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2.5.1 可化为一元一次方程的分式方程的解法教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：2.5.1 可化为一元一次方程的分式方程的解法
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾与引入
回顾整式方程：像\(2x + 3 = 5\)、\(3x - 2(x - 1) = 4\)这样，分母中不含未知数的方程叫做整式方程，一元一次方程是最简单的整式方程。
问题情境：面对方程\(\frac{1}{x} + 2 = 3\)或\(\frac{x}{x - 1} = \frac{2}{x + 1}\)，它们的分母中含有未知数，这样的方程该如何求解？与整式方程有什么区别和联系？
引入概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，本节课我们将学习可化为一元一次方程的分式方程的解法。
学习意义：掌握分式方程的解法，能解决更多与实际生活相关的数学问题，完善方程求解的知识体系。
第 3 页：学习目标
知识目标：理解分式方程的概念；掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，包括去分母、求解整式方程、验根等步骤；明确验根的必要性和方法。
能力目标：通过将分式方程转化为整式方程的过程，体会转化的数学思想；在解分式方程的过程中，提高运算能力和严谨的思维能力。
情感目标：感受数学知识之间的联系，体会转化思想的作用，培养认真细致的解题习惯。
第 4 页：知识点 1—— 分式方程的概念
概念定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
关键词解析：
分母中必须含有未知数，区别于整式方程（分母中不含未知数）。
分式方程是方程的一种特殊形式，仍然满足方程的基本定义（含有未知数的等式）。
示例辨析：
分式方程：\(\frac{2}{x} = 5\)（分母含未知数\(x\)）、\(\frac{x + 1}{x - 2} = 3\)（分母含未知数\(x\)）。
整式方程：\(2x + 5 = 0\)（分母无未知数）、\(\frac{1}{2}x - 3 = 1\)（分母为常数）。
注意事项：判断一个方程是否为分式方程，关键看分母中是否含有未知数，与分子中是否含有未知数无关。
第 5 页：知识点 2—— 分式方程的解法思路
核心思想：将分式方程转化为整式方程（一元一次方程），利用整式方程的解法求解。
转化依据：等式的基本性质，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，消除分母，化为整式方程。
关键步骤：
第一步：确定各分式的最简公分母。
第二步：方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程。
第三步：解转化后的整式方程。
第四步：验根，检查求得的解是否使原分式方程的分母为零（保证分式有意义）。
示例演示：解方程\(\frac{2}{x} = 5\)。
最简公分母为\(x\)。
两边同乘\(x\)得：\(2 = 5x\)（整式方程）。
解得：\(x = \frac{2}{5}\)。
验根：当\(x = \frac{2}{5}\)时，分母\(x=\frac{2}{5} 0\)，所以\(x = \frac{2}{5}\)是原方程的解。
第 6 页：例题 1—— 不含常数项的分式方程解法
例 1：解方程\(\frac{3}{x} = \frac{4}{x + 1}\)。
解析：
步骤 1：确定最简公分母。观察分母为\(x\)和\(x + 1\)，最简公分母为\(x(x + 1)\)。
步骤 2：去分母。方程两边同乘\(x(x + 1)\)，得\(3(x + 1)=4x\)。
步骤 3：解整式方程。去括号得\(3x + 3 = 4x\)，移项得\(3 = 4x - 3x\)，解得\(x = 3\)。
步骤 4：验根。将\(x = 3\)代入最简公分母\(x(x + 1)=3 4 = 12 0\)，且原方程左边\(\frac{3}{3}=1\)，右边\(\frac{4}{3 + 1}=1\)，左边 = 右边，所以\(x = 3\)是原方程的解。
结论：原方程的解为\(x = 3\)。
第 7 页：例题 2—— 含常数项的分式方程解法
例 2：解方程\(\frac{x}{x - 2} + 3 = \frac{1}{x - 2}\)。
解析：
步骤 1：确定最简公分母。分母为\(x - 2\)，最简公分母为\(x - 2\)。
步骤 2：去分母。方程两边同乘\(x - 2\)，得\(x + 3(x - 2)=1\)（注意常数项 3 也要乘最简公分母）。
步骤 3：解整式方程。去括号得\(x + 3x - 6 = 1\)，合并同类项得\(4x - 6 = 1\)，移项得\(4x = 7\)，解得\(x = \frac{7}{4}\)。
