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2.4.2 零次幂和负整数指数幂教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：2.4.2 零次幂和负整数指数幂
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾与引入
回顾同底数幂除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即\(a^m ·a^n = a^{m - n}\)（\(a 0\)，\(m\)、\(n\)为正整数，且\(m>n\)）。例如\(2^5 ·2^3 = 2^{2}=4\)。
问题情境：当\(m = n\)时，如\(2^3 ·2^3\)该如何计算？当\(m < n\)时，如\(2^2 ·2^5\)又该如何计算？之前的法则已不适用，需要对幂的概念进行拓展。
引入概念：零次幂和负整数指数幂是幂运算的重要拓展，它们的引入使幂的运算在指数为任意整数时都能统一适用，本节课我们将学习零次幂和负整数指数幂的定义及运算。
学习意义：掌握零次幂和负整数指数幂的知识，能完善幂的运算体系，为科学计数法、分式运算等后续内容的学习奠定基础。
第 3 页：学习目标
知识目标：理解零次幂和负整数指数幂的定义；掌握零次幂和负整数指数幂的运算性质；能熟练进行含零次幂和负整数指数幂的运算。
能力目标：通过从正整数指数幂拓展到零次幂和负整数指数幂的过程，培养抽象思维和推理能力；在运算中提高对幂的概念的理解和运用能力。
情感目标：感受数学知识的严谨性和拓展性，体会从特殊到一般的数学思想，增强学习数学的信心。
第 4 页：知识点 1—— 零次幂
零次幂定义：任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1。
字母表示：\(a^0 = 1\)（\(a 0\)）。
推导依据：当\(m = n\)时，根据同底数幂除法法则\(a^m ·a^n = a^{m - n}=a^0\)，而\(a^m ·a^m = 1\)（\(a 0\)），因此规定\(a^0 = 1\)。
注意事项：
\(0^0\)无意义（因为 0 不能作为除数）。
底数\(a\)可以是数、单项式或多项式，但必须满足\(a 0\)。
示例分析：
\(5^0 = 1\)（5≠0）。
\((-3)^0 = 1\)（-3≠0）。
\((2x - 1)^0 = 1\)（需满足\(2x - 1 0\)，即\(x \frac{1}{2}\)）。
第 5 页：例题 1—— 零次幂的运算
例 1：计算下列各式。
（1）\(3^0 + (-2)^0\)
解析：根据零次幂定义，\(3^0 = 1\)，\((-2)^0 = 1\)，结果为\(1 + 1 = 2\)。
（2）\(( - 3.14)^0\)
解析：因为\( 3.14159>3.14\)，所以\( - 3.14 0\)，结果为\(1\)。
（3）\((a^2 + 1)^0\)
解析：由于\(a^2 0\)，所以\(a^2 + 1 1 0\)，结果为\(1\)。
（4）若\((x - 2)^0 = 1\)，求\(x\)的取值范围。
解析：根据零次幂定义，底数不为 0，即\(x - 2 0\)，解得\(x 2\)。
第 6 页：知识点 2—— 负整数指数幂的定义
负整数指数幂定义：任何不等于 0 的数的\(-n\)（\(n\)为正整数）次幂，等于这个数的\(n\)次幂的倒数。
字母表示：\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)（\(a 0\)，\(n\)为正整数）。
推导依据：当\(m < n\)时，如计算\(a^2 ·a^5\)（\(a 0\)），根据同底数幂除法法则可写为\(a^{2 - 5}=a^{-3}\)；同时\(a^2 ·a^5=\frac{a^2}{a^5}=\frac{1}{a^3}\)，因此规定\(a^{-3}=\frac{1}{a^3}\)，推广得\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)。
注意事项：
\(a 0\)，否则分式无意义。
负整数指数幂转化为正整数指数幂的倒数，体现了转化思想。
示例分析：
\(2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}\)。
\((-3)^{-2}=\frac{1}{(-3)^2}=\frac{1}{9}\)。
