资源简介

(共35张PPT)
2.4.3 整数指数幂的基本性质教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：2.4.3 整数指数幂的基本性质
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾与引入
回顾旧知：我们已经学习了正整数指数幂、零次幂和负整数指数幂的定义。正整数指数幂\(a^n\)（\(n\)为正整数）表示\(n\)个\(a\)相乘；零次幂\(a^0 = 1\)（\(a 0\)）；负整数指数幂\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)（\(a 0\)，\(n\)为正整数）。
问题情境：正整数指数幂有乘法、除法、乘方等运算性质，当指数拓展到零和负整数后，这些性质是否仍然成立？例如\(a^2 a^{-3}\)能否用同底数幂乘法性质计算？
引入概念：整数指数幂包括正整数指数幂、零次幂和负整数指数幂，其基本性质是幂运算的核心，本节课我们将系统学习整数指数幂的基本性质及应用。
学习意义：掌握整数指数幂的基本性质，能统一处理各种指数的幂运算，为后续学习更复杂的数学知识提供有力工具。
第 3 页：学习目标
知识目标：理解整数指数幂的概念；掌握整数指数幂的基本性质（同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，积的乘方，商的乘方）；能熟练运用这些性质进行整数指数幂的运算。
能力目标：通过将正整数指数幂的性质推广到整数指数幂，培养抽象概括能力和推理能力；在运用性质解决问题的过程中，提高运算能力和问题解决能力。
情感目标：体会数学知识的连贯性和逻辑性，感受从特殊到一般的推广思想，激发学习数学的兴趣。
第 4 页：知识点 1—— 同底数幂的乘法性质
性质内容：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
字母表示：\(a^m a^n = a^{m + n}\)（\(a 0\)，\(m\)、\(n\)为整数）。
推导验证：
当\(m\)、\(n\)为正整数时，性质成立（已学）。
当\(m = 0\)时，\(a^0 a^n = 1 a^n = a^n = a^{0 + n}\)，性质成立。
当\(m\)为负整数，设\(m=-p\)（\(p\)为正整数），则\(a^{-p} a^n=\frac{1}{a^p} a^n = a^{n - p}=a^{-p + n}\)，性质成立。
示例分析：
\(2^3 2^{-5}=2^{3 + (-5)}=2^{-2}=\frac{1}{4}\)。
\(a^{-2} a^4 = a^{-2 + 4}=a^2\)（\(a 0\)）。
\((-3)^0 (-3)^{-2}=(-3)^{0 + (-2)}=(-3)^{-2}=\frac{1}{9}\)。
第 5 页：例题 1—— 同底数幂乘法性质应用
例 1：计算下列各式。
（1）\(3^{-2} 3^5\)
解析：根据同底数幂乘法性质，\(3^{-2} 3^5 = 3^{-2 + 5}=3^3 = 27\)。
（2）\(x^{-3} x^{-4}\)（\(x 0\)）
解析：\(x^{-3} x^{-4}=x^{-3 + (-4)}=x^{-7}=\frac{1}{x^7}\)。
（3）\((a + b)^0 (a + b)^{-1}\)（\(a + b 0\)）
解析：把\(a + b\)看作底数，\((a + b)^0 (a + b)^{-1}=(a + b)^{0 + (-1)}=(a + b)^{-1}=\frac{1}{a + b}\)。
（4）\(2^m 2^{3m}\)（\(m\)为整数）
解析：\(2^m 2^{3m}=2^{m + 3m}=2^{4m}\)。
第 6 页：知识点 2—— 同底数幂的除法性质
性质内容：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
字母表示：\(a^m ·a^n = a^{m - n}\)（\(a 0\)，\(m\)、\(n\)为整数）。
推导验证：
由除法是乘法的逆运算及同底数幂乘法性质，\(a^m ·a^n = a^m a^{-n}=a^{m + (-n)}=a^{m - n}\)，性质成立。
示例分析：
\(5^4 ·5^6 = 5^{4 - 6}=5^{-2}=\frac{1}{25}\)。
