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2.5.2 分式方程的应用教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：2.5.2 分式方程的应用
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾与引入
回顾分式方程解法：解分式方程的步骤为审题、找最简公分母、去分母转化为整式方程、求解整式方程、验根、写结论，其中验根是必不可少的步骤，需检验是否为增根且符合实际意义。
问题情境：在实际生活中，许多问题涉及到路程、速度、时间的关系，工作总量、工作效率、工作时间的关系等，这些问题有时需要用分式方程来解决。例如：甲、乙两人走同一段路，甲的速度是乙的 1.2 倍，甲比乙少用 10 分钟，求甲、乙的速度，这样的问题该如何列方程解决？
引入概念：分式方程的应用是将实际问题转化为数学模型（分式方程），通过求解分式方程解决实际问题，本节课我们将学习分式方程在实际生活中的应用。
学习意义：掌握分式方程的应用，能运用数学知识解决实际问题，体会数学的实用性，提高分析问题和解决问题的能力。
第 3 页：学习目标
知识目标：能分析实际问题中的等量关系，列出分式方程；掌握列分式方程解决实际问题的步骤；能正确检验分式方程的解是否符合实际意义。
能力目标：通过将实际问题转化为分式方程的过程，培养数学建模能力；在分析问题和解决问题的过程中，提高逻辑思维能力和运算能力。
情感目标：感受数学与实际生活的密切联系，体会数学的价值，增强应用数学的意识和信心。
第 4 页：知识点 1—— 列分式方程解应用题的步骤
步骤总结：
第一步：审题，理解题意，明确问题中的已知量、未知量以及数量关系。
第二步：设未知数，根据题意选择合适的未知量设为未知数（一般求什么设什么，也可间接设未知数）。
第三步：找等量关系，分析实际问题中的数量关系，找出能表示问题全部含义的等量关系（关键步骤）。
第四步：列分式方程，根据等量关系列出分式方程。
第五步：解分式方程，按照分式方程的解法求解方程。
第六步：验根，既要检验求得的解是否为原方程的增根，又要检验是否符合实际意义。
第七步：写出答案，根据检验结果写出实际问题的答案。
关键提醒：找等量关系是列方程的核心，需结合实际问题中的关键词（如 “多”“少”“快”“慢”“倍”“几分之几” 等）分析。
第 5 页：例题 1—— 行程问题
例 1：从甲地到乙地有两条公路，一条是全长 600km 的普通公路，另一条是全长 480km 的高速公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快 45km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间。
解析：
步骤 1：审题，已知普通公路全长 600km，高速公路全长 480km，客车在高速公路上的速度比普通公路快 45km/h，高速公路所需时间是普通公路的一半，求高速公路所需时间。
步骤 2：设未知数，设该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为\(x\)小时，则由普通公路所需的时间为\(2x\)小时。
步骤 3：找等量关系，速度 = 路程 ÷ 时间，高速公路速度 = 普通公路速度 + 45km/h。
步骤 4：列方程，\(\frac{480}{x}=\frac{600}{2x}+45\)。
步骤 5：解方程，两边同乘\(2x\)得\(960 = 600 + 90x\)，移项得\(90x = 360\)，解得\(x = 4\)。
步骤 6：验根，将\(x = 4\)代入\(2x = 8 0\)，原方程左边\(\frac{480}{4}=120\)，右边\(\frac{600}{8}+45 = 75 + 45 = 120\)，左边 = 右边，且时间为 4 小时符合实际意义。
步骤 7：写答案，该客
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.5.2分式方程的应用
第2章 分式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 理解题目中的数量关系正确列出分式方程；（难点）
2. 在不同的实际问题中能恰当设出未知数，列出分式方程并求解，从而解决实际问题.（重点）
1. 解分式方程的基本思路是什么？
2. 解分式方程有哪几个步骤？
3. 解分式方程过程中一般如何检验？
分式方程
整式方程
转化
去分母
一化二解三检验
将所求得的解代入最简公分母，看是否等于 0，不等于 0 的才是原分式方程的解.
4. 我们所学过的应用题有哪些类型？每种类型的基本公式是什么？
常见的有 4 种：
(1)行程问题：路程=速度×时间以及它的两个变式；
(2)数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法；
(3)工程问题：工作量=工时×工效以及它的两个变式；
(4)利润问题：批发成本=批发数量×批发价；
打折销售价=定价× ；销售利润=销售收入-批发成本；
每件销售利润=定价-批发价；利润率=利润÷进价.