步骤 4：验根。将\(x = \frac{7}{4}\)代入最简公分母\(x - 2=\frac{7}{4}-2=-\frac{1}{4} 0\)，原方程左边\(\frac{\frac{7}{4}}{\frac{7}{4}-2}+3=\frac{\frac{7}{4}}{-\frac{1}{4}}+3=-7 + 3=-4\)，右边\(\frac{1}{\frac{7}{4}-2}=-4\)，左边 = 右边，所以\(x = \frac{7}{4}\)是原方程的解。
结论：原方程的解为\(x = \frac{7}{4}\)。
第 8 页：知识点 3—— 分式方程的验根
验根必要性：在去分母的过程中，方程两边同乘了含有未知数的整式（最简公分母），可能使未知数的取值范围扩大，从而产生增根（使原方程分母为零的根），因此必须验根。
增根定义：使分式方程的分母为零的根叫做分式方程的增根，增根不是原分式方程的解。
验根方法：
方法一：将求得的根代入原分式方程，检查左右两边是否相等（同时分母不为零）。
方法二：将求得的根代入最简公分母，若最简公分母的值为零，则是增根；若不为零，则是原方程的解（更简便）。
示例分析：解方程\(\frac{1}{x - 1} = \frac{2}{x^2 - 1}\)。
去分母得\(x + 1 = 2\)，解得\(x = 1\)。
验根：代入最简公分母\(x^2 - 1=1 - 1 = 0\)，所以\(x = 1\)是增根，原方程无解。
第 9 页：例题 3—— 含增根的分式方程解法
例 3：解方程\(\frac{x}{x - 3} - 2 = \frac{3}{x - 3}\)。
解析：
步骤 1：确定最简公分母为\(x - 3\)。
步骤 2：去分母。方程两边同乘\(x - 3\)，得\(x - 2(x - 3)=3\)。
步骤 3：解整式方程。去括号得\(x - 2x + 6 = 3\)，合并同类项得\(-x + 6 = 3\)，移项得\(-x = -3\)，解得\(x = 3\)。
步骤 4：验根。将\(x = 3\)代入最简公分母\(x - 3 = 0\)，所以\(x = 3\)是增根，原方程无解。
结论：原方程无解。
第 10 页：知识点 4—— 解分式方程的完整步骤
步骤总结：
第一步：审题，确定方程是分式方程。
第二步：找最简公分母（各分母的所有因式的最高次幂的积）。
第三步：去分母，方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程（注意不要漏乘不含分母的项）。
第四步：解转化后的整式方程（按一元一次方程的解法求解）。
第五步：验根，将求得的根代入最简公分母，若不为零则是原方程的解；若为零则是增根，原方程无解。
第六步：写出结论（说明方程的解或无解）。
注意事项：
去分母时，每一项都要乘最简公分母，包括常数项。
分数线具有括号的作用，去分母后分子是多项式时要加括号。
第 11 页：例题 4—— 分子为多项式的分式方程解法
例 4：解方程\(\frac{x + 1}{x - 1} = \frac{4}{x^2 - 1} + 1\)。
解析：
步骤 1：因式分解分母，\(x^2 - 1=(x + 1)(x - 1)\)，最简公分母为\((x + 1)(x - 1)\)。
步骤 2：去分母。方程两边同乘\((x + 1)(x - 1)\)，得\((x + 1)^2 = 4 + (x + 1)(x - 1)\)（分子是多项式，加括号）。
步骤 3：解整式方程。去括号得\(x^2 + 2x + 1 = 4 + x^2 - 1\)，移项合并同类项得\(2x = 2\)，解得\(x = 1\)。
步骤 4：验根。将\(x = 1\)代入最简公分母\((x + 1)(x - 1)=0\)，所以\(x = 1\)是增根，原方程无解。
结论：原方程无解。
第 12 页：例题 5—— 复杂分式方程解法
例 5：解方程\(\frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x - 1} = \frac{6}{x^2 - 1}\)。
解析：
步骤 1：最简公分母为\((x + 1)(x - 1)\)。
步骤 2：去分母。方程两边同乘最简公分母，得\(2(x - 1)+3(x + 1)=6\)。
步骤 3：解整式方程。去括号得\(2x - 2 + 3x + 3 = 6\)，合并同类项得\(5x + 1 = 6\)，移项得\(5x = 5\)，解得\(x = 1\)。
步骤 4：验根。将\(x = 1\)代入最简公分母\((x + 1)(x - 1)=0\)，所以\(x = 1\)是增根，原方程无解。
结论：原方程无解。
第 13 页：易错点总结
去分母错误：
漏乘不含分母的项，如解方程\(\frac{x}{2} + 1 = \frac{3}{x}\)时，两边同乘\(2x\)，错算为\(x^2 + 1 = 6\)（正确应为\(x^2 + 2x = 6\)）。
分子是多项式时未加括号，导致符号错误，如\(\frac{x + 1}{x} = 2\)去分母错算为\(x + 1 = 2x\)（此例正确，反例：\(\frac{x - 1}{x} = 2\)去分母应为\(x - 1 = 2x\)，若漏括号可能出错）。
验根遗漏：解完方程后未验根，导致将增根当作原方程的解。
最简公分母确定错误：未正确分解因式或未找全因式，如将\(\frac{1}{x^2 - 4}\)和\(\frac{1}{x + 2}\)的最简公分母错定为\(x + 2\)（正确应为\((x + 2)(x - 2)\)）。
求解整式方程错误：在去括号、移项、合并同类项等步骤中出现计算错误，导致结果错误。