\(b^{-3} ·b^{-5}=b^{-3 - (-5)}=b^2\)（\(b 0\)）。
\(y^0 ·y^{-2}=y^{0 - (-2)}=y^2\)（\(y 0\)）。
第 7 页：例题 2—— 同底数幂除法性质应用
例 2：计算下列各式。
（1）\(10^5 ·10^{-3}\)
解析：根据同底数幂除法性质，\(10^5 ·10^{-3}=10^{5 - (-3)}=10^8 = 100000000\)。
（2）\(a^{-6} ·a^{-2}\)（\(a 0\)）
解析：\(a^{-6} ·a^{-2}=a^{-6 - (-2)}=a^{-4}=\frac{1}{a^4}\)。
（3）\((x - y)^{-2} ·(x - y)^0\)（\(x - y 0\)）
解析：\((x - y)^{-2} ·(x - y)^0=(x - y)^{-2 - 0}=(x - y)^{-2}=\frac{1}{(x - y)^2}\)。
（4）\(3^{2m} ·3^m\)（\(m\)为整数）
解析：\(3^{2m} ·3^m=3^{2m - m}=3^m\)。
第 8 页：知识点 3—— 幂的乘方性质
性质内容：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
字母表示：\((a^m)^n = a^{mn}\)（\(a 0\)，\(m\)、\(n\)为整数）。
推导验证：
当\(m\)、\(n\)为正整数时，性质成立（已学）。
当\(n = 0\)时，\((a^m)^0 = 1 = a^{m 0}\)，性质成立。
当\(n\)为负整数，设\(n=-p\)（\(p\)为正整数），则\((a^m)^{-p}=\frac{1}{(a^m)^p}=\frac{1}{a^{mp}}=a^{-mp}=a^{m (-p)}\)，性质成立。
示例分析：
\((2^3)^{-2}=2^{3 (-2)}=2^{-6}=\frac{1}{64}\)。
\((a^{-2})^4 = a^{-2 4}=a^{-8}=\frac{1}{a^8}\)（\(a 0\)）。
\((b^0)^5 = b^{0 5}=b^0 = 1\)（\(b 0\)）。
第 9 页：例题 3—— 幂的乘方性质应用
例 3：计算下列各式。
（1）\((3^{-2})^3\)
解析：根据幂的乘方性质，\((3^{-2})^3=3^{-2 3}=3^{-6}=\frac{1}{729}\)。
（2）\((x^4)^{-2}\)（\(x 0\)）
解析：\((x^4)^{-2}=x^4 (-2)=x^{-8}=\frac{1}{x^8}\)。
（3）\(((a + b)^{-1})^2\)（\(a + b 0\)）
解析：\(((a + b)^{-1})^2=(a + b)^{-1 2}=(a + b)^{-2}=\frac{1}{(a + b)^2}\)。
（4）\((y^m)^{-3}\)（\(y 0\)，\(m\)为整数）
解析：\((y^m)^{-3}=y^{m (-3)}=y^{-3m}\)。
第 10 页：知识点 4—— 积的乘方性质
性质内容：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
字母表示：\((ab)^n = a^nb^n\)（\(a 0\)，\(b 0\)，\(n\)为整数）。
推导验证：
当\(n\)为正整数时，性质成立（已学）。
当\(n = 0\)时，\((ab)^0 = 1 = a^0b^0\)，性质成立。
当\(n\)为负整数，设\(n=-p\)（\(p\)为正整数），则\((ab)^{-p}=\frac{1}{(ab)^p}=\frac{1}{a^pb^p}=a^{-p}b^{-p}\)，性质成立。
示例分析：
\((2 3)^{-2}=2^{-2} 3^{-2}=\frac{1}{4} \frac{1}{9}=\frac{1}{36}\)。
\((a^{-2}b)^3=(a^{-2})^3 b^3=a^{-6}b^3=\frac{b^3}{a^6}\)（\(a 0\)，\(b 0\)）。
\((-xy)^0=(-x)^0y^0 = 1 1 = 1\)（\(x 0\)，\(y 0\)）。
第 11 页：例题 4—— 积的乘方性质应用
例 4：计算下列各式。
（1）\((2a)^{-3}\)（\(a 0\)）
