 4=(a + 2)(a - 2)\)；转化为乘法\(\frac{(a - 3)^2}{(a + 2)(a - 2)} \frac{a + 2}{a - 3}\)；约分，公因式为\((a + 2)(a - 3)\)，结果为\(\frac{a - 3}{a - 2}\)。
第 9 页：例题 3—— 分式乘除的混合运算
例 3：计算。
（1）\(\frac{2x}{y} ·\frac{3y}{2x} \frac{y}{4x}\)
解析：从左到右依次运算，先将除法转化为乘法：\(\frac{2x}{y} \frac{2x}{3y} \frac{y}{4x}\)；分子相乘\(2x 2x y = 4x^2y\)，分母相乘\(y 3y 4x = 12xy^2\)；约分，公因式为\(4xy\)，结果为\(\frac{x}{3y}\)。
（2）\(\frac{x^2 - y^2}{x^2 + 2xy + y^2} ·\frac{x - y}{x + y}\)
解析：因式分解，\(x^2 - y^2=(x + y)(x - y)\)，\(x^2 + 2xy + y^2=(x + y)^2\)；转化为乘法\(\frac{(x + y)(x - y)}{(x + y)^2} \frac{x + y}{x - y}\)；约分，公因式为\((x + y)(x - y)\)，结果为\(1\)。
第 10 页：知识点 4—— 分式乘除中的符号处理
符号处理原则：
分式乘法中，积的符号由负因式的个数决定，负因式个数为偶数时积为正，为奇数时积为负。
分式除法转化为乘法后，按乘法的符号法则处理。
分子或分母是多项式时，若多项式首项为负，可先提取负号，再进行运算，如\(\frac{-x + 2}{x - 1}=\frac{-(x - 2)}{x - 1}\)。
示例分析：
计算\(-\frac{2a}{3b} (-\frac{9b}{4a^2})\)，负因式个数为 2（偶数），积为正；分子相乘\(2a 9b = 18ab\)，分母相乘\(3b 4a^2 = 12a^2b\)；约分后结果为\(\frac{3}{2a}\)。
计算\(\frac{2 - x}{x + 1} ·\frac{x - 2}{x + 1}\)，将\(2 - x\)化为\(-(x - 2)\)，转化为乘法\(\frac{-(x - 2)}{x + 1} \frac{x + 1}{x - 2}\)；约分后结果为\(-1\)。
第 11 页：典型例题 —— 复杂分式乘除综合应用
例 4：计算\(\frac{a^2 - 4a + 4}{a^2 - 1} \frac{a + 1}{a - 2} ·\frac{a - 2}{a - 1}\)。
解析：
因式分解：\(a^2 - 4a + 4=(a - 2)^2\)，\(a^2 - 1=(a + 1)(a - 1)\)。
转化为乘法：\(\frac{(a - 2)^2}{(a + 1)(a - 1)} \frac{a + 1}{a - 2} \frac{a - 1}{a - 2}\)。
分子相乘：\((a - 2)^2(a + 1)(a - 1)\)。
分母相乘：\((a + 1)(a - 1)(a - 2)(a - 2)\)。
约分：公因式为\((a + 1)(a - 1)(a - 2)^2\)，结果为\(1\)。
例 5：先化简，再求值\(\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9} ·\frac{x - 3}{x + 3}\)，其中\(x = 2\)。
解析：
化简：因式分解得\(\frac{(x + 3)(x - 3)}{(x + 3)^2} \frac{x + 3}{x - 3}=1\)。
求值：当\(x = 2\)时，结果为\(1\)。
第 12 页：易错点总结
法则应用错误：
分式乘法中错误地将分子与分母分别相加，如\(\frac{a}{b} \frac{c}{d}\)错算为\(\frac{a + c}{b + d}\)。
分式除法未转化为乘法，直接分子除以分子、分母除以分母，如\(\frac{a}{b} ·\frac{c}{d}\)错算为\(\frac{a ·c}{b ·d}\)。
因式分解错误：
分子或分母是多项式时，未进行因式分解或分解错误，导致无法正确约分，如\(x^2 - 4\)错分解为\((x - 2)^2\)。
约分时漏约公因式，如\(\frac{x^2y}{xy^2}\)未约分为\(\frac{x}{y}\)。
符号处理错误：
未正确判断积的符号，如负因式个数为奇数时结果仍为正。
多项式提取负号后未变号，如\(\frac{3 - x}{x}\)错化为\(\frac{-(x + 3)}{x}\)（正确应为\(\frac{-(x - 3)}{x}\)）。
第 13 页：课堂练习 1—— 基础题
练习 1：选择题
（1）计算\(\frac{2}{x} \frac{x}{4}\)的结果是（ ）
A. \(\frac{1}{2}\) B. \(\frac{x^2}{8}\) C. \(\frac{2x}{4x}\) D. 2
（2）计算\(\frac{a}{b} ·\frac{a}{c}\)的结果是（ ）
A. \(\frac{a^2}{bc}\) B. \(\frac{c}{b}\) C. \(\frac{b}{c}\) D. \(\frac{ac}{ab}\)
练习 2：计算题
（1）\(\frac{3x}{5y} \frac{10y}{9x}\)
（2）\(\frac{4a}{3b} ·\frac{2a}{9b^2}\)
（3）\(\frac{x^2 - 1}{x} \frac{x}{x + 1}\)
第 14 页：课堂练习 2—— 提高题
练习 3：计算
（1）\(\frac{a^2 - 2a + 1}{a^2 - 1} ·\frac{a - 1}{a + 1}\)
（2）\(\frac{x^2 - 4y^2}{x^2 + 4xy + 4y^2} \frac{x + 2y}{x - 2y} ·\frac{1}{x + 2y}\)
练习 4：先化简，再求值\(\frac{y^2 - 4}{y^2 + 6y + 9} \frac{y + 3}{y - 2}\)，其中\(y = 1\)。
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.3.1分式的乘除
第2章 分式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 掌握分式的乘除运算法则；（重点）
2. 能够进行分子、分母为多项式的分式乘除法运算．
（难点）
问题1 一个长方体容器的容积为 V，底面的长为 a，宽为 b，当容器内的水占容积的 时，水高为多少
长方体容器的高为 ，
水高为
问题2 大拖拉机 m 天耕地 a 公顷，小拖拉机 n 天耕地 b 公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍
大拖拉机的工作效率是（ ）公顷/天，小拖拉机的工作效率是（ ）公顷/天，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的( )倍.