折数
10
例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 1 个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？
表格法分析如下：
工作时间（个月） 工作效率 工作总量（1）
甲队
乙队
等量关系：
甲队完成的工作总量 + 乙队完成的工作总量=“1”
设乙单独完成这项工程需要 x 个月.
列分式方程解决工程问题
1
解：设乙单独 完成这项工程需要 x 个月.记工作总量为 1，甲的工作效率是 ，根据题意得
即
方程两边同乘 2x，得
解得 x = 1.
检验：当 x = 1 时，2x≠0. 所以，原分式方程的解为
x = 1. 由上可知，若乙队单独施工 1 个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需 3 个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快.
想一想：本题的等量关系还可以怎么找？
甲队单独完成的工作总量 + 两队合作完成的工作总量=“1”
此时表格怎么列，方程又怎么列呢？
设乙单独完成这项工程需要 x 个月.则乙队的工作效率是 ，甲队的工作效率是 ，两队合作的工作效率
是
工作时间(个月) 工作效率 工作总量（1）
甲单独
两队合作
此时方程是：
1
表格为
“3 行 4 列”
工程问题
1. 题中有“单独”字眼通常可知工作效率；
2. 通常间接设元，如××单独完成需 x（单位时间），则可表示出其工作效率；
3. 弄清基本的数量关系.如本题中的“合作的工效 = 甲乙两队工作效率的和”.
归纳总结
4. 解题方法：可概括为“321”，即 3 指该类问题中三量关系，如工程问题有工作效率，工作时间，工作量；2 指该类问题中的“两个主人公”如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”；1 指该问题中的一个等量关系.如工程问题中等量关系是：两个主人公工作总量之和 = 全部工作总量.
例1 用 A，B 两种型号的机器人搬运原料，已知 A 型机器人比 B 型机器人每小时多搬运 200 kg，且 A 型机器人搬运 10 000 kg 所用时间与 B 型机器人搬运 8 000 kg 所用时间相等，
求这两种机器人每小时分别
搬运多少原料.
典例精析
上述问题中存在以下两个等量关系：
设 B 型机器人每小时搬运 x kg，则由等量关系 (2) 可得，A 型机器人每小时搬运 (x + 200) kg.
(1) A 型机器人搬运 10 000 kg 所用时间 = B 型机器人搬运 8 000 kg 所用时间.
(2) A 型机器人每小时搬运量 = B 型机器人每小时搬运量＋200kg.
再根据等量关系 (1)，可列出如下方程：
经检验，x = 800 是原分式方程的解，且符合题意.
将方程两边同乘最简公分母 x(x＋200)，得
10 000x = 8 000(x + 200)，
解得 x = 800.
由此可知，B 型机器人每小时搬运原料 800 kg，A 型机器人每小时搬运原料 1000 kg.
2
列分式方程解决行程问题
例2 某校八年级学生乘车前往某乡村进行研学实践活动，现有两条线路可供选择：线路一全程 25 km，线路二全程 30 km. 若走线路二的平均车速是走线路一
的 1.5 倍，所花时间比走线路一少用 10 min，则走 线路一的平均车速为多少
乡村
学校
线路一
线路二
分析 本题涉及的等量关系是：
走线路一的时间 - 走线路二的时间 = h.
平均车速/(km/h) 路程/km 时间/h
线路一
线路二
设走线路一的平均车速为 x km/h，则可得下表：
x
1.5x
25
30
解：设走线路一的平均车速为 x km/h，则走线路二的平均车速为 1.5x km/h.
根据等量关系，可列出如下方程：
解得 x = 30.
答：走线路一的平均车速为 30 km/h.
经检验，x = 30 是原分式方程的解，且符合题意.
练一练：1. 一轮船往返于 A、B 两地之间，顺水比逆水快 1 小时到达.已知 A、B 两地相距 80 千米，水流速度是 2 千米/时，求轮船在静水中的速度.
检验：x = －18不合题意，舍去.
解：设轮船在静水中的速度为 x 千米/时,根据题意得
解得 x = ±18.
故 x = 18.
答：轮船在静水中的速度为 18 千米/时.
方程两边同乘 (x - 2)(x + 2) 得
80x + 160－80x + 160 = x2 －4.
列分式方程解应用题的一般步骤
1. 审清题意；
2. 找等量关系；
3. 设出未知数
4. 列出方程；
5. 解这个分式方程；
6. 检验解的合理性（包括两方面：①是否是分式方 程的根； ②是否符合实际情况）；
7. 作答.