解析：根据积的乘方性质，\((2a)^{-3}=2^{-3} a^{-3}=\frac{1}{8} \frac{1}{a^3}=\frac{1}{8a^3}\)。
（2）\((-3x^2y)^{-2}\)（\(x 0\)，\(y 0\)）
解析：\((-3x^2y)^{-2}=(-3)^{-2} (x^2)^{-2} y^{-2}=\frac{1}{9} x^{-4} \frac{1}{y^2}=\frac{1}{9x^4y^2}\)。
（3）\((a^0b^2)^{-1}\)（\(a 0\)，\(b 0\)）
解析：\((a^0b^2)^{-1}=(1 b^2)^{-1}=(b^2)^{-1}=b^{-2}=\frac{1}{b^2}\)。
（4）\((2x^m y^{-n})^3\)（\(x 0\)，\(y 0\)，\(m\)、\(n\)为整数）
解析：\((2x^m y^{-n})^3=2^3 (x^m)^3 (y^{-n})^3=8x^{3m}y^{-3n}\)。
第 12 页：知识点 5—— 商的乘方性质
性质内容：商的乘方，等于把被除数和除数分别乘方，再把所得的幂相除。
字母表示：\((\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}\)（\(a 0\)，\(b 0\)，\(n\)为整数）。
推导验证：
由积的乘方性质，\((\frac{a}{b})^n=(a b^{-1})^n=a^n (b^{-1})^n=a^n b^{-n}=\frac{a^n}{b^n}\)，性质成立。
示例分析：
\((\frac{2}{3})^{-2}=\frac{2^{-2}}{3^{-2}}=\frac{3^2}{2^2}=\frac{9}{4}\)。
\((\frac{a}{b^2})^{-3}=\frac{a^{-3}}{(b^2)^{-3}}=\frac{b^6}{a^3}\)（\(a 0\)，\(b 0\)）。
\((\frac{x}{y})^0=\frac{x^0}{y^0}=\frac{1}{1}=1\)（\(x 0\)，\(y 0\)）。
第 13 页：例题 5—— 商的乘方性质应用
例 5：计算下列各式。
（1）\((\frac{3}{4})^{-2}\)
解析：根据商的乘方性质，\((\frac{3}{4})^{-2}=\frac{3^{-2}}{4^{-2}}=\frac{4^2}{3^2}=\frac{16}{9}\)。
（2）\((\frac{a^{-1}}{b^3})^2\)（\(a 0\)，\(b 0\)）
解析：\((\frac{a^{-1}}{b^3})^2=\frac{(a^{-1})^2}{(b^3)^2}=\frac{a^{-2}}{b^6}=\frac{1}{a^2b^6}\)。
（3）\((\frac{x^2y}{z})^{-1}\)（\(x 0\)，\(y 0\)，\(z 0\)）
解析：\((\frac{x^2y}{z})^{-1}=\frac{(x^2y)^{-1}}{z^{-1}}=\frac{z}{x^2y}\)。
（4）\((\frac{a^m}{b^n})^{-k}\)（\(a 0\)，\(b 0\)，\(m\)、\(n\)、\(k\)为整数）
解析：\((\frac{a^m}{b^n})^{-k}=\frac{(a^m)^{-k}}{(b^n)^{-k}}=\frac{a^{-mk}}{b^{-nk}}=\frac{b^{nk}}{a^{mk}}\)。
第 14 页：典型例题 —— 整数指数幂性质综合应用
例 6：计算\((a^{-2}b^3)^2 (a^3b)^{-1} ·(ab^{-2})^3\)（\(a 0\)，\(b 0\)）。
解析：
先算乘方：\((a^{-2}b^3)^2 = a^{-4}b^6\)，((a^3b)^{-1}=
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.4.3 整数指数幂的基本性质
第2章 分式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 理解整数指数幂的运算法则；（重点）
2. 会用整数指数幂的运算法则进行计算.（重点、难点）
问题 正整数指数幂的运算法则有哪些？
am · an = am+n ( m，n 都是正整数)；
(am)n = amn ( m，n 都是正整数)；
(ab)n = anbn ( n 是正整数).