第 14 页：课堂练习
练习 1：解下列分式方程。
（1）\(\frac{5}{x} = \frac{3}{x - 2}\)
（2）\(\frac{1}{x - 2} + 3 = \frac{x - 1}{2 - x}\)
（3）\(\frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{3}{(x - 1)(x + 2)}\)
练习 2：当\(k\)为何值时，方程\(\frac{x}{x - 3} + \frac{k}{x + 3} = \frac{x}{x^2 - 9}\)会产生增根？
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.5.1 可化为一元一次方程的分式方程的解法
第2章 分式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 理解分式方程的概念；
2. 掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法；
（重点）
3. 掌握检验分式方程的解的方法.（难点）
为了更好地践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某村计划组织村民在荒坡上种 9 600 棵树，后来由于青年志愿者的支援，每天种树的棵数是原计划的 倍，结果提前 4 天完成任务. 设原计划每天种 x 棵树，试用含 x 的等式表示问题中的等量关系.
分析：上述问题存在以下等量关系：
原计划的天数－实际天数＝4.
这个方程是我们以前学过的方程吗？它与一元一次方程有什么区别？
由于原计划每天种 x 棵树，则实际每天种 x 棵树.
根据上述等量关系，可以得到含有未知数 x 的等式：
即
定义：
像这样，分母中含未知数的方程叫作分式方程.
分式方程的概念
1
知识要点
判一判 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
整式方程
分式方程
方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π 不是未知数)．
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母
都约去？
（4）这样做的依据是什么？
解分式方程最关键的问题是什么？
（1）如何把它转化为整式方程呢？
如何去分母
你能试着解这个分式方程吗？
分式方程的解法
2
由于最简公分母为 x，于是将方程两边同乘 x，得
方程左边的值为 ，右边的值也是4，从而左边的值＝右边的值，
9 600 - 7 200 = 4x，
解得 x = 600.
x = 600 是原分式方程的解吗？
检验：将 x 用 600 代入原分式方程中，
因此 x = 600 是原分式方程的解.
解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同时乘最简公分母. 这也是解分式方程的一般方法.
归纳总结
例1 解方程：
解 ：由于最简公分母为 x(x - 2)，于是将方程两边同乘 x(x - 2)，得
解得 x = -3.
检验：把 x 用 -3 代入原方程，方程左边的值为
因此， x = -3 是原分式方程的解.
典例精析
5x - 3(x - 2) = 0，
右边的值也是0，
从而左边的值＝右边的值，
解：由于最简公分母为 (x - 2)(x + 2)，于得将方程两边同乘 (x - 2)(x + 2)，得
x + 2 = 4，
解得 x = 2.
x = 2 是原分式方程的解吗？
例2 解方程： .
检验：将 x 用 2 代人原分式方程，方程左边的值为 ，
不存在这种数，因此 x = 2 不是原分式方程的解，从而原分式方程无解.
典例精析
想一想：
上面两个分式方程中，为什么
去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，
而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？
真相揭秘：分式两边同乘不为 0 的式子，所得整式方程的解与分式方程的解相同.
我们再来观察去分母的过程：
9 600 - 7 200 = 4x
两边同乘 x
当x=600时，x≠0
真相揭秘：分式两边同乘了等于 0 的式子，所得整式方程的解使分母为 0，这个整式方程的解就不是原分式方程的解.
x + 2 = 4
两边同乘(x-2)(x+2)
当x=2时，(x-2)(x+2)=0
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为 0，所以分式方程的解必须检验．
怎样检验？
这个整式方程的解是不是原分式方程的解呢？
分式方程解的检验——必不可少的步骤
检验方法：把所求出的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于 0，那么它是原分式方程的一个解；如果它使最简公分母的值为 0，那么它不是原分式方程的解.
例3 解方程：
解：由于最简公分母为 3x - 2，于是将方程两边同乘 3x - 2，得
x + (-2) = 5(3x - 2)，
解得 x = .
经检验，x = 是原分式方程的解.