A. B.
C. D.
1. 几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为 180 元/辆. 出发前，又增加两名同学，结果每个同学比原来少分摊 3 元车费，若设原来参加旅游的学生有 x 人，则所列方程为(　　)
A
2. 农机厂到距工厂 15 千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了 40 分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的 3 倍，求两车的速度.
解：设自行车的速度为 x 千米/时，那么汽车的速度是 3x 千米/时，依题意得：
解得
x＝15.
经检验，x＝15 是原方程的根.
由 x＝15 得 3x＝45.
答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时.
3. 某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：
同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元.
解：设排球的单价为 x 元，则篮球的单价为 (x＋60) 元，根据题意，列方程得
解得 x＝100. 经检验，x＝100 是原分式方程的解，当 x＝100 时，x＋60＝160.
答：排球的单价为 100 元，篮球的单价为 160 元．
4. 某水果店在批发市场购买某种水果销售，第一次用 1200 元购进若干千克，并以每千克 8 元出售，很快售完. 由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了 10%，用 1452 元所购买的数量比第一次多 20 千克，以每千克 9 元售出 100 千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价 50% 售完剩余水果.
(1)求第一次水果的进价是每千克多少元；
分析：根据第二次购买水果数多 20 千克，可得出方程，解出即可得出答案；
解：设第一次购买的进价为每千克 x 元，则第二次的进价为每千克 1.1x 元，
根据题意得 ，
解得 x＝6.
经检验，x＝6 是原分式方程的解．
答：第一次购买水果的进价为每千克 6 元．
(2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
分析：先计算两次购买水果的数量，赚钱情况：销售的水果量×(实际售价－当次进价)，两次合计，就可以求得是盈利还是亏损了．
解：第一次购买水果 1200÷6＝200 (千克).
第二次购买水果 200＋20＝220 (千克).
第一次赚钱为 200×(8－6)＝400 (元)，
第二次赚钱为 100×(9－6.6)＋(220-100)×(9×0.5－6.6)
＝－12 (元)．所以两次共赚钱 400－12＝388(元).
1. “万人农耕”大地艺术创作活动在成都世园会新津分会场——
天府农博园开启，市民游客在这里呈现了一场与4 500年农耕文
明的互动，共绘农商文旅体融合的生动画卷.某班学生与家长分
别组成学生组和家长组参加了插秧活动，先由学生组独立进
行， 完成了总任务的一半；而后家长组加入，再共同进行
完成了剩下任务.如果设家长组独立进行 可以完成总任务，
则可列方程为( )
A
A. B.
C. D.
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2. ［2024山东］为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级
改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件
的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产
的产品件数为( )
B
A. 200 B. 300 C. 400 D. 500
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3. 某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的
投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有
三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；
②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③ ，
剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工.某同学设规定的
工期为天，根据题意列出了方程： ，则方案③
中被墨水污染的部分应该是( )
A. 甲、乙两队合作了4天
B. 甲队先做了4天
C. 甲队先做了工程的
D. 甲、乙两队合作了工程的
√
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4.小明读到关于某城际铁路的新闻报道后，搜集该线路的相
关信息制作了下表，表中两个区间段（线路的一部分）以最
高时速运行时相应所用的时间比约少 ，那么区间设
计最高时速_____ .
区间段
48
88
320
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5. 长株潭城际铁路是湖南省境内
一条连接长沙、株洲、湘潭的城际铁路.铁路建成后，从长沙
到株洲的铁路运行里程由原来的缩短至 ，城际铁
路设计的平均时速要比原来的平均时速快 ，运行时间
是原来时间的 .
（1）设该城际铁路建成前在长沙和株洲两地运行的时间是
，则该城际铁路建成后在长沙和株洲两地的运行时间是
_ ___（用含 的式子表示）;
（2）根据（1）中设的未知数 ，结合题意，列方程，求出
该城际铁路建成后在长沙和株洲两地之间的运行时间.
【解】根据题意，得,解得 ,
经检验， 是原分式方程的解,
所以 ,
所以该城际铁路建成后在长沙和株洲两地之间的运行时间为
.
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6. 《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作.
该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买
几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请
人代买一批椽，这批椽的总售价为6 210文.如果每株椽的运
费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一
株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽？设6 210文购买椽
的数量为 株，则符合题意的方程是( )
A. B.
C. D.
√
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分式方程的应用
类型
行程问题、工程问题、数字问题、顺逆问题、利润问题等
方法
步骤
一审二找三设四列五解六验七答
321法
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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