(a ≠ 0，m，n 都是正整数，且 m＞n)； (b ≠ 0，n 是正整数).
探究：在七年级下册我们知道，
am · an = am+n (m，n 都是正整数) ①
引入负整数指数幂后，当 a≠0 时，上述性质是否仍然成立
整数指数幂的运算
1
计算：(1) a3·a－5； (2) a－3·a－5； (3) a0·a－5.
解：(1) a3·a－5 ＝
(2) a－3·a－5＝
(3) a0·a－5＝
观察上式你有什么发现？
猜想：
am · an = am+n (a ≠ 0，m，n 都是整数).
a3+(－5)
a－3+(－5)
a0+(－5)
设 a≠0，m，n 都是正整数，且 m > n.
由于
a
于是
＝·＝·a
因此
am·a－n＝am－n＝am + (－n). ②
由于
m 个a
n 个a
(m－n)个a
＝a－(m－n)
＝a(－m)+n.
＝·＝a·
且
所以
a－m·an＝a(－m) + n . ③
类似可得，当 m≤n 时，等式②③仍成立.
又由 可得
a
a－m·a－n＝ ·＝ ＝＝a－(m + n)
＝a(－m) + (－n).
由上可知，引人负整数指数幂后，
am · an = am+n (a≠0，mn≠0且m，n 都是整数).
仍然成立.
④
做一做
(1) 已知 a≠0，m，n 都是整数，填空：
① a0·an = 1×an = a( ) = a0 + ( )；
② am·a0 = am×1 =a( ) = am + ( )；
(2)由(1)可猜测：当 a≠0，mn = 0 时，am·an = a( ).
n
m
0
n
m+n
可以证明，引人零次幂后，
am · an = am+n (a ≠ 0，mn = 0且 m，n 都是整数).
仍然成立.
⑤
知识要点
由 ④⑤ 可得整数指数幂的基本性质1：
am · an = am+n (a ≠ 0，m，n 都是整数).
我们已经知道，(am)n = amn，(ab)n = anbn，其中 m，n 都是正整数. 引人负整数指数幂后，当 a≠0，b≠0时，上述性质是否仍然成立？下面来进行研究.
做一做
(1) 已知 a≠0，b≠0，填空：
① (a2)－3 = = = a( ) = a2×( )，
② (a－2)3 = = = a( ) = a( )×3，
③ (a－2)－3 = (a2)3 = a( ) = a(－2)×( )，
④ (ab)－2 = = a( )·b( ).
(2) 根据 (1) 的结果，你能猜测出什么结论
－6
－3
－6
－2
6
－3
－2
－2
由上可猜测：引人负整数指数幂后，当 a≠0，b≠0时，若 m，n 为整数且 mn≠0，则 (am)n = amn 和
(ab)n = an·bn 仍然成立. 数学上已经证明此猜测成立，并且此结论也适合 m，n 为整数且 mn = 0 的情形.
由此可得整数指数幂的基本性质2：
(am)n = amn (a ≠ 0，m，n 都是整数).
以及整数指数幂的基本性质3：
(ab)n = an·bn ( a≠0，b≠0， n 是整数).
知识要点
例1 设 a≠0，b≠0，计算下列各式：
(1) a7·a－3；　 (2) (a－3)－2； (3) (a－1b)－2.
解：(1) a7·a－3
(2) (a－3)－2
= a7 + (－3)
= a(－3)×(－2)
= a4.
= a6.
(3) (a－1b)－2
= a2b－2
= .
注意：最后结果一般不保留负指数，而写成分式形式.
典例精析
1. 计算：
解：
练一练
设 a≠0，b≠0，n 是整数，利用整数指数幂的基本性质2 和基本性质3 得
(a·b－1)n = an·(b－1)n = an·b－n
＝an·＝ .
因此
＝
( a≠0，b≠0， n 是整数).
