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3.1.2 二次根式的化简教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：3.1.2 二次根式的化简
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾与引入
回顾二次根式性质：我们已经学习了二次根式的四个基本性质，包括\((\sqrt{a})^2=a\)（\(a\geq0\)）、\(\sqrt{a^2}=|a|\)、\(\sqrt{ab}=\sqrt{a} ·\sqrt{b}\)（\(a\geq0\)，\(b\geq0\)）、\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)（\(a\geq0\)，\(b>0\)），这些性质是二次根式化简的重要依据。
问题情境：观察二次根式\(\sqrt{12}\)、\(\sqrt{\frac{1}{2}}\)、\(\sqrt{27}\)，它们的被开方数中含有能开得尽方的因数或分母，这样的二次根式不够简洁，如何将它们化为更简单的形式？
引入概念：二次根式的化简是指将二次根式化为最简二次根式，即被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。本节课我们将学习二次根式的化简方法。
学习意义：掌握二次根式的化简方法，能为二次根式的运算打下基础，使运算更简便，同时培养严谨的数学思维。
第 3 页：学习目标
知识目标：理解最简二次根式的概念；掌握二次根式化简的方法，能将二次根式化为最简二次根式；能运用二次根式的性质进行化简。
能力目标：通过观察、分析二次根式的结构特点，培养观察能力和分析能力；在化简二次根式的过程中，提高运用数学性质解决问题的能力。
情感目标：体会数学的简洁美，感受化简过程中蕴含的转化思想，增强学习数学的兴趣。
第 4 页：知识点 1—— 最简二次根式的概念
概念定义：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
被开方数中不含分母。
关键词解析：
能开得尽方的因数或因式：指被开方数中含有平方数因数（如 4、9、16 等）或平方形式的因式（如\(a^2\)、\((x + y)^2\)等）。
不含分母：被开方数不能是分数或分式，若含有分母需通过性质转化为不含分母的形式。
示例辨析：
最简二次根式：\(\sqrt{2}\)、\(\sqrt{3x}\)（\(x\geq0\)）、\(\sqrt{a + b}\)（\(a + b\geq0\)）。
非最简二次根式：\(\sqrt{8}\)（含能开得尽方的因数 4）、\(\sqrt{\frac{1}{3}}\)（含分母）、\(\sqrt{a^3}\)（含能开得尽方的因式\(a^2\)）。
第 5 页：例题 1—— 判断最简二次根式
例 1：下列二次根式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？
（1）\(\sqrt{5}\)
解析：被开方数 5 不含能开得尽方的因数，也不含分母，是最简二次根式。
（2）\(\sqrt{12}\)
解析：被开方数 12=4×3，含有能开得尽方的因数 4，不是最简二次根式。
（3）\(\sqrt{\frac{2}{3}}\)
解析：被开方数是分数，含有分母，不是最简二次根式。
（4）\(\sqrt{a^2b}\)（\(a\geq0\)，\(b\geq0\)）
解析：被开方数含有能开得尽方的因式\(a^2\)，不是最简二次根式。
（5）\(\sqrt{x^2 + 1}\)
解析：被开方数\(x^2 + 1\)不含能开得尽方的因数或因式，也不含分母，是最简二次根式。
第 6 页：知识点 2—— 被开方数是整数的二次根式化简
化简方法：当被开方数是整数时，先将被开方数分解因数，找出其中的平方数因数，再利用性质 3\(\sqrt{ab}=\sqrt{a} ·\sqrt{b}\)（\(a\geq0\)，\(b\geq0\)）将平方数开出来。
步骤总结：
第一步：分解被开方数的因数，写成平方数与另一个因数的乘积形式。
第二步：应用二次根式性质 3，将平方数开方，写在根号外。
第三步：检查结果是否为最简二次根式（被开方数不含能开得尽方的因数）。
示例分析：
化简\(\sqrt{18}\)，18=9×2，其中 9 是平方数，则\(\sqrt{18}=\sqrt{9 2}=\sqrt{9} \sqrt{2}=3\sqrt{2}\)。
化简\(\sqrt{45}\)，45=9×5，则\(\sqrt{45}=\sqrt{9 5}=3\sqrt{5}\)。
第 7 页：例题 2—— 被开方数是整数的化简
