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2.4.1 同底数幂的除法教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：2.4.1 同底数幂的除法
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾与引入
回顾同底数幂乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即\(a^m a^n = a^{m + n}\)（\(a 0\)，\(m\)、\(n\)为正整数）。例如\(2^3 2^2 = 2^{3 + 2}=2^5 = 32\)。
问题情境：已知两个数的积和其中一个因数，求另一个因数用除法。那么同底数幂的除法该如何计算呢？比如\(2^5 ·2^2\)等于多少？它是否也有类似乘法的运算法则？
引入概念：同底数幂的除法是整式运算的重要内容，与同底数幂的乘法互为逆运算，本节课我们将探究同底数幂的除法法则及应用。
学习意义：掌握同底数幂的除法法则，能完善幂的运算体系，为后续学习整式除法、分式运算等知识奠定基础。
第 3 页：学习目标
知识目标：理解同底数幂除法的意义；掌握同底数幂的除法法则；能熟练运用法则进行同底数幂的除法运算。
能力目标：通过乘除互逆关系推导同底数幂的除法法则，培养逆向思维和推理能力；在运用法则进行运算的过程中，提高运算能力和严谨性。
情感目标：体会数学知识的内在联系和逻辑性，感受从特殊到一般的探究方法，增强学习数学的兴趣。
第 4 页：知识点 1—— 同底数幂除法的意义
除法意义：同底数幂的除法是已知两个同底数幂的积和其中一个幂，求另一个幂的运算，即若\(a^m a^n = a^{m + n}\)，则\(a^{m + n} ·a^n = a^m\)（\(a 0\)，\(m\)、\(n\)为正整数）。
示例分析：
计算\(2^5 ·2^2\)，根据乘除互逆，因为\(2^2 2^3 = 2^5\)，所以\(2^5 ·2^2 = 2^3 = 8\)。
计算\(a^4 ·a^2\)（\(a 0\)），由于\(a^2 a^2 = a^4\)，因此\(a^4 ·a^2 = a^2\)。
规律总结：从上述示例可以看出，同底数幂相除，底数不变，指数似乎是相减的关系，如\(2^5 ·2^2 = 2^{5 - 2}=2^3\)，\(a^4 ·a^2 = a^{4 - 2}=a^2\)。
第 5 页：知识点 2—— 同底数幂的除法法则
法则内容：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
字母表示：\(a^m ·a^n = a^{m - n}\)（其中\(a 0\)，\(m\)、\(n\)为正整数，且\(m>n\)）。
关键词解析：
同底数幂：参与除法运算的两个幂的底数必须相同。
底数不变：在除法运算中，底数保持原来的形式不变。
指数相减：商的指数等于被除数的指数减去除数的指数。
限制条件：\(a 0\)（保证幂有意义），\(m>n\)（目前学习范围内指数为正整数）。
示例分析：
\(3^7 ·3^4 = 3^{7 - 4}=3^3 = 27\)（底数 3 不变，指数 7 减 4 得 3）。
\(x^6 ·x^3 = x^{6 - 3}=x^3\)（底数\(x\)不变，指数 6 减 3 得 3，\(x 0\)）。
\((-2)^5 ·(-2)^2 = (-2)^{5 - 2}=(-2)^3=-8\)（底数\(-2\)不变，指数 5 减 2 得 3）。
第 6 页：例题 1—— 直接应用法则的同底数幂除法
例 1：计算。
（1）\(10^8 ·10^3\)
解析：根据同底数幂除法法则，底数 10 不变，指数相减\(8 - 3 = 5\)，结果为\(10^5 = 100000\)。
（2）\(a^9 ·a^4\)（\(a 0\)）
解析：底数\(a\)不变，指数相减\(9 - 4 = 5\)，结果为\(a^5\)。
（3）\((-5)^6 ·(-5)^3\)
解析：底数\(-5\)不变，指数相减\(6 - 3 = 3\)，结果为\((-5)^3=-125\)。
（4）\((xy)^7 ·(xy)^2\)（\(xy 0\)）
