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3.1.1 二次根式的概念及性质教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：3.1.1 二次根式的概念及性质
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾与引入
回顾平方根：如果一个数的平方等于\(a\)，那么这个数叫做\(a\)的平方根，记作\(\pm\sqrt{a}\)（\(a\geq0\)）。正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。
问题情境：在解决实际问题时，我们经常会遇到形如\(\sqrt{2}\)、\(\sqrt{a}\)（\(a\geq0\)）的式子。例如，一个正方形的面积为\(5\)平方米，它的边长是多少？答案是\(\sqrt{5}\)米，这样的式子有什么特点？它具备哪些性质？
引入概念：形如\(\sqrt{a}\)（\(a\geq0\)）的式子叫做二次根式，其中 “\(\sqrt{}\)” 叫做二次根号，\(a\)叫做被开方数。本节课我们将学习二次根式的概念及性质。
学习意义：掌握二次根式的概念及性质，是学习二次根式运算、化简及解决实际问题的基础，能进一步完善实数的运算体系。
第 3 页：学习目标
知识目标：理解二次根式的概念，明确二次根式有意义的条件；掌握二次根式的基本性质，并能运用性质进行简单的化简和计算。
能力目标：通过观察、分析二次根式的实例，培养抽象概括能力；在探究二次根式性质的过程中，提高推理能力和运算能力。
情感目标：感受数学与实际生活的联系，体会数学的严谨性，激发学习数学的兴趣和积极性。
第 4 页：知识点 1—— 二次根式的概念
概念定义：形如\(\sqrt{a}\)（\(a\geq0\)）的式子叫做二次根式。
关键词解析：
形式特征：必须含有二次根号 “\(\sqrt{}\)”，且根指数为 2（通常省略不写）。
被开方数：被开方数\(a\)可以是数、单项式、多项式等，但必须满足\(a\geq0\)，否则二次根式无意义。
取值范围：二次根式\(\sqrt{a}\)的结果是非负数，即\(\sqrt{a}\geq0\)（\(a\geq0\)）。
示例辨析：
二次根式：\(\sqrt{3}\)（被开方数 3≥0）、\(\sqrt{x + 1}\)（\(x + 1\geq0\)即\(x\geq-1\)）、\(\sqrt{a^2}\)（\(a^2\geq0\)恒成立）。
非二次根式：\(\sqrt[3]{2}\)（根指数为 3，是三次根式）、\(\sqrt{-2}\)（被开方数 - 2<0，无意义）、\(2\sqrt{a}\)（是 2 与\(\sqrt{a}\)的乘积，\(\sqrt{a}\)是二次根式）。
第 5 页：例题 1—— 二次根式有意义的条件
例 1：求下列二次根式中字母的取值范围。
（1）\(\sqrt{x - 2}\)
解析：要使二次根式有意义，被开方数必须大于或等于 0，即\(x - 2\geq0\)，解得\(x\geq2\)。
（2）\(\sqrt{\frac{1}{x + 3}}\)
解析：被开方数\(\frac{1}{x + 3}\geq0\)，且分母不能为 0，即\(x + 3>0\)，解得\(x>-3\)。
（3）\(\sqrt{a^2 + 1}\)
解析：因为\(a^2\geq0\)，所以\(a^2 + 1\geq1>0\)，无论\(a\)取何实数，二次根式都有意义，即\(a\)的取值范围是全体实数。
（4）\(\sqrt{-(x - 1)^2}\)
解析：被开方数\(-(x - 1)^2\geq0\)，即\((x - 1)^2\leq0\)，又因为\((x - 1)^2\geq0\)，所以\((x - 1)^2 = 0\)，解得\(x = 1\)。
第 6 页：知识点 2—— 二次根式的性质 1
性质 1 内容：\((\sqrt{a})^2=a\)（\(a\geq0\)）。
推导验证：根据二次根式的定义，\(\sqrt{a}\)是\(a\)的算术平方根，即\((\sqrt{a})^2=a\)。例如\((\sqrt{5})^2 = 5\)，\((\sqrt{2})^2=2\)。
几何意义：边长为\(\sqrt{a}\)的正方形的面积是\(a\)。
示例分析：
\((\sqrt{7})^2 = 7\)。
\((\sqrt{x + 1})^2=x + 1\)（\(x\geq-1\)）。
\((2\sqrt{3})^2=2^2 (\sqrt{3})^2=4 3 = 12\)（利用积的乘方性质）。
第 7 页：例题 2—— 利用性质 1 计算
例 2：计算下列各式。
（1）\((\sqrt{6})^2\)
解析：根据性质 1，\((\sqrt{6})^2 = 6\)。
（2）\((-2\sqrt{5})^2\)