例 2：化简下列二次根式。
（1）\(\sqrt{20}\)
解析：分解因数，20=4×5，4 是平方数，则\(\sqrt{20}=\sqrt{4 5}=\sqrt{4} \sqrt{5}=2\sqrt{5}\)。
（2）\(\sqrt{48}\)
解析：48=16×3，16 是平方数，则\(\sqrt{48}=\sqrt{16 3}=\sqrt{16} \sqrt{3}=4\sqrt{3}\)。
（3）\(\sqrt{72}\)
解析：72=36×2，36 是平方数，则\(\sqrt{72}=\sqrt{36 2}=\sqrt{36} \sqrt{2}=6\sqrt{2}\)。
（4）\(\sqrt{125}\)
解析：125=25×5，25 是平方数，则\(\sqrt{125}=\sqrt{25 5}=\sqrt{25} \sqrt{5}=5\sqrt{5}\)。
第 8 页：知识点 3—— 被开方数是整式的二次根式化简
化简方法：当被开方数是整式时，先将整式因式分解，找出其中的平方形式因式，再利用性质 3 将平方形式因式开出来。
步骤总结：
第一步：对被开方数进行因式分解，写成平方形式因式与另一个因式的乘积形式。
第二步：应用二次根式性质 3，将平方形式因式开方，写在根号外。
第三步：检查结果是否为最简二次根式（被开方数不含能开得尽方的因式）。
示例分析：
化简\(\sqrt{a^3}\)（\(a\geq0\)），\(a^3=a^2 ·a\)，\(a^2\)是平方形式，则\(\sqrt{a^3}=\sqrt{a^2 ·a}=\sqrt{a^2} ·\sqrt{a}=a\sqrt{a}\)。
化简\(\sqrt{x^5y^3}\)（\(x\geq0\)，\(y\geq0\)），\(x^5y^3=x^4 ·x ·y^2 ·y=(x^2)^2 ·y^2 ·xy\)，则\(\sqrt{x^5y^3}=x^2y\sqrt{xy}\)。
第 9 页：例题 3—— 被开方数是整式的化简
例 3：化简下列二次根式（字母均为非负数）。
（1）\(\sqrt{m^5}\)
解析：因式分解，\(m^5=m^4 ·m=(m^2)^2 ·m\)，则\(\sqrt{m^5}=\sqrt{(m^2)^2 ·m}=\sqrt{(m^2)^2} ·\sqrt{m}=m^2\sqrt{m}\)。
（2）\(\sqrt{12a^2b}\)
解析：12a^2b=4×3×a^2×b=4a^2×3b，4a^2 是平方形式，则\(\sqrt{12a^2b}=\sqrt{4a^2 3b}=\sqrt{4a^2} \sqrt{3b}=2a\sqrt{3b}\)。
（3）\(\sqrt{x^3y^4}\)
解析：\(x^3y^4=x^2 ·x ·(y^2)^2=x^2(y^2)^2 ·x\)，则\(\sqrt{x^3y^4}=\sqrt{x^2(y^2)^2 ·x}=\sqrt{x^2} ·\sqrt{(y^2)^2} ·\sqrt{x}=xy^2\sqrt{x}\)。
（4）\(\sqrt{(a + b)^3}\)（\(a + b\geq0\)）
解析：\((a + b)^3=(a + b)^2 ·(a + b)\)，则\(\sqrt{(a + b)^3}=\sqrt{(a + b)^2 ·(a + b)}=(a + b)\sqrt{a + b}\)。
第 10 页：知识点 4—— 被开方数是分数或分式的二次根式化简
化简方法：当被开方数是分数或分式时，利用性质 4\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)（\(a\geq0\)，\(b>0\)）将分母移到根号外，若分母中仍含有根号，需进行分母有理化（分子分母同乘分母的根号）。
步骤总结：
第一步：应用性质 4 将被开方数的分母移到根号外，化为\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)的形式。
第二步：进行分母有理化，分子分母同乘\(\sqrt{b}\)，化为\(\frac{\sqrt{ab}}{b}\)的形式。
第三步：检查结果是否为最简二次根式（被开方数不含分母，分母不含根号）。
示例分析：
化简\(\sqrt{\frac{1}{2}}\)，\(\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)。
化简\(\sqrt{\frac{3}{x}}\)（\(x>0\)），\(\sqrt{\frac{3}{x}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{3x}}{x}\)。
第 11 页：例题 4—— 被开方数是分数或分式的化简
例 4：化简下列二次根式（字母均为正数）。