\(x^{-1}=\frac{1}{x}\)（\(x 0\)）。
第 7 页：例题 2—— 负整数指数幂的基本运算
例 2：计算下列各式。
（1）\(5^{-2}\)
解析：根据负整数指数幂定义，\(5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}\)。
（2）\((-2)^{-3}\)
解析：\((-2)^{-3}=\frac{1}{(-2)^3}=-\frac{1}{8}\)。
（3）\((\frac{1}{3})^{-2}\)
解析：\((\frac{1}{3})^{-2}=\frac{1}{(\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{\frac{1}{9}}=9\)（也可转化为\(3^2 = 9\)，因为\((\frac{1}{a})^{-n}=a^n\)）。
（4）\(a^{-4}\)（\(a 0\)）
解析：\(a^{-4}=\frac{1}{a^4}\)。
第 8 页：知识点 3—— 负整数指数幂的性质
性质 1：\(a^{-n}=(\frac{1}{a})^n\)（\(a 0\)，\(n\)为正整数）。即一个数的负整数指数幂等于这个数的倒数的正整数指数幂。
示例：\(2^{-3}=(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}\)，\((\frac{2}{3})^{-2}=(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}\)。
性质 2：同底数幂的除法法则推广到负整数指数幂依然成立，即\(a^m ·a^n = a^{m - n}\)（\(a 0\)，\(m\)、\(n\)为任意整数）。
示例：\(2^3 ·2^5 = 2^{3 - 5}=2^{-2}=\frac{1}{4}\)，\(a^{-2} ·a^{-3}=a^{-2 - (-3)}=a^{1}=a\)（\(a 0\)）。
性质 3：幂的乘方和积的乘方法则对负整数指数幂依然适用，即\((a^m)^n = a^{mn}\)，\((ab)^n = a^nb^n\)（\(a 0\)，\(b 0\)，\(m\)、\(n\)为任意整数）。
示例：\((2^{-3})^2 = 2^{-6}=\frac{1}{64}\)，\((2a)^{-2}=2^{-2}a^{-2}=\frac{1}{4a^2}\)（\(a 0\)）。
第 9 页：例题 3—— 负整数指数幂的性质应用
例 3：计算下列各式。
（1）\(3^{-2} 3^4\)
解析：根据同底数幂乘法法则\(a^m a^n = a^{m + n}\)，\(3^{-2} 3^4 = 3^{-2 + 4}=3^2 = 9\)。
（2）\((a^{-2})^3\)（\(a 0\)）
解析：根据幂的乘方法则\((a^m)^n = a^{mn}\)，\((a^{-2})^3 = a^{-2 3}=a^{-6}=\frac{1}{a^6}\)。
（3）\((2b)^{-3}\)（\(b 0\)）
解析：根据积的乘方法则\((ab)^n = a^nb^n\)，\((2b)^{-3}=2^{-3}b^{-3}=\frac{1}{8b^3}\)。
（4）\(x^{-5} ·x^{-2}\)（\(x 0\)）
解析：根据同底数幂除法法则\(a^m ·a^n = a^{m - n}\)，\(x^{-5} ·x^{-2}=x^{-5 - (-2)}=x^{-3}=\frac{1}{x^3}\)。
第 10 页：知识点 4—— 零次幂与负整数指数幂的综合运算
运算顺序：在含零次幂和负整数指数幂的混合运算中，先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的。
步骤总结：
第一步：将负整数指数幂转化为正整数指数幂的倒数。
第二步：计算零次幂（结果为 1，注意底数不为 0）。
第三步：按照先乘方、再乘除、最后加减的顺序进行运算。
第四步：化简结果，化为最简形式（可保留正整数指数幂形式）。
示例演示：计算\(2^0 + 3^{-1} 6\)。
第一步：\(3^{-1}=\frac{1}{3}\)。
第二步：\(2^0 = 1\)。
第三步：计算乘法\(\frac{1}{3} 6 = 2\)，再算加法\(1 + 2 = 3\)。
第四步：结果为 3。
第 11 页：例题 4—— 综合运算
例 4：计算下列各式。
（1）\(2^{-2} + ( - 3)^0 - (-\frac{1}{2})^{-1}\)