简记为：“一化二解三检验”.
第一步，求出最简公分母，将方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为一元一次方程；
第二步，解所得到的一元一次方程；
第三步，检验一元一次方程的解是否为原分式方程的解.
解可化为一元一次方程的分式方程的步骤如下：
归纳总结
1.解方程：
2x = 3x - 9.
解得 x = 9.
典例精析
解：由于最简公分母为 x(x - 3)，于是将方程两边同乘 x(x - 3)，得
经检验，x = 9 是原分式方程的解.
2.解方程：
x(x + 2) - (x - 1)(x + 2) = 3.
解得 x = 1.
检验：当 x = 1 时，(x - 1)(x + 2) = 0，
因此 x = 1 不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
解：由于最简公分母为 (x - 1)(x + 2)，于是将方程两边同乘 (x - 1)(x + 2)，得
用框图总结为：
可化为一元一次方程的分式方程
一元一次方程
方程两边同乘最简公分母
求解
x = a
检验
x = a 是分式
方程的解
x = a 不是分式
方程的解
当x = a时
最简公分母是
否为零？
否
是
2. 要把方程 化为整式方程，方程两边可以同乘（ ）
D
A. 3y - 6 B. 3y C. 3 (3y - 6 ) D. 3y ( y - 2 )
1. 下列关于 x 的方程中，是分式方程的是(　　)
A. B.
C. D.
D
3. 解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是 ( )
A. 2(x - 8) + 5x = 16(x - 7) B. 2(x - 8) + 5x = 8
C. 2(x - 8) - 5x = 16(x - 7) D. 2(x - 8) - 5x = 8
A
4. 若关于 x 的分式方程 无解，则 m 的值为 ( )
A. －1 或 5 B. 1
C. －1.5 或 2 D. －0.5 或－1.5
D
7. 解方程：
解：方程两边同乘 ，得
解得
经检验 是原分式方程的解
1. 下列关于的式子：； ；
；； .是分式方程的有( )
A
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 解分式方程 的步骤：①方
程两边同时乘最简公分母 ;②得整式方程
;③解得;④故 是原方程的解.
其中有误的一步为( )
D
A. ① B. ② C. ③ D. ④
返回
3. ［2025株洲期末］已知关于的方程的解是 ，
则 的值为( )
C
A. 2 B. 1 C. D.
4.若关于的方程无解，则 的值为____.
【点拨】，去分母，得 ，
解得.因为当，即 时，方程
无解，所以，所以 .
返回
5.已知分式 ，为常数满足下表中的信息，则
的值为___.
的取值 4 16
分式的值 不存在 0 0.1
【点拨】因为当时，分式 无意义，所以
，所以.因为当 时，分式
，所以，所以.所以 ，
，解得，经检验， 是分式方程
的解.所以 .
返回
6. 如图，点, 在数轴上，它们所表示的数
分别是,,且点到原点的距离是点 到原点的距离的2倍，
则 ____.
返回
7. 教材P54练习 解下列方程：
（1） ；
【解】方程两边同乘，得 ，解得
.检验：当时，，所以 是原分式方程
的解.
（2） ;
原方程化为 ，方程两边同乘
，得 ，解得
.检验:当时，，所以 不是
原分式方程的解.所以原分式方程无解.
（3） .
去分母,得,解得,经检验， 是原分
式方程的解.
返回
8. 教材P57习题 小明在解关于 的分式方程
时，发现墨水把其中一个数污染了，翻看答案上
说此方程有增根无解，则被污染的数为( )
A
A. B. 1 C. 2 D.
返回
9. ［2024遂宁］分式方程的解为正数，则 的
取值范围是( )
B
A. B. 且
C. D. 且
【点拨】方程两边同时乘，得 ，解得
.因为分式方程 的解为正数，所以
，所以.又因为，即 ，所以
.所以的取值范围为且 .
返回
10. 已知满足不等式组且 为
整数，则关于的分式方程 的解是( )
C
A. B. C. D. 不能确定
【点拨】解不等式组得.又因为 为整数，
所以.把代入方程，得，解得 .
经检验，是方程 的解.
返回
11. 对于两个不相等的实数， ，规定：
,表示，中的较大值，如 ，按照这个
规定，方程 的解为( )
C
A. B.
C. 或 D. 或
分式
方程
误区
(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘；
步骤
(去分母法)
一化(分式方程转化为整式方程)；
二解(整式方程)；
三检验(把解代入到最简公分母，看是否为零)
(2)去分母后，分子是多项式时，没有添括号 (因分数线有括号的作用)；
(3)忘记检验.
定义
分母中含未知数的方程叫作分式方程
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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