解析：把\(xy\)看作一个整体作为底数，指数相减\(7 - 2 = 5\)，结果为\((xy)^5=x^5y^5\)。
第 7 页：知识点 3—— 法则的拓展应用
底数为多项式的情况：当底数是多项式时，可将多项式看作一个整体，按照同底数幂除法法则进行计算。
示例分析：
\((a + b)^5 ·(a + b)^3\)（\(a + b 0\)），把\(a + b\)看作底数，结果为\((a + b)^{5 - 3}=(a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2\)。
\((x - 2y)^6 ·(x - 2y)^4\)（\(x - 2y 0\)），结果为\((x - 2y)^{6 - 4}=(x - 2y)^2=x^2 - 4xy + 4y^2\)。
与系数结合的情况：当幂的前面有系数时，系数相除，再按同底数幂除法法则计算指数。
示例分析：
\(6x^5 ·2x^2\)（\(x 0\)），系数相除\(6 ·2 = 3\)，底数\(x\)的指数相减\(5 - 2 = 3\)，结果为\(3x^3\)。
\(-8a^7 ·4a^3\)（\(a 0\)），系数相除\(-8 ·4=-2\)，底数\(a\)的指数相减\(7 - 3 = 4\)，结果为\(-2a^4\)。
第 8 页：例题 2—— 含系数和多项式底数的除法
例 2：计算。
（1）\(12m^6 ·3m^2\)（\(m 0\)）
解析：系数相除\(12 ·3 = 4\)，底数\(m\)的指数相减\(6 - 2 = 4\)，结果为\(4m^4\)。
（2）\(-15x^4y^3 ·5x^2y\)（\(x 0\)，\(y 0\)）
解析：系数相除\(-15 ·5=-3\)，\(x\)的指数相减\(4 - 2 = 2\)，\(y\)的指数相减\(3 - 1 = 2\)，结果为\(-3x^2y^2\)。
（3）\((2a - b)^7 ·(2a - b)^4\)（\(2a - b 0\)）
解析：把\(2a - b\)看作底数，指数相减\(7 - 4 = 3\)，结果为\((2a - b)^3=8a^3 - 12a^2b + 6ab^2 - b^3\)（可展开也可保留多项式形式）。
（4）\(6(x + y)^5 ·2(x + y)^3\)（\(x + y 0\)）
解析：系数相除\(6 ·2 = 3\)，底数\(x + y\)的指数相减\(5 - 3 = 2\)，结果为\(3(x + y)^2=3(x^2 + 2xy + y^2)=3x^2 + 6xy + 3y^2\)。
第 9 页：知识点 4—— 零指数幂
零指数幂定义：任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1。
字母表示：\(a^0 = 1\)（\(a 0\)）。
推导过程：当\(m = n\)时，根据同底数幂除法法则\(a^m ·a^n = a^{m - n}=a^0\)，而\(a^m ·a^m = 1\)（\(a 0\)），因此规定\(a^0 = 1\)。
示例分析：
\(5^0 = 1\)（5≠0）。
\((-3)^0 = 1\)（-3≠0）。
\((x^2 + 1)^0 = 1\)（因为\(x^2 + 1\)恒大于 0，所以有意义）。
\(0^0\)无意义（因为 0 不能作为除数）。
第 10 页：例题 3—— 含零指数幂的运算
例 3：计算。
（1）\(3^0 + 5^0\)
解析：根据零指数幂定义，\(3^0 = 1\)，\(5^0 = 1\)，结果为\(1 + 1 = 2\)。
（2）\((-2)^0 a^0\)（\(a 0\)）
解析：\((-2)^0 = 1\)，\(a^0 = 1\)，结果为\(1 1 = 1\)。
（3）\(x^5 ·x^5\)（\(x 0\)）
解析：根据同底数幂除法法则，\(x^5 ·x^5 = x^{5 - 5}=x^0 = 1\)。
（4）\((3a - 2b)^0\)（\(3a - 2b 0\)）
解析：直接应用零指数幂定义，结果为\(1\)。
第 11 页：典型例题 —— 综合应用
例 4：计算下列各式。
（1）\(a^8 ·a^3 a^2\)（\(a 0\)）
解析：按照从左到右的顺序计算，先算除法\(a^8 ·a^3 = a^{5}\)，再算乘法\(a^5 a^2 = a^7\)。