解析：分别计算各项，\(2^{-2}=\frac{1}{4}\)，\(( - 3)^0 = 1\)，\((-\frac{1}{2})^{-1}=-2\)；则原式\(=\frac{1}{4}+1 - (-2)=\frac{1}{4}+1 + 2=\frac{13}{4}\)。
（2）\((a^{-1}b^2)^3 ·(a^2b)^{-2}\)（\(a 0\)，\(b 0\)）
解析：先算乘方，\((a^{-1}b^2)^3 = a^{-3}b^6\)，\((a^2b)^{-2}=a^{-4}b^{-2}\)；再算除法，\(a^{-3}b^6 ·a^{-4}b^{-2}=a^{-3 - (-4)}b^{6 - (-2)}=a^1b^8 = ab^8\)。
（3）\((\frac{3}{2})^{-2} (\frac{2}{3})^0 ·(\frac{2}{3})^{-1}\)
解析：转化各项，\((\frac{3}{2})^{-2}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}\)，\((\frac{2}{3})^0 = 1\)，\((\frac{2}{3})^{-1}=\frac{3}{2}\)；则原式\(=\frac{4}{9} 1 ·\frac{3}{2}=\frac{4}{9} \frac{2}{3}=\frac{8}{27}\)。
第 12 页：知识点 5—— 科学计数法与负整数指数幂
科学计数法定义：把一个数表示成\(a 10^n\)的形式（其中\(1 ¤|a|<10\)，\(n\)为整数），这种计数方法叫做科学计数法。
负整数指数幂的应用：当表示绝对值小于 1 的数时，\(n\)为负整数，\(n\)的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（包括小数点前的零）。
示例分析：
0.000025 = 2.5×10^{-5}（左起第一个非零数字 2 前有 5 个零）。
0.00123 = 1.23×10^{-3}（左起第一个非零数字 1 前有 3 个零）。
0.000000708 = 7.08×10^{-7}。
第 13 页：例题 5—— 科学计数法的应用
例 5：用科学计数法表示下列各数。
（1）0.00003
解析：左起第一个非零数字 3 前有 5 个零，所以表示为\(3 10^{-5}\)。
（2）0.000000567
解析：左起第一个非零数字 5 前有 7 个零，所以表示为\(5.67 10^{-7}\)。
（3）-0.000402
解析：左起第一个非零数字 4 前有 4 个零，所以表示为\(-4.02 10^{-4}\)。
例 6：将下列用科学计数法表示的数还原成原数。
（1）\(2.3 10^{-4}\)
解析：\(10^{-4}\)表示小数点向左移动 4 位，结果为 0.00023。
（2）\(5.01 10^{-6}\)
解析：小数点向左移动 6 位，结果为 0.00000501。
第 14 页：易错点总结
零次幂错误：
忽略底数不为 0 的条件，如认为\(0^0 = 1\)（实际\(0^0\)无意义）。
对多项式底数的零次幂判断错误，如\((2x - 2)^0 = 1\)未考虑\(x = 1\)时无意义。
负整数指数幂错误：
符号处理错误，如\((-2)^{-3}\)错算为\(\frac{1}{(-2)^{-3}}=-8\)（正确应为\(-\frac{1}{8}\)）。
混淆负指数与倒数的关系，如\(a^{-n}=-\frac{1}{a^n}\)（错误，正确是\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)）。
运算顺序错误：
在混合运算中未先算乘方，如\(2 3^{-1}\)错算为\((2 3)^{-1}=\frac{1}{6}\)（正确
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.4.2 零次幂和负整数指数幂
第2章 分式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 理解零次幂和负整数指数幂的意义，并能进行负整数指数幂的运算；（重点，难点）
2. 会用科学记数法表示绝对值较小的数.（重点）
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
即
问题 同底数幂的除法法则是什么？
若 m≤n，同底数幂的除法怎么计算呢？该法则还适用吗？
= am－n
零次幂和负整数指数幂
1
我们已经知道，当 n 为正整数时，an = a·a·····a.