解析：\((-2\sqrt{5})^2=(-2)^2 (\sqrt{5})^2=4 5 = 20\)。
（3）\((\sqrt{a - 3})^2\)（\(a\geq3\)）
解析：\((\sqrt{a - 3})^2=a - 3\)。
（4）\((\sqrt{2x + 1})^2 + 1\)（\(x\geq-\frac{1}{2}\)）
解析：\((\sqrt{2x + 1})^2 + 1=2x + 1 + 1=2x + 2\)。
第 8 页：知识点 3—— 二次根式的性质 2
性质 2 内容：\(\sqrt{a^2}=|a|=\begin{cases}a&(a\geq0)\\-a&(a<0)\end{cases}\)。
推导验证：当\(a\geq0\)时，\(a^2\)的算术平方根是\(a\)，即\(\sqrt{a^2}=a\)；当\(a<0\)时，\(a^2\)的算术平方根是\(-a\)（因为\(-a>0\)），即\(\sqrt{a^2}=-a\)。例如\(\sqrt{3^2}=\sqrt{9}=3\)，\(\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3=-(-3)\)。
关键词解析：\(\sqrt{a^2}\)的结果是非负数，等于\(a\)的绝对值，即先平方再开方，结果取绝对值。
示例分析：
\(\sqrt{5^2}=5\)。
\(\sqrt{(-2)^2}=|-2| = 2\)。
\(\sqrt{(x - 1)^2}=|x - 1|=\begin{cases}x - 1&(x\geq1)\\1 - x&(x<1)\end{cases}\)。
第 9 页：例题 3—— 利用性质 2 化简
例 3：化简下列各式。
（1）\(\sqrt{(-7)^2}\)
解析：根据性质 2，\(\sqrt{(-7)^2}=|-7| = 7\)。
（2）\(\sqrt{(3.14 - )^2}\)
解析：因为\( 3.14159>3.14\)，所以\(3.14 - <0\)，则\(\sqrt{(3.14 - )^2}=|3.14 - |= - 3.14\)。
（3）\(\sqrt{x^2 - 4x + 4}\)（\(x<2\)）
解析：先因式分解，\(x^2 - 4x + 4=(x - 2)^2\)，因为\(x<2\)，所以\(x - 2<0\)，则\(\sqrt{(x - 2)^2}=|x - 2|=2 - x\)。
（4）\(\sqrt{a^2 + 6a + 9}\)
解析：因式分解得\(a^2 + 6a + 9=(a + 3)^2\)，则\(\sqrt{(a + 3)^2}=|a + 3|=\begin{cases}a + 3&(a\geq-3)\\-a - 3&(a<-3)\end{cases}\)。
第 10 页：知识点 4—— 二次根式的性质 3
性质 3 内容：\(\sqrt{ab}=\sqrt{a} ·\sqrt{b}\)（\(a\geq0\)，\(b\geq0\)），即积的算术平方根等于算术平方根的积。
推导验证：根据性质 1，\((\sqrt{ab})^2=ab\)，\((\sqrt{a} ·\sqrt{b})^2=(\sqrt{a})^2 ·(\sqrt{b})^2=ab\)，所以\(\sqrt{ab}=\sqrt{a} ·\sqrt{b}\)（\(a\geq0\)，\(b\geq0\)）。例如\(\sqrt{4 9}=\sqrt{36}=6\)，\(\sqrt{4} ·\sqrt{9}=2 3 = 6\)，两者相等。
注意事项：\(a\)和\(b\)必须同时是非负数，否则性质不成立，如\(\sqrt{(-2) (-3)}=\sqrt{6}\)，但\(\sqrt{-2}\)和\(\sqrt{-3}\)无意义，不能直接应用性质。
示例分析：
\(\sqrt{16 25}=\sqrt{16} \sqrt{25}=4 5 = 20\)。
\(\sqrt{3x ·6y}=\sqrt{18xy}=3\sqrt{2xy}\)（\(x\geq0\)，\(y\geq0\)）。
第 11 页：例题 4—— 利用性质 3 化简
例 4：利用性质 3 化简下列二次根式。
（1）\(\sqrt{300}\)
解析：将 300 分解因数，\(300 = 100 3\)，则\(\sqrt{300}=\sqrt{100 3}=\sqrt{100} \sqrt{3}=10\sqrt{3}\)。
（2）\(\sqrt{a^3b}\)（\(a\geq0\)，\(b\geq0\)）
解析：\(a^3b=a^2 ·ab\)，则\(\sqrt{a^3b}=\sqrt{a^2 ·ab}=\sqrt{a^2} ·\sqrt{ab}=a\sqrt{ab}\)。
（3）\(\sqrt{2x^3y^2}\)（\(x\geq0\)，\(y\geq0\)）
解析：\(2x^3y^2=2x ·x^2 ·y^2\)，则\(\sqrt{2x^3y^2}=\sqrt{x^2 ·y^2 ·2x}=\sqrt{x^2} ·\sqrt{y^2} ·\sqrt{2x}=xy\sqrt{2x}\)。