（2）\((x^3)^4 ·x^5\)（\(x 0\)）
解析：先算乘方\((x^3)^4 = x^{12}\)，再算除法\(x^{12} ·x^5 = x^{7}\)。
（3）\(8^m ·4^m\)（\(m\)为正整数）
解析：先化为同底数幂，\(8 = 2^3\)，\(4 = 2^2\)，则原式\(=(2^3)^m ·(2^2)^m = 2^{3m} ·2^{2m}=2^{m}\)。
例 5：若\(2^{x + 1} ·2^2 = 2^3\)，求\(x\)的值。
解析：根据同底数幂除法法则，左边\(2^{x + 1} ·2^2 = 2^{(x + 1)-2}=2^{x - 1}\)；等式右边为\(2^3\)，所以\(x - 1 = 3\)，解得\(x = 4\)。
第 12 页：易错点总结
法则应用错误：
底数不同时误用法则，如\(a^3 ·b^2\)错算为\((a ·b)^{3 - 2}\)（底数不同不能直接应用同底数幂除法法则）。
指数相减时计算错误，如\(x^7 ·x^2\)错算为\(x^{7 ·2}=x^{3.5}\)（正确应为\(x^{7 - 2}=x^5\)）。
零指数幂错误：
忽略\(a 0\)的条件，认为\(0^0 = 1\)（实际\(0^0\)无意义）。
对多项式底数的零指数幂判断错误，如\((a - a)^0 = 1\)（错误，因为\(a - a = 0\)，\(0^0\)无意义）。
运算顺序错误：
在混合运算中，未按从左到右顺序计算，如\(a^6 ·a^2 a^3\)错算为\(a^6 ·a^5 = a\)（正确应为\(a^4 a^3 = a^7\)）。
先进行加减运算再进行幂运算，如\(2^3 + 2^2 ·2^1\)错算为\(2^{3 + 2 - 1}=2^4\)（正确应为\(8 + 4 ·2 = 8 + 2 = 10\)）。
第 13 页：课堂练习 1—— 基础题
练习 1：选择题
（1）计算\(a^5 ·a^2\)（\(a 0\)）的结果是（ ）
A. \(a^3\) B. \(a^7\) C. \(a^{10}\) D. \(a^{2.5}\)
（2）下列计算正确的是（ ）
A. \(x^4 ·x = x^4\) B. \(y^6 ·y^3 = y^2\) C. \(m^5 ·m^5 = 0\) D. \(n^0 = 1\)（\(n 0\)）
练习 2：计算题
（1）\(5^6 ·5^2\)
（2）\(b^7 ·b^4\)（\(b 0\)）
（3）\((-a)^5 ·(-a)^3\)（\(a 0\)）
（4）\(7^0 - 3^0\)
第 14 页：课堂练习 2—— 提高题
练习 3：计算
（1）\(10x^6 ·5x^3\)（\(x 0\)）
（2）\((a - b)^6 ·(a - b)^2\)（\(a - b 0\)）
（3）\((x^2)^5 ·x^7\)（\(x 0\)）
练习 4：若\(3^{2x - 1} ·3^{x + 2}=3^3\)，求\(x\)的值。
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.4.1 同底数幂的除法
第2章 分式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 经历同底数幂的除法法则的探索过程，理解同底数幂的除法法则；
2. 会用同底数幂的除法法则进行计算.（重点、难点）
问题 幂的组成及同底数幂的乘法法则是什么？
同底数幂的乘法法则：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
即 aman = am＋n（m，n都是正整数）
an
底数
幂
指数
一种液体每升含有 1012 个某种有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现 1 滴杀菌剂可以杀死 109 个此种细菌.要将 1 升液体中的此种有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？
1012÷109
(2) 观察这个算式，它有何特点？
我们观察可以发现，1012 和 109 这两个幂的底数相同，是同底数的幂的形式.所以我们把 1012÷109 这种运算叫作同底数幂的除法.