(1) 若 n 为 0 时，an 的意义是什么
(2) 若 n 为负整数时，an 的意义是什么
n 个a
思考
(1) 根据分式的基本性质得，
受此启发，若把
(m > n ，m，n都是正整数)
推广到 m＝n 的情形，则有
将x用任意一个非零实数 a 代人，从①式得 a0 =1(a≠0).
即任何非零实数的零次幂都等于 1.
于是规定 x0 = 1 (x≠0). ①
例如，20 = 1，100 = 1，= 1.
(2) 若把
(m > n ，m，n都是正整数)
推广到 m＝0 的情形，则有
又利用 ① 式得
于是规定
(x≠0 ，n 是正整数). ②
将 x 用任意一个非零实数 a 代人，从②式得
a
(a≠0 ，n 是正整数).
由于
因此
a
(a≠0，n 是正整数).
特别地，
当引入零次幂和负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体整数.
a
(a≠0).
例1 已知 (3x - 2)0 有意义，则 x 应满足的条件
是_______．
解析：根据零次幂的意义可知，若 (3x－2)0 有意义，则 3x - 2≠0，即 .
方法总结：零次幂有意义的条件是底数不等于 0，所以解决有关零次幂的意义问题时，可列出关于底数不等于 0 的式子求解．
典例精析
例2 若 (x - 1)x＋1 = 1，求 x 的值．
解：①当 x＋1 = 0，即 x = -1 时，(x - 1)x＋1 = (-2)0 = 1；
②当 x - 1 = 1，即 x = 2 时，(x - 1)x＋1 = 13 = 1；
③当 x - 1 = -1，即 x = 0 时，(x - 1)x＋1 = (-1)1 = -1.
故 x 的值为 -1 或 2.
方法总结：乘方的结果为 1，可分为三种情况：不为零的数的零次幂等于 1；1 的任何次幂都等于 1；－1 的偶次幂等于 1. 即在底数不等于 0 的情况下要考虑指数等于 0，另外还需考虑底数等于 1 或－1 的情况.
例3 计算：
解：
例4 把下列各式写成分式的形式：
(1) x－2；
(2) 2xy－3；
解：(1) x－2 ＝ .
(2) 2xy－3 ＝ 2x·＝ .
1. 若 a = ，b = (-1)-1，c = ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）
A．a＞b＝c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
B
解析：a = = = ，b = (-1)-1 = -1，
c = = 1，所以 a＞c＞b，故选B.
练一练
方法总结：关键是理解负整数指数幂的意义，依次计算出结果．当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
2.把下列各数写成分数的形式：
解：
科学记数法：绝对值大于 10 的数可记成 a×10n 的形式，其中 1≤＜10，n 是正整数.
忆一忆：
例如，864000 可以写成 .
怎样用科学记数法表示 0.0000864？
8.64×105
想一想：
用科学记数法表示绝对值小于 1 的数
2
探一探：
因为
所以，0.0000864 = 8.64×0.00001 = 8.64 ×10-5.
类似地，我们可以利用 10 的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成 a×10-n 的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10.
算一算：
10－2 = ___________； 10－4= ___________；
10－8 = ___________.
议一议：指数与运算结果的 0 的个数有什么关系？
一般地，10 的 -n 次幂，在 1 前面有_____个 0.
想一想：10－21 的小数点后的位数是几位？
1 前面有几个零？
0.01
0.0001
0.00000001
通过上面的探索，你发现了什么？
n
用科学记数法表示一些绝对值小于 1 的数的方法：
利用 10 的负整数次幂，可以把一个绝对值小于 1 的数表示成 a×10-n 的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10，n 等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面那个零）.
知识要点
例5 近年来，我国基础研究和原始创新不断加强，一些关键核心技术实现突破，比如，我国科研团队在小尺寸晶体管研究方面取得重大突破，制备出亚 1 nm (纳米) 栅极长度的晶体管，其物理栅长为 0.000 000 000 34 m，请用科学记数法表示这个长度(单位：m).