类比分数的乘法法则，你能说出分式的乘法法则吗？
填空：
类比探究
分式的乘除
1
想一想：
类似地，规定分式的乘法运算法则为：
分式乘分式，把分子乘分子，分母乘分母.　　
即
例1 计算：
解：
典例精析
解：原式
练一练：计算：
例2 计算：
解：原式 =
分子、分母是多项式时，先分解因式，便于约分.
约分
做一做： 若 x = 2001，y = - 2002，你能求出
的值吗？
当 x = 2001，y = -2002 时，得
类比分数的除法法则，你能说出分式的除法法则吗？
填空：
类比探究
想一想：
类似地，规定分式的除法运算法则为：
即如果 u≠0，则
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.　
例3 计算：
解：
先把除法转化为乘法
解：原式
练一练：计算：
结果化为最简分式
典例精析
解：原式 =
约分
注意：按照法则进行分式乘除运算，若分式的分子、分母可以因式分解，则先因式分解再进行运算.
例4 计算：
解：原式=
先把除法转化为乘法.
整式与分式混合运算时，可以把整式看成分母为 1 的式子．
负号怎么得来的？
1. 当分式的分子、分母都是几个因式的积的形式时，可先约去分子、分母的公因式，再按照乘除法则进行运算.
分式乘除法的运算策略
知识要点
2. 分子或分母是多项式时按以下方法进行：
① 将原分式中含同一字母的各多项式按降幂 (或升幂)排列，在乘除过程中遇到整式则可视其为分母是 1、分子是这个整式的式子；
② 把各分式中分子或分母里的多项式分解因式；
③ 应用分式乘除法则进行运算 (注意：运算包含约分，结果要化为最简分式或整式)．
方法总结：根据分式乘除法则将式子先化简，再代入求值.同时注意字母的取值要使原分式有意义！
做一做： 先化简，再选取一个你喜欢的 x 值代入求值：
解：原式 =
由题意得 (x - 1)(x + 1) ≠ 0，x - 1 ≠ 0，x(x + 1) ≠ 0，
即 x ≠ 0，±1. 当 x = 2 时，原式 =
例5 计算：.
解： =
=
=
方法总结：有括号先算括号里面的！
3. 计算：.
解：原式＝
＝
＝
＝.
练一练
1. 下列计算对吗？若不对，请改正.
对
解：（1）原式
（1）
（2）
2. 计算：
（2）原式
3. (莱芜区月考)计算： .
分析：利用分式的乘法法则先进行计算化简，然后代入求值．
4. 先化简，再求值：
解：（1）原式
当x=
分析：将除法转化为乘法后约分化简，然后代入求值．
当 x = 2023 时，原式 = 2022.
5. 老王家有两块正方形土地，边长分别为 a 米和 b 米(a≠b)，老李家有一块长方形土地，长为 2a 米，宽为
b 米．他们种的都是花生，并且总产量相同，试问老
王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的花生单
位面积产量的多少倍？
解：设两家花生的总产量都是 1，则有
答：老王家种植的花生单位面积产量是老李家的 倍.
1. 计算 的结果是( )
D
A. B. C. D.
2. 化简 的结果是( )
A
A. B. C. D.
3. 如果，那么化简代数式 得
( )
B
A. B. C. D.
返回
4. 阳阳同学在复习老师已经批阅的作业时，发现有一道填空
题破了一个洞（如图所示）， 表示破损的部分,则破损部
分的式子可能是( )
A
A. B.
C. D.
返回
5. 若分式“”可以进行约分化简，则“ ”不可以是
( )
B
A. 1 B. 2 C. 4 D.
【点拨】 ，可以进行约
分化简，“”可以是1，不合题意；B. ，不可以进行
约分化简，“ ”不可以是2，符合题意；C.
，可以进行约分化简，“
”可以是4，不合题意；D. ，可
以进行约分化简，“”可以是 ，不合题意.故选B.
返回
6.下面是某同学化简式子 的过程，则横线上
依次填入的序号为________.
原式 .
；；； .
④②①
7. 已知，则代数式 的
值是___.
4
返回
8. 教材P39练习 计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） .
原式 .
返回
9. 请从，， 中选取
两个式子相乘并化简，再从 ，1，2中选择合适的数代入求值.
【解】选取， 两个式子相乘，
.当 时，原式
.（答案不唯一）
返回
10. ［2025石家庄长安区期末］若 为正整数，则化简
的结果可以是( )
B
A. 0 B. C. D. 2
返回
分式乘除运算
乘除法运算
注意
(1)分子分母是单项式的，先按法则进行，再约分化成最简分式或整式
除法先转化成乘法，再按照乘法法则进行运算
(2)分子分母是多项式的，通常要先分解因式再按法则进行
(3)运用法则时要注意符号的变化
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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