（1）\(\sqrt{\frac{1}{3}}\)
解析：\(\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)。
（2）\(\sqrt{\frac{5}{12}}\)
解析：先化简被开方数，\(\frac{5}{12}=\frac{5}{4 3}\)，则\(\sqrt{\frac{5}{12}}=\sqrt{\frac{5}{4 3}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4} \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{15}}{6}\)。
（3）\(\sqrt{\frac{a}{b}}\)
解析：\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{b} \sqrt{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}\)。
（4）\(\sqrt{\frac{2x}{3y}}\)
解析：\(\sqrt{\frac{2x}{3y}}=\frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{3y}}=\frac{\sqrt{2x} \sqrt{3y}}{\sqrt{3y} \sqrt{3y}}=\frac{\sqrt{6xy}}{3y}\)。
第 12 页：知识点 5—— 含有多项式的二次根式化简
化简方法：当被开方数是多项式时，先对多项式进行因式分解，转化为乘积形式，再按照被开方数是整式的化简方法进行化简。
步骤总结：
第一步：对多项式进行因式分解（如提公因式、平方差公式、完全平方公式等）。
第二步：将因式分解后的结果写成平方形式因式与另一个因式的乘积形式。
第三步：应用二次根式性质 3 将平方形式因式开方，化为最简二次根式。
示例分析：
化简\(\sqrt{x^3 - x^2}\)（\(x\geq0\)），因式分解得\(x^3 - x^2=x^2(x - 1)\)，则\(\sqrt{x^3 - x^2}=\sqrt{x^2(x - 1)}=x\sqrt{x - 1}\)（\(x\geq1\)时成立）。
化简\(\sqrt{(a^2 - b^2)(a + b)}\)（\(a\geq b\geq0\)），\(a^2 - b^2=(a + b)(a - b)\)，则原式\(=\sqrt{(a + b)(a - b)(a + b)}=\sqrt{(a + b)^2(a - b)}=(a + b)\sqrt{a - b}\)。
第 13 页：例题 5—— 含有多项式的化简
例 5：化简下列二次根式（字母取值使根式有意义）。
（1）\(\sqrt{2x^3 - 2x^2y}\)（\(x\geq y\geq0\)）
解析：因式分解，\(2x^3 - 2x^2y=2x^2(x - y)\)，则\(\sqrt{2x^3 - 2x^2y}=\sqrt{2x^2(x - y)}=x\sqrt{2(x - y)}=x\sqrt{2x - 2y}\)。
（2）\(\sqrt{(x^2 - 4)(x + 2)}\)（\(x\geq2\)）
解析：\(x^2 - 4=(x + 2)(x - 2)\)，则原式\(=\sqrt{(x + 2)(x - 2)(x + 2)}=\sqrt{(x + 2)^2(x - 2)}=(x + 2)\sqrt{x - 2}\)。
（3）\(\sqrt{a^3 + 2a^2b + ab^2}\)（\(a\geq0\)，\(b\geq0\)）
解析：因式分解，\(a^3 + 2a^2b + ab^2=a(a^2 + 2ab + b^2)=a(a + b)^2\)，则\(\sqrt{a^3 + 2a^2b + ab^2}=\sqrt{a(a + b)^2}=(a + b)\sqrt{a}\)。
第 14 页：化简技巧与易错点总结
化简技巧：
分解因数或因式时，尽量分解出最大的平方数或平方形式因式，使化简一步到位。
被开方数是分数时，可先将分子分母同乘一个数，使分母变为平方数，再开方化简，如 (\sqrt {\frac {2}{5}}=\sqrt {\frac {10}{25}}
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.1.2二次根式的化简
第3章 二次根式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 能准确利用积的算术平方根的性质进行化简；
（重点）
2. 能准确将二次根式计算的结果用最简二次根式表
示出来.（难点）
1. 的性质：
＝a (a≥0).