（4）\(\sqrt{(x + 2)^2y}\)（\(x\geq-2\)，\(y\geq0\)）
解析：因为\(x\geq-2\)，所以\(x + 2\geq0\)，则\(\sqrt{(x + 2)^2y}=\sqrt{(x + 2)^2} ·\sqrt{y}=(x + 2)\sqrt{y}\)。
第 12 页：知识点 5—— 二次根式的性质 4
性质 4 内容：\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)（\(a\geq0\)，\(b>0\)），即商的算术平方根等于算术平方根的商。
推导验证：根据性质 1，\((\sqrt{\frac{a}{b}})^2=\frac{a}{b}\)，\((\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}})^2=\frac{(\sqrt{a})^2}{(\sqrt{b})^2}=\frac{a}{b}\)，所以\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)（\(a\geq0\)，\(b>0\)）。例如\(\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}\)，\(\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}}=\frac{4}{5}\)，两者相等。
注意事项：\(a\)是非负数，\(b\)是正数（分母不能为 0），否则性质不成立。
示例分析：
\(\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}}=\frac{3}{4}\)。
\(\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)（\(3>0\)，\(2\geq0\)）。
第 13 页：例题 5—— 利用性质 4 化简
例 5：利用性质 4 化简下列二次根式。
（1）\(\sqrt{\frac{25}{81}}\)
解析：根据性质 4，\(\sqrt{\frac{25}{81}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{81}}=\frac{5}{9}\)。
（2）\(\sqrt{\frac{3}{16}}\)
解析：\(\sqrt{\frac{3}{16}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{16}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\)。
（3）\(\sqrt{\frac{x}{4y}}\)（\(x\geq0\)，\(y>0\)）
解析：\(\sqrt{\frac{x}{4y}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4y}}=\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{y}}\)。
（4）\(\sqrt{\frac{a + 1}{(a - 1)^2}}\)（\(a>1\)）
解析：因为\(a>1\)，所以\(a - 1>0\)，则\(\sqrt{\frac{a + 1}{(a - 1)^2}}=\frac{\sqrt{a + 1}}{\sqrt{(a - 1)^2}}=\frac{\sqrt{a + 1}}{a - 1}\)。
第 14 页：易错点总结
概念理解错误：
忽略二次根式有意义的条件，认为\(\sqrt{a}\)中\(a\)可以取任意实数（实际\(a\geq0\)）。
混淆二次根式与算术平方根，如认为\(\sqrt{-4}\)是二次根式（实际无意义）。
性质应用错误：
误用性质 3，在\(a\)或\(b\)为负数时应用\(\sqrt{ab}=\sqrt{a} ·\sqrt{b}\)，如\(\sqrt{(-2) (-3)}=\sqrt{-2} ·\sqrt{-3}\)（错误，正确应为\(\sqrt{6}\)）。
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.1.1二次根式的概念及性质
第3章 二次根式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.了解二次根式的定义；
2.理解二次根式在实数范围内有意义的条件；
（重点）
3.掌握二次根式的两条重要性质．（重点、难点）
问题1 什么叫作平方根
一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数是 a 的一个平方根.