知识要点
例2 计算下列各式：
例3 计算：
(1)(x3y－2)2； (2) x2y－2 · (x－2y)3；
分析：先算幂的乘方，再算幂的乘除，最后将负整数指数幂化成正整数指数幂．
解：(1) 原式＝x6y－4
(2) 原式＝x2y－2·x－6y3＝x－4y
提示：计算结果一般需化为正整数指数幂的形式.
(3)(3x2y－2)2÷(x－2y)3； (4)(3×10－5)3÷(3×10－6)2.
(4) 原式＝(27×10－15)÷(9×10－12)＝3×10－3
＝0.003.
解：(3) 原式＝9x4y－4÷(x－6y3)＝9x4y－4·x6y－3＝9x10y－7
例4 已知 a－m＝3，bn＝2，则 (a－mb－2n)－2＝____．
解析：(a－mb－2n)－2＝(a－m)－2·b4n ＝(a－m)－2(bn)4
＝3－2×24
＝
方法总结：逆用幂的运算法则，把要求的代数式用已知的式子来表示是解题的关键．
例5 某房间空气中平局均每立方米含 3×106 个病菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行实验，发现 1 毫升这种杀菌剂可以杀死 2×105 个病菌，问要将长 10 m，宽 8 m，高 3 m 的长方体房间内的病菌全部都杀死，至少需要多少毫升这种杀菌剂？
解：(10×8×3)×(3×106)÷(2×105)
= (720×106)÷(2×105) = 360×10 = 3.6×103(毫升).
答：至少需要 3.6×103 毫升这种杀菌剂.
整数指数幂运算的实际应用
1
(2)
1. 设 a ≠ 0，b ≠ 0，计算下列各式：
(4) a-5(a2b-1)3 =_______.
(1)
(3)
2. 计算下列各式：
解：(1)原式＝
(2)原式＝27x12y6.
(3)原式＝
1. ［2025衡阳期末］运算结果为 的是( )
B
A. B. C. D.
2. ［2025石家庄月考］计算 的结果是( )
C
A. B. C. D.
返回
3. 若一个正方体的棱长为 米，则这个正方体的体积
为( )
B
A. 立方米 B. 立方米
C. 立方米 D. 立方米
4.比较大小：___（填“ ”“”或“ ”）.
5.（1）若,,则 ___.
（2）若,则 ___.
5
4
返回
6. 一个数学九宫格中，当处
于同一横行，同一竖列，同一对角线上的3
个数之积都相等时，称这个九宫格为“积的
九宫归位”.在如图的九宫格中，已填写了一
【点拨】由题意得,即 ,即
,所以,所以 .
些数或式子，为了完成“积的九宫归位”，则 的值为____.
返回
7. 教材P51习题 计算下列各式，并把结果化为正整
数指数幂的形式.
（1） ；
【解】 .
（2） ；
.
（3） .
.
返回
8. 我们把正整数指数幂的运算扩充到整数
指数幂的运算，同样，我们也可把整数指数幂的运算扩充到
分数指数幂的运算.
（ⅰ）正数的分数指数幂的形式是，， 都是有理
数， .
（ⅱ）正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相
仿，我们规定：，， 都是有理数，
.
（ⅲ）整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，
即对于任意有理数， ,均有下面的运算性质：
，，都是有理数 ；
，，都是有理数 ；
，，是有理数 .
请运用分数指数幂的性质计算下列各式（式子中的字母均是
正数）
（1） ；
【解】 .
（2） .
.
返回
9.已知,,如果,,试探究 ,
之间的关系，并求出当时 的值.
【解】①, ,
,得,所以 .
,得,所以 .
因为 ,
所以,所以 .
把代入,得,所以 .
返回
am · an = am+n (a≠0，m，n 都是整数)；
(am)n = amn (a≠0，m，n 都是整数)；
(ab)n = anbn (a≠0，b≠0，n 是整数).
整数指数幂的运算公式：
1. 在应用各公式时，底数必须是相同的，指数可以是任意整数；
2. 注意负整数指数幂和零指数幂中，底数不为 0 的条件.
注意：
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