2. 的性质：
＝a (a≥0).
思考： 的值为多少？
（1）
＝ ，
＝ ；
＝ ，
＝ .
6
6
12
12
（2）当 a≥0，b≥0 时，猜想 和
二次根式的化简
思考
的关系，并说明理由.
猜想： ＝ .
1
一般地，当 a≥0，b≥0 时，由于
验证发现
要点归纳
(a≥0，b≥0).
＝，
＝ .
因此
＝ .
积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.
例1 化简下列二次根式．
典例精析
(1)； (2) ； (2) .
解：(1) ＝＝×＝3.
(2) ＝＝×＝2.
(3) ＝＝×＝×＝6.
化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数.
例2 计算：
解：
为什么是﹣x 不是 x
化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因式.
今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外
(注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数).
归纳总结
例3 化简下列二次根式．
化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母.
解：(1)
从前面的例题可以看出，二次根式经过化简后的结果，具有以下特点：
（1） 被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）；
（2） 被开方数不含分母.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.
最简二次根式
2
(m > 0) 是最简二次根式吗 如果不是，你能把它化简吗？
解: 不是最简二次根式. 它含有开得尽方的因式 m2 .
议一议
例4 化简：
解：① 原式 =
② 原式 =
③ 原式 =
1. 化简下列二次根式．
解：
解：
2. 化简下列二次根式．
解：
3. 设 a≥0，b≥0，化简下列二次根式.
4.化简：
解：
注意：最后化简的结果一般不写成 ，因为它属于单项式，其中 作为系数部分.
能力提升
化简：
解：
1. 若,则 的取值范围是
( )
B
A. B. C. D.
2. ［2025邵阳期末］下列各式中：，， ，
， .最简二次根式有( )
B
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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3. 下面的计算和推导过程：
因为 ，（第一步）
所以 .（第二步）
因为 ，（第三步）
所以 .（第四步）
首先错误的一步是( )
C
A. 第一步 B. 第二步 C. 第三步 D. 第四步
返回
4.已知，，那么用含有， 的式子可以表
示为_____.
5. 请写出一个实数的值，使得 是最简二
次根式，则 的值可以是_________________.
1（答案不唯一）
返回
6.母题教材P68练习 化简：
（1） ;
【解】 .
（2） ;
.
（3） ；
.
（4） .
.
返回
7. 若，，都是整数，且 ，
，，则下列关于，， 的大小
关系，正确的是( )
A
A. B.
C. D.
8.若是最简二次根式，则 的值
为___.
5
【点拨】因为 是最简二次根式，所以
解得所以 .
返回
9.在进行实数的化简时，我们可以用“
” .如
.利用这种方式可以化简
被开方数较大的二次根式.
（1）已知为正整数，若是整数，则 的最小值为
____；
21
【点拨】因为， 为正整
数，是整数，所以 的最小值为21.
积的算术平方根
→
化简
→
最简二次根式
→
（1）被开方数中不含开的尽方的因数（或因式）；
（2）被开方数不含分母
↓
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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