问题2 什么叫作算术平方根
如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根. 用 表示.
问题3 什么数有算术平方根
我们知道，负数没有平方根.因此，在实数范围内,非负实数才有算数平方根.
(1) 2，3，5的算术平方根分别是怎样表示的
思考
二次根式的概念及有意义的条件
1
2，3，5 的算术平方根分别为
(2) 用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度 (称为第一宇宙速度)，才能克服地球的引力，将飞船送入环地球运行的轨道，第一宇宙速度 v 与地球半径 R 之间存在如下关系：v = gR，其中 g 为重力加速度. 若已知地球的半径 R，则第一宇宙速度 v 是多少？(用带有根号的式子表示).
因为速度一定大于 0，所以第一宇宙速度 v＝.
(3) 比较 (1)(2) 的结果，它们在表达形式上有什么共同特征？
与 都是形如 的式子.
我们知道：每一个正实数 a 有且只有两个平方根，分别为 和 ，其中 称为 a 的算术平方根. 同时，在实数范围内，负实数没有平方根，
因此，只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.
一般地，形如 的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.
知识要点
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：
（1）a 为被开方数或式，为保证其有意义，可知 a≥0；
（2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0.
二次根式的被开方数(或式)非负
二次根式的值非负
二次根式的双重非负性
归纳总结
例1 当 x 是怎样的实数时, 在实数范围内有意义
解：由 x - 1≥0，得
x≥1.
当 x≥1 时， 在实数范围内有意义.
【变式题】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：由题意得 x - 1＞0，
所以 x＞1.
典例精析
解：因为被开方数需大于或等于零，
所以 3 + x≥0，所以 x≥-3.
因为分母不能等于零，
所以 x - 1≠0，所以 x≠1.
所以 x≥-3 且 x≠1.
要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方式≥0，列不等式求解即可.若式子为分式，应同时考虑分母不为零.
归纳
(2)多个二次根式相加：如 有意义的条件：
(1)单个二次根式：如 有意义的条件：A≥0；
(3)二次根式作为分式的分母：如 有意义的条件：
A＞0；
(4)二次根式与分式的和：如 有意义的条件：
A≥0且B≠0.
归纳总结
1.下列各式： .
其中一定是二次根式的有 （ ）
A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个
B
2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值
范围是_______；
(2)若式子 在实数范围内有意义，则 x 的
取值范围是___________.
x≥1
x≥0 且 x≠2
练一练
3.已知 a，b 为等腰三角形的两条边长，且 a，b 满足 ，求此三角形的周长．
解：由题意得
所以 a = 3. 所以 b = 4.
当 a 为腰长时，三角形的周长为 3 + 3 + 4 = 10；
当 b 为腰长时，三角形的周长为 4 + 4 + 3 = 11．
若 ，则根据被开方数大于等于 0，可得 a = 0.
归纳
对于非负实数a，由于 是 a 的一个平方根，因此
＝a (a≥0).
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
注意：不要忽略 a≥0 这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件.