解：0.000 000 000 34＝3.4×0.000 000 000 1
＝3.4×10－10，
因此，用科学记数法表示 0.000 000 000 34 m
即为 3.4×10－10 m.
例6 用小数表示下列各数：
(1) 2×10－7； (2) 3.14×10－5；
(3) 7.08×10－3； (4) 2.17×10－1.
分析：小数点向左移动相应的位数即可．
解：(1) 2×10－7＝0.000 000 2.
(2) 3.14×10－5＝0.000 031 4.
(3) 7.08×10－3＝0.007 08.
(4) 2.17×10－1＝0.217.
1. 用科学记数法表示：
（1）0.000 03； （2）-0.000 006 4；
（3）0.000 0314.
2. 用科学记数法填空：
（1）1 s 是 1 μs 的 1 000 000 倍，则 1 μs＝_______s；
（2）1 mg＝_______kg； （3）1 μm＝_______m；　　　　　
（4）1 nm＝_______ μm；（5）1 cm2＝_______ m2；
（6）1 mL＝_______m3.
3×10-5
3.14×10-5
-6.4×10-6
1×10-6
1×10-6
1×10-6
1×10-3
1×10-4
1×10-6
练一练
3. 中国女药学家屠呦呦获 2015 年诺贝尔医学奖，她的突出贡献是创制新型抗疟药青蒿素和双氢青蒿素，这是中国医学界迄今为止获得的最高奖项．已知显微镜下某种疟原虫平均长度为 0.000 001 5 米，该长度用科学记数法表示为__________米．
1.5×10-6
1. 计算：
1
1
64
2. 把下列各式写成分式的形式：
3. 用小数表示 5.6×10-4.
解：原式 = 5.6×0.0001 = 0.00056.
解：(1) 原式 =
(2) 原式 =
4. 比较大小：
（1）3.01×10－4_______9.5×10－3；
（2）3.01×10－4_______3.10×10－4.
＜
＜
5. 用科学记数法把小数 0.000 009 405 表示成
9.405×10n 的形式，那么 n = .
-6
6. 计算：－22＋(－ )－2＋(2022－π)0.
解：－22＋(－ )－2＋(2022－π)0
＝－4＋4＋1
＝1.
1. 计算 的结果是( )
C
A. B. C. 16 D.
2. 下列计算结果正确的是( )
A
A. B.
C. D.
返回
3. 随着我国科技迅猛发展，电子制造技术
不断取得突破性成就，电子元件尺寸越来越小，在芯片上某
种电子元件大约占.将 用科学记
数法表示应为( )
C
A. B.
C. D.
返回
4. 若有意义，则 的取值范围是( )
C
A. B.
C. 且 D. 或
5. 若，则 等于( )
A
A. B. C. D.
返回
6. 2024年6月4日7时38分，备受瞩目的嫦
娥六号上升器携带着宝贵的月球样品，从月球背面成功起飞，
并顺利进入预定的环月轨道.这一壮举是世界航天历史上的又
一个里程碑，实现了首次从月球背面采样并起飞.返回器在接
近大气层时，飞行大约需要 .数据
表示的原数为____________.
返回
7.［2025娄底期末］已知,, ,
,则,,, 的大小关系为______________.
（用“ ”号连接起来）
返回
8.计算：
（1）［2025常德月考］ ；
【解】 .
（2）［2025郴州月考］
.
.
返回
9. 已知，，则数， 表示的点在数轴
上的位置大致是( )
B
A.
B.
C.
D.
返回
10. 我们都知道，先看见闪电后听见雷声，如
果光在空气中的传播速度为 ，而声音在空气中的
传播速度大约只有 ，则声音的传播速度约是光传播
速度的( )
B
A. B.
C. D.
返回
整数指数幂
非正整数
指数幂的意义
1. 零次幂：当 a ≠ 0 时，a0 = 1
2. 负整数指数幂：当 n 是正整数时，a-n＝
科学记数法表示绝对值较小的数
0.00…01
n 个 0
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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