(1) 怎样列式？
同底数幂的除法
1
观察
观察下列计算过程：
由此你能受到什么启发？
猜想： ＝＝.
从上面的例子受到启发，设 m，n 都是正整数，且 m > n，则
因此，当 m > n 时，有
(m，n都是正整数).
将 x 用任意一个非零实数 a 代入，得
(m，n都是正整数，且m > n ).
即同底数幂相除（被除式的指数大于除式的指数)，底数不变，指数相减.
例1 计算：
解：
(n 是正整数).
例2 计算：
解：
（1）
（2）
1.计算：
(4) .
练一练
解：(1) 原式= x12－4 = x8.
(2) 原式= = = x10－2y5－2 = x8y3.
(3) 原式= (a + b)4－2 = (a + b)2.
(4) 原式= = (2a - b)7－4 = (2a - b)3.
2.已知：am = 8，an = 5. 求：
(1) am－n 的值； (2) a3m－3n 的值.
解：(1) am－n = am÷an = 8÷5 = 1.6.
(2) a3m－3n = a3m ÷ a3n
= (am)3 ÷(an)3 = 83 ÷53
= 512 ÷125
=
同底数幂的除法可以逆用：am－n = am÷an =
这种思维叫作逆向思维(逆用运算性质).
同底数幂的除法的实际应用
2
做一做：表示计算机存储容量的计量单位有字节(B)、千字节(KB)、兆字节(MB)、吉字节(GB)等.它们之间的换算关系如下：
1KB = 210B；1MB = 210 KB；1GB = 210MB=1024MB.
一张普通的 CD 光盘的存储容量约为 640 MB，
试问：一个 320 GB 的移动硬盘的存储容量相当于多少张光盘的存储容量？
= = = (张).
3.如果地球的体积大约是 1×1012 km3，太阳的体积大约为 1.5×1018 km3，请问太阳的体积大约是地球体积的多少倍？
答：太阳的体积大约是地球体积的 1.5×106 倍.
练一练
1. 计算：
(m 是正整数).
2.下面的计算对不对？如果不对，请改正.
3. 已知 3m = 2， 9n = 10，求 33m-2n 的值.
解： 33m-2n = 33m÷32n
= (3m)3÷(32)n
= (3m)3÷9n
= 23÷10
= 8÷10
= 0.8.
4. 地震的强度通常用里克特震级表示，描绘地震级数字表示地震的强度是 10 的若干次幂.例如，用里克特震级表示地震是 8 级，说明地震的强度是 107. 1992 年 4 月，荷兰发生了 5 级地震，12 天后，加利福尼亚发生了 7 级地震，加利福尼亚的地震强度是荷兰地震强度的多少倍？
解：由题意得 .
答：加利福尼亚的地震强度是荷兰地震强度的 100 倍.
1. ［2025长沙开福区月考］下列计算错误的有( )
； ；
； .
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. ( )
B
A. B. C. D.
返回
3.若,则 ___.
4.［2025衡阳期末］已知，，则 的值是___.
2
返回
5.母题教材P44例2 计算：
（1） ;
【解】 .
（2） ;
.
（3） ;
.
（4） .
.
返回
6. 计算 的值为( )
C
A. B. C. D.
7.如果,那么 ____.
8. 若,则 的值为___.
16
6
返回
9.如图，在甲、乙、丙三个袋中分别装有球
29个、29个、5个，先从甲袋中取出 个球
放入乙袋，再从乙袋中取出 个球放
入丙袋，最后从丙袋中取出 个球放入甲袋，
此时三个袋中球的个数相同，则 的值等
于___.
2
1. 同底数幂的除法法则：
同底数幂相除， 底数不变，指数相减.
(a≠0， m、n 为正整数且 m > n).
3. 理解同底数幂除法法则并注意法则的逆用和推广.
在进行同底数幂的除法运算时，要特别注意分清底数和指数，并结合使用同底数幂的乘法运算性质；
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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