（a≥0）的性质
2
例2 计算：
解：
(2)可以用到幂的哪条基本性质呢？
积的乘方：
(ab)2 = a2b2
典例精析
4. 计算：
解：
练一练
的性质
2
做一做
填空：
(1) ＝ ； (2) ＝ ；
(3) ＝ ； (4) ＝ .
由于 a 的平方等于 a ，因此 a 是 a 的一个平方根，当 a≥0 时，根据算术平方根的意义，有 = a，由此得出： = a ( a≥0).
2
1.2
2
1.2
由于 －a 的平方等于 a ，因此 －a 是 a 的一个平方根，当 a＜0 时，－a＞0，根据算术平方根的意义，可以得到： = = －a ( a＜0).
a (a≥0)，
a (a＜0).
综上可得：
即任意一个实数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
例3 计算：
解：
，而3.14＜π，要注意 a 的正负性.
注意
例4 计算：
(1) ；
(2) .
解：(1) ＝|3－π|＝π－3.
(2) ＝||＝.
5.计算：
解:
辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错．
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
×
×
√
√
练一练
议一议：如何区别 与 ？
从运算顺序看
从取值范围看
从运算结果看
先开方，后平方
先平方，后开方
a≥0
a 取任何实数
a
| a |
意义
表示一个非负数 a 的算术平方根的平方
表示一个实数 a 的平方的算术平方根
例5 实数 a、b 在数轴上的对应点如图所示，请你化简：
解：由数轴可知 a＜0，b＞0，a - b＜0，
所以原式= | a | - | b | + | a - b |
= - a - b - (a - b)
= -2a.
a
b
2.式子 有意义的条件是 （ ）
A. x＞2 B. x≥2 C. x＜2 D. x≤2
1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
C
A
3.若 是整数，则自然数 n 的值有 （ ）
A. 7个 B. 8 个 C. 9 个 D. 10 个
D
4.当 x 为何值时， 在实数范围内有意义？
解：要使在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数 x＋3≥0 和分母 x＋1≠0，
解得 x≥－3 且 x≠－1.
方法总结：使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零.
5. 计算：
答案：3.
答案： .
6. 计算：
答案：7.
答案：3.
答案：0.01.
7.若 x，y 是实数，且 y＜ ，求 的值.
解：根据题意得
所以 x = 1.
因为 y＜ ，
所以 y＜
所以 .
1. 已知下列各式：，，，， ，
，, ,其中二次根式有( )
D
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
2. 若在实数范围内有意义，则 的取
值范围是( )
B
A. B. 且
C. D. 且
返回
3. 若，则 的值可以是( )
C
A. 2 B. 3 C. D. 8
4. 若，则 ( )
D
A. B. C. 6 D.
返回
5. 已知二次根式满足条件“只含有字母 ，
且当 时有意义”，请写出一个这样的二次根式：
______________________.
（答案不唯一）
6.当___时，代数式 取值最大，最大值为___.
5
2
返回
7.母题教材P67练习 当 取何值时，下列各式在实数范围
内有意义.
（1） ；
【解】要使有意义，则必须有 .
因为 恒大于零，
所以取任意实数.所以取任意实数， 都有意义.
（2） ；
因为要使有意义，则有且 ，
解得，所以当时， 有意义.
（3） .
由题意，得且，即 ，
故或 ，
解得或.所以当或时, 有意义.
返回
8. 若实数， 满足等式
，且，恰好是等腰三角形 的两
条边的长，则三角形 的周长是( )
B
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
返回
9. ［2025株洲自主招生］如果关于 的不等式组
的解集为，且式子 的值是整
数，则符合条件的所有整数 有( )
C
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
10. 一般地，如果为正整数，且,那么叫作的 次
方根.例如：因为,,所以16的四次方根是 . 则
下列结论： 是81的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；
③若
（,为自然数）,则的三次方根是 ;④当
时，整数 的所有可能的
二次方根有4 052个.
其中正确的有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二次根式
二次根式的概念
二次根式的表示
二次根式有意义的条件
被开方数≥0
→
性质